河南省焦作市博愛一中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前焦作市博愛一中2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.開考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需要改動，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無效。3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，記：為等差數(shù)列；：對任意自然數(shù)為等差數(shù)列，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知，則（

）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.4.在平面直角坐標系中，設(shè)都是銳角，若的始邊都與軸的非負半軸重合，終邊分別與圓交于點，且滿足，則當最大時，的值為（

）A. B. C. D.5.已知二面角的平面角為，AB與平面所成角為.記的面積為，的面積為，則的取值范圍為（

）A. B.C. D.6.若，則（

）A. B. C. D.7.已知點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線，其中為切點，則的最大值為（

）A. B. C. D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面不存在公共點，則三角形的面積的最小值為（）A. B.1 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式eix=cosx+isinx（x∈R,iA.eiπB.12C.eixD.?2≤e10.下列命題中正確的是（

）A.若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7B.經(jīng)驗回歸方程為時，變量x和y負相關(guān)C.對于隨機事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨立D.若，則取最大值時11.已知曲線，點為曲線上一動點，則下列敘述正確的是（

）A.若，則曲線的離心率為B.若，則曲線的漸近線方程為C.若曲線是雙曲線，則曲線的焦點一定在軸上D.若曲線是圓，則的最大值為412.已知點是拋物線：的焦點，直線：與相交于，兩點，過點，分別作的切線交于點，點是弦的中點，點是線段的中點，則下列說法正確的是（

）A. B.直線與軸平行C.點在拋物線上 D.三、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.若，，且，則的取值范圍為.14.若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是.15.米斗是我國古代稱量糧食的量器，是官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具，其外形近似一個正四棱臺.米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化的味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品.已知一個斗型工藝品上下底面邊長分別為和，側(cè)棱長為，則其外接球的體積為.16.已知等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，則的最大值與最小值之和為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已如等差數(shù)列的前項和為，若，.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和，求數(shù)列的前項和.18.（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，求邊上高的最大值.19.（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，AC與BD交于點O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點，.(1)求證：平面ACF；(2)求AF與平面EBD所成角的正弦值.20.（12分）天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，同時也是我國空間站的重要組成部分.為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴格.經(jīng)過統(tǒng)計，在挑選航天員的過程中有一項必檢的身體指標服從正態(tài)分布，航天員在此項指標中的要求為.某學(xué)校共有2000名學(xué)生.為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動.學(xué)生首先要進行上述指標的篩查，對于符合要求的學(xué)生再進行4個環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個環(huán)節(jié)后，才能進行到下一個環(huán)節(jié)的選拔.假設(shè)學(xué)生通過每個環(huán)節(jié)的概率均為，且相互獨立.(1)設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X，請計算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)請估計符合該項指標的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.以該人數(shù)為參加航天員選拔活動的名額，請計算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)Y的期望值.參考數(shù)值：，，.21.（12分）過拋物線上一點作直線交拋物線E于另一點N.（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長.（2）不過點M的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點M，問動直線l是否恒過定點.如果有求定點坐標，如果沒有請說明理由.22.（12分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

焦作市博愛一中2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)?參考答案一、單項選擇題1.【答案】C【解析】因為命題成等差數(shù)列，所以，又數(shù)列為等比數(shù)列，且公比不為1，所以，整理得到，又命題成等差數(shù)列，所以，即，整理得到，所以是的充要條件，故選：C.2.【答案】C【解析】即；即；，即.所以.故選：C.3.【答案】D【解析】令，故，畫出與的圖象，函數(shù)有3個零點，即與圖象有3個不同的交點，則，解得.故選：D4.【答案】B【解析】由，有，即，則有，得，，當且僅當時等號成立，是銳角，所以當最大時，，則.故選：B.5.【答案】C【解析】作，垂足為E，連接，因為，即，平面，故平面，平面，故，又，故平面，平面，則在內(nèi)的射影在BE上，則為AB與平面所成角，即，由于，，故為二面角的平面角，即，，在中，，則，而，則，則，故，故選：C6.【答案】B【解析】由，得，解得，又，所以.故選：B7.【答案】A【解析】要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離.由題意知，，，，且，所以最大時，最小.由題意知，.所以，則，即的最大值為.故選：A.8.【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分別是所在棱的中點，直線與平面不存在公共點，所以平面,由中位線定理可得,在平面內(nèi)，在平面外，所以平面,因為與在平面內(nèi)相交，所以平面平面,所以在上時，直線與平面不存在公共點，因為與垂直，所以與重合時最小，此時，三角形的面積最小，最小值為，故選C.二、多項選擇題9.【答案】ABC【解析】對于A，當x=π時，因為eiπ=cosπ+isinπ=?1，所以eiπ+1=0對于B，12+32對于C，由eix=cosx+isinx，e?ix=cos?x+isin?x=cosx?isinx，所以對于D，由C選項的分析得eix?e?ix=2isinx，推不出?2≤e10.【答案】BC【解析】對于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯誤；對于B，回歸方程的直線斜率為負數(shù)，所以變量x與y呈負的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；對于C，由，得，所以事件A與事件B獨立，所以C正確；對于D，由，即，解得或，所以D錯誤.故選：BC.11.【答案】AC【解析】對于選項A，時，曲線為，故，則曲線的離心率為，故A選項正確；對于選項B，時，曲線為，雙曲線焦點在軸上，則曲線的漸近線方程為，故B選項錯誤；對于選項C，若曲線是雙曲線，則，解得：，因，則曲線的焦點一定在軸上，故C選項正確；對于選項D，若曲線是圓，則，即，，設(shè)，則得，如圖，要求的最大值，即求直線的縱截距的最小值，又因為曲線上一動點，故可考慮直線與圓相切時的情況，由圓心到直線的距離為，解得，結(jié)合圖象知，即的最大值為，故D選項錯誤.故選：AC.12.【答案】BCD【解析】由，得到，所以，又，，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，拋物線在點處切線斜率為，所以拋物線在點處的切線方程為，即，又，得到，故拋物線在點處的切線方程為，同理可得，拋物線在點處的切線方程為，又兩切線交于點，所以，從而得到直線的方程為，即，又由題知直線的方程為，所以，得到，所以選項A錯誤；對于選項B，聯(lián)立和，消得到，由韋達定理得，，所以點的橫坐標為，又因為，所以選項B正確；對于選項C，由選項B知，，所以，又，所以，又，故點在拋物線上，所以選項C正確；對于選項D，由拋物線定義知，，,又由選項B知，，，所以，又，所以選項D正確，故選：BCD.三、填空題13.【答案】【解析】由，，故，即，當且僅當時等號成立，故，當且僅當時等號成立，令，則有，即，解得或（舍去），故，即的取值范圍為.故答案為：.14.【答案】【解析】圓化簡為標準方程，可得，∴圓心坐標為，半徑，∵在圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，∴圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于，由點到直線的距離公式，得，∴，整理得，解得，∵直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，即，由此可得直線的傾斜角的取值范圍是.所以答案應(yīng)填：.15.【答案】【解析】由題意，米斗的示意圖如下：設(shè)棱臺上底面中心為，下底面中心為，由棱臺的性質(zhì)可知，外接球的球心落在直線上，

由題意該四棱臺上下底面邊長分別為和，側(cè)棱長為，則，，，所以，設(shè)外接球的半徑為，，則，則，解得，，所以該米斗的外接球的體積為，故答案為：.16.【答案】【解析】由條件可知，當為偶數(shù)時，，因為單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，所以；當為奇數(shù)時，，因為單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，所以，所以；所以，所以，故答案為：.四、解答題17.（10分）【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)的公差為，由題意可得，解得，所以.（2）因為，當，則；當，則；綜上所述：.則，設(shè)數(shù)列的前項和，當，則；當，則；注意到符合上式，所以.18.（12分）【答案】(1)；(2).【解析】（1）由正弦定理及，得.因為，所以，所以，所以.因為，所以.因為，所以.（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當且僅當時等號成立，設(shè)邊上的高為，又因為，所以.即邊上高的最大值為.19.（12分）【答案】(1)證明見解答；(2)【解析】（1）證明：如圖，連接，因為底面是菱形，與交于點，可得點為的中點，又為的中點，所以為的中位線，可得，又平面，平面，可得平面；（2）以，所在直線為，軸，過作的垂線所在直線為軸，建立如圖所示的坐標系，因為ABCD是菱形，，為等邊三角形，不妨設(shè)，則，，，，，可得，，設(shè)平面的一個法向量為，可得，不妨取，則，可得.又，可得與平面所成角的正弦值為：.20.（12分）【答案】(1)分布列見解析，；(2)【解析】（1）（1）X的所有可能取值為1，2，3，4，，，，∴X的分布列如下：X1234P.（2）.∴符合該項指標的學(xué)生人數(shù)為：人每個學(xué)生通過選拔的概率對，∴最終通過學(xué)校選拔人數(shù)，∴.21.（12分）【答案】（1）；（2）有，定點.【解析】（1）把代入中，得直線的方程：，即：與聯(lián)立得：，∴，；∴∴.（2）設(shè)直線AB的方程為：與聯(lián)