高中數(shù)學(xué)：導(dǎo)學(xué)案：平面向量

第二章平面向量

2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念

自主探究學(xué)習(xí)

1.數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。?/p>

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.向量的表示方法：B

①用有向線段表示；/

A（起點(diǎn)）

②用字母a、力（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：而；

④向量獲的大小一一長(zhǎng)度稱為向量的模，記作I而I.

3.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

4、零向量、單位向量概念：

①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作〃。的方向是任意的.

②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.

5、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任一向量平行.

6、相等向量定義：

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.

7、共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的

起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量

就是相同的向量；

（2）有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不

同的有向線段.

2.向量a與6相等，記作a=b；零向量與零向量相等；任意兩個(gè)相等的非零向量，都可

用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).

3.零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

4.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行,

要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

【經(jīng)典例題】

[例1]下列命題正確的是

[]

A.a與力共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量a與，不共線，則a與6都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

【分析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由

向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是

一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)

是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入

手考慮，假若a與，不都是非零向量，即a與6至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向

量都共線，可有a與6共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量.

【解】選C.

【點(diǎn)撥】對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進(jìn)行考

慮，注意這兩方面的結(jié)合.

【例2】判斷下列命題是否正確，若不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

①向量獲與而是共線向量，則力、B、a〃四點(diǎn)必在一直線上；

②單位向量都相等；

③任一向量與它的相反向量不相等；

④四邊形勿是平行四邊形的充要條件是而=DC

⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；

⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

【分析】首先區(qū)別零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系，再

一一判別正誤..

【解】①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量

A3、AC在同一直線上.

②不正確.單位向量的模均相等且為1,但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是4________彳:

相等的.

④、⑤正確.⑥不正確.如圖就與前共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.

【點(diǎn)撥】本題考查基本概念，平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)

系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

2.2平面向量的線性運(yùn)算

2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義

自主探究學(xué)習(xí)

1.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法

2.向量的加法有三角形法則和平行四邊形法則.

3.六+乩+…

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.\a+b\W|a+\b\,當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時(shí)取等號(hào)；

2.幾何中向量加法是用幾何作圖來(lái)定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則

（“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對(duì)于兩個(gè)向量共線不適應(yīng)）課本中采用了三

角形法則來(lái)定義，這種定義，對(duì)兩向量共線時(shí)同樣適用，當(dāng)向量不共線時(shí)，向量加法的三角

形法則和平行四邊形法則是一致的

3.向量加法有如下規(guī)律：a+3=各（交換律）；a+（加c）=（a+為+c（結(jié)合律）；

a+O=a,a+（~a）=O.因此，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.

【經(jīng)典例題】

［例1］若a="向東走8km”,b="向北走8km”,則Ia+b=,m"6的方向是

【分析】畫(huà)出圖形，以a、b為鄰邊的平行四邊形是正方形，根據(jù)勾股定理可得

a+Z?|=764+64=872（km）,a+b的方向是東北方向..

【解】8發(fā)km東北方向

【點(diǎn)撥】解決這樣的問(wèn)題，畫(huà)出以a、b為鄰邊的平行四邊形以后，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

【例2】如圖，一艘船從4點(diǎn)出發(fā)以2Gkm/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河

水的流速為2km/h,求船的實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示).

【分析】畫(huà)出圖形，以荏、正為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)勾股定理即可得解.

【解】設(shè)而表示船垂直于對(duì)岸行駛的速度，筋表示水流的速度，以力〃為鄰邊作平

行四邊形/比〃則就就是船的實(shí)際航行的速度.1-----------3c

在RtAABC中，|而|=2,|BC|=273./

所以|而|=畫(huà)2+辰［=爾/

26A

因?yàn)閠anZCAB=^-=V3n/CAB=60。.

2

答：船的實(shí)際航行的速度的大小為4km/h,方向與水流速間的夾角為60、

【點(diǎn)撥】：向量的加法可以用幾何法進(jìn)行，正確理解向量的各種運(yùn)算的幾何意義，進(jìn)一步

加深對(duì)“向量”的認(rèn)識(shí)，體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性.

2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義

自主探究學(xué)習(xí)

1.用“相反向量”定義向量的減法

(1)“相反向量”的定義：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量.記作—a.

(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(-向=0.

如果8、力互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0.

(3)向量減法的定義：向量a加上的6相反向量，叫做a與力的差.

即：a-b=a+(-b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：

向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

若6+x=a,則x叫做a與力的差，記作a-b

3.向量減法的幾何表示：三角形法則，即a-6可以表示為從向量力的終點(diǎn)指向向量a

的終點(diǎn)的向量.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

以向量版=3、詬=1為鄰邊作平行四邊形/頗，則兩條對(duì)角線的向量元=3+3,BD=b

—a,DB=a—b且有|aI—I|W|a±B|W|al+|BI.

【經(jīng)典例題】

【例11在下列各題中，正確的命題個(gè)數(shù)為

[1

(1)若向量a與6方向相反，且Ia|>|力，則Ab與a方向相同

(2)若向量a與。方向相反，且|>|6,則a~b與a+8方向相同

(3)若向量a與6方向相同，且|a|<|力，則a~b與a方向相反

(4)若向量a與6方向相同，且1ale，則a~b與a+6方向相反

A.1B.2C.3D.4

【分析】畫(huà)出具體的向量進(jìn)行判定正誤.

【解】D.

【點(diǎn)撥】正確理解向量減法的幾何意義，即a-8可以表示為從向量力的終點(diǎn)指向向量

a的終點(diǎn)的向量可快速解決本題.

【例2】在四邊形48(口中，而一而一無(wú)等于

[]

A.ACB.BDC.ADD.AC

【分析】AB—DC—=AB+BD=AD.

【解】C.

【點(diǎn)撥】考查向量加法與減法的幾何意義，深入理解向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算.

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

自主探究學(xué)習(xí)

1.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量五的積是一個(gè)向量，記作：入口.

(1)IXa|=|XIIaI.

(2)入>0時(shí)入M與五方向相同；入<0時(shí)入方與五方向相反；入=0時(shí)入2=6.

2.向量共線定理向量B與非零向量方共線，當(dāng)且僅當(dāng)只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使6=入五

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

若有向量。(五=6)、b,實(shí)數(shù)入，使行=入五，則五與B為共線向量；反之若五與B共線

(aw6)且I：京|=口，則當(dāng)。與B同向時(shí)B=當(dāng)口與B反向時(shí)不從而得向量B與

非零向量,共線，當(dāng)且僅當(dāng)只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使彼=入不

【經(jīng)典例題】

【例1】若3m+2A=a,m—3n=b,其中a,6是已知向量，求加，n.

【分析】可把已知條件看作向量m、〃的方程，通過(guò)方程組的求解得向量以n.

【解】記3加+2〃=a?,m—3n=b@.

3義②得3加-9〃=3艙）.

Ia

①一③得1l〃=a—3b.；.n=—a——t@.

1111

將④代入②有m—b+3n=—a+—b.

1111

【點(diǎn)撥】在此題求解過(guò)程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，

從中我們知道解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.

【例2】已知小反。是不共線的三點(diǎn)，。是內(nèi)的一點(diǎn)，若蘇+/+沃=0,則。是

△46。的（填內(nèi)心、重心、垂心、外心等）.

【分析】可利用平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算，由于連續(xù)的加法運(yùn)算滿足交換律

與結(jié)合律，即與代數(shù)中的加減運(yùn)算方式一樣，進(jìn)行等式的變形后，再找出0與△/比'之間（內(nèi)

心、重心、垂心、外心）的關(guān)系.

【解】：OA+OB+OC=0,

：.OA=-（OB+OC）,即無(wú)+n是與蘇方向相反且長(zhǎng)度相等的向量.

如圖所示，以仍、％為相鄰的兩邊作平行四邊形6。5，則

OD=OB+OC,

/.OD=^OA.

在平行四邊形成"中，設(shè)a'與勿相交于￡,'BE=~EC,則無(wú)=而.

."￡是446。的a'邊的中線，^\OA\=2\OE\.

.?.點(diǎn)。是△48C的重心.

【點(diǎn)撥】以三角形的重心為起點(diǎn)，以其各頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三個(gè)向量之和為零向量.除此還有

首尾相連的向量之和為零向量.這兩個(gè)結(jié)論在用數(shù)形結(jié)合的方法研究零向量時(shí)是有力的工具.

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.3.1平面向量基本定理

自主探究學(xué)習(xí)

平面向量基本定理：如果［是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)

的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人”入2使5=入房+入21.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.平面向量基本定理中不共線向量e,、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;

2.基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

3.由定理可將任一向量a在給出基底e-e2的條件下進(jìn)行分解；

4.基底給定時(shí)，分解形式惟一.入I，入2是被2，q,02唯一確定的實(shí)數(shù).

【經(jīng)典例題】

【例1】設(shè)3、而不共線，點(diǎn)。在上，求證：0P=AOA+POB,且4+〃=1,A.

〃eR.

【分析】根據(jù)點(diǎn)尸在仍上，而與Q共線入手解決問(wèn)題.

【證明】?.?尸在四上，...而與麗共線.

：.AP=tAB.：.OP—OA=t(.OB—OA).

：.OP=OA+tOB—tOA=(1—t)OA+tOB.

設(shè)1一片八，t=U,則。尸=40A+〃0B且4+〃=1,4、〃WR.

【點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)是考查平面向量的基本定理，及對(duì)共線向量的理解及應(yīng)用.本題以3、

方為基向量通過(guò)引入?yún)?shù)，在AOABA0LP中利用三角形法則尋求而與不、布的關(guān)系.本

題結(jié)論應(yīng)用較廣，要求掌握.

【例2】已知平行四邊形如龍中‘蘇“萍b,-C.且則*的,

\CN\=-|CD\,用a、b表示而，ON,MN.

3

【分析】選取基底以后，運(yùn)用向量加法或減法的三角形法則

或平行四邊形法則求解.

【解】

VBA=OA-OB=a-b,

-----1—?1-?11

BM=-BC=—BA=—a——b,

3666

...11

：?OM=OB+BM=b+-a——b

66

"*--*--*1—*1---

ON=OC+CN=-OD—CD

23

1*I*2*2/i\

=-OD+-OD=-OD=-（a+b）

2633

,22,

--a+—b;

33

----"—-ah

MN=0N—OM=---.

26

【點(diǎn)撥】平面內(nèi)的任何一個(gè)向量可以用平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量a、力表示，這是用向量

解題的基本功.在處理這類問(wèn)題時(shí)，除了正確利用向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還要注意如

下解題規(guī)律：盡可能的把要用a、力表示的向量連同a、6向同一個(gè)三角形或平行四邊形轉(zhuǎn)化,

再利用三角形法則或平行四邊形法則求解.

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運(yùn)算

自主探究學(xué)習(xí)

1.平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量八/作為基底.任

作一個(gè)向量〃，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得〃=尤1+切,，我們把（x,y）

叫做向量。的（直角）坐標(biāo)，記作a=（x,y）,其中x叫做〃在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸

上的坐標(biāo).

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

（1）若值=（%,%）石=（工2，必），則M±5=（X|±%2，X±必）；

（2）若4（為，,）,8（工2，%），則AB=（々一和%-%）；

（3）若萬(wàn)=（x,y）,貝i]4萬(wàn)=（4x,Ay）.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；

2.向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置

有關(guān).

【經(jīng)典例題】

【例1】已知三個(gè)力M（3,4）,元（2,-5）,耳（x,力的合力元+弓+弓=。.求耳的

坐標(biāo)

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【解】由題設(shè)K+E+得：(3,4)+(2,—5)+(x,y)=(0,0).

即:3+2+X=0=-5一,、

，居=(—5,1).

4-5+y=0=1

【點(diǎn)撥】相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量.

【例2】已知：四點(diǎn)4(5,1),8(3,4),。(1,3),〃(5,-3)求證：四邊形/8口是

梯形

【分析】要證明四邊形⑦是梯形，需要證明一組對(duì)邊平行且不相等.

【解】?.?麗=(-2,3),5C=(-4,6),：,AB=2DC.

：.~AB//DC,：.AB//DC,月.\AB\^\DC\,...四邊形被力是梯形.

【點(diǎn)撥】注意向量的平行與直線的平行不同.

2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示

自主探究學(xué)習(xí)

設(shè)a=(X”必)，b=(也，%)，若a〃瓦則汨%-及必=0.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.向量的坐標(biāo)表示主要依據(jù)平面向量的基本定理.半前拇量實(shí)數(shù)對(duì)(不力.

任何一個(gè)平面向量都有唯一的坐標(biāo)表示，但是每一個(gè)坐標(biāo)所表示的向量卻不一定唯一.也就

是說(shuō)，向量的坐標(biāo)表示和向量不是---對(duì)應(yīng)的關(guān)系，但和起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量是----對(duì)應(yīng)的關(guān)

系.即向量3點(diǎn)/(x,y).向量的坐標(biāo)等于表示此向曩線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減

去始點(diǎn)坐標(biāo).

2.已知向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)時(shí)一定要搞清方向，用對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)坐標(biāo)減去

始點(diǎn)坐標(biāo).要避免將向量的終點(diǎn)坐標(biāo)誤認(rèn)為是向量坐標(biāo).

【經(jīng)典例題】

【例1】平面內(nèi)給定三個(gè)向量：=(3,2)石=(-1,2)"=(4,1),回答下列問(wèn)題：

(1)求滿足a=+的實(shí)數(shù)用〃；

(2)若［+詫)〃侈-％),求實(shí)數(shù)A;

(3)若2滿足口―“市+可，且口—4=5求》.

【分析】依據(jù)條件特點(diǎn)，可將所求向量坐標(biāo)看作未知數(shù)列出方程或方程組，求解得到的

方程或方程組即可.

【解】⑴由題意得(3,2)="-1,2)+〃(4,1),

5

3--

9

得

所以-Inm

V8

--

9

.

(2)a+&c=(3+4Z,2+k),2h—a=(-5,2).

-.2x(3+必)一(一5)(2+4)=0,=一

(3)設(shè)〃=(x,y)，則d—c=(x—4,y-l),a+辦=(2,4),

4(x-4)-2(y-l)=0

由題意得

(x-4)2+(y-l)2=5

得1或從而,d=(3,-1)或心(5,3).

y=—1[y=3

【點(diǎn)撥】運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，要熟練把握向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

本題在求解參數(shù)或向量坐標(biāo)時(shí)，都以向量共線的條件為等量關(guān)系列方程.

【例2】已知。(0,0),A(1,2),B(4,5)及厲=OA+IXB(teR).試問(wèn)：

(1)大為何值時(shí)，點(diǎn)尸在x軸上？在y軸上？點(diǎn)尸在第二象限？

(2)四邊形物筋能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的大值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)對(duì)向量K的坐標(biāo)表示為(x,y)后，分別求y=0；x=0；xVO且Q0時(shí)

t的值；(2)屬于存在型問(wèn)題，可以假設(shè)其存在，若有解(即求出相應(yīng)-值)就是能成為平

行四邊形，若"直無(wú)解，就是不能成為平行四邊形.

【解】

(1)AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+31,2+31).若尸在X軸上，則2+32=0,解得

t=-2.若尸在y軸上，則1+3”0,解得「=」.若尸在第二象限，則["SY。，解得_2

33[2+3r>0.3

3

(2)'：OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3￡).若四邊形0L印為平行四邊形，則

OA=PB,而!：一》=：無(wú)解.

四邊形以第不能成為平行四邊形.

【點(diǎn)撥】本題依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量用坐標(biāo)表示解決具體問(wèn)題，其特點(diǎn)是簡(jiǎn)捷明

了，有章可循.

2.4平面向量的數(shù)量積

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

自主探究學(xué)習(xí)

1.數(shù)量積定義：設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為。，則數(shù)量|引cos。叫做a與力

的數(shù)量積(也叫內(nèi)積)，記作a?b,即a,爐a18cos0.

規(guī)定：。與任何向量的數(shù)量積為0；非零向量夾角的范圍：ovev萬(wàn)

2.投影的定義：非零向量a,6的夾角為，則數(shù)量1引cos。稱為向量6在a方向上的投影.

注意；投影是一個(gè)數(shù)量.

3.數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與人在a的方向上的投影|引cos。

的乘積.

4.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a*b=b*a(交換律)；(2)(2a)?b-A.(.a*b)=2a.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與6同向的單位向量

l°ea=a-e=|acos0；

2°alb<=>ab=0；

3。當(dāng)a與。同向時(shí)，ab=\a\\b；當(dāng)a與方反向時(shí)，ab=-|a|b\；特別的a-a=a~

或|arJa；

a-b

4°cos0

\a\\b\

5°|ab\Wa\\b.

2.“投影”的概念：作圖

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)。為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)。為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)。

為直角時(shí)投影為o；當(dāng)e=0。時(shí)投影為引；當(dāng)。=180。時(shí)投影為-\b\

3.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即(a.b).cHa.(b.c).

4.代數(shù)中的命題“若aAO,則a=O或爐0”是真命題；向量中的命題“若則W

=6或1=6”是假命題.

5.對(duì)于非零實(shí)數(shù)a,b,c,有atrbcn年c.但對(duì)于向量這個(gè)結(jié)論不成立，即

不自旨推出a=c.

【經(jīng)典例題】

【例1】判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

①a?0=0；②0?a=0；③0—AB=BA；?\a'b\=\a\I力I；⑤若aWO,則對(duì)

任一非零6有a?bWO；?a?b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0；⑦對(duì)任意向量a,b,c

都有(a?6)c=a(b?c)；⑧a與6是兩個(gè)單位向量，則成=加

【分析】對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0?a=0；

對(duì)于②：應(yīng)有0?a=0；

對(duì)于④：由數(shù)量積定義有Ia?bI=Ia|?IAI-Icose|WIaI\b\,這里0

是a與b的夾角，只有。=0或。=JT時(shí)，才有|a?6|=|a|?|力|；

對(duì)于⑤：若非零向量a、6垂直，有a?8=0；

對(duì)于⑥：由a,b=0可知&_1_6可以都非零；

對(duì)于⑦：若a與c共線，記a=入c

則a?8=(、c),b=A.(c,/>)=入(b?c),

(a?b)?c=入(Z>?c)c=(Z?,c)Xc—"?c)a

若a與c不共線，貝U(a,b)cWc)a

【解】只有③⑧正確.

【點(diǎn)撥】這一類型題，要把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，才能正確作答.

【例2】已知IaI=3,|力|=6,當(dāng)①a〃力，②aJ_b,③a與b的夾角是60°時(shí)，

分別求a?b

【分析】可根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律進(jìn)行解答.

【解】①當(dāng)a〃力時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角0=0°,

/.a,b=IaI,|bIcosO0=3X6X1=18；

若a與8反向，則它們的夾角0=180°,

a?b=IaIIbIcosl80°=3X6X(-1)=-18；

②當(dāng)a，人時(shí)，它們的夾角0=90°,

a?b=0；

③當(dāng)a與6的夾角是60°時(shí)，有

a,b=\a\\b\cos60°=3X6X—=9.

2

【點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是[0。，180。],因此，當(dāng)a〃b

時(shí)，有0°或180°兩種可能

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

自主探究學(xué)習(xí)

1.數(shù)量積的坐標(biāo)表示：

設(shè)a=(x，y),全(々，%)，則a?+

2.重要的公式：

(1)長(zhǎng)度公式：卜卜痛=C=J謁?=(%%))

(2)夾角公式：cos6=■■Ix'x^+y'y2(a=(X|,y),左(%2，%))?

(3)平面兩點(diǎn)間的距離公式：

22

dA,B=|AB|=>]ABAB=yl(x2-xi)+(y2-yl)(4(%,y),,必)).

(4)不等式：卜.可=|砸卜05。歸同.

3.向量的平行與垂直的充要條件：設(shè)a=(%，x),左⑷，％)，且人聲0，則a〃力。爐入a

<=>xty2-x2y}=0.a_Lbka豐0)0a?ZF0=無(wú)1々+X%=。.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

1.兩向量的夾角與三角形的內(nèi)角的范圍不同.因此轉(zhuǎn)化方法也不同.三角形的內(nèi)角的范

圍是(0,%)，因此AABC中A為銳角ocos4>0,A為鈍角ocos水0,而兩向量的夾角的范圍是

[0,句，若采用相同的轉(zhuǎn)化方法就錯(cuò)了.

向量的夾轉(zhuǎn)化為用數(shù)量積與夾角公式解決時(shí)要注意等價(jià)性.①￡與坂的夾角為銳角=

cos<a,坂>>0且cos<a,B>#1,容易忽略cos<a,B>#1；

②a與B的夾角為鈍角ocosVa,B>〈0且cosVa,B>W-l,，容易忽略cosVa,b>

#T.

2.a///><=>x[y2~至必=0與@_1_6。及尼-如=0要區(qū)分清楚；

3.由于向量有多種表達(dá)形式，又向量的各種運(yùn)算都可用坐標(biāo)表示，于是在運(yùn)用向量知識(shí)

解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)往往有多種方法.其中坐標(biāo)法是最常用，最重要的一種方法.

4.平面向量的數(shù)量積將角度和長(zhǎng)度有機(jī)地聯(lián)系在一起，因此，涉及到角度與距離有關(guān)的

問(wèn)題，可優(yōu)先考慮用向量的數(shù)量積進(jìn)行處理.

【經(jīng)典例題】

【例1｝已知日=(1,8)，b=(V3+1,V3-1),則2與彼的夾角是多少？

【分析】為求d與B夾角，需先求限萬(wàn)及Ia\?\b\,再結(jié)合夾角0的范圍確定其

【解】由五=(1,6),b=(V3+1,V3-1)

有2?1(6-1)=4,|?|=2,||=2V2.

記m與3的夾角為，，則為$。=幺2=也.

又丁0W0W",A0=-

4

【點(diǎn)撥】已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定.

【例2】如圖，以原點(diǎn)和力(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角△48G使/分=90°,求點(diǎn)B和向

量的坐標(biāo)

【分析】設(shè)出向量B的坐標(biāo)，列出等量關(guān)系解方程求解.

【解】設(shè)分點(diǎn)坐標(biāo)(x,y),則。8=(x,y),AB=(矛一5,尸2)

OB±AB.?"(AS)+y(尸2)=0即：x+y-5x-2yA=0,

又：OB=AB|A/+y=(A5)2+(尸2￥即：10x+A4y

3

2

7

2

—?3773

【點(diǎn)撥】結(jié)合圖形，能快速的找到向量B的坐標(biāo)滿足的條件.

2.5平面向量應(yīng)用舉例

自主探究學(xué)習(xí)

1.物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它們都是向量.

2.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法

則和平行四邊形法則.力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，運(yùn)動(dòng)的疊加也用到

了向量的加法.

3.動(dòng)量是數(shù)乘向量.

4.力所做的功就是作用力尸與物體在力F的作用下所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.

名師要點(diǎn)解析

要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)

用向量研究物理問(wèn)題的方法:首先把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將物理量之間的關(guān)系抽

象成數(shù)學(xué)模型，然后利用建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.

【經(jīng)典例題】

【例