備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)分層練習(xí)第七章立體幾何與空間向量第5講空間向量及空間位置關(guān)系

第5講空間向量及空間位置關(guān)系1.以下各選項(xiàng)中的三個(gè)向量，不能構(gòu)成空間基底的是（A）A.a＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0B.a＝（1，0，0），b＝（0，1，0），c＝（0，0，2）C.a＝（1，0，1），b＝（0，1，1），c＝（2，1，2）D.a＝（1，1，1），b＝（0，1，0），c＝（1，0，2）解析若空間三個(gè)向量a，b，c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則向量a，b，c不共面，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0），則c＝12a－22b，即向量a，b，c共面，故選項(xiàng)A中的三個(gè)向量不能構(gòu)成空間基底.選項(xiàng)B，C，2.已知直線l1的一個(gè)方向向量a＝（2，4，x），直線l2的一個(gè)方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且l1⊥l2，則x＋y的值是（A）A.－3或1 B.3或－1C.－3 D.1解析∵｜a｜＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x.∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝－3；當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝1.∴x＋y＝3.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2），且（a＋2b）∥（2a－b），則（B）A.x＝13，y＝1 B.x＝12，y＝C.x＝2，y＝－14 D.x＝1，y＝－解析由題意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）.∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在實(shí)數(shù)λ，使a＋2b＝λ（2a－b），∴2x+1=4.[多選/2024廣東佛山一中?？糫下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（BD）A.直線l的一個(gè)方向向量是a＝（0，3，0），平面α的一個(gè)法向量是u＝（0，－5，0），則l∥αB.若a，b，c可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則向量a＋b，b＋c，c＋a也可構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.若非零向量a，b，c滿意a⊥b，b⊥c，則有a∥cD.若OA，OB，OC可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，則A，解析對(duì)于A，直線l的一個(gè)方向向量為a＝（0，3，0），平面α的一個(gè)法向量是u＝（0，－5，0），此時(shí)a＝－35u，所以l⊥α，故A對(duì)于B，因?yàn)閍，b，c可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，所以對(duì)于空間中的隨意一個(gè)向量m，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得m＝xa＋yb＋zc＝x＋y－z2（a＋b）＋y＋z－x2·（b＋c）＋x＋z－y2（a＋c對(duì)于C，若非零向量a，b，c滿意a⊥b，b⊥c，則a與c關(guān)系不定，有可能平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若OA，OB，OC可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，13＋13＋13＝1，易知A，B，5.[2024浙江臺(tái)州模擬]如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的點(diǎn)，滿意PD＝13PC，且AD⊥PB，則a＝2.解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，又AB⊥BC，故PA，AB，BC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，平行于BC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，故A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，a），因?yàn)镻D＝13PC，所以D（23，23，23a），因?yàn)锳D⊥PB，所以AD·PB＝（23，23，23a）·（0，2，－a）＝43－23a6.[2024遼寧省部分名校聯(lián)考]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P是空間內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且｜PB＋PD1｜＝23，則AP·PB的最大值為（BA.－8 B.－4＋26 C.13 解析如圖，連接BD1，取BD1的中點(diǎn)M，連接PM，則PB＋PD1＝2PM，則｜PB＋PD1｜＝｜2PM｜＝23，即｜PM｜＝3，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以M為球心，3為半徑的球.由正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，可知正方體ABCD－A1B1C1D1外接球的半徑為3，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為正方體ABCD－A1B1C1D取AB的中點(diǎn)N，連接PN，MN，則AP·PB＝－（PN＋NA）·（PN＋NB）＝－（PN＋NA）·（PN－NA）＝NA2－PN2＝1－由題可知，｜MN｜＝2，則3－2≤｜PN｜≤3＋2，5－26≤｜PN｜2≤5＋26，則－4－26≤1－PN2≤－4所以AP·PB的最大值為－4＋26，故選B.7.[多選/2024浙江聯(lián)考]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），若D1M⊥MN，則下列命題正確的是（AD）A.MN⊥A1MB.MN⊥平面D1MCC.線段BN長(zhǎng)度的最大值為1D.三棱錐D1－A1C1M體積不變解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1（2，0，2），D1（0，0，2），設(shè)M（2，a，0），N（2，2，b），a，b∈（0，2），則D1M＝（2，a，－2），MN＝（0，2－a，b），又D1M⊥MN，所以D1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，得b對(duì)于A，A1M＝（0，a，－2），所以A1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，故A1M⊥對(duì)于B，C（0，2，0），MC＝（－2，2－a，0），MN·MC＝（2－a）2≠0，所以MN與MC不垂直，則MN不垂直于平面D1MC，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，B（2，2，0），｜BN｜＝b＝a（2－a）2＝－12（a－1）2＋12，a∈（0，2），所以當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)于D，VD1－A1C1M＝VM－A1C1D1＝13×SA1C18.[多選/2024廣東清遠(yuǎn)模擬]如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（AC）A.D1O⊥ACB.存在點(diǎn)P，使得D1O∥B1PC.三棱錐A－D1DP的體積為4D.若D1O⊥PO，則C1P的最小值為85解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），O（1，1，0），設(shè)點(diǎn)P（x，2，z），其中0＜x＜2，0＜z＜2.對(duì)于A選項(xiàng)，AC＝（－2，2，0），D1O＝（1，1，－2），則AC·D1O＝－2＋2＝0，所以D1O⊥對(duì)于B選項(xiàng)，B1P＝（x－2，0，z－2），D1O＝（1，1，－2），若B1P∥D1O，則x－21＝01＝z－2－2，解得x＝z＝2，不符合題意，所以不存在點(diǎn)對(duì)于C選項(xiàng)，S△ADD1＝12×22＝2，點(diǎn)P到平面ADD1的距離為2，所以VA－DD1P＝V對(duì)于D選項(xiàng)，OP＝（x－1，1，z），若D1O⊥PO，則D1O·OP＝x－1＋1－2z＝x－2z＝0，可得x＝2由0<z<2，0<2z<2，所以C1P＝x2＋（2－2）2＋（z－2）2＝9.如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.（1）求線段AC1的長(zhǎng)；（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；（3）求證：AA1⊥BD.解析（1）設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，這三個(gè)向量不共面，{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則｜a｜＝｜b｜＝1，｜c(diǎn)｜＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.因?yàn)锳C1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c，所以｜AC1｜＝｜a＋b＋c｜＝（a＋b（2）設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，則cosθ＝｜c(diǎn)os＜AC1，A1D＞因?yàn)锳C1＝a＋b＋c，A1D＝所以AC1·A1D＝（a＋b＋c）·（b－c）＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22｜A1D｜＝（b－c）2＝｜b｜2－故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147（3）因?yàn)锳A1＝c，BD＝b－所以AA1·BD＝c·（b－a）＝c·b－c·a＝（－1）－（－1）＝所以AA1⊥BD，即AA1⊥BD10.[2024遼寧省遼東教學(xué)共同體聯(lián)考]如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M點(diǎn)為PC的中點(diǎn).（1）求證：BM∥平面PAD.（2）平面PAD內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.解析（1）∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD.又∠DAB＝90°，CD∥AB，∴CD⊥AD.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，∴D（0，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），易知，平面PAD的一個(gè)法向量為DC＝（0，2，0），∵BM＝（－2，0，1），∴DC·BM＝0，∴DC⊥BM.又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.（2）存在N（12，0，設(shè)N（x，0，z）是平面PAD內(nèi)一點(diǎn)，則MN＝（x，－1，z－1），DP＝（0，0，2），DB＝（2，1，0），若MN⊥平面PBD，則MN∴2（z因此，在平面PAD內(nèi)存在點(diǎn)N（12，0，1），使11.[多選]已知單位向量i，j，k兩兩的夾角均為θ（0＜θ＜π，θ≠π2），若空間向量a滿意a＝xi＋yj＋zk（x，y，z∈R），則有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）稱為向量a在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作a＝（x，y，z）θ，則下列命題是真命題的有（BCA.已知a＝（1，3，－2）θ，b＝（4，0，2）θ，則a·b＝0B.已知a＝（x，y，0）π3，b＝（0，0，z）π3，其中x，y，z＞0，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，向量a，C.已知a＝（x1，y1，z1）θ，b＝（x2，y2，z2）θ，則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）θD.已知OA＝（1，0，0）π3，OB＝（0，1，0）π3，OC＝（0，0，1）π3，則三棱錐O－ABC的表面積解析a·b＝（1，3，－2）θ·（4，0，2）θ＝（i＋3j－2k）·（4i＋2k）＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cosθ，因?yàn)?＜θ＜π，且θ≠π2，所以a·b≠0，故A如圖所示，設(shè)OB＝b，OA＝a，則點(diǎn)A