拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修1

第2課時直線與拋物線的位置關(guān)系3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)1課前預(yù)習素養(yǎng)啟迪直線與拋物線的位置關(guān)系已知直線l:y=kx+m與拋物線C:y2=2px(p>0);方程k2x2+2(km-p)x+m2=0,Δ=[2(km-p)]2-4k2m2.(1)l與C相交于一點?k=0;相交于兩點?k≠0,Δ>0.(2)l與C相切?k≠0,Δ=0.(3)l與C相離?k≠0,Δ<0.B1.過拋物線y2=8x的焦點,作傾斜角為45°的直線,則被拋物線截得的弦長為(

)A.8 B.16 C.32 D.61解析:由拋物線y2=8x的焦點坐標為(2,0),得直線的方程為y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.設(shè)弦的兩端點的坐標為(x1,y1),(x2,y2),所以x1+x2=12,弦長為x1+x2+p=12+4=16.B2.過點(2,4)的直線與拋物線y2=8x只有一個公共點,這樣的直線有(

)A.1條 B.2條 C.3條 D.4條解析:因為點(2,4)在拋物線y2=8x上,所以過該點與拋物線相切的直線和過該點與x軸平行的直線都與拋物線只有一個公共點.CD(4,2)4.已知直線x-y=2與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,那么線段AB的中點坐標是

.

5.已知直線l:y=2x+b(b≠0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB(O為原點),寫出一個滿足條件的拋物線方程:

,此時直線的方程為

.

y2=2xy=2x-4(答案不唯一)2課堂探究素養(yǎng)培育直線與拋物線的位置關(guān)系[例1]已知拋物線C:y2=-2x,過點P(1,1)的直線l斜率為k,當k取何值時,l與C有且只有一個公共點;有兩個公共點;無公共點?直線與拋物線交點個數(shù)的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,(1)若a≠0,當Δ>0時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當Δ=0時,直線與拋物線相切,有一個交點;當Δ<0時,直線與拋物線相離,無交點.(2)若a=0,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合,因此直線與拋物線有一個交點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.[針對訓練]已知點A(0,2)和拋物線C:y2=6x,求過點A且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程.與拋物線有關(guān)的中點弦問題[例2]已知A,B為拋物線E上不同的兩點,若拋物線E的焦點為(1,0),線段AB恰被M(2,1)所平分.(1)求拋物線E的方程;[例2]已知A,B為拋物線E上不同的兩點,若拋物線E的焦點為(1,0),線段AB恰被M(2,1)所平分.(2)求直線AB的方程.[變式探究]若本例中條件“線段AB恰被M(2,1)所平分”改為“線段AB恰被M(1,1)所平分”,試問:這樣的直線AB是否存在?若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請說明理由.(2)傳統(tǒng)法:設(shè)直線方程,并與拋物線的方程聯(lián)立,消去x(或y)得關(guān)于y(或x)的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系,得兩根之和即為中點縱(或橫)坐標的2倍,從而求斜率.相交弦問題[例3]已知F為拋物線C:y2=2px的焦點,點A(2,m)在拋物線C上,且|AF|=4.(1)求拋物線C的方程;[例3]已知F為拋物線C:y2=2px的焦點,點A(2,m)在拋物線C上,且|AF|=4.(2)過點F作斜率為2的直線交拋物線C于P,Q兩點,求△APQ的面積.②焦點弦長設(shè)AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條過焦點F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.即求拋物線的焦點弦長,通常是利用焦半徑,把點點距轉(zhuǎn)化為點線距(點到準線的距離)解決,這體現(xiàn)了拋物線的特殊性以及求拋物線焦點弦的便捷特點.[針對訓練]在平面直角坐標系xOy中,曲線C:x2=6y與直線l:y=kx+3交于M,N兩點.(1)若△MON的面積為18,求k;[針對訓練]在平面直角坐標系xOy中,曲線C:x2=6y與直線l:y=kx+3交于M,N兩點.(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?若存在,請證明,并求以線段OP為直徑的圓的方程;若不存在,請說明理由.C1.在拋物線y2=8x中,以(1,-1)為中點的弦所在直線的方程是(

)A.x-4y-3=0 B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0 D.4x+y+3=0CAD4.已知點A(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線C:x2=4y上,點F是拋物線C的焦點,線段AB的中點為N,若點M的坐標為(1,-1),且F是△ABM的