高中數(shù)學(xué)銜接教材(高級版)

第一講數(shù)與式

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1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1.絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對

值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即

a,a>0,

[Q|=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點

到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：|。-耳表示在數(shù)軸上，數(shù)a和

數(shù)〃之間的距離.

練習(xí)

1.填空：

(1)若W=5,則x=；若忖=卜4|,則x=.

⑵如果向+網(wǎng)=5,且。=一1,則b=；若|l-c|=2,則0=___.

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則a=b(B)若同〉網(wǎng)，則a>b

(C)若a<b,則同<例(D)若同=例，則a=±C

3.化簡：|x-5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±b)2=/±2帥+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式+-48+/)=/+/；

(2)立方差公式(a—b)(a2+ab+/)=a3一/；

(3)三數(shù)和平方公式

(a+/?+c)~—ci~+h~+c~+2(ab+he+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+b)3="+3a2b+3"/+/；

(5)兩數(shù)差立方公式(。一/?)3=/-3。2b+3a/—/.

對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計算：(X+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+X+1).

例2已知a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求/+人’+c?的值.

練習(xí)

1.填空：

1,1,11

(1)-a2--b2^(-h+-a)()；

9423

(2)(4m+y=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)若x2+-mx+k是一個完全平方式，則上等于

2

()

11

(A)m2(B)-m2(C)-nf2(D)

43

(2)不論a,b為何實數(shù)，w+b~—2ci—4/7+8的值

()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以

是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如〃(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有

字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如

___________5

3a+yja2+h+2h,Vtz2+/?2等是無理式，而V2x2+—x+1,

2

x2++y2,等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.為了

進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有

二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如血與血，3&與

坦+瓜與6-娓,2百-3近與2道+3立，等等.一般地，

aG與G,ayfx+byfya4x-by[y,aG+b與aG-b互為有

理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，

化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以

分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多

項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式&后=疝（。20,620）；而對

于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理

化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化

簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類二次根式.

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2.二次根式的意義

a,a>0,

-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

（1）712^；（2）Va￥（a>0）；(3))4x6y(x<0).

例2計算:6+（3-?

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

（i）Jil—和而―質(zhì)；（2）—3—和2&—指.

V6+4

例4化簡：（百+逝產(chǎn).（百-逝嚴(yán)5.

例5化簡：（1）49-4」；（2）

,1

x~H—j—2(0<x<1)

x

_V3-V2_V3+V2

例6已知求3x2-5xy+3y2的

值.

練習(xí)

1.填空：

1-V3_

(1)

1+也

(2)若J(5-X)(X_3)2=(x-3)7^7,則x的取值范圍是

(3)4V24-6V54+3V96-2V150=

，“、gVsm.1Jx+1-Vx—TJx+1+Jx-l

=二

(4)若x=—,則---_?-t^=+-j=~J

2'X+1+JX—1yjX~\~\—\JX—1

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

切J_]+Ji-42a74/At

3.若力=-------------，求a+b的值.

。+1

4.比較大小：2—小_____小一也(填“>”，或y").

1.1.4.分式

1.分式的意義

AA

形如芻的式子，若3中含有字母，且3。0,則稱2為分式.當(dāng)

BB

A

MM時，分式2具有下列性質(zhì)：

B

A_AxM

力一BxM；

AA^M

~B~'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

a

像-〃?:〃+〃這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫

c+d2m

幾+p

做繁分式.

例1若上土=2+_吼，求常數(shù)A,B的值.

x(x+2)xx+2

解得A=2,B=3.

(1)試證：-1—=-一一-

例2(其中〃是正整數(shù));

n(n+1)nn+1

111

(2)計算:-----1------F…H

1x22x3------9x10

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，有

1111

----+----+???+--------<一.

2x33x4〃(/7+1)2

例3設(shè)e=￡,且e>l,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.

a

練習(xí)

1.填空題：

對任意的正整數(shù)〃，---=—(--——);

n(/i+2)2+2

2.選擇題：

若工2=2,則.V

x+y3y

()

/、546

(A)1(B)一(C)一(D)

455

3.正數(shù)X,〉滿足/一/=2求二口的值.

x+y

1111

習(xí)題1.1

1.解不等式：

(1)|.x-1|>3；(2)|x+3|+|x—2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.已知x+y=l,求/+寸+3孫的值.

3.填空：

(1)(2+V3)18(2-A/3)19=；

(2)若7(i-?)2++?)2=2，則4的取值范圍是

11111

(3)T7^+V2+V3+V37V4+V47V5+757V6=-

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式

法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)X2-3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-\+x-y.

解：(1)如圖1.2—1,將二次項f分解成圖中的兩個x的積,

再將常數(shù)項2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個

數(shù)乘積的和為一3x,就是無2—3x+2中的,?次項，所以，有

%2--3x+2=(x_l)(x—2).

圖1.2-1圖1.2-2圖1.2-3圖1.2-4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將

圖1.2-1中的兩個x用1來表示(如圖1.2—2所示).

(2)由圖1.2-3,得

X2+4.X—12=(X—2)(X+6).

(3)由圖1.2-4,得

x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)x

y、］

(4)xy-\+x-y=xy+(x-y)~\圖12_5

=(x—l)(y+l)(如圖1.2—5所示).

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)X3+9+3X2+3X；(2)

2x2+xy一/一4x+5y-6.

(2)

2x2xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+iy-y2-4x+5y-6=

(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)-(4》_5y)_6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.關(guān)于x的二次三項式ai+Ax+cm#))的因式分解.

若關(guān)于x的方程。*2+灰+。=0(。/0)的兩個實數(shù)根是玉、%,,

則二次三項式ax?+bx+c(a豐0)就可分解為a(x-x{)(x-x2).

例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：

(1)x~+2,x—1；(2)x2+4xy-4y2.

練習(xí)

1.選擇題：

多項式2--孫_15y的一個因式為

()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X2+6X+8；(2)&/一戶

(3)x—lx-1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式:

(1)/+1；(2)4x4—13x^+9；

(3)b2+c2+lab+2ac+2hc；(4)

3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x?—5x+3；(2)x"—2y[2,x—3；

(3)3/+4盯-/.(4)

(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.AABC三邊a,b,c?滿足/+〃+c?=〃。+.+以，試判定AA8C

的形狀.

4.分解因式：x2+x—(a2—a).

第二講函數(shù)與方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(存0),用配方

法可以將其變形為

/b、?b1-4ac

(①

F4a2

因為存0,所以，4“2>0.于是

(1)當(dāng)從一4公>0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原

方程有兩個不相等的實數(shù)4_____

-h±yJh2-4ac

肛；

2=---------2--a----------

(2)當(dāng)/—4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有

兩個等的實數(shù)根

__b

X1—X2———;

2a

（3）當(dāng)廿一4雙<0時，方程①的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程①

的左邊（x+2y一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.

2a

由此可知，一元二次方程分2+云+c=0（存0）的根的情況可

以由b2-4ac來判定，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx

+c=0（存0）的根的判別式，通常用符號“△”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程《X2+5X+C=0（a#））,有

(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b+y]b2-4ac

X\,2=

2a

(2)當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

_b

X\—X2———；

2a

(3)當(dāng)AV0時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況（其中a為常數(shù)）,

如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

(1)X2-3X+3=0；(2)x2—ax—1=0；

(3)x2——1)=0；(4)X2—2x+a=0.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著a的

取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況

進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高

中數(shù)學(xué)中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)用這

一方法來解決問題.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若…元.：次方程ax2+bx+c=0（存0）有兩個實數(shù)根

-b+\Jb2-4ac-b-y]b2-4ac

則有____________

-b+yjb2-4ac-b—yJb2-4ac-2hb

x.+x.=------------+------------=---=——

_-b+db2-4。。-b-yjb2-4ac_b2-(b2-4ac)_4ac_c

2a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果ar2+〃x+c=o(0邦)的兩根分別是不，必，那么8+必

Ar

=--，X\Xz=—.這一^b關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

aa

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程九2+px+q=0,

若修，檢是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X\~\~X2~-p,X1'X2~(Jf

即p=—(11+12)，q—X\'X2,

所以，方程x2+px+q=0可化為%2—(%1+x2)x+x\-%2=o,由

于X1，X2是一元二次方程x2+px+q=0的兩根，所以，X\,X2也是

一兀二次方程f—(Xi+x2)x+x/X2=0.因此有

以兩個數(shù)Xl，X2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是

X2—(X1+X2)X+x1-X2=0.

例2已知方程5/+依-6=0的一個根是2,求它的另一個

根及人的值.

例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m—2)X+"/+4=0有兩個實

數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求用的值.

例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).

例5若r和必分別是一元二次方程2f+5x—3=0的兩根.

(1)求|為一刈的值;

(2)求」v的值；

玉x2

(3)XI3+A：23.

例6若關(guān)于x的一元二次方程%2—x+a—4=0的一根大于零、另一根

小于零，求實數(shù)。的取值范圍.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程266+3攵2=0的根的情況是

()

(A)有一個實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)

根

(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)沒有實數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程巾/+(2機(jī)+1)小+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，

則實數(shù)m的取值氾圍是

()

1_1

(A)機(jī)V—(B)m>

44

11

(C)m<-t-且〃2和(D)m>~--，且〃2和

44

2.填空：

,11

(1)若方程x2—3x—1=0的兩根分別是XI和X2，則一+一

(2)方程mx2+x—2機(jī)=0(m/0)的根的情況是.

(3)以-3和1為根的一元二次方程

是.

3.已知J/+8a+16+|b-l|=0,當(dāng)"取何值時，方程h2+以+方=0有

兩個不相等的實數(shù)根？

4.已知方程3x—1=0的兩根為X|和尤2，求但-3)(x2—3)的值.

習(xí)題2.1

1.選擇題：

(1)已知關(guān)于x的方程/+匕-2=0的一個根是1,則它的另一個根是

()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個說法：

①方程f+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程X2-2X+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

7

③方程3x2-7=。的兩根之和為0,兩根之積為--；

3

④方程3x2+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數(shù)是()

(A)1個(B)2個(C)3個(D)4

個

(3)關(guān)于x的一元二次方程ax?—5x+/+a=0的一個根是0,

值

是

(A)0(B)1(C)-1(D)

0,或一1

2.填空：

(1)方程履2+人一1=0的兩根之和為一2,貝1」％=

(2)方程2A'—x—4=0的兩根為a,。，則a~+p2=.

(3)已知關(guān)于尤的方程f-ax—3a=0的一個根是一2,則它的另一個

根是

(4)方程1=0的兩根為Aj和方2，貝人為一同=

3.試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程m2x2-(2m+\)x+l=0

有兩個不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2—7x—1=0各根的相反

數(shù).

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=a%2+>x+c的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)了=好2“0)的圖象可以由產(chǎn)/的圖象各點的縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉淼?。倍得?在二次函數(shù)y="2(“邦)中，二次項系數(shù)。

決定了圖象的開口方向和在同一個坐標(biāo)系中的開口的大小.

二次函數(shù)y=a(x+7i)2+A:(a#))中，a決定了二次函數(shù)圖象的開

口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“正左

移，九負(fù)右移“；A決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“正上

移，為負(fù)下移

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)產(chǎn)/+云+。(存0)

的圖象的方法：

由于y—ax2+bx+c=a(x2+—x)+c—a(x2+—x+-^v)+c—

aa4a~

b2

4a

,b.b2-4ac

=a(x+—)-2+-------，

2a4a

所以，y=af+bx+c(arO)的圖象可以看作是將函數(shù)y=ax2的

圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y^ax2+bx

+c(ar0)具有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)a>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標(biāo)為

(-—,4aC~^),對稱軸為直線*=一2；當(dāng)xv—2時，》隨著*的

2a4a2a2a

。b

增大而減小；當(dāng)x>——時，y隨著X的增大而增大；當(dāng)*=-一時，函

2a2a

4QC——b~

數(shù)取最小值y=.

4a

(2)當(dāng)aVO時，函數(shù)y=ax2+6x+c圖象開口向下；頂點坐標(biāo)為

h4ac—b2bb

(-=,：)，對稱軸為直線x=一三；當(dāng)xV-=時，y隨著x的

2。4a2a2a

bh

增大而增大；當(dāng)-一時，y隨著x的增大而減小；當(dāng)工=-一時，函

2a2a

4ac—b2

數(shù)取最大值y=.

4a

例1求二次函數(shù))，=-3X2-6X+1圖象的開口方向、對稱軸、

頂點坐標(biāo)、最大值(或最小值)，并指出當(dāng)x取何值時，y隨x的

增大而增大(或減小)？并畫出該函數(shù)的圖象.

例2把二次函數(shù)y=f+bx+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移

4個單位，得到函數(shù)y=f的圖像，求6,c的值.

例3已知函數(shù))，=/，—2<x<a,其中生一2,求該函數(shù)的最大值與最

小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標(biāo)軸上的是()

(A)y=2r(B)y=2f-4x+2

(C)y=2x2-l(D)y=2x2~4x

(2)函數(shù)y=2(x-l)2+2是將函數(shù)y=2x?()

(A)向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的

(B)向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的

(C)向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

(D)向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù))，=29一圖象的頂點坐標(biāo)為(1,-2),則團(tuán)=

(2)已知二次函數(shù)y=f+(加一2)x—2"?,當(dāng)，”=忖，函數(shù)圖象的頂

點在y軸上；當(dāng)機(jī)=時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當(dāng)m=

時，函數(shù)圖象經(jīng)過原點.

(3)函數(shù)y=-3(x+2y+5的圖象的開口向，對稱軸為,

頂點坐標(biāo)為;當(dāng)x=時，函數(shù)取最__值

y=；當(dāng)x時，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)、最大(小)值及y

隨x的變化情況，并畫出其圖象.

(1)y=f—2x—3；(2)y=1+6x~x2.

4.已知函數(shù)y=-/—2X+3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別

求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大(小)值時所對應(yīng)的自變量x

的值：

(1)x<-2；(2)啟2；(3)-2<r<l;(4)0<r<3.

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩

種形式：

1.一般式：j=?x2+Z>x+c(a^O)；

2.頂點式：y=a(x+h)2+k(a^O),其中頂點坐標(biāo)是(一九k).

3.交點式：j=a(x—xO(x—x2)(a^O),其中x”外是二次函

數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo).

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線y=x+l上，

并且圖象經(jīng)過點(3,—1),求二次函數(shù)的解析式.

例2已知二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離

等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

例3已知二次函數(shù)的圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,

8),求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)函數(shù)y=-x2+x—1圖象與x軸的交點個數(shù)是

()

(A)0個(B)l個(C)2個(D)無法

確定

2

(2)函數(shù)y=-1(x+I)+2的頂點坐標(biāo)是

()

(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-

1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(-1,0)和(2,0),則該二次

函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(存0).

(2)二次函數(shù)y=-f+2小x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離

為-

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過點(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；

(2)當(dāng)x=3時，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過點(1,11)；

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1一啦，0)和(1+5，0),并與)，軸交

于(0,—2).

習(xí)題2.2

1.選擇題:

1)把函數(shù)y=一(x_1產(chǎn)+4的圖象的頂點坐標(biāo)是

)

(A)(-1,4)(B)(-1,-4)(C)(1,-4)(D)

(1,4)

(2)函數(shù)y=-f+敘+6的最值情況是

()

(A)有最大值6(B)有最小值6

(C)有最大值10(D)有最大值2

(3)函數(shù)y=2?+4x-5中，當(dāng)一3夕＜2時，則y值的取值范圍是

()

(A)-3<y<l(B)-7<j<l

(C)-7<y<ll(D)-7<y<ll

2.填空：

(1)已知某二次函數(shù)的圖象與無軸交于A(-2,0),B(l,0),且過點C

(2,4),則該二次函數(shù)的表達(dá)式為.

(2)已知某二次函數(shù)的圖象過點(一1,0),(0,3),(1,4),則該函數(shù)

的表達(dá)式為.

3.把已知二次函數(shù)y=2f+4x+7的圖象向卜平移3個單位，在向右平移4

個單位，求所得圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

4.已知某二次函數(shù)圖象的頂點為A(2,-18),它與x軸兩個交點之間的

距離為6,求該二次函數(shù)的解析式.

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

方程

x1+2xy+y2+x+y+6=0

是一個含有兩個未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整

式方程，這樣的方程叫做二元二次方程.其中f,2盯，V叫做這個

方程的二次項,叫做一次項,6叫做常數(shù)項.

我們看下面的兩個方程組：

x2-4y2+x+3y-1=0,

2x-y—1=0;

x2+/=20,

V

x2—5xy+6y2=0.

第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組

成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方

程組叫做二元二次方程組.

下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方

程組成的方程組的解法.

一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可

以用代入消元法來解.

例1解方程組

x2+4y2-4=0,①

X-2y-2=0.②

例2解方程組

'x+y=1,①

xy=12.②

練習(xí)

1.下列各組中的值是不是方程組

%2+/=13,

*

x+y=5

的解？

⑴尸⑵尸,X—1,x=-2,

(3)4(4)

(7=3;1y=2;y4；y=-3;

2.解下列方程組：

[x2+y2=625;[xy=-10;

’22

廠+尸-1

(3){54(4)

y=x-3;

y2=2x,

了2+J=8.

2.3.2一元二次不等式解法

(1)當(dāng)A>0時，拋物線>=0?+云+。(a>0)與x軸有兩個公共點

(X1，0)和。2,0),方程+法+c=0有兩個不相等的實數(shù)根X1和X2(X|<X2),

由圖2.3—2①可知

不等式ax^+bx+cX)的解為

X<X\,或X>%2；

不等式(zx2+/>x+c<0的解為

Xi<X<X2-

(2)當(dāng)△=()時，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸有且僅有個

公共點，方程af+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根治=必=一會，由圖2.3

一2②可知

不等式ajC+bx+c>0的解為

不等式ax2+bx+c<0無解.

(3)如果△<(),拋物線y=ax2-\-hx+c(a>0)與x軸沒有

公共點，方程a*+云+c=o沒有實數(shù)根，由圖2.3—2③可知

不等式ax2+hx+c>0的解為―-切實數(shù)；

不等式ax2+bx+c<0無解.

例3解不等式：

(1)x?+2x—3<0；(2)x—x2+6<0：

(3)4?+4x+l>0；(4)?-6x+9<0；

(5)-4+X-X2<0.

例4已知函數(shù)y=f—2"+1(。為常數(shù))在一2夕、1上的最小值為"，試

將"用a表示出來.

練習(xí)

1.解下列不等式：

(1)3f-x—4>0；(2)?-x-12<0；

(3)X2+3X-4>0；(4)16-8X+X2<0.

2.解關(guān)于x的不等式f+2x+l一/4）（.為常數(shù)）.

習(xí)題2.3

1.解下列方程組：

22

⑴彳-y=LJ(x-3)+y=9,

(2)j

x+2y=0;

x-y-2^0;

22

x+y=4,

(3)

2

x2-y=2.

2.解下列不等式：

(1)3?-2x+l<0；(2)3?-4<0；

(3)2x—x2>—1；(4)4-X2<0.

第三講三角形與圓

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

如圖3.1-2,ll//l2//lJ,^—=變.當(dāng)然，也可以得出空=匹

123BCEFACDF

在運(yùn)用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對

應(yīng)關(guān)系，是“對應(yīng)”線段成比例.

例1如圖3.1-2,/,///2///3,

且A8=2,BC=3,DF=4,求DE,EF.

例2在ABC中，為邊AB,AC上的點，DE//BC,

AD_AE_DE

求證:

平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）,

所得的對應(yīng)線段成比例.

平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得

的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

例3在VABC中，AO為的平分線，求證：—=—.

ACDC

例3的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理，可敘述為角平分線分

對邊成比例（等于該角的兩邊之比）./尹

練習(xí)1

1.如圖3.1-6,Z,///2///3,下列比例式正確的B/

是（）D

ADCEcAZ)BC

AA.——=B.—=

DFBCBE~AF

cCEADBE

c.---=D.——=

DF~BCDFcF

圖3.1-6

2如圖3.1-7

DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.

圖3.1-7

3.如圖，在7ABC中，AD是角BAC的平分線，

A8=5cnv!C=4cm,8C=7cm，求BD的長.

圖3.1-8

3.1.2.相似形

我們學(xué)過三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以

判定兩個三角形相似？有哪些方法可以判定兩個直角三角形相

似？

例6如圖3.1-12,在直角三角形ABC中，為直角，

AO人8c于。.

求證：(1)向2BDBC|,AC2=CDCB

(2)AD2=BDCD

練習(xí)2

1.如圖3.1-15,。是VABC的邊AB上的一點，過。點

作DE//BC交AC于E已知AO：DB=2：3,則

SvADE：S四邊形BC0E等于)

A.2:3B.4:9C.4:5D.4:21

2.若一個梯形的中位線長為15,一條對角線把中位線分成兩條線

段.這兩條線段的比是3:2,則梯形的上、下底長分別是.

3.已知:VA8C的三邊長分別是3,4,5,與其相似的V灰沙。的

最大邊長是15,求的面積Sv.?。-

4.已知：如圖3.1-16,在四邊形46co中，E、F、

G、”分別是A3、BC、CD、0A的中點.

(1)請判斷四邊形EFG”是什么四邊形，試說明

理由；

(2)若四邊形A5CO是平行四邊形，對角線AC、

8。滿足什么條件時，EFGH是菱形?是正方圖3.1-16

形？

習(xí)題3.1

1.如圖3.1-18,NABC中，AD=DF=FB,AE=EG=GC,

FG=4,則()

A.DE=1,BC=7B.DE=2,BC=6

C.DE=3,BC=5D.DE=2,BC=8

圖3.1-18

2.如圖3.1-19,BD、CE是VABC的中線，P、Q分別是B。、CE

的中點，則等于（）

A.1：3B.1：4

C.1：5D.1：6

3.如圖3.1-20,YABC。中，E是AB延長線上一點，DE交BC

于點凡已知BE：AB=2：3,SVBEF=4,求Svc/。

4.如圖3.1-21,在矩形ABC。中，E是CD的中點,

BEAAC交AC于凡過/作FG//AB交AE于G,

求證：AG2=AFFC.

圖3.1-21

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

三角形的三條中線相交于一點，這個交點稱為三角形的重心.

三角形的重心在三角形的內(nèi)部，恰好是每條中線的三等分點.

例1求證三角形的三條中線交于一點，且被該交點分成的兩段長

圖3.2-3

度之比為2：1.

已知D、E、尸分別為VA8C三邊6C、。、A8的中點,

求證A。、BE、CF交于一點，且都被該點分成2：

1.J\

三角形的三條角平分線相交于一點,是三角形的

內(nèi)心.三角形的內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，它到三角形的

三邊的距離相等.（如圖3.2-5）

例2已知VA8C的三邊長分別為8C=a,AC="A8=c,I為

VA8C的內(nèi)心，且I在VABC的邊BC、AC.43上的射影分別為

D、E、F,求證：AE=AF=C~.

三角形的三條高所在直線相交于一點，該點稱為三角形的垂

心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的垂心為

他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）

例4求證：三角形的三條高交于一點.

已知VABC中，A0ABC于D,BE^AC于E,AO與6E交于”點.

求證CHAAB.

過不共線的三點A、6、C有且只有一個圓，

該圓是三角形ABC的外接圓，圓心。為三角形的

外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等,是各邊

的垂直平分線的交點.

D

練習(xí)1

1.求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角

形.

2.（1）若三角形ABC的面積為S,且三邊長分別為a、b、c,

則三角形的內(nèi)切圓的半徑是；

（2）若直角三角形的三邊長分別為4、b、C（其中C為斜邊

長），則三角形的內(nèi)切圓的半徑是.并請說明理由.

練習(xí)2

1.直角三角形的三邊長為3,4,x,則x=.

2.等腰三角形有兩個內(nèi)角的和是100。，則它的頂角的大小是

3.已知直角三角形的周長為3+百，斜邊上的中線的長為1,求

這個三角形的面積.

習(xí)題3.2

A組

1.已知：在ABC^,AB=AC,NBAC=120",A。為8C邊上的高,

則下列結(jié)論中，正確的是（）

八1

A.AD^—ABB.AD^-ABC.ADBD

22

D.AD=—BD

2

2.三角形三邊長分別是6、8、10,那么它最短邊上的高為（）

A.6B.