高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專(zhuān)題41函數(shù)模型的應(yīng)用(原卷版+解析)

專(zhuān)題41函數(shù)模型的應(yīng)用1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2．函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題．(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)．3．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．(3)求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中．可將這些步驟用框圖表示如下：4．?dāng)?shù)據(jù)擬合(1)定義：通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀(guān)察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合．(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；②依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測(cè)這些點(diǎn)所滿(mǎn)足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗(yàn)．題型一函數(shù)模型的選擇問(wèn)題1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型2．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2) D．u＝2t－23．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是()A．豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈，從發(fā)射開(kāi)始到信號(hào)彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系(不計(jì)空氣阻力)B．我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%時(shí)，我國(guó)人口總數(shù)與年份的關(guān)系C．如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么此人騎車(chē)的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系D．信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系4．如圖所示，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿路線(xiàn)A－B－C－M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()5．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？6．據(jù)調(diào)查：人類(lèi)在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據(jù)測(cè)，2015年、2016年、2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個(gè)單位，3個(gè)單位，6個(gè)單位．若用一個(gè)函數(shù)模型每年CO2濃度增加的單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個(gè)單位，請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作模擬函數(shù)較好？7．某投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新產(chǎn)品，市場(chǎng)評(píng)估能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元(包含10萬(wàn)元和1000萬(wàn)元)的投資收益．現(xiàn)公司準(zhǔn)備制訂一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于1萬(wàn)元，同時(shí)不超過(guò)投資收益的20%.(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x)，根據(jù)題目要求，寫(xiě)出f(x)滿(mǎn)足的條件；(2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型：①f(x)＝eq\f(x,150)＋2；②f(x)＝4lgx－2.試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求．題型二利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．某地為了抑制一種有害昆蟲(chóng)的繁殖，引入了一種以該昆蟲(chóng)為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只B．400只C．600只 D．700只2．某公司市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員的個(gè)人月收入與其每月的銷(xiāo)售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷(xiāo)人員沒(méi)有銷(xiāo)售量時(shí)的收入是()A．310元B．300元C．390元 D．280元3．某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入運(yùn)營(yíng)．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的利潤(rùn)y與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖)，則客車(chē)有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過(guò)________年．4．某種型號(hào)的汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離y(km)與剎車(chē)時(shí)的速度x(km/h)的關(guān)系可以用y＝ax2來(lái)描述，已知這種型號(hào)的汽車(chē)在速度為60km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離為bkm.若一輛這種型號(hào)的汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離為3bkm，則這輛車(chē)的行駛速度為_(kāi)_______km/h.5．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售同一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_______萬(wàn)元．6．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15B．40C．25 D．1307．加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”，在特定條件下，可食用率P與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘8．衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積變小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V＝ae－kt，新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)A．若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過(guò)________天．9．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln2≈0.693)()A．1.78B．2.77C．2.89 D．4.4010．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是()A．16小時(shí) B．20小時(shí)C．24小時(shí) D．21小時(shí)11．某公司預(yù)投資100萬(wàn)元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少萬(wàn)元？(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)12．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()A．125B．100C．75 D．5013．我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·Igeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C．10eq\f(7,6)倍 D．lneq\f(7,6)倍14．一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間叫做半衰期)．(精確到0.1年，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)15．醫(yī)院通過(guò)撒某種藥物對(duì)病房進(jìn)行消毒．已知開(kāi)始撒放這種藥物時(shí)，濃度激增，中間有一段時(shí)間，藥物的濃度保持在一個(gè)理想狀態(tài)，隨后藥物濃度開(kāi)始下降．若撒放藥物后3小時(shí)內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示，其中x表示時(shí)間(單位：小時(shí))，f(x)表示藥物的濃度：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x＋400<x≤1，,431<x≤2，,－3x＋492<x≤3.))(1)撒放藥物多少小時(shí)后，藥物的濃度最高？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時(shí)，那么在撒放藥物后，能否達(dá)到消毒要求？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．16．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠(chǎng)設(shè)計(jì)了兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施．方案一：工廠(chǎng)的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)為2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元；方案二：工廠(chǎng)將污水排到污水處理廠(chǎng)統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)，問(wèn)：(1)工廠(chǎng)每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠(chǎng)長(zhǎng)，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)若工廠(chǎng)每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠(chǎng)長(zhǎng)，又該如何決策呢？17．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱(chēng)為半衰期，現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到32℃時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間？18．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷(xiāo)售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))(t∈N*)設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷(xiāo)售金額的最大值，并指出日銷(xiāo)售金額最大是第幾天？19．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0并且m＞0)．(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．題型三自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．據(jù)調(diào)查，某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為2000輛次，其中變速車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車(chē)存車(chē)數(shù)為x輛次，存車(chē)費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋13．一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天定價(jià)20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為()A．20元 B．18元C．16元 D．14元4．某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車(chē)付費(fèi)22.6元，則此次出租車(chē)行駛了________km.5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過(guò)1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．6．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為a，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上年增加p%.(1)寫(xiě)出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式；(2)若使年產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，求p.7．漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為m(m>0)，為了保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值．8．大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚(yú)的游速為V(m/s)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3eq\f(Q,100)成正比，且當(dāng)Q＝900時(shí)，V＝1.(1)求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算一條鮭魚(yú)的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)．9．某化工廠(chǎng)生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不超過(guò)0.1%，若初始含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)10．一片森林原來(lái)的面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？11．某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2017年初，新建了一批有200萬(wàn)平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民居?。捎谙掳肽晔芪飪r(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后廉價(jià)住房的年平均增長(zhǎng)率只能達(dá)到5%.(1)經(jīng)過(guò)x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬(wàn)平方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并結(jié)合圖象，求經(jīng)過(guò)多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬(wàn)平方米？12．某城市2009年底人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫(xiě)出經(jīng)過(guò)x年后，該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算經(jīng)過(guò)多少年以后，該城市人口將超過(guò)120萬(wàn)人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)13．牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知羊群的年增長(zhǎng)量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長(zhǎng)量的最大值．14．某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售員為公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)的10%獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員；當(dāng)銷(xiāo)售員為公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，若超出部分為A萬(wàn)元，則超出部分按2log5(A＋1)獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員，沒(méi)超出部分仍按銷(xiāo)售利潤(rùn)的10%獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員．記獎(jiǎng)金總額為y(單位：萬(wàn)元)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為x(單位：萬(wàn)元)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果銷(xiāo)售員老張獲得5.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他為該公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？15．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用過(guò)氧乙酸熏蒸進(jìn)行消毒．已知藥物在釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a為常數(shù))，如圖所示．(1)從藥物釋放開(kāi)始，寫(xiě)出y與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)教室空氣中的含藥量降低到每立方米0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生可進(jìn)教室，問(wèn)這次消毒多久后學(xué)生才能回到教室．16．諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類(lèi)作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：2006年諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放后基金總額約為19800萬(wàn)美金．設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放后的基金總額(2006年記為f(1)，2007年記為f(2)，…，依次類(lèi)推)．(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2016年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬(wàn)美元”是否為真，并說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：1.03129≈1.32)．17．已知A，B兩地相距150km，某人開(kāi)汽車(chē)以60km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開(kāi)始)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)把車(chē)速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象．18．提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))19．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2015年以來(lái)，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．已知2015年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫(huà)出2015～2018年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；(2)建立一個(gè)能基本反映(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；(3)2019年(即x＝5)因受到某國(guó)對(duì)我國(guó)該產(chǎn)品反傾銷(xiāo)的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2019年的年產(chǎn)量為多少？題型四擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．根據(jù)日常生活A(yù)、B、C、D四個(gè)實(shí)際問(wèn)題，現(xiàn)各收集到的五組數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的散點(diǎn)圖(如圖所示)，能夠構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題且擬合度較高的是()2．已測(cè)得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)擬合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又測(cè)得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2)，則選用________作為擬合模型較好．3．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震．地震專(zhuān)家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量．地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖(如圖)可知a的值等于________．(取lg2≈0.3進(jìn)行計(jì)算)4．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170體重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型的解析式；(2)若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？5．18世紀(jì)70年代，德國(guó)科學(xué)家提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽(yáng)的平均距離(天文單位)如下表：他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測(cè)在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星，后來(lái)果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物，請(qǐng)你推測(cè)谷神星的位置，在土星外面的行星與太陽(yáng)的距離大約是多少？6．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x元與日銷(xiāo)售量y件之間有如下關(guān)系(見(jiàn)下表)：(1)在所給的坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并確定y與x的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)；(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷(xiāo)售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)？7．某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷(xiāo)A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表：投資A種商品金額(萬(wàn)元)123456獲純利潤(rùn)(萬(wàn)元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬(wàn)元)123456獲純利潤(rùn)(萬(wàn)元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算．請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn)(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．專(zhuān)題41函數(shù)模型的應(yīng)用1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2．函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題．(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)．3．用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．(3)求模：求解函數(shù)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中．可將這些步驟用框圖表示如下：4．?dāng)?shù)據(jù)擬合(1)定義：通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀(guān)察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合．(2)數(shù)據(jù)擬合的步驟①以所給數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中繪出各點(diǎn)；②依據(jù)點(diǎn)的整體特征，猜測(cè)這些點(diǎn)所滿(mǎn)足的函數(shù)形式，設(shè)其一般形式；③取特殊數(shù)據(jù)代入，求出函數(shù)的具體解析式；④做必要的檢驗(yàn)．題型一函數(shù)模型的選擇問(wèn)題1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是()x45678910y15171921232527A.一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型[解析]自變量每增加1函數(shù)值增加2，函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型．故選A.2．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2) D．u＝2t－2[解析]可以先畫(huà)出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀(guān)地認(rèn)識(shí)變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)它，散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖可知，圖象不是直線(xiàn)，排除選項(xiàng)D；圖象不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征，排除選項(xiàng)A；當(dāng)t＝3時(shí)，2t－2＝23－2＝6，排除B，故選C.3．下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)y＝kax(k∈R，a>0且a≠1)的模型的是()A．豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈，從發(fā)射開(kāi)始到信號(hào)彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系(不計(jì)空氣阻力)B．我國(guó)人口年自然增長(zhǎng)率為1%時(shí)，我國(guó)人口總數(shù)與年份的關(guān)系C．如果某人ts內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1km，那么此人騎車(chē)的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系D．信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系[解析]A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；C中的函數(shù)模型是反比例函數(shù)；D中的函數(shù)模型是一次函數(shù)．故選B．4．如圖所示，點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，M是CD的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿路線(xiàn)A－B－C－M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()[解析]由題意得，當(dāng)0<x≤1時(shí)，S△APM＝eq\f(1,2)×1×x＝eq\f(1,2)x；當(dāng)1<x≤2時(shí)，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1－eq\f(1,2)×1×(x－1)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)；當(dāng)2<x<eq\f(5,2)時(shí)，S△APM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4).結(jié)合各選項(xiàng)可知，A選項(xiàng)符合題意．5．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？[解析]借助工具作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)，觀(guān)察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線(xiàn)y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．6．據(jù)調(diào)查：人類(lèi)在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據(jù)測(cè)，2015年、2016年、2017年大氣中的CO2濃度分別比2014年增加了1個(gè)單位，3個(gè)單位，6個(gè)單位．若用一個(gè)函數(shù)模型每年CO2濃度增加的單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r為常數(shù))或函數(shù)g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c為常數(shù))，又知2018年大氣中的CO2濃度比2014年增加了16.5個(gè)單位，請(qǐng)問(wèn)用以上哪個(gè)函數(shù)作模擬函數(shù)較好？[解析]若以f(x)＝px2＋qx＋r作模擬函數(shù)，則依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝3，,9p＋3q＋r＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝\f(1,2)，,r＝0.))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.若以g(x)＝a·bx＋c作模擬函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝3，,ab3＋c＝6.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,3)，,b＝\f(3,2)，,c＝－3.))∴g(x)＝eq\f(8,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－3.利用f(x)，g(x)對(duì)2018年CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為f(4)＝10單位，g(4)＝10.5單位，∵|f(4)－16.5|>|g(4)－16.5|，故g(x)＝eq\f(8,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－3作模擬函數(shù)與2018年的實(shí)際數(shù)據(jù)較為接近，用g(x)＝eq\f(8,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－3作模擬函數(shù)較好.7．某投資公司擬投資開(kāi)發(fā)某種新產(chǎn)品，市場(chǎng)評(píng)估能獲得10萬(wàn)元～1000萬(wàn)元(包含10萬(wàn)元和1000萬(wàn)元)的投資收益．現(xiàn)公司準(zhǔn)備制訂一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨投資收益x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于1萬(wàn)元，同時(shí)不超過(guò)投資收益的20%.(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型為f(x)，根據(jù)題目要求，寫(xiě)出f(x)滿(mǎn)足的條件；(2)下面是公司預(yù)設(shè)的兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)模型：①f(x)＝eq\f(x,150)＋2；②f(x)＝4lgx－2.試分別分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司的要求．[解析](1)由題意，知公司對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)方案的基本要求是：當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤eq\f(x,5)恒成立．(2)①對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝eq\f(x,150)＋2：當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且f(x)≥f(10)＝eq\f(31,15)≥1，即f(x)≥1恒成立，而若使函數(shù)f(x)＝eq\f(x,150)＋2≤eq\f(x,5)在[10,1000]上恒成立，則29x≥300在[10,1000]上恒成立．又當(dāng)x＝10時(shí)，29x＝29×10＝290<300，所以f(x)≤eq\f(x,5)在[10,1000]上不恒成立．故該函數(shù)模型不符合公司的要求．②對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝4lgx－2：當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且f(x)≥f(10)＝4lg10－2＝2≥1，所以f(x)≥1在[10,1000]上恒成立．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)＝4lgx－2和y＝eq\f(x,5)的圖象，如圖所示．由圖象可知當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，4lgx－2≤eq\f(x,5)恒成立．故該函數(shù)模型符合公司的要求．題型二利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．某地為了抑制一種有害昆蟲(chóng)的繁殖，引入了一種以該昆蟲(chóng)為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到()A．300只B．400只C．600只 D．700只[解析]將x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7時(shí)，y＝100log2(7＋1)＝300.2．某公司市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員的個(gè)人月收入與其每月的銷(xiāo)售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷(xiāo)人員沒(méi)有銷(xiāo)售量時(shí)的收入是()A．310元B．300元C．390元 D．280元[解析]由圖象知，該一次函數(shù)過(guò)(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)＝500x＋300(x≥0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝300.3．某汽車(chē)運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入運(yùn)營(yíng)．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車(chē)營(yíng)運(yùn)的利潤(rùn)y與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系(如圖)，則客車(chē)有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過(guò)________年．[解析]設(shè)二次函數(shù)y＝a(x－6)2＋11，又過(guò)點(diǎn)(4,7)，所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.解y≥0，得6－eq\r(11)≤x≤6＋eq\r(11)，所以有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間為2eq\r(11).又6<2eq\r(11)<7，所以有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過(guò)7年．4．某種型號(hào)的汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離y(km)與剎車(chē)時(shí)的速度x(km/h)的關(guān)系可以用y＝ax2來(lái)描述，已知這種型號(hào)的汽車(chē)在速度為60km/h時(shí)，緊急剎車(chē)后滑行的距離為bkm.若一輛這種型號(hào)的汽車(chē)緊急剎車(chē)后滑行的距離為3bkm，則這輛車(chē)的行駛速度為_(kāi)_______km/h.[解析]由題意得a×602＝b，解得a＝eq\f(b,3600)，所以y＝eq\f(b,3600)x2.因?yàn)閥＝3b，所以eq\f(b,3600)x2＝3b，解得x＝－60eq\r(3)(舍去)或x＝60eq\r(3)，所以這輛車(chē)的行駛速度是60eq\r(3)km/h.5．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售同一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_______萬(wàn)元．[解析]設(shè)甲地銷(xiāo)售x輛，則乙地銷(xiāo)售(15－x)輛，所以總利潤(rùn)為S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋45.606(x∈N*)．所以當(dāng)x＝10時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值，Smax＝45.6(萬(wàn)元)．6．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，x∈N，,2x＋10，10＜x＜100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15B．40C．25 D．130[解析]若4x＝60，則x＝15＞10，不符合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿(mǎn)足題意；若1.5x＝60，則x＝40＜100，不符合題意．故擬錄用25人．7．加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱(chēng)為“可食用率”，在特定條件下，可食用率P與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘[解析]依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).所以當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時(shí)，P取得最大值．即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．8．衣柜里的樟腦丸隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積變小，剛放進(jìn)的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為V＝ae－kt，新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)A．若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過(guò)________天．[解析]由題意，得eq\f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq\f(2,3).令ae－kt＝eq\f(8,27)a，即e－kt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝(e－25k)3＝e－75k，即需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為75.9．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把溫度是90℃的物體，放在10℃的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是50℃，那么t的值約等于(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.099，ln2≈0.693)()A．1.78B．2.77C．2.89 D．4.40[解析]由題意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq\f(1,2)，即－0.25t＝lneq\f(1,2)＝－ln2＝－0.693，解得t≈2.77.10．某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是()A．16小時(shí) B．20小時(shí)C．24小時(shí) D．21小時(shí)[解析]由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(192＝eb，,48＝e22k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2).))當(dāng)x＝33時(shí)，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小時(shí))．11．某公司預(yù)投資100萬(wàn)元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少萬(wàn)元？(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)[解析]按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合計(jì)150萬(wàn)元；按乙方案，第一年本息合計(jì)100×1.09，第二年本息合計(jì)100×1.092，…，5年后本息合計(jì)100×1.095≈153.86萬(wàn)元．故按乙方案投資5年可多得利息3.86萬(wàn)元，更有利.12．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()A．125B．100C．75 D．50[解析]由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up25(eq\f(1,50)).設(shè)經(jīng)過(guò)t1天后，一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up25(eq\f(1,50)t1)，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.13．我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求．音量大小的單位是分貝(dB)，對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·Igeq\f(I,I0)(其中I0是人耳能聽(tīng)到的聲音的最低聲波強(qiáng)度)，設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的()A.eq\f(7,6)倍B．10倍C．10eq\f(7,6)倍 D．lneq\f(7,6)倍[解析]依題意可知，η1＝10·lgeq\f(I1,I0)，η2＝10·lgeq\f(I2,I0)，所以η1－η2＝10·lgeq\f(I1,I0)－10·lgeq\f(I2,I0)，則1＝lgI1－lgI2，所以eq\f(I1,I2)＝10.故選B.14．一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．(1)求t年后，這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間叫做半衰期)．(精確到0.1年，已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[解析](1)最初的質(zhì)量為500g.經(jīng)過(guò)1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；經(jīng)過(guò)2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250，則0.9t＝0.5，所以t＝eq\f(lg0.5,lg0.9)＝eq\f(－lg2,2lg3－1)≈6.6(年)，即這種放射性元素的半衰期約為6.6年．15．醫(yī)院通過(guò)撒某種藥物對(duì)病房進(jìn)行消毒．已知開(kāi)始撒放這種藥物時(shí)，濃度激增，中間有一段時(shí)間，藥物的濃度保持在一個(gè)理想狀態(tài)，隨后藥物濃度開(kāi)始下降．若撒放藥物后3小時(shí)內(nèi)的濃度變化可用下面的函數(shù)表示，其中x表示時(shí)間(單位：小時(shí))，f(x)表示藥物的濃度：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x＋400<x≤1，,431<x≤2，,－3x＋492<x≤3.))(1)撒放藥物多少小時(shí)后，藥物的濃度最高？能維持多長(zhǎng)時(shí)間？(2)若需要藥物濃度在41.75以上消毒1.5小時(shí)，那么在撒放藥物后，能否達(dá)到消毒要求？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．[解析](1)當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)＝－x2＋4x＋40＝－(x－2)2＋44，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，其最大值為f(1)＝43；f(x)在(2,3]上單調(diào)遞減，故當(dāng)2<x≤3時(shí)，f(x)<－3×2＋49＝43.因此，撒放藥物1小時(shí)后，藥物的濃度最高為43，并維持1小時(shí)．(2)當(dāng)0<x≤1時(shí)，令f(x)＝41.75，即－(x－2)2＋44＝41.75，解得x＝3.5(舍去)或x＝0.5；當(dāng)2<x≤3時(shí)，令f(x)＝41.75，即－3x＋49＝41.75，解得x≈2.42.因此藥物濃度在41.75以上的時(shí)間約為2.42－0.5＝1.92小時(shí)，∴撒放藥物后，能夠達(dá)到消毒要求．16．某工廠(chǎng)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠(chǎng)設(shè)計(jì)了兩套方案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施．方案一：工廠(chǎng)的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)為2元，并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元；方案二：工廠(chǎng)將污水排到污水處理廠(chǎng)統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi)，問(wèn)：(1)工廠(chǎng)每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠(chǎng)長(zhǎng)，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；(2)若工廠(chǎng)每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠(chǎng)長(zhǎng)，又該如何決策呢？[解析]設(shè)工廠(chǎng)每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，選擇方案一的利潤(rùn)為y1，選擇方案二的利潤(rùn)為y2，由題意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)當(dāng)x＝3000時(shí)，y1＝42000，y2＝54000，∵y1<y2，∴應(yīng)選擇方案二處理污水．(2)當(dāng)x＝6000時(shí)，y1＝114000，y2＝108000，∵y1>y2，∴應(yīng)選擇方案一處理污水．17．物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(\f(t,h))，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱(chēng)為半衰期，現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到32℃時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間？[解析]先設(shè)定半衰期h，由題意知40－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(20,h))，解之，得h＝10，故原式可化簡(jiǎn)為T(mén)－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，當(dāng)T＝32時(shí)，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up25(eq\f(t,10))＝eq\f(8,64)＝eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴t＝30.因此，需要30min，可降溫到32℃.18．某種商品在近30天內(nèi)每件的銷(xiāo)售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25，,－t＋10025≤t≤30.))(t∈N*)設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求這種商品的日銷(xiāo)售金額的最大值，并指出日銷(xiāo)售金額最大是第幾天？[解析]設(shè)日銷(xiāo)售金額為y(元)，則y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25，,t2－140t＋400025≤t≤30.))(t∈N*)①當(dāng)0<t<25且t∈N*時(shí)，y＝－(t－10)2＋900，所以當(dāng)t＝10時(shí)，ymax＝900(元)．②當(dāng)25≤t≤30且t∈N*時(shí)，y＝(t－70)2－900，所以當(dāng)t＝25時(shí)，ymax＝1125(元)．結(jié)合①②得ymax＝1125(元)．因此，這種商品日銷(xiāo)售額的最大值為1125元，且在第25天時(shí)日銷(xiāo)售金額達(dá)到最大．19．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0并且m＞0)．(1)如果m＝2，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍．[解析](1)若m＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(1,2t)))，當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋eq\f(1,2t)＝eq\f(5,2)，令2t＝x≥1，則x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)，即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝eq\f(1,2)(舍去)，此時(shí)t＝1.所以經(jīng)過(guò)1分鐘，物體的溫度為5攝氏度．(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立．亦m·2t＋eq\f(2,2t)≥2恒成立，亦即m≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2t)－\f(1,22t)))恒成立．令eq\f(1,2t)＝y(tǒng)，則0<y≤1，所以m≥2(y－y2)，由于y－y2≤eq\f(1,4)，所以m≥eq\f(1,2).因此，當(dāng)物體的溫度總不低于2攝氏度時(shí)，m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).題型三自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題1．據(jù)調(diào)查，某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為2000輛次，其中變速車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車(chē)存車(chē)數(shù)為x輛次，存車(chē)費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)[解析]由題意知，變速車(chē)存車(chē)數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．2．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1[解析]分裂一次后由2個(gè)變成2×2＝22個(gè)，分裂兩次后4×2＝23個(gè)，……，分裂x次后y＝2x＋1個(gè)．3．一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天定價(jià)20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為()A．20元 B．18元C．16元 D．14元[解析]每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元)．4．某市出租車(chē)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車(chē)付費(fèi)22.6元，則此次出租車(chē)行駛了________km.[解析][設(shè)出租車(chē)行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6，解得x＝9.5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過(guò)1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．[解析]設(shè)至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．6．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為a，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上年增加p%.(1)寫(xiě)出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式；(2)若使年產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，求p.[解析](1)設(shè)年產(chǎn)量為y，年數(shù)為x，則y＝a(1＋p%)x，定義域?yàn)閧x|0≤x≤m，且x∈N*}．(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.7．漁場(chǎng)中魚(yú)群的最大養(yǎng)殖量為m(m>0)，為了保證魚(yú)群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于m，以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知魚(yú)群的年增長(zhǎng)量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)求魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值．[解析](1)根據(jù)題意知，空閑率是eq\f(m－x,m)，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx·eq\f(m－x,m)，0<x<m.(2)由(1)知，y＝kx·eq\f(m－x,m)＝－eq\f(k,m)x2＋kx＝－eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(mk,4)，0<x<m.則當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(mk,4).所以，魚(yú)群年增長(zhǎng)量的最大值為eq\f(mk,4).8．大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚(yú)的游速為V(m/s)，鮭魚(yú)的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3eq\f(Q,100)成正比，且當(dāng)Q＝900時(shí)，V＝1.(1)求出V關(guān)于Q的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算一條鮭魚(yú)的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量的單位數(shù)．[解析](1)設(shè)V＝k·log3eq\f(Q,100)，∵當(dāng)Q＝900時(shí)，V＝1，∴1＝k·log3eq\f(900,100)，∴k＝eq\f(1,2)，∴V關(guān)于Q的函數(shù)解析式為V＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)令V＝1.5，則1.5＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)，∴Q＝2700，即一條鮭魚(yú)的游速是1.5m/s時(shí)耗氧量為2700個(gè)單位．9．某化工廠(chǎng)生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不超過(guò)0.1%，若初始含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，問(wèn)至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)[解析]設(shè)至少應(yīng)過(guò)濾x次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則第一次過(guò)濾后雜質(zhì)剩余量為2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))，第二次過(guò)濾后雜質(zhì)剩余量為2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2，……第x次過(guò)濾后雜質(zhì)剩余量為2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))x≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≤eq\f(1,20).①對(duì)①式兩邊取對(duì)數(shù)，得x(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，∴x≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4.據(jù)實(shí)際情況知x∈N，∴x≥8，即至少要過(guò)濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．10．一片森林原來(lái)的面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？[解析](1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年后森林剩余面積為原來(lái)的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，則eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．(3)設(shè)從今年開(kāi)始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，則eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．11．某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2017年初，新建了一批有200萬(wàn)平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民居?。捎谙掳肽晔芪飪r(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后廉價(jià)住房的年平均增長(zhǎng)率只能達(dá)到5%.(1)經(jīng)過(guò)x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬(wàn)平方米，求y＝f(x)的表達(dá)式，并求此函數(shù)的定義域；(2)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并結(jié)合圖象，求經(jīng)過(guò)多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬(wàn)平方米？[解析](1)經(jīng)過(guò)1年后，廉價(jià)住房面積為200＋200×5%＝200(1＋5%)；經(jīng)過(guò)2年后為200(1＋5%)2；…經(jīng)過(guò)x年后，廉價(jià)住房面積為200(1＋5%)x，∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．(2)作函數(shù)y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的圖象，如圖所示．作直線(xiàn)y＝300，與函數(shù)y＝200(1＋5%)x的圖象交于A(yíng)點(diǎn)，則A(x0,300)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y＝300時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間x的值．因?yàn)?<x0<9，則取x0＝9，即經(jīng)過(guò)9年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬(wàn)平方米．12．某城市2009年底人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年平均增長(zhǎng)率為1.2%，試解答以下問(wèn)題：(1)寫(xiě)出經(jīng)過(guò)x年后，該城市人口總數(shù)y(萬(wàn)人)與x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬(wàn)人)；(3)計(jì)算經(jīng)過(guò)多少年以后，該城市人口將超過(guò)120萬(wàn)人(精確到1年)．(參考數(shù)據(jù)：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005)[解析](1)2009年底人口總數(shù)為100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)1年，2010年底人口總數(shù)為100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；經(jīng)過(guò)2年，2011年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；經(jīng)過(guò)3年，2012年底人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；……所以經(jīng)過(guò)x年后，該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)x，所以y＝100×(1＋1.2%)x，x∈N*.(2)10年后該城市人口總數(shù)為100×(1＋1.2%)10≈112.7(萬(wàn)人)．(3)由題意得100×(1＋1.2%)x＞120，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得lg[100×(1＋1.2%)x]＞lg120，整理得2＋xlg1.012＞2＋lg1.2，得x≥16，所以大約16年以后，該城市人口將超過(guò)120萬(wàn)人.13．牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知羊群的年增長(zhǎng)量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長(zhǎng)量的最大值．[解析](1)根據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實(shí)際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)對(duì)原二次函數(shù)配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，即當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，y取得最大值eq\f(km,4).14．某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售員為公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)的10%獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員；當(dāng)銷(xiāo)售員為公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，若超出部分為A萬(wàn)元，則超出部分按2log5(A＋1)獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員，沒(méi)超出部分仍按銷(xiāo)售利潤(rùn)的10%獎(jiǎng)勵(lì)給該銷(xiāo)售員．記獎(jiǎng)金總額為y(單位：萬(wàn)元)，銷(xiāo)售利潤(rùn)為x(單位：萬(wàn)元)．(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果銷(xiāo)售員老張獲得5.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他為該公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？[解析](1)由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x，0＜x≤15，,1.5＋2log5x－14，x＞15.))(2)∵x∈(0,15]時(shí)，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.∴老張為該公司賺取的銷(xiāo)售利潤(rùn)是39萬(wàn)元．15．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用過(guò)氧乙酸熏蒸進(jìn)行消毒．已知藥物在釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－a(a為常數(shù))，如圖所示．(1)從藥物釋放開(kāi)始，寫(xiě)出y與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)教室空氣中的含藥量降低到每立方米0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生可進(jìn)教室，問(wèn)這次消毒多久后學(xué)生才能回到教室．[解析](1)由圖象可知，當(dāng)0≤t≤0.1時(shí)，y＝10t；當(dāng)t＝0.1時(shí)，由1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))0.1－a，得a＝0.1，∴當(dāng)t>0.1時(shí)，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1.))(2)由題意可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))t－0.1<0.25，解得t>0.6，即這次消毒0.6×60＝36(分鐘)后，學(xué)生才能進(jìn)教室.16．諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放方式為：每年一發(fā)，把獎(jiǎng)金總額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)給分別在6項(xiàng)(物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平)為人類(lèi)作出最有益貢獻(xiàn)的人，每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息作基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年增加．假設(shè)基金平均年利率為r＝6.24%.資料顯示：2006年諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放后基金總額約為19800萬(wàn)美金．設(shè)f(x)表示第x(x∈N*)年諾貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金發(fā)放后的基金總額(2006年記為f(1)，2007年記為f(2)，…，依次類(lèi)推)．(1)用f(1)表示f(2)與f(3)，并根據(jù)所求結(jié)果歸納出函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)試根據(jù)f(x)的表達(dá)式判斷網(wǎng)上一則新聞“2016年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)150萬(wàn)美元”是否為真，并說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：1.03129≈1.32)．[解析](1)由題意，知f(2)＝f(1)×(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(1)×6.24%＝f(1)×(1＋3.12%)，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)－eq\f(1,2)f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2，∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x－1(x∈N*)．(2)2015年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額為f(10)＝19800(1＋3.12%)9≈26136，故2016年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金均為eq\f(1,6)×eq\f(1,2)f(10)×6.24%≈136(萬(wàn)美元)，與150萬(wàn)美元相比少了約14萬(wàn)美元，所以是假新聞．17．已知A，B兩地相距150km，某人開(kāi)汽車(chē)以60km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50km/h的速度返回A地．(1)把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開(kāi)始)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)把車(chē)速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象．[解析](1)①汽車(chē)由A地到B地行駛th所走的距離s＝60t(0≤t≤2.5)．②汽車(chē)在B地停留1小時(shí)，則汽車(chē)到A地的距離s＝150(2.5＜t≤3.5)．③由B地返回A地，則汽車(chē)到A地的距離s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．綜上，s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t0≤t≤2.5，,1502.5＜t≤3.5，