新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第9章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體9.2.3總體集中趨勢的估計學(xué)生用書新人教A版必修第二冊

9.2.3總體集中趨勢的估計學(xué)習(xí)任務(wù)1．結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析)2．理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．(直觀想象)甲、乙兩位同學(xué)相約晚上在某餐館吃飯．他們分別在A，B兩個網(wǎng)站查看同一家餐館的好評率．甲在網(wǎng)站A查到的好評率是98%，而乙在網(wǎng)站B查到的好評率是85%.綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，應(yīng)當(dāng)如何得到這家餐館的總好評率？學(xué)問點眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中____________的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，處于____位置的數(shù)．假如個數(shù)是偶數(shù)，則取____兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的__除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．1．中位數(shù)確定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)確定唯一嗎？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)單峰頻率分布直方圖中的平均數(shù)與中位數(shù)①假如直方圖的形態(tài)是____的，那么平均數(shù)與中位數(shù)大體上差不多．②假如直方圖在____“拖尾”，那么平均數(shù)大于中位數(shù)；假如直方圖在____“拖尾”，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，也就是說，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長尾巴”那邊．(2)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是____矩形底邊中點的橫坐標(biāo)；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)____；樣本平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形底邊中點的______與小矩形的____的乘積之和．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢． ()(2)樣本的平均數(shù)是頻率分布直方圖中最高長方形的中點對應(yīng)的數(shù)據(jù)． ()(3)若變更一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生變更． ()類型1一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞a[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法平均數(shù)一般是依據(jù)公式來計算的；計算中位數(shù)時，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的依次排列，再依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的總數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)而定；眾數(shù)是看出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個，命中個數(shù)如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．則下面結(jié)論中正確的是________(填序號)．①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲的平均數(shù)為21.4；④甲的中位數(shù)是24．類型2頻率分布直方圖中的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)【例2】某校從參與高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名，將其物理成果(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，畫出如圖所示的頻率分布直方圖．視察圖中的信息，回答下列問題：(1)估計這次考試的物理成果的眾數(shù)m與中位數(shù)n(結(jié)果保留一位小數(shù))；(2)估計這次考試的物理成果的及格率(60分及以上為及格)和平均分．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(1)眾數(shù)：取最高小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與x軸交點的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)．(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某中學(xué)實行電腦學(xué)問競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．求：(1)成果的眾數(shù)、中位數(shù)的估計值；(2)平均成果的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應(yīng)用【例3】(源自湘教版教材)某公司全體職工的月工資如下：月工資/元18000120008000600040002500200015001200人數(shù)1(總經(jīng)理)2(副總經(jīng)理)34102022126(1)試求出該公司月工資數(shù)據(jù)中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；(2)你認(rèn)為用平均數(shù)、中位數(shù)或眾數(shù)中的哪一個更能反映該公司的工資水平？(3)對于職工月工資數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你認(rèn)為該公司總經(jīng)理、一般員工及應(yīng)聘者將分別關(guān)注哪一個？說說你的理由．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)應(yīng)用問題的兩個關(guān)注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關(guān)，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在很多較大的極端值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．如表是五年級兩個班各11名同學(xué)1分鐘仰臥起坐的成果(單位：次)：一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？(2)你認(rèn)為哪個數(shù)表示兩個班的成果更合適？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多選)在一次體育測試中，某班6名同學(xué)的成果(單位：分)分別為66，83，87，83，77，96．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()A．眾數(shù)是83 B．中位數(shù)是83C．極差是30 D．平均數(shù)是832．下列關(guān)于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的說法中正確的是()A．中位數(shù)可以精確地反映出總體的狀況B．平均數(shù)可以精確地反映出總體的狀況C．眾數(shù)可以精確地反映出總體的狀況D．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都有局限性，都不能精確地反映出總體的狀況3．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．4．某校從參與高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示．(1)這次測試數(shù)學(xué)成果的眾數(shù)為________；(2)這次測試數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)為________；(3)這次測試數(shù)學(xué)成果的平均分為________．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．在頻率分布直方圖中，如何確定眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的各有哪些優(yōu)缺點？9.2.3總體集中趨勢的估計[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點1.(1)出現(xiàn)次數(shù)最多(2)中間中間(3)和思索1提示：不愿定．一組數(shù)據(jù)按大小依次排列后，假如有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；假如有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．思索2提示：不愿定，數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個．2．(1)對稱右邊左邊(2)最高相等橫坐標(biāo)面積課前自主體驗(1)√(2)×(3)×[關(guān)鍵實力·合作探究釋疑難]例1D[由題意得a＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞跟進(jìn)訓(xùn)練1．(1)A(2)①②③[(1)因為一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，所以另一組數(shù)據(jù)2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均數(shù)為2×2－3＝1.故選A.(2)把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23故甲的最大值為37，最小值為8，則極差為29，所以①正確；乙中出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是21，所以②正確；甲的平均數(shù)為x甲＝110×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正確；甲的中位數(shù)為例2解：(1)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)，所以眾數(shù)為m＝75.0.前3個小矩形面積和為0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，前4個小矩形面積和為0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，所以中位數(shù)n＝70＋0.5-(2)依題意，60及60以上的分?jǐn)?shù)在第三、四、五、六組，頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估計這次考試的物理成果的及格率是75%.利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分為45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估計這次考試的物理成果的平均分是71分．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)由圖可知眾數(shù)的估計值為65分．設(shè)中位數(shù)為x，又∵第一個小矩形的面積為0.3，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65.∴中位數(shù)的估計值為65分．(2)依題意，平均成果為55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴平均成果的估計值為67分．例3解：(1)在上述80個數(shù)據(jù)中，2000出現(xiàn)了22次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2000.把這80個數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列后，位于中間的數(shù)是2000，2500，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2000+25002這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x＝18000+12000×2+8000×(2)由于大多數(shù)員工的月工資達(dá)不到平均數(shù)3115，明顯用平均數(shù)作為該公司員工月工資的代表值并不合適；眾數(shù)2000及中位數(shù)2250在確定程度上代表了大多數(shù)人的工資水平，較能反映月工資水平的實際狀況．(3)公司總經(jīng)理最關(guān)切的是月工資的總額，所以他關(guān)注的是平均數(shù)；一般員工關(guān)注的是自己的收入在本公司職工群體中的位置，中位數(shù)能幫助職工了解自己的工資收入處于什么樣的水平；應(yīng)聘者最想知道公司發(fā)給大多數(shù)員工的工資數(shù)額，這也是一般應(yīng)聘者將會拿到的工資，因此應(yīng)聘者關(guān)注的是該公司月工資的眾數(shù)．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：(1)一班平均數(shù)：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位數(shù)為33次，33出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；二班平均數(shù)：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位數(shù)是29次，29出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次．(2)運用平均數(shù)表示兩個班的成果更合適．[學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)]1．ABC[由于83出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是83，故A正確；把數(shù)據(jù)按從小到大排列為66，77，83，83，87，96，中間兩個數(shù)為83，83，所以中位數(shù)是83，故B正確；極差是96－66＝30，故C正確；由于平均數(shù)為(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D錯