高考數(shù)學二輪復習 基礎回扣（一）集合常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等式學案 理-人教版高三全冊數(shù)學學案

基礎回扣(一)集合常用邏輯用語、算法、復數(shù)、推理與證明、不等

式

［要點回扣］

1.集合元素的三個特征

集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關集合的問題時，尤其要注意元素

的互異性.

［對點專練1］集合［={a,6,c}中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那

么這個三角形一定不是()

A.等腰三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

［答案］A

2.集合的表示方法

描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義一一抓住集合的代表元素.如：{x|y=

f(x)}一—函數(shù)的定義域：{y"(x)}一—函數(shù)的值域；{(>,力卜=f(x)}一—函數(shù)圖象上的

點集.

［對點專練2］集合4={x|x+尸1},B=((X,y)|x—尸1),則/C8=.

［答案］。

3.空集問題

遇至U408=0時，你是否注意到“極端”情況：力=。或8=0；同樣在應用條件/fU8=

8田406={0忙6時，不要忽略4=。的情況.

［對點專練3］設集合/f=3V—5x+6=0},集合6={x|加x—1=0},若則

實數(shù)勿組成的集合是_______.

洛案於去5

4.子集個數(shù)的計算

對于含有〃個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次

為2"2"—1,2"—1,2"—2.

［對點專練4］滿足{1,2}，仁(1,2,3,4,5)的集合M有個.

［答案］7

5.集合中的數(shù)形結合

注重數(shù)形結合在集合問題中的應用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數(shù)軸來

運算，求解時要特別注意端點值.

［對點專練5］已知全集/=R,集合A={x|y=-\ll—x},集合B={x10WxW2},則（。4）

U6等于（）

A.［1,+8）B.（1,+°0）

C.［0,+°°）D.（0,+°°）

［答案］C

6.否命題和命題否定的區(qū)別

“否命題”是對原命題“若0,則/既否定其條件，又否定其結論；而“命題。的否

定”即：非°,只是否定命題p的結論.

［對點專練6］已知實數(shù)a、b,若|a［+?|=0,則a=6.該命題的否命題和命題的否

定分別是.

［答案］否命題：已知實數(shù)a、6.若|a|+|引H0,則aW6；命題的否定：已知實數(shù)a、

b,若|a|+?|=0,則

7.充分、必要條件的判斷

的充分不必要條件是6”是指方能推出4且/不能推出氏而'"是6的充分不必

要條件”則是指A能推出B,且6不能推出A.

［對點專練7］設集合材={1,2},{a2},則“a=l”是一仁，的條件.

［答案］充分不必要

8.含有量詞的命題的否定

要注意全稱命題的否定是特稱命題（存在性命題），特稱命題（存在性命題）的否定是全稱

命題.如對“a,6都是偶數(shù)”的否定應該是“a,6不都是偶數(shù)”，而不應該是“a,6都是

奇數(shù)”.求參數(shù)范圍時，常與補集思想聯(lián)合應用，即體現(xiàn)了正難則反思想.

［對點專練8］若存在aC［1,3］,使得不等式ax2+（a-2）*—2>0成立，則實數(shù)x的取

值范圍是.

［答案］（一8,—l）U仔，+8）

9.集合、區(qū)間的規(guī)范應用

在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不

等式表示.

［對點專練9］不等式-3產(chǎn)+5矛―2>0的解集為

［答案］(I,1)

10.算法

(1)首先要弄清楚這兩個變量的變化規(guī)律，其次要看清楚循環(huán)結束的條件，這個條件由

輸出要求所決定，看清楚是滿足條件時結束還是不滿足條件時結束.

(2)條件結構的程序框圖中對判斷條件的分類是逐級進行的，其中沒有遺漏也沒有重復,

在解題時對判斷條件要仔細辨別，看清楚條件和函數(shù)的對應關系，對條件中的數(shù)值不要漏掉

也不要重復了端點值.

［對點專練10］執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出a的值為________.

［答案］341

11.復數(shù)的概念

在復數(shù)中，對實數(shù)、純虛數(shù)、模、共輾復數(shù)的考查是重點.

［對點專練11］若復數(shù)z=lg(/一)-2)+i?lg(/?/+30+3)為實數(shù)，則實數(shù)卬的值為

［答案］一2

12.復數(shù)的運算法則

復數(shù)的運算法則與實數(shù)運算法則相同，主要是除法法則的運用.

［對點專練12］已知復數(shù)2=t詈，Z是Z的共輾復數(shù)，則|Z|=

［答案］1

13.合情推理與演繹推理

合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等），實驗和實踐的結

果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結果的推理過程，歸納和類比是合情推理常見的方法,

在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新

意識的培養(yǎng).

［對點專練13］圖1有面積關系:坐*=處；:魯，則圖2有體積關系:________.

O^PABrn?rD

圖1圖2

??陽'?PC

耒」@械?一PA?PB?PC

14.直接證明與間接證明

直接證明一一綜合法、分析法；間接證明一一反證法；數(shù)學歸納法.

［對點專練14］用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應

假設.

［答案］三角形三個內角都大于60°

15.不等式的性質

不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，必須討論這個數(shù)的正負，兩個不等式相

乘時，必須注意同向同正時才能進行.

［對點專練15］已知a,b,c,d為正實數(shù)，且c>d,則“a>8”是的—

條件.

［答案］充分不必要

16.基本不等式

Z?>0）

(1)推廣：\^仁蕓■，三乎2爪^2］\(46>0),

b

(2)用法:已知必y都是正數(shù)，則

①若積燈是定值p,則當x=y時，和x+p有最小值2y［p；

②若和x+y是定值s,則當x=y時，積燈有最大值

14

［對點專練16］已知a>0,b>0,a+b=L則的最小值是________.

Q.D

［答案］9

17.線性規(guī)劃

解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數(shù)中y的系數(shù)的正負；注意最優(yōu)整數(shù)

解.

［x)0,

［對點專練17］設定點加0,1),動點P(x,0的坐標滿足條件1則I陽I的最

小值是.

［答案］乎

［易錯盤點］

易錯點1忽視元素互異性致誤

【例1］己知集合4={1,*,2},B={1,x2},若則x的不同取值有—

種情況()

A.1B.2C.3D.4

［錯解］由/=2,解得為=乖，X2=一私

由，=x,解得揚=0,x\—1.

.?.選D.

［錯因分析］當x=l時，集合/、6中元素不滿足互異性，錯解中忽視了集合中元素的

互異性，導致錯誤.

［正解］,.?/1U6=4,.,.任4；.夕=2或f=x.由V=2,解得x=±啦，由f=x,解

得x=0或x=l.當x=l時，9=1,集合人6中元素不滿足互異性，所以符合題意的不為噌

或一/或0,共3種情況，選C.

名師糾錯A

由集合的關系求參數(shù)的值應注意元素性質的具體情況，對求出的參數(shù)值要進行驗證.

［對點專練1］

(1)已知1C{勿，源，則實數(shù)m的值()

A.等于1B.等于一1

C.等于±1D.mWO且啟4

(2)已知ie{a+2,(a+l)\a"+3a+3},則實數(shù)a的值為.

［解析］(1)因為集合元素具有互異性，所以m2=1,解得面=-1或0=1(舍)，故選B.

(2)由題意得a+2=l或(a+l”=l或a2+3a+3=l.解得a——l或a——2或a=0.

又當a=-2時，(a+l)2=#+3a+3=l不符合集合中元素互異性這一特點.故aW—2,

同理aW—1,故只有a=O.

［答案］(DB⑵a=O

易錯點2遺忘空集致誤

【例2】已知/!={xeR|A<-l或x>4},6={xCR］2aWxWa+3},若力U4/1,則實

數(shù)a的取值范圍是

［錯解］由4U8=4知，BQA,

.j2a〈a+3

?12a>4或a+3〈一l，

解得a<-4或2〈aW3.

實數(shù)a的取值范圍是a〈一4或2〈a<3.

［錯因分析］由并集定義容易知道，對于任何一個集合人都有41)0=4,所以錯解忽

視了6=0時的情況.

［正解］由知，A.

2aWa+3

①當屏。時，有，

2a>4或a+3<-l

解得水一4或2<aW3；

②當以0時，由2a>a+3,解得a〉3.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是a<-4或a>2.

名師糾錯A

造成本題錯誤的根本原因是忽視了“空集是任何集合的子集”這一性質.當題目中出現(xiàn)

AQB,ACB=A,時，注意對4進行分類討論，即分為和兩種情況討論.

[對點專練2]

(1)設{={x|f+x—6=0},d={x|加x+l=0},且4U6=/l,則m的取值范圍是()

312

(2)已知集合4={x［V+S+2)x+l=0,pGR),若4CR'=0,則實數(shù)0的取值范圍為

［解析］(1)因為4={2,-3}.由/U8=4得醫(yī)4當勿=00■寸，B=。,滿足；當加戶0

,故山的取值集合是{o,—",泉

時，B=,所以__=2或__=_3,解得加=一,

故選C.

(2)由一\-W0,得0》一2；

l(p+2)2-4<0

得一4<仄一2.

綜上，〃的取值范圍是(-4,+8).

［答案］(DC(2)(-4,+8)

易錯點3對命題否定不當致誤

【例3】命題“若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)”的逆否命題是()

A.若x,y都是偶數(shù)，則x+y是奇數(shù)

B.若x,y都不是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)

C.若x+y不是偶數(shù)，則x,y都不是奇數(shù)

D.若x+y不是偶數(shù)，則x,y不都是奇數(shù)

［錯解］“都是”的否定是“都不是”，選C.

［錯因分析］“x,y都是奇數(shù)”的否定中包含三種情況："x是奇數(shù)，y不是奇數(shù)”，

“X不是奇數(shù)，y是奇數(shù)”，“X,y都不是奇數(shù)”，誤把“X,y都不是奇數(shù)”作為“x,y

都是奇數(shù)”的否定而錯選C.

［正解］“都是”的否定是“不都是"，答案選D.

|名師糾錯A

對條件進行否定時，要搞清條件包含的各種情況，全面考慮；對于和參數(shù)范圍有關的問

題，可以先化簡再否定.

［對點專練3］

⑴命題“若打=0,則x=0或y=0”的逆否命題為.

OI—10

(2)已知必是不等式一^《0的解集且54M,則a的取值范圍是

ax~25

［解析］(1)一般的命題“如果。則g”是由條件0及結論。組成的，條件和結論“換

質”又“換位”得“如果非夕，則非?！?，這稱為原命題的逆否命題.

5w+10

(2)在也：.5a-25=Q或^——>0,解得a=5或a<-2或a>5,故a的取值范圍是(一

5a—25

8,—2)U［5,+8).

［答案］(1)若xWO且用0,則處W0(2)(—8,-2)U［5,+~)

易錯點4充分、必要條件判斷不準致誤

【例4】設〃為全集，A,8是集合，則“存在集合C,使得比GC是“4CB

=。”的條件.

［錯解］若4UC,則。住CM，又醫(yī)C￡,

...408=。，故填“充要”.

［錯因分析］沒有理解充分條件的概念，kg只能得到夕是g的充分條件，必要性還

要檢驗衿。是否成立.

［正解］若/1UG則「正。4當砥GC時，可得4CQ。；若4cB=。,不能推出6

UCC,故填“充分不必要”.

|名師糾錯A

充分、必要條件判斷時一定要分清條件和結論，只有充分性和必要性同時成立，才判斷

為充要條件.

［對點專練4］

(1)設46為兩個互不相同的集合，命題p：命題g：或則㈱g

是㈱0的()

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

⑵若“京一2x—8>0”是“內必”的必要不充分條件，則m的最大值為.

［解析］(1)依題意，注意到由?？傻靡虼擞嫂Zg可得㈱p：由。不能得知°,因此

由㈱。不能得知㈱。，所以㈱。是㈱O的充分不必要條件，故選B.

(2)由/—2x—8>0得K—2或x>4；依題意得知，由水卬可得K—2或x〉4,于是有wW

~2,即貶的最大值是一2.

［答案］(DB⑵-2

易錯點5循環(huán)次數(shù)把握不準致誤

【例5】執(zhí)行下邊的程序框圖，若p=0.8,則輸出的〃=.

［錯解］3或5.

［錯因分析］陷入循環(huán)運算的“黑洞”，出現(xiàn)運算次數(shù)的偏差而致錯.

［正解］n—1,S—0,0<0.8,S=0+g=B，

/?=4,8,

故輸出〃=4.

名師糾錯A

解答循環(huán)結構的程序(算法)框圖，最好的方法是執(zhí)行完整每一次循環(huán)，防止執(zhí)行程序不

徹底，造成錯誤.

［對點專練5］

(1)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，若輸出的結果是4,則常數(shù)a的值為

()

1

A.4B.2C.-D.-1

承小S/

(結束)

|結束|

(1)題圖(2)題圖

(2)執(zhí)行如上圖所示的程序框圖，輸出的S的值是.

［解析］(1)S和〃依次循環(huán)的結果如下：；，2：1—L4.所以1—工=2,a=-1,

1-aaa

故選D.

(2)由程序框圖可知，〃=1,5=0；S=cos(*,?7=2；5=cos^~+-cos^-,〃=3；…；S

JI2n3兀2014n(冗2冗8五、n

=cos—+cos-^+cos-----Feos--:—=251cos—+cos-----Feos-+cos—+

4444144474

cosf+…+cos牛=251X0+乎+0+(一陰+(-D+(—*)+0=—1一當,7?=2015,

輸出s

⑴D⑵-1-坐

［答案］

易錯點6復數(shù)的概念不清致誤

3(n4、i是純虛數(shù)，則tan（，一的值為（

【例6】若z：—sin-+lcos<7—~)

5

A.-7B.7

a1

C-7D.-7或一不

3

［錯解］由Z為純虛數(shù)，知Sin，-『0,

34

則sing中從而cos”土g.

/.tan，=±*由tanf°tan夕一1

tan夕+1'

ji1

得tanl，一彳1=一不或一7.故選D.

7,

［錯因分析］混淆復數(shù)的有關概念，忽視虛部不為0的限制條件.

343

［正解］由Z為純虛數(shù),知sinJ—g=0,且cos8一產(chǎn)0.則sin。=彳從而cosg

4…八sin03

一§.所以tan仁B=-7

,713

tan0—tan——T—1

44,,

/.tan9---------------=....-=-7,故選A.

l+tan夕?tan-1—~

44

名師糾錯A

純虛數(shù)是指實部為零且虛部不為零的虛數(shù).

［對點專練6］

（1）復數(shù)（；+乎i）（i是虛數(shù)單位）的共朝復數(shù)為（）

1A1

+V3

一2-2

A.2B.

2-

1居1

1V-3

十D2

-221

(2)若復數(shù)?=4+29i,Z2=6+9i,其中i是虛數(shù)單位，則復數(shù)(zLzJi的實部為

［解析］⑴由題意知，［；+乎］=［—1+乎i

=一g+乎i，其共輛復數(shù)為一g—乎L故選D.

(2)(Zi—Z2)i—(—2+20i)i=—20—2i,

故(省一@)i的實部為一20.

［答案］(DD⑵-20

易錯點7忽視基本不等式的應用條件致誤

2

［例7］函數(shù)y=x+—7的值域是_______.

X—1

99/9

［錯解］y=A-+—=A—l+—+1^2A/(A—l)--+1=272+1,當且僅當X一