高中數學：導學案：平面向量

第二章平面向量

2.1平面向量的實際背景及基本概念

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1.數量與向量的區(qū)別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2.向量的表示方法：B

①用有向線段表示；/

A（起點）

②用字母a、力（黑體，印刷用）等表示；

③用有向線段的起點與終點字母：而；

④向量獲的大小一一長度稱為向量的模，記作I而I.

3.有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.

4、零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作〃。的方向是任意的.

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.

5、平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任一向量平行.

6、相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

7、共線向量與平行向量關系：

平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的

起點無關）.

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要點導學

1.向量與有向線段的區(qū)別：

（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，則這兩個向量

就是相同的向量；

（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不

同的有向線段.

2.向量a與6相等，記作a=b；零向量與零向量相等；任意兩個相等的非零向量，都可

用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關.

3.零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.

4.平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行,

要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.

【經典例題】

[例1]下列命題正確的是

[]

A.a與力共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量a與，不共線，則a與6都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

【分析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數學中研究的向量是自由

向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是

一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點

是否相同無關，所以D不正確；對于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入

手考慮，假若a與，不都是非零向量，即a與6至少有一個是零向量，而由零向量與任一向

量都共線，可有a與6共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量.

【解】選C.

【點撥】對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進行考

慮，注意這兩方面的結合.

【例2】判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.

①向量獲與而是共線向量，則力、B、a〃四點必在一直線上；

②單位向量都相等；

③任一向量與它的相反向量不相等；

④四邊形勿是平行四邊形的充要條件是而=DC

⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；

⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

【分析】首先區(qū)別零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關系，再

一一判別正誤..

【解】①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量

A3、AC在同一直線上.

②不正確.單位向量的模均相等且為1,但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是4________彳:

相等的.

④、⑤正確.⑥不正確.如圖就與前共線，雖起點不同，但其終點卻相同.

【點撥】本題考查基本概念，平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關

系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關系.

2.2平面向量的線性運算

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義

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1.向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

2.向量的加法有三角形法則和平行四邊形法則.

3.六+乩+…

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要點導學

1.\a+b\W|a+\b\,當且僅當方向相同時取等號；

2.幾何中向量加法是用幾何作圖來定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則

（“首尾相接，首尾連”）和平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應）課本中采用了三

角形法則來定義，這種定義，對兩向量共線時同樣適用，當向量不共線時，向量加法的三角

形法則和平行四邊形法則是一致的

3.向量加法有如下規(guī)律：a+3=各（交換律）；a+（加c）=（a+為+c（結合律）；

a+O=a,a+（~a）=O.因此，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.

【經典例題】

［例1］若a="向東走8km”,b="向北走8km”,則Ia+b=,m"6的方向是

【分析】畫出圖形，以a、b為鄰邊的平行四邊形是正方形，根據勾股定理可得

a+Z?|=764+64=872（km）,a+b的方向是東北方向..

【解】8發(fā)km東北方向

【點撥】解決這樣的問題，畫出以a、b為鄰邊的平行四邊形以后，問題就會迎刃而解.

【例2】如圖，一艘船從4點出發(fā)以2Gkm/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河

水的流速為2km/h,求船的實際航行的速度的大小與方向(用與流速間的夾角表示).

【分析】畫出圖形，以荏、正為鄰邊作平行四邊形，根據勾股定理即可得解.

【解】設而表示船垂直于對岸行駛的速度，筋表示水流的速度，以力〃為鄰邊作平

行四邊形/比〃則就就是船的實際航行的速度.1-----------3c

在RtAABC中，|而|=2,|BC|=273./

所以|而|=畫2+辰［=爾/

26A

因為tanZCAB=^-=V3n/CAB=60。.

2

答：船的實際航行的速度的大小為4km/h,方向與水流速間的夾角為60、

【點撥】：向量的加法可以用幾何法進行，正確理解向量的各種運算的幾何意義，進一步

加深對“向量”的認識，體會用向量處理問題的優(yōu)越性.

2.2.2向量的減法運算及其幾何意義

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1.用“相反向量”定義向量的減法

(1)“相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作—a.

(2)規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a.

任一向量與它的相反向量的和是零向量.a+(-向=0.

如果8、力互為相反向量，則a=-b,b=-a,a+b=0.

(3)向量減法的定義：向量a加上的6相反向量，叫做a與力的差.

即：a-b=a+(-b)求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

2.用加法的逆運算定義向量的減法：

向量的減法是向量加法的逆運算：

若6+x=a,則x叫做a與力的差，記作a-b

3.向量減法的幾何表示：三角形法則，即a-6可以表示為從向量力的終點指向向量a

的終點的向量.

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要點導學

以向量版=3、詬=1為鄰邊作平行四邊形/頗，則兩條對角線的向量元=3+3,BD=b

—a,DB=a—b且有|aI—I|W|a±B|W|al+|BI.

【經典例題】

【例11在下列各題中，正確的命題個數為

[1

(1)若向量a與6方向相反，且Ia|>|力，則Ab與a方向相同

(2)若向量a與。方向相反，且|>|6,則a~b與a+8方向相同

(3)若向量a與6方向相同，且|a|<|力，則a~b與a方向相反

(4)若向量a與6方向相同，且1ale，則a~b與a+6方向相反

A.1B.2C.3D.4

【分析】畫出具體的向量進行判定正誤.

【解】D.

【點撥】正確理解向量減法的幾何意義，即a-8可以表示為從向量力的終點指向向量

a的終點的向量可快速解決本題.

【例2】在四邊形48(口中，而一而一無等于

[]

A.ACB.BDC.ADD.AC

【分析】AB—DC—=AB+BD=AD.

【解】C.

【點撥】考查向量加法與減法的幾何意義，深入理解向量的減法是向量加法的逆運算.

2.2.3向量數乘運算及其幾何意義

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1.實數與向量的積：實數人與向量五的積是一個向量，記作：入口.

(1)IXa|=|XIIaI.

(2)入>0時入M與五方向相同；入<0時入方與五方向相反；入=0時入2=6.

2.向量共線定理向量B與非零向量方共線，當且僅當只有一個非零實數入，使6=入五

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要點導學

若有向量。(五=6)、b,實數入，使行=入五，則五與B為共線向量；反之若五與B共線

(aw6)且I：京|=口，則當。與B同向時B=當口與B反向時不從而得向量B與

非零向量,共線，當且僅當只有一個非零實數入，使彼=入不

【經典例題】

【例1】若3m+2A=a,m—3n=b,其中a,6是已知向量，求加，n.

【分析】可把已知條件看作向量m、〃的方程，通過方程組的求解得向量以n.

【解】記3加+2〃=a?,m—3n=b@.

3義②得3加-9〃=3艙）.

Ia

①一③得1l〃=a—3b.；.n=—a——t@.

1111

將④代入②有m—b+3n=—a+—b.

1111

【點撥】在此題求解過程中，利用了實數與向量的積以及它所滿足的交換律、結合律，

從中我們知道解向量的二元一次方程組的方法與解實數的二元一次方程組的方法一致.

【例2】已知小反。是不共線的三點，。是內的一點，若蘇+/+沃=0,則。是

△46。的（填內心、重心、垂心、外心等）.

【分析】可利用平行四邊形法則進行向量的加法運算，由于連續(xù)的加法運算滿足交換律

與結合律，即與代數中的加減運算方式一樣，進行等式的變形后，再找出0與△/比'之間（內

心、重心、垂心、外心）的關系.

【解】：OA+OB+OC=0,

：.OA=-（OB+OC）,即無+n是與蘇方向相反且長度相等的向量.

如圖所示，以仍、％為相鄰的兩邊作平行四邊形6。5，則

OD=OB+OC,

/.OD=^OA.

在平行四邊形成"中，設a'與勿相交于￡,'BE=~EC,則無=而.

."￡是446。的a'邊的中線，^\OA\=2\OE\.

.?.點。是△48C的重心.

【點撥】以三角形的重心為起點，以其各頂點為終點的三個向量之和為零向量.除此還有

首尾相連的向量之和為零向量.這兩個結論在用數形結合的方法研究零向量時是有力的工具.

2.3平面向量的基本定理及坐標表示

2.3.1平面向量基本定理

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平面向量基本定理：如果［是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內

的任一向量有且只有一對實數人”入2使5=入房+入21.

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1.平面向量基本定理中不共線向量e,、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底;

2.基底不惟一，關鍵是不共線；

3.由定理可將任一向量a在給出基底e-e2的條件下進行分解；

4.基底給定時，分解形式惟一.入I，入2是被2，q,02唯一確定的實數.

【經典例題】

【例1】設3、而不共線，點。在上，求證：0P=AOA+POB,且4+〃=1,A.

〃eR.

【分析】根據點尸在仍上，而與Q共線入手解決問題.

【證明】?.?尸在四上，...而與麗共線.

：.AP=tAB.：.OP—OA=t(.OB—OA).

：.OP=OA+tOB—tOA=(1—t)OA+tOB.

設1一片八，t=U,則。尸=40A+〃0B且4+〃=1,4、〃WR.

【點撥】本題重點是考查平面向量的基本定理，及對共線向量的理解及應用.本題以3、

方為基向量通過引入參數，在AOABA0LP中利用三角形法則尋求而與不、布的關系.本

題結論應用較廣，要求掌握.

【例2】已知平行四邊形如龍中‘蘇“萍b,-C.且則*的,

\CN\=-|CD\,用a、b表示而，ON,MN.

3

【分析】選取基底以后，運用向量加法或減法的三角形法則

或平行四邊形法則求解.

【解】

VBA=OA-OB=a-b,

-----1—?1-?11

BM=-BC=—BA=—a——b,

3666

...11

：?OM=OB+BM=b+-a——b

66

"*--*--*1—*1---

ON=OC+CN=-OD—CD

23

1*I*2*2/i\

=-OD+-OD=-OD=-（a+b）

2633

,22,

--a+—b;

33

----"—-ah

MN=0N—OM=---.

26

【點撥】平面內的任何一個向量可以用平面內不共線的兩個向量a、力表示，這是用向量

解題的基本功.在處理這類問題時，除了正確利用向量加法、減法、數乘運算外，還要注意如

下解題規(guī)律：盡可能的把要用a、力表示的向量連同a、6向同一個三角形或平行四邊形轉化,

再利用三角形法則或平行四邊形法則求解.

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐標表示及運算

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1.平面向量的坐標表示

在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量八/作為基底.任

作一個向量〃，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得〃=尤1+切,，我們把（x,y）

叫做向量。的（直角）坐標，記作a=（x,y）,其中x叫做〃在x軸上的坐標，y叫做a在y軸

上的坐標.

2.平面向量的坐標運算：

（1）若值=（%,%）石=（工2，必），則M±5=（X|±%2，X±必）；

（2）若4（為，,）,8（工2，%），則AB=（々一和%-%）；

（3）若萬=（x,y）,貝i]4萬=（4x,Ay）.

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要點導學

1.相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；

2.向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置

有關.

【經典例題】

【例1】已知三個力M（3,4）,元（2,-5）,耳（x,力的合力元+弓+弓=。.求耳的

坐標

【分析】根據向量的坐標運算求解.

【解】由題設K+E+得：(3,4)+(2,—5)+(x,y)=(0,0).

即:3+2+X=0=-5一,、

，居=(—5,1).

4-5+y=0=1

【點撥】相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量.

【例2】已知：四點4(5,1),8(3,4),。(1,3),〃(5,-3)求證：四邊形/8口是

梯形

【分析】要證明四邊形⑦是梯形，需要證明一組對邊平行且不相等.

【解】?.?麗=(-2,3),5C=(-4,6),：,AB=2DC.

：.~AB//DC,：.AB//DC,月.\AB\^\DC\,...四邊形被力是梯形.

【點撥】注意向量的平行與直線的平行不同.

2.3.4平面向量共線的坐標表示

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設a=(X”必)，b=(也，%)，若a〃瓦則汨%-及必=0.

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1.向量的坐標表示主要依據平面向量的基本定理.半前拇量實數對(不力.

任何一個平面向量都有唯一的坐標表示，但是每一個坐標所表示的向量卻不一定唯一.也就

是說，向量的坐標表示和向量不是---對應的關系，但和起點為原點的向量是----對應的關

系.即向量3點/(x,y).向量的坐標等于表示此向曩線段的終點坐標減

去始點坐標.

2.已知向量的始點和終點坐標求向量的坐標時一定要搞清方向，用對應的終點坐標減去

始點坐標.要避免將向量的終點坐標誤認為是向量坐標.

【經典例題】

【例1】平面內給定三個向量：=(3,2)石=(-1,2)"=(4,1),回答下列問題：

(1)求滿足a=+的實數用〃；

(2)若［+詫)〃侈-％),求實數A;

(3)若2滿足口―“市+可，且口—4=5求》.

【分析】依據條件特點，可將所求向量坐標看作未知數列出方程或方程組，求解得到的

方程或方程組即可.

【解】⑴由題意得(3,2)="-1,2)+〃(4,1),

5

3--

9

得

所以-Inm

V8

--

9

.

(2)a+&c=(3+4Z,2+k),2h—a=(-5,2).

-.2x(3+必)一(一5)(2+4)=0,=一

(3)設〃=(x,y)，則d—c=(x—4,y-l),a+辦=(2,4),

4(x-4)-2(y-l)=0

由題意得

(x-4)2+(y-l)2=5

得1或從而,d=(3,-1)或心(5,3).

y=—1[y=3

【點撥】運用向量的坐標表示，使向量的運算完全代數化，要熟練把握向量的坐標運算.

本題在求解參數或向量坐標時，都以向量共線的條件為等量關系列方程.

【例2】已知。(0,0),A(1,2),B(4,5)及厲=OA+IXB(teR).試問：

(1)大為何值時，點尸在x軸上？在y軸上？點尸在第二象限？

(2)四邊形物筋能否成為平行四邊形？若能，求出相應的大值；若不能，請說明理由.

【分析】(1)對向量K的坐標表示為(x,y)后，分別求y=0；x=0；xVO且Q0時

t的值；(2)屬于存在型問題，可以假設其存在，若有解(即求出相應-值)就是能成為平

行四邊形，若"直無解，就是不能成為平行四邊形.

【解】

(1)AB=(3,3),OP=OA+tAB=(1+31,2+31).若尸在X軸上，則2+32=0,解得

t=-2.若尸在y軸上，則1+3”0,解得「=」.若尸在第二象限，則["SY。，解得_2

33[2+3r>0.3

3

(2)'：OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3￡).若四邊形0L印為平行四邊形，則

OA=PB,而!：一》=：無解.

四邊形以第不能成為平行四邊形.

【點撥】本題依據向量的坐標運算，將向量用坐標表示解決具體問題，其特點是簡捷明

了，有章可循.

2.4平面向量的數量積

2.4.1平面向量的數量積的物理背景及其含義

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1.數量積定義：設a,b是兩個非零向量，它們的夾角為。，則數量|引cos。叫做a與力

的數量積(也叫內積)，記作a?b,即a,爐a18cos0.

規(guī)定：。與任何向量的數量積為0；非零向量夾角的范圍：ovev萬

2.投影的定義：非零向量a,6的夾角為，則數量1引cos。稱為向量6在a方向上的投影.

注意；投影是一個數量.

3.數量積的幾何意義：數量積a?b等于a的長度|a|與人在a的方向上的投影|引cos。

的乘積.

4.向量的數量積的運算律：

(1)a*b=b*a(交換律)；(2)(2a)?b-A.(.a*b)=2a.

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1.兩個向量的數量積的性質：

設a、b為兩個非零向量，e是與6同向的單位向量

l°ea=a-e=|acos0；

2°alb<=>ab=0；

3。當a與。同向時，ab=\a\\b；當a與方反向時，ab=-|a|b\；特別的a-a=a~

或|arJa；

a-b

4°cos0

\a\\b\

5°|ab\Wa\\b.

2.“投影”的概念：作圖

投影也是一個數量，不是向量；當。為銳角時投影為正值；當。為鈍角時投影為負值；當。

為直角時投影為o；當e=0。時投影為引；當。=180。時投影為-\b\

3.向量的數量積不滿足結合律，即(a.b).cHa.(b.c).

4.代數中的命題“若aAO,則a=O或爐0”是真命題；向量中的命題“若則W

=6或1=6”是假命題.

5.對于非零實數a,b,c,有atrbcn年c.但對于向量這個結論不成立，即

不自旨推出a=c.

【經典例題】

【例1】判斷正誤，并簡要說明理由

①a?0=0；②0?a=0；③0—AB=BA；?\a'b\=\a\I力I；⑤若aWO,則對

任一非零6有a?bWO；?a?b=0,則a與b中至少有一個為0；⑦對任意向量a,b,c

都有(a?6)c=a(b?c)；⑧a與6是兩個單位向量，則成=加

【分析】對于①：兩個向量的數量積是一個實數，應有0?a=0；

對于②：應有0?a=0；

對于④：由數量積定義有Ia?bI=Ia|?IAI-Icose|WIaI\b\,這里0

是a與b的夾角，只有。=0或。=JT時，才有|a?6|=|a|?|力|；

對于⑤：若非零向量a、6垂直，有a?8=0；

對于⑥：由a,b=0可知&_1_6可以都非零；

對于⑦：若a與c共線，記a=入c

則a?8=(、c),b=A.(c,/>)=入(b?c),

(a?b)?c=入(Z>?c)c=(Z?,c)Xc—"?c)a

若a與c不共線，貝U(a,b)cWc)a

【解】只有③⑧正確.

【點撥】這一類型題，要把握好數量積的定義、性質、運算律，才能正確作答.

【例2】已知IaI=3,|力|=6,當①a〃力，②aJ_b,③a與b的夾角是60°時，

分別求a?b

【分析】可根據數量積的定義、性質、運算律進行解答.

【解】①當a〃力時，若a與b同向，則它們的夾角0=0°,

/.a,b=IaI,|bIcosO0=3X6X1=18；

若a與8反向，則它們的夾角0=180°,

a?b=IaIIbIcosl80°=3X6X(-1)=-18；

②當a，人時，它們的夾角0=90°,

a?b=0；

③當a與6的夾角是60°時，有

a,b=\a\\b\cos60°=3X6X—=9.

2

【點撥】兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是[0。，180。],因此，當a〃b

時，有0°或180°兩種可能

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

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1.數量積的坐標表示：

設a=(x，y),全(々，%)，則a?+

2.重要的公式：

(1)長度公式：卜卜痛=C=J謁?=(%%))

(2)夾角公式：cos6=■■Ix'x^+y'y2(a=(X|,y),左(%2，%))?

(3)平面兩點間的距離公式：

22

dA,B=|AB|=>]ABAB=yl(x2-xi)+(y2-yl)(4(%,y),,必)).

(4)不等式：卜.可=|砸卜05。歸同.

3.向量的平行與垂直的充要條件：設a=(%，x),左⑷，％)，且人聲0，則a〃力。爐入a

<=>xty2-x2y}=0.a_Lbka豐0)0a?ZF0=無1々+X%=。.

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1.兩向量的夾角與三角形的內角的范圍不同.因此轉化方法也不同.三角形的內角的范

圍是(0,%)，因此AABC中A為銳角ocos4>0,A為鈍角ocos水0,而兩向量的夾角的范圍是

[0,句，若采用相同的轉化方法就錯了.

向量的夾轉化為用數量積與夾角公式解決時要注意等價性.①￡與坂的夾角為銳角=

cos<a,坂>>0且cos<a,B>#1,容易忽略cos<a,B>#1；

②a與B的夾角為鈍角ocosVa,B>〈0且cosVa,B>W-l,，容易忽略cosVa,b>

#T.

2.a///><=>x[y2~至必=0與@_1_6。及尼-如=0要區(qū)分清楚；

3.由于向量有多種表達形式，又向量的各種運算都可用坐標表示，于是在運用向量知識

解決有關問題時往往有多種方法.其中坐標法是最常用，最重要的一種方法.

4.平面向量的數量積將角度和長度有機地聯系在一起，因此，涉及到角度與距離有關的

問題，可優(yōu)先考慮用向量的數量積進行處理.

【經典例題】

【例1｝已知日=(1,8)，b=(V3+1,V3-1),則2與彼的夾角是多少？

【分析】為求d與B夾角，需先求限萬及Ia\?\b\,再結合夾角0的范圍確定其

【解】由五=(1,6),b=(V3+1,V3-1)

有2?1(6-1)=4,|?|=2,||=2V2.

記m與3的夾角為，，則為$。=幺2=也.

又丁0W0W",A0=-

4

【點撥】已知三角形函數值求角時，應注重角的范圍的確定.

【例2】如圖，以原點和力(5,2)為頂點作等腰直角△48G使/分=90°,求點B和向

量的坐標

【分析】設出向量B的坐標，列出等量關系解方程求解.

【解】設分點坐標(x,y),則。8=(x,y),AB=(矛一5,尸2)

OB±AB.?"(AS)+y(尸2)=0即：x+y-5x-2yA=0,

又：OB=AB|A/+y=(A5)2+(尸2￥即：10x+A4y

3

2

7

2

—?3773

【點撥】結合圖形，能快速的找到向量B的坐標滿足的條件.

2.5平面向量應用舉例

自主探究學習

1.物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它們都是向量.

2.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它們也符合向量加法的三角形法

則和平行四邊形法則.力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，運動的疊加也用到

了向量的加法.

3.動量是數乘向量.

4.力所做的功就是作用力尸與物體在力F的作用下所產生的位移s的數量積.

名師要點解析

要點導學

用向量研究物理問題的方法:首先把物理問題轉化成數學問題，即將物理量之間的關系抽

象成數學模型，然后利用建立起來的數學模型解釋和回答相關的物理現象.

【經典例題】

【例