高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))第一章空間向量與立體幾何單元檢測(cè)(原卷版+解析)

第一章空間向量與立體幾何單元檢測(cè)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C． D．2．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°3．已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．4．已知為三維空間中的非零向量，下列說(shuō)法不正確的是（）A．與共面的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)B．與垂直的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)C．與平行的單位向量只有一個(gè)D．與同向的單位向量只有一個(gè)5．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．6．直角梯形中，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿折疊到位置，使得二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知單位向量與x，y軸的夾角分別為60°，60°，與z軸的夾角為鈍角，向量，則（

）A． B． C．1 D．18．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．已知，分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．?l1//l2 B．⊥?l1⊥l2C．?α//β D．⊥?α⊥β10．已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量與向量共線C．向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為D．向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為11．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使A到，連接，，且，平面與平面的交線為l，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面平面 B．C．ВС與平面所成角的余弦值為 D．二面角的余弦值為12．設(shè)正六面體的棱長(zhǎng)為2，下列命題正確的有（

）A．B．二面角的正切值為C．若，則正六面體內(nèi)的P點(diǎn)所形成的面積為D．設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，則二面角的正弦值的最小值為三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)是空間向量的單位正交基底，，，則向量與的位置關(guān)系是________．14．如圖，已知一個(gè)的二面角的棱上有兩點(diǎn)和，且和分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于的線段．又知，，，則求CD的長(zhǎng)為_(kāi)__．15．如圖所示，在平行六面體中是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是______.16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則_________.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．已知，，計(jì)算：(1)，，，；(2)．18．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，求．19．如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，，.(1)證明:；(2)若，求二面角的余弦值.20．在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.21．如圖，已知四棱錐平面，(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.22．如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．第一章空間向量與立體幾何單元檢測(cè)本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，化簡(jiǎn)下列各式的結(jié)果為的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】可先畫(huà)出正方體，根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則計(jì)算各式，再進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，，所以A錯(cuò)誤；，所以B正確；，所以C錯(cuò)誤；，所以D錯(cuò)誤；故選：B．2．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為直線與平面所成的角，從而求出結(jié)果．【詳解】解：依題意，如圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，∴即為直線與平面所成的角，又∵，，∴為等腰直角三角形，∴，故選：A．3．已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A4．已知為三維空間中的非零向量，下列說(shuō)法不正確的是（）A．與共面的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)B．與垂直的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)C．與平行的單位向量只有一個(gè)D．與同向的單位向量只有一個(gè)【答案】C【分析】利用向量的定義，有大小，有方向兩個(gè)方面進(jìn)行判斷，即可確定每個(gè)選項(xiàng)的正確性．【詳解】解：與共面的單位向量，方向可任意，所以有無(wú)數(shù)個(gè)，故A正確；與垂直的單位向量，方向可任意，所以有無(wú)數(shù)個(gè)，故B正確；與平行的單位向量，方向有兩個(gè)方向，故不唯一，故C錯(cuò)誤；與同向的單位向量，方向唯一，故只有一個(gè)，故D正確．故選：C．5．如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在，上，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則用，，表示出，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】解：，，．又，，，所以，，，所以，所以.故選：A．6．直角梯形中，是邊的中點(diǎn)，將三角形沿折疊到位置，使得二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求解即可【詳解】建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得，，所以，所以.故選：D7．已知單位向量與x，y軸的夾角分別為60°，60°，與z軸的夾角為鈍角，向量，則（

）A． B． C．1 D．1【答案】C【分析】設(shè)向量與z軸正向的夾角為，由cos260°+cos260°+cos2α＝1，求出的大小，再利用數(shù)量積運(yùn)算求解即可．【詳解】解：在邊長(zhǎng)為1的正方體上作空間直角坐標(biāo)系如圖，分別是軸上的單位向量，設(shè)單位向量與z軸正向的夾角為，∵向量與x軸正向的夾角為60°，與y軸正向的夾角為60°，∴cos260°+cos260°+cos2＝1，解得cos2＝1，∵與z軸的夾角為鈍角，∴cos，∴＝135°，∵，則=2×1×11×1×（）＝1，故選：C．8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿對(duì)角線AC將△ABC折起，若平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，則B與D之間距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，利用向量數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】過(guò)B和D分別作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵，∴BE＝DF，則AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為，∴，∵，∴，則||，即B與D之間距離為，故選：C．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得09．已知，分別為直線l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．?l1//l2 B．⊥?l1⊥l2C．?α//β D．⊥?α⊥β【答案】ABCD【分析】根據(jù)方向向量的關(guān)系和法向量的關(guān)系可判斷線線關(guān)系和面面關(guān)系，即可得到答案．【詳解】解：若兩條直線不重合，則空間中直線與直線平行（或垂直）的充要條件是它們的方向向量平行（或垂直），故選項(xiàng)A，B正確；若兩個(gè)平面不重合，則空間中面面平行（或垂直）的充要條件是它們的法向量平行（或垂直），故選項(xiàng)C，D正確．故選：ABCD．10．已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．向量與向量共線C．向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為D．向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為【答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對(duì)稱、面對(duì)稱的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；B：因?yàn)?，所以向量與向量共線，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于軸對(duì)稱的向量為，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：設(shè)的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以該向量的終點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以向量關(guān)于平面對(duì)稱的向量為，故選：ABC11．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠BAD=60°，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使A到，連接，，且，平面與平面的交線為l，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面平面 B．C．ВС與平面所成角的余弦值為 D．二面角的余弦值為【答案】ABD【分析】A.利用面面垂直的判定定理判斷；B.利用線面平面的判定定理和性質(zhì)定理判斷；C、D.利用空間向量夾角進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】在菱形ABCD中，E為邊AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以ED⊥DC，因?yàn)锳′D⊥DC，，所以平面A′DE，因?yàn)?，所以平面A′DE，因?yàn)槠矫鍭′BE，所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正確；因?yàn)?，平面A′BE，平面A′BE，所以平面A′BE，又平面A′BE與平面A′CD的交線為l，所以CD∥l，故B正確；由A知，平面A′DE，則A′E，又菱形ABCD邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60°，E為邊AB的中點(diǎn)，所以A′E，又BE∩DE=E，所以A′E平面BED,，以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED,EA′為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，由上可知：平面A′DE，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，所以有，因此選項(xiàng)C不正確；顯然平面的一個(gè)法向量為：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：則有則，即，所以所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD12．設(shè)正六面體的棱長(zhǎng)為2，下列命題正確的有（

）A．B．二面角的正切值為C．若，則正六面體內(nèi)的P點(diǎn)所形成的面積為D．設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)，則二面角的正弦值的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)題意得到為二面角的平面角，在直角中，可判定B正確；由空間向量的共面定理，得到點(diǎn)所形成的圖形為正，可判定C正確；根據(jù)二面角平面角的定義和求法，可判定D正確.【詳解】在正六面體中，已知棱長(zhǎng)為2，如圖所示，對(duì)于A中，由，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，在正六面體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，可得，又因?yàn)椋?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，在直角中，可得，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)榍?，由空間向量的共面定理，可得點(diǎn)四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)所形成的圖形為正，其中，所以，即正六面體內(nèi)的點(diǎn)所形成的面積為，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，可得平面，因?yàn)槠矫妫?，過(guò)點(diǎn)作，可得，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以為的平面角，在直角中，，?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)二面角的正弦值取得最小值，最小值為，所以D正確.故選：BCD.三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)是空間向量的單位正交基底，，，則向量與的位置關(guān)系是________．【答案】【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算易得，然后可得.【詳解】由題知因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?4．如圖，已知一個(gè)的二面角的棱上有兩點(diǎn)和，且和分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于的線段．又知，，，則求CD的長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算法則得到，根據(jù)題設(shè)條件和向量的數(shù)量積、向量模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)?，，且二面角的平面角為，可得，，且，又因?yàn)楹头謩e是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于的線段，所以，所以.故答案為：.15．如圖所示，在平行六面體中是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，用表示向量的結(jié)果是______.【答案】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解．【詳解】是的中點(diǎn)，．故答案為：．16．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，分別在棱，，上，且滿足，，，是平面，平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，則_________.【答案】##1.2【分析】根據(jù)共面定理列方程組可解.【詳解】如圖所示，正方體中，，，，A，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，，解得，；．故答案為：四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17．已知，，計(jì)算：(1)，，，；(2)．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）利用空間向量模長(zhǎng)公式，及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）利用空間向量的坐標(biāo)夾角公式進(jìn)行求解.(1)，，，，所以(2)18．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，．(1)證明：、、、四點(diǎn)共面．(2)若，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）在上取一點(diǎn)，使得，連接、，根據(jù)平行六面體的性質(zhì)、，即可得到，即可得證；（2）結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.（1）證明：在上取一點(diǎn)，使得，連接、，在平行六面體中，，，，且，且，所以四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，所以，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，、、、四點(diǎn)共面．（2）解：因?yàn)椋?，，，?9．如圖，三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，，.(1)證明:；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可得平面，平面，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)二面角的向量求法即得.（1）∵點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上，∴平面，又平面，∴，∵，，平面，∴平面，平面，∴，∵，四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形，故，又，平面，∴平面，平面，∴；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，∴，設(shè)平面的法向量，則，取，則，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，故，所以二面角的余弦值?20．在四棱錐中，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，則，根據(jù)題意平面，則，利用線面垂