河南省鶴壁2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次模擬考試試題

河南省鶴壁2024-2025高三上學(xué)期其次次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【分析】利用函數(shù)的值域求法求出集合、，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，所以，由，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算、函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.2.已知a∈R，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則a＝（）A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，解得a=3故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別解對(duì)應(yīng)的不等式，再依據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以由得；由得，所以，所以．因?yàn)?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查推斷命題的必要不充分條件，涉及對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，都有恒成立，其中，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】利用分別常數(shù)化簡解析式，結(jié)合函數(shù)解析式可推斷函數(shù)在上是增函數(shù)；結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)將不等式化為簡，再利用單調(diào)性可得，，再由的范圍，求得的最大值，即可得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，而，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以由偶函數(shù)性質(zhì)可得，則，，因?yàn)閷?duì)隨意實(shí)數(shù)，所以，所以的最大值為，既有，解得，即a的取值范圍為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合運(yùn)用，由函數(shù)單調(diào)性解不等式，確定值函數(shù)的最值求法，屬于中檔題.5.已知函數(shù)（且）是偶函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A.B.C.D.以上答案都不對(duì)【答案】B【分析】依據(jù)是偶函數(shù)求得，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性不等式等價(jià)于，解不等式即可.【詳解】∵是偶函數(shù)∴，即化簡得∴，（，）,時(shí)都能得到，所以在上是增函數(shù)∴（，）為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，∴，，即，即或解得或.即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.6.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，可得有解，令，則，對(duì)分類探討，得出時(shí)，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解：由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以滿意條件．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)實(shí)力，屬于難題．7.在中，，，，若為的外心（即三角形外接圓的圓心），且，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，依據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算以及題意，得到，，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，分別為，的中點(diǎn)，連接，，則，，因?yàn)?，，所以，同理可得：；因?yàn)?，所以①；因?yàn)?，所以②；?lián)立①②，解得：，因此.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的數(shù)量積，以及平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，屬于常考題型.8.已知不等式對(duì)隨意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A. B.1 C. D.【答案】B【分析】把不等式化為，設(shè)，求得的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.【詳解】不等式可化為，因?yàn)椋?，設(shè)，則，設(shè)，其中，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，由，令，得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，對(duì)隨意正數(shù)恒成立，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分別變量，構(gòu)造新函數(shù)，干脆把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（）A. B.若互為共軛復(fù)數(shù)，則C.若，則 D.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則【答案】ABD【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模值運(yùn)算，純虛數(shù)的定義即可推斷.【詳解】解：由題意得：對(duì)于選項(xiàng)A：令則所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：令，，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，，依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可知：，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，即m=-1，故D正確.故選：ABD10.某單位為了激勵(lì)員工努力工作，確定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，其次次漲幅；乙：第一次漲幅，其次次漲幅；丙：第一次漲幅，其次次漲幅.其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（）A.方案甲和方案乙工資漲得一樣多 B.接受方案乙工資漲得比方案丙多C.接受方案乙工資漲得比方案甲多 D.接受方案丙工資漲得比方案甲多【答案】BC【分析】不防設(shè)原工資為1，分別計(jì)算三種方案兩次漲幅后的價(jià)格，利用均值不等式比較即可求解.【詳解】方案甲：兩次漲幅后的價(jià)格為：；方案乙：兩次漲幅后的價(jià)格為：；方案丙：兩次漲幅后的價(jià)格為：；因?yàn)椋删挡坏仁剑?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，因?yàn)?，所以，，所以方案接受方案乙工資漲得比方案甲多，接受方案甲工資漲得比方案丙多，故選：BC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列確定成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【分析】由是偶函數(shù)得出是奇函數(shù)，由已知兩條件推出是以4為周期的函數(shù)，進(jìn)而可得為周期為4的偶函數(shù)，然后賦值法逐項(xiàng)分析即得．【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則，兩邊求導(dǎo)得，所以是奇函數(shù)，故，由，，得，即，所以是周期函數(shù)，且周期為4，，，所以，對(duì)選項(xiàng)A：由，令得，，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B：由，令得，，故，所以B正確；對(duì)選項(xiàng)C：由，可得，又，所以，又是奇函數(shù)，，所以，又，所以，即，所以，，，所以函數(shù)為周期為4的偶函數(shù)，所以，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D：，由題得不出，所以不愿定成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用條件得出函數(shù)的奇偶性及周期性，進(jìn)而得到函數(shù)的性質(zhì)，然后利用賦值法求解.12.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.定義域?yàn)?B.C.是偶函數(shù) D.在區(qū)間上有唯一極大值點(diǎn)【答案】ACD【分析】依據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求得定義域，推斷A；由于函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故可推斷B；依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可推斷C；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，再次求導(dǎo)，推斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，進(jìn)而推斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而推斷極大值點(diǎn)，即可推斷D.【詳解】A.的定義域?yàn)?，解得的定義域?yàn)檎_B.由于的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)不行能是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；C.設(shè)，則定義域，，即是偶函數(shù)，C正確D.，令，令，由，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且，，,結(jié)合時(shí)，；時(shí)，，故存在使得，即有在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，留意到，且時(shí)，時(shí)，，從而對(duì)于，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞增，為在區(qū)間上的唯一極大值點(diǎn)，故D正確，故選：【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決在區(qū)間上有唯一極大值點(diǎn)的問題時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于導(dǎo)數(shù)形式比較困難，故而難點(diǎn)就在于要依據(jù)導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)形式構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而再次求導(dǎo)結(jié)合零點(diǎn)存在定理推斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而推斷函數(shù)的單調(diào)性，解決極大值點(diǎn)問題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，是的兩根，則的值為__________．【答案】【分析】依據(jù)判別式和韋達(dá)定理列式，利用同角公式可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，由得或；由和得，即，解得或，因?yàn)?，所以?yīng)舍去，所以.故答案為：14.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為外接圓的圓心，若，且，，則的最大值為______．【答案】【分析】通過，可求得，進(jìn)一步通過正弦定理和余弦定理求得半徑和的大?。煌ㄟ^將向量和進(jìn)行拆解，將與聯(lián)系起來，通過平方運(yùn)算，得到關(guān)于的等量關(guān)系，最終利用基本不等式得到的最大值．【詳解】由可得：即由正弦定理可得圓半徑為：，即依據(jù)余弦定理可知：又整理可得：又得：解得：或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在外部，且，所以四點(diǎn)共圓，不滿意題意，舍去（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題將解三角形、平面對(duì)量、基本不等式等幾個(gè)部分相結(jié)合，對(duì)學(xué)生各部分學(xué)問的綜合運(yùn)用實(shí)力要求較高．難點(diǎn)在于將中的和通過向量的線性運(yùn)算，表示為夾角和模長全都已知的向量和的關(guān)系，這也是解決平面對(duì)量線性關(guān)系中常用的處理問題的方法：將未知向量向已知向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化．15.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】依題意首先求出的大致范圍，再依據(jù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，得到不等式組，，即可求出的取值范圍.【詳解】解：依題意得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，，，解得，，當(dāng)時(shí)，滿意條件，當(dāng)時(shí)，滿意條件，當(dāng)時(shí)，明顯不滿意條件，綜上可得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度比較大，屬于難題.16.在中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，面積為S，則的最大值為______【答案】【分析】利用面積公式和余弦定理，結(jié)合均值不等式以及線性規(guī)劃即可求得最大值.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.令，故，因?yàn)椋?，故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，故可得，又，故可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理求范圍問題，涉及線性規(guī)劃以及均值不等式，屬綜合困難題.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求角C的大??；（2）若向量與共線，求的周長.【答案】（1），（2）.【分析】（1）將變形到，即可求出角C；（2）由向量與共線可得，然后結(jié)合余弦定理解出、即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以所以，所以所以，所以因?yàn)槭堑膬?nèi)角，所以（2）因?yàn)橄蛄颗c共線所以，即由余弦定理可得，即解得所以的周長為【點(diǎn)睛】本題考查的是三角恒等變換和正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）,（2）【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,代入即可求得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比,進(jìn)而求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式;（2）代入數(shù)列和的通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式.依據(jù)錯(cuò)位相減法及分組求和法,即可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為,等差數(shù)列的公差為.,,,.由等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得解得或(舍)所以,（2）,代入,可得則兩式相減可得即所以【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用,等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,分組求和法求數(shù)列的和,屬于中檔題.19.已知將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若三角形滿意是邊上的兩點(diǎn)，且，求三角形面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】(1)依據(jù)題意將函數(shù)化簡，利用正弦函數(shù)的平移變更得到，結(jié)合圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱即可求出函數(shù)解析式；(2)結(jié)合（1）可得，結(jié)合題意，建立平面直角坐標(biāo)系得到點(diǎn)的軌跡方程為，再依據(jù)幾何關(guān)系即可求解.【小問1詳解】（1）由已知化簡得，，由得，又，【小問2詳解】易得，由①②又將①②式并結(jié)合可得：以所在直線為軸，以中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則由可得：點(diǎn)的軌跡方程為，即，當(dāng)時(shí)，取到最大值，依據(jù)幾何關(guān)系易知三角形面積的取值范圍為，20.已知橢圓，離心率為，直線恒過的一個(gè)焦點(diǎn).（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的頂點(diǎn)均在上，交于，且，若直線的傾斜角的余弦值為，求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【分析】（1）將轉(zhuǎn)化成直線點(diǎn)斜式方程形式，求出所過的恒點(diǎn)，進(jìn)而知道橢圓的焦點(diǎn)，再依據(jù)橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.（2）依據(jù)向量等式，可以確定分別是的中點(diǎn).設(shè)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，最終求出直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，可化為，所以直線恒過點(diǎn)，所以點(diǎn)，可得.因?yàn)殡x心率為，所以，解得，由得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)?，所?由得分別是的中點(diǎn).設(shè).由直線的傾斜角的余弦值為，得直線的斜率為2，所以，聯(lián)立消去，得.明顯，，且，，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了依據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.21.已知在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】（1）a=2，b=0；（2）證明見解析.【分析】（1）由題可得，，列方程即可求解，；（