華東師大版初中數(shù)學九年級上冊專項素養(yǎng)綜合練(五)構(gòu)造中位線解題的四種方法課件

九年級

上冊華東師大版初中數(shù)學專項素養(yǎng)綜合全練（五）構(gòu)造中位線解題的四種方法方法一連結(jié)兩點構(gòu)造中位線專題解讀在三角形中,若已知兩邊或多邊的中點,可考慮連結(jié)兩點得到

三角形的中位線,從而利用三角形中位線定理解決問題.1.(2024河南南陽第一初級中學月考)如圖,在△ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC的中點,求證:AF與DE互相平分.

證明如圖,連結(jié)DF、EF.∵點D、F、E分別是AB、BC、

AC的中點,∴DF∥AC,EF∥AB,∴四邊形ADFE是平行四邊

形,∴AF與DE互相平分.2.(2024福建漳州三中期中)已知:△ABC中,D是BC上的一點,

E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點,求證:EG、

HF互相平分.

證明連結(jié)EH、GH、GF,∵E、F、G、H分別是BD、BC、

AC、AD的中點,∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴四邊形EHGF

為平行四邊形,∴EG、HF互相平分.

方法二角平分線+垂直構(gòu)造中位線專題解讀當角平分線和垂直兩個條件同時出現(xiàn)時,可延長垂直于角平

分線的線段構(gòu)造等腰三角形,從而將圖形中的某一點轉(zhuǎn)化為

三角形一邊的中點,得到三角形的中位線,進而解決問題.3.(2024山西臨汾堯都期中)如圖,△ABC中,∠ABD=∠CBD,

AE=CE,AD⊥BD.若DE=5,AB=8,則BC的長為

(

)

A.19

B.18

C.17

D.10B解析如圖,延長AD交BC于點F,∵AD⊥BD,BD平分∠ABF,

∴AD=DF,BF=AB=8,∵AE=CE,AD=DF,∴FC=2DE=10,∴BC

=BF+FC=18.

4.(2024河南新鄉(xiāng)封丘金瀚學校月考)如圖,在△ABC中,AE平

分∠BAC,BE⊥AE于點E,點F是BC的中點,若AB=10,AC=6,求

EF的長.

解析如圖,延長AC、BE交于點M,∵AE平分∠BAC,AE⊥

BE,∴AB=AM=10,BE=EM,∵AC=6,∴CM=AM-AC=10-6=4,∵

點F是BC的中點,BE=EM,∴EF為△BCM的中位線,∴EF=

CM=2.

方法三已知中點取中點構(gòu)造中位線專題解讀在已知某條線段中點的情況下,可考慮取另一線段的中點,構(gòu)

造出三角形中位線,進而解決問題.5.(2024吉林長春東北師大附中月考)如圖,AD是△ABC的中線,E是AD的中點,F是BE延長線與AC的交點,若AC=6,則AF=

(

)

A.3

B.2

C.

D.

B解析如圖,取BF的中點H,連結(jié)DH,∵BD=DC,BH=HF,∴DH

=

FC,DH∥AC,∴∠HDE=∠FAE,在△AEF和△DEH中,

∴△AEF≌△DEH,∴AF=DH=

FC,∵AC=6,∴AF=

AC=2.

6.(2024福建泉州實驗中學期中)如圖,在Rt△ABM中,∠M=90°,C,D為直角邊上的點,且AD=BC=2,E,F分別為AB,CD的中

點,求EF的長.

解析如圖,連結(jié)AC,取AC的中點O,連結(jié)OE、OF,∵E,F分別

為AB,CD的中點,∴OE是△ABC的中位線,OF是△ACD的中

位線,∴OE=

BC=1,OF=

AD=1,OE∥BC,OF∥AD,∴∠COF=∠CAD,∠AEO=∠B,∵∠COE=∠CAB+∠AEO,∴∠COE=

∠CAB+∠B,∴∠EOF=∠COF+∠COE=∠CAD+∠CAB+

∠B,∵∠M=90°,∴∠EOF=∠CAD+∠CAB+∠B=90°,∴在Rt

△EOF中,EF=

=

.方法四倍長法構(gòu)造中位線專題解讀將某一條線段延長至某一點,使延長部分等于已知線段長,從

而既構(gòu)造出線段中點,又構(gòu)造出全等三角形(S.A.S.)模型,進

而利用三角形中位線定理和全等三角形的知識解決問題.7.(2022廣東廣州二中模擬)如圖,△ABC中,∠ABC=90°,BA=

BC,△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,M為AF的中點,求

證:ME=

CF.

證明如圖,延長FE至D,使DE=EF,連結(jié)AD、BD,∵△BEF為

等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,BE⊥DF,∴BE垂

直平分DF,∴∠BDE=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,∴BD

=BF,∠DBF=90°,∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠

ABF=∠DBF=90°,∴∠CBF=∠ABD.在△ABD和△CBF中,∵

∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∵M為AF的中點,DE=EF,∴ME是△ADF的中位線,∴ME=

AD,∴ME=

CF.

8.(2024四川成都武侯實驗中學月考)△ABC中,D是BC的中點.分別以AB,AC為一邊,向三角形內(nèi)部作Rt△ABE,Rt△ACF,

使∠ABE=∠ACF,連結(jié)DE,DF,求證:DE=DF.

證明如圖,延長BE到M,使ME=BE,延長CF到N,使NF=CF,連

結(jié)AM、MC、AN、NB,∵∠AFC=90°,∠AEB=90°,∴AE、AF

分別是BM、CN的垂直平分線,∴AM=AB,AN=AC,∵∠ABE=

∠ACF,∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF,∴∠CAF=∠NAF

=∠MAE=∠BAE,∴∠CAM=∠BAN