高中數(shù)學(xué)不等式真題（解析版）

高中數(shù)學(xué)

專(zhuān)題30不等式真題匯編

1,設(shè)實(shí)數(shù)a滿足a<9a3-Ila<|a|.則a的取值范圍是.

【答案】ae（一手一手）

【解析】

由a<|a|=a<0.

則由原不等式得：

-1<9a:-11<1=>a2e（渭）.

又a<0,故ae（-雷，一手）.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K=｛（x,y）|（|x|+|3y|-6）-（|3x|+|y|-6）w0｝所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面

積為.

【答案】24

【解析】

設(shè)%=｛（'，y）IR+|3y|-6sO｝?

先考慮點(diǎn)集％在第一象限中的部分，此時(shí)，x+3yw6.故這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖中的△OCD及其內(nèi)部.

由對(duì)稱(chēng)性，知點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以原點(diǎn)。為中心的菱形ABCD及其內(nèi)部.

類(lèi)似地,設(shè)K：=｛（X,y）||3x|+|y|-6<0）.

則點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中以0為中心的菱形EFGH及其內(nèi)部.

由點(diǎn)集K的定義，知K所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是被點(diǎn)集刈、燈中恰一個(gè)所覆蓋的部分.

因此，本題所要求的即為圖中陰影區(qū)域的面積S.

由18：X+3y=6,JH：3X+y=6,知兩直線的交點(diǎn)為P(：,)

由對(duì)稱(chēng)性知IS=85二=8x：x4x：=24.

故答案為：24

3.若實(shí)數(shù)X、y滿足X-4。=2歷虧，則x的取值范圍是.

【答案】{0}u[4,20]

【解析】

令=a,Jx-y=b(a、b>0))此時(shí)，x=y+(x-y)=a2+&-,

且題設(shè)等式化為a二+b2-4a=2b.

于是，a.b滿足方程(a-2尸+9—1尸=5(*0).

如圖，在aOb平面內(nèi)，點(diǎn)(a,b)的軌跡是以D(L2)為圓心、逐為半徑的圓在a、的部分，即點(diǎn)。與弧月CB

并集.

故標(biāo)與廬e{0}u[2,2、國(guó).

從而，r=n2+fe26{0}u[4,20].

y20

4.在坐標(biāo)平面上有兩個(gè)區(qū)域M和N,“為,N是隨/變化的區(qū)域，它由不等式1+l所

y<2-x

確定，/的取值范圍是OWfWl,則"和N的公共面積是函數(shù)/(/)=.

【解析】由題意知

/(，)-s陰影部分面積

=^AAOB~S^OCD-S,\BEF

.12\2

=1——r——(I-/)

22、7

5.使不等式占+治+一+<7叫對(duì)一切正整數(shù)〃都成立的最小正整數(shù)〃的值為.

【答案】2009

【解析】設(shè)/⑺=」一+」一+一+」一.顯然/(“)單調(diào)遞減，則由/(〃)的最大值〃1)<4-20071，可

n+1n+22n+l3

得a=2009.

6.【2018年】設(shè)拉是正整數(shù)，…,時(shí)也也，…也,4B均為正實(shí)數(shù),滿足％W瓦,。1W4i=L2,…，舞,

H如母…如v二

Q(Q2"'^n'

求證：舞群得端

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】由條件知，刈=221/=12…，幾記Z=K,則處二當(dāng)日巨化為酊k…3VK。

1

O|Aag…0nA--n

要證明「［”.

111=1a.+lA+l

對(duì)i=L2,…,n,由于匕21及0<%三4知：

k,a,+L_b『，</：31J4+2

Oi+l!Oj+l_14+14+1,

結(jié)合K之七心…心知，為證明①，僅需證明當(dāng)A>0,尤21。=12時(shí)，有口"箋三叱產(chǎn)

②

對(duì)〃進(jìn)行歸納.當(dāng)片1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

當(dāng)n=2時(shí)，由4>O.kL.k2>1可知

治4+工_即.4+工__AI"1-1)(1一二)vQ

4+144-14+1-(4+1)2-

因此〃=2時(shí)結(jié)論成立。

設(shè)"=，〃時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)片,“+1時(shí)，利用歸納假設(shè)知，

kd+工_/1F+v而心…14+:v即刈…

i=l4+1-11L=14+1/4+1-<+14+1-4+1

最n后一步是在③中用〃血…%，治+1(注意的展…L%+aND分別代替心心

從而n=ni+1時(shí)結(jié)論成立

由數(shù)學(xué)歸納法可知，②對(duì)所有正整數(shù)〃成立，故命題得證.

7.設(shè)k、m為實(shí)數(shù)，不等式|小一kx-m|w1M所有的xC[a,b]成立.證明:b—。W2或。

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

令f(x)=xz-kx-?n(xe[a,b]),

則f(x)e[-1,1],

于是f(a)=a，-ka-mw1,f(b)=b2-kb-?n<1?

/a+b\/a+b\2a+b

—)=(-I-

故e=/(a)+f(b)-2/(季)<4,

因此，b-a<2在。

8.設(shè)/、x2,x?為非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足/+x；+X?=1.求0cl+3x；：+5貓)&+彳+個(gè))的最小值和最大值。

【答案】最小值為1,最大值為:

【解析】

由柯西不等式得

2

Cq+3x;+54)&+/+卷)2(歷歷+3仁怎+同騰)=(Xi+如+x3)

=1

當(dāng)x：=1。二=0/3=0時(shí)，上式等號(hào)成立，故欲求的最小值為1.

又

(x+3X+5X)式"3%+5》

x23&+畀3)=:

(5xi+空+xj)*6XI+￡+6XJ

5x-I(xx+3X2+5X3)+

工焉(64[+6注+64尸

_?

=5

當(dāng)孫=”==0』=軻，上式等號(hào)成立，故欲求的最大值為支

9.設(shè)實(shí)數(shù)4上，a.????，(1McwoAiU6滿足9%I>11街(干口▲。、=L，2,???,2015).求

(01-ai)(a2-ai)-(a2015-ai016)(a2016-a；)的最大值.

【答案】際

【解析】

fl-aa=a

令P=IIi=i（tF+l）,2017i-

由已知得對(duì)i=12…,2015,均有

即一臉上>^a；+「a；+*>0.

若a二”6一瓏三0，則PW°?

以下考慮與0”一而>0的情形.

由均值不等式得

P金士裊￡：：：%「不）=金（Z=%-￡：：%+」

=嘉（21』％一￡：：%）=盤(pán)翳6砧1-%）

2016.?、,二

=^x2016xi=^P<^.

Zi=2L2J201644420U

當(dāng)心=0=???=^^6==時(shí)，上述不等式等號(hào)成立，且有

9(1,>llaf+1G=1.2,-,2015),此時(shí)，P=/.

綜上，所求最大值為焉.

10.設(shè)冊(cè)（九之2）的實(shí)數(shù).證明：可以選取々，1,…,jW—使得

2

⑵1必產(chǎn)+^=1^0（）<（n+l）（Z"=1af）.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

首先，由。廿的,…,金的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)42出2…之

此外，若將心,生,…,冊(cè)中的負(fù)數(shù)均改變符號(hào)，則問(wèn)題中的不等式左邊的(￡?=:見(jiàn)尸不減，則問(wèn)題中的不等式

左邊的(￡乜)修廠不減，而右邊的￡：;聽(tīng)不變，并且這一改變不影響％=±1的選取.因此，可進(jìn)一步設(shè)

%>a2>■->a?>0.

先證明一個(gè)引理.

引理設(shè)。_>a:>■■■>an>0.則0<Wa..

證明注意到，a(>ai+1(l<ign-1).

于是，當(dāng)n=2m(meZ+)時(shí)，

=[二式出1-即)之0,

n

2(一》飛

m-1

Zfsl\a2i~a2i+i)~anal;

當(dāng)月=2?n+l(?n6Z+)時(shí)，

￡：=式-1)16=￡二式&[_1一。篦+(!">o,

a

￡：=式-1尸田=%-￡^i(2i-osi+1)Sax.

回到原題.

由柯西不等式及引理知

n.

(2吟2+[2(—1)1%產(chǎn)

:=1i=i

W"(2：=1a；)+a：<(n+1)(￡：=工。；),這就證明/結(jié)論.

11.如實(shí)數(shù)a、b、c滿足20+4b=2。，4a+2b=4C,求c的最小值.

【答案】log,3-1

【解析】

將2A2\2c分別記為x、y、z.

則二、y、z>0.

故二+y2=z,x2+y=z2.

nz：—y=x2=(z-y-)2=z2+2y:z+y4.

nz=匕？=-(2y2+-+-).

zy24''yy

當(dāng)2y;=j,即丫=全時(shí)，Zmm=乎.

此時(shí)，相應(yīng)的X而n=f,符合要求.

由于C=log:z.故C的最小值為logK*，=log；3-7.

12.設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=l,obc>0.證明:時(shí)+bc+ca〈等+；.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

若ab+bc+cawt則命題已成立.

4

若ab+bc+ca>上,不妨設(shè)a=max{a,b,c}.

4

則由a+b+c=L^lla>j.

故ab+be+ca-j

(a+b+cP11aG

<--------=—<-.①

34124y

注意到，

1

ab+be+ca一二

4

=a(b+c)-1+

=a(l-a)-：+be

三二一士+bc=bc.②

44

當(dāng)a=］時(shí)，式①等號(hào)成立，當(dāng)。==時(shí)，式②等號(hào)成立.

因此，式①、②中等號(hào)不能同時(shí)成立.

由于ab+bc+ca-2>0,式①、②相乘得

4

(ab+be+ca-

ab+be+ca--<1ab

4'2e

=?ab+be+ca<2+-4.

13.求證：不等式—1<S善---Inn<-(n=1,2,—)

J=d-+i=

【答案】

【解析】

證明：首先證明一個(gè)不等式：

⑴丘<也(1+幻<x,x>0.

事實(shí)上，令

h(x)=x-ln(l+x),g(x)=In(l+x)--.

則對(duì)x>0.

h'（x）=l一上>°，g'（x）=上一小==>0-

于是

h(x)>ft(0)=0,g(x)>g(0)=0.

在⑴中取x=：得

⑵；n+1<皿1n+：)n<；?

n.

Z—&Tnn,則勺=：,

n1

x-r-=---ln(l+----)

nnxn-+1?t-1

n1

<n1+ln

=_____!____<A

畫(huà)-1法…

因此Xn</-I<…<Xi=W

又因?yàn)?/p>

Inn=(Inn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))4--+(ln2-Ini)+lnl=Vln(l+=).

*

從而

nn-l

%=2$ln(l+1)

k=lk=l

n-lrt-l

k1nk1

ksiksl

j-1n-1

21

：>-

="Zj(fc+i)fc(k+l)k

k=lk=l

=-l+->-l

n

1.設(shè)〃x)=|x+l|+|x|—|x—2],則/■(/(x))+l=O有個(gè)不同的解.

【答案】3

【解析】

’—x—3,x<—1

Y_1_1<r<0

因?yàn)椤o(wú))二忱+1|+|對(duì)_僮-2|=〈，

3%—1,0<x<2

、x+3/x>2

由f(f(乃)+1=。得到f(外=2,或f(x)=0.

由/(彳)二-2,得--個(gè)解二=-1；由f(x)=0得兩個(gè)解t=-3，x=:,共3個(gè)解?

2.設(shè)函數(shù)/'(乃==一2則不等式〃1一/)+/(5%-7)<0的解集為.

【答案】(2,3)

【解析】

因?yàn)閒(-x)=岑+X=會(huì)+X=-/(X),所以f(x)是奇函數(shù)。

/,(1-)==--x=(=)*—2*-x,由于y=(Jty=-2x,y=-x都是定義域上的減函數(shù),

所以函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，(減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)).

由f(l一/)+/(5萬(wàn)-7)<0,得/'(5x-7)<f(x2-1),所以5x-7>/一L即爐-5x+6<0,解之得:

2<x<3.

故答案為：(2.3)

3.若實(shí)數(shù)4使得不等式僅一23+|2%-團(tuán)2￡12對(duì)任意實(shí)數(shù)》恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】卜g

【解析】

設(shè)下履(左￡拉)，則|ka-2a|+\2ka-a|>a2,

即對(duì)vkwR,恒有

|k-2|+|2k-1|>|a|?|fc-2|+\2k-l|,in>|a|,而|k-2|+\2k-1|^?=所以

|a|<|?ae[-p：].

故答案為：[一；，,

4.已知正整數(shù)x,y,z滿足xyz=(22-x)(22-y)(22-z),且％+y+z<44,r++z°的最大值和最小

值分別記作M和N,則M+N=.

【答案】926

【解析】

由已知可知xj,z均為小于22的正整數(shù)，由題設(shè)等式得

2xyz=223-222(x+y+z)+22(xy+yz+zx),

從而ll|xyz,所以x,y,z中至少有一個(gè)數(shù)等于11.

不妨設(shè)x=lL由題設(shè)等式得y+z=22,由于y.z都是正整數(shù)，又

f=h+?一拼=242+；(y-z)：,

易知，當(dāng)y=z=ll時(shí)，產(chǎn)+z：取最小值242,此時(shí)N=1C+242=363.

當(dāng)|y—z|=|21-1|=20時(shí)，y二+z，取最大值，此時(shí)M=II：+21:+1?=563.

所以M+N=563+363=926.

5.已知復(fù)數(shù)z的模為1,則憶一4|二+|2+3"::的最小值為.

【答案】17

【解析】

解：在復(fù)平面內(nèi),設(shè)4(4.0)、B(0.-3),尸為單位圓上的點(diǎn)，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|：+|PB"的最小值,設(shè)P(cosa.sina),其中aeR

\PA\2+]PB\2=(cosa-4)2+sin2a+cos3a+(sina+3)2=27+6sina-8cosa

=27+10sin(a+<p)>17

由于aeR,必存在“使sin(a+$)=—1,即等號(hào)可以取到.

故答案為：17

6.設(shè)n是正整數(shù)，當(dāng)n>100時(shí)，，丁+3“+1的小數(shù)部分的前兩位數(shù)是

【答案】49

【解析】

一方面，當(dāng)n>100時(shí)，有

(n+1)~(n2+3n+i)

0<n+—0n=+3n+1=3,,r-—=0.01,

n+；+Vn-+3n+lnn100

所以、年+3舞+1>(n+1)+0.49,

另一方面，7n2+3v+1V九+：=(4+1)+0.5.

故當(dāng)n>100時(shí)，5F+3篦+1的小數(shù)部分的前兩位數(shù)是49.

7.若實(shí)數(shù)。使得不等式反一2°|+|2%一0|之加對(duì)任意實(shí)數(shù)工恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】卜[i]

【解析】

設(shè)x=ka(kGR)，則|ka-2a\+\2ka-a|>a2,

即對(duì)vkeR,恒有

Ik-2|+\2k-11>|a|?-2|+\2k-l|sin>\a\,而|k一2|+|2k-0而口=：，所以

|a|<f?aG斗

故答案為：目

8.設(shè)aeR,若%>0時(shí)均有(爐+(1>:-5)(<1%—1)20成立，則&=.

【答案】；

【解析】

當(dāng)a=0時(shí)，顯然不能使原不等式對(duì)任意的x>0恒成立.因此a工0.注意到y(tǒng)=爐+ax-5的開(kāi)口向上，所以

必然要求a>0.對(duì)于方程K+ax-5=0,設(shè)其兩根為1工、且x1<0,x:>0,令.由x>0時(shí)，原

不等式恒成立，可知4=x?,故衛(wèi)尹至=；.

解得a=:.

9.若不等式后>”+:(4,b)的解集是(4,b),則實(shí)數(shù)a=,b=.

【答案】；36

【解析】

解法-：設(shè)衣=t,Mr=t=,且te(2.VF),則不等式或：一￡+:<0的解集為(2,百)，

所以2、乃是方程。產(chǎn)-1+；=0的兩根，即

L1

2+Vb=一,

a

l3

27b=—.

2a

解得a=二,b=36.

9

解法二：設(shè)立=y2=ax+；，由不等式、*>ax+；的解集是(4,b),可得兩函數(shù)%=y2=ax+7

在同一坐標(biāo)系中的圖象.

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為A、B,則4(4,2)、B也鬧,所以

2=4a+：>、0=ab+:.

解得。=b=36.

9

故答案為：(1)?:(2).36

10.設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||,則a、b的正、負(fù)符號(hào)分別為.

【答案】a負(fù),b正

【解析】

由已知得

na|-(a+d)]2<(a-|a+d|)3

n屐一21al?(a+b)+(a+b)2<a2-2a|a+b|+(a+b)2

=a二?|a+b|<\a\?(a+&).

由于|x|>無(wú)，因此得a<0=>-(-a)-|a+&|<[|a|?(a+b),

約去一a的一|a+b|<a+b.

所以a+b>0=b>—a>0,a為負(fù)數(shù)且b為正數(shù).

故答案為：a負(fù),b正

11.記“2”表示輪換對(duì)稱(chēng)和.設(shè)4、氏C為正實(shí)數(shù)，且滿足.對(duì)任意整數(shù)論2,證明：￡儡之廉.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

不妨設(shè)內(nèi)&則'Vb+c>不+b>\la+b,17^=<焉!

由切比雪夫不等式得

J：n=E(Vb+c-；(ZVb+c)(S^=).

又由事平均不等式得

卷‘標(biāo)三”版b+c)=?.

故根s'序無(wú)帚=￡帚工售=?二

由已知及均值不等式得￡a>3V赤=3.

故

12.證明：sin-+sin->-sin-(neZ).

nnnn+

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

原不等式等價(jià)于證明：

2sin-+tan->-(neZ).

nnn+T

定義函數(shù)

f(x)=2sinx+tanx-3x(0<x<1).

只需證明“%)>()?

顯然，f(0)=o,且

f'(x)=2cosx+-——3

cos-x

_:cog-7eg4+1

CO?2X'

定義函數(shù)

g(x)=2cos3x-3cos:x+1,

p(0)=0.

則g'(x)=-6cos:x-sinx+6cosx-sinx=6cosx-sinx(l-cosx)>0

=g(x)>0.

于是，ra)>o單調(diào)遞增.

故f(x)>0,即所證不等式成立

13.證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c,均有，a=+ab++W：+ac+刀>J3a-+(a+b+c)-,并求等號(hào)成

立的充分必要條件.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)0=((1+，/5)，6=(a+^,yc).

貝ij|a|+161=+ab+b:++ac+c:,

/b+cx23

|a+01=(2a+^r—+-(b+c)2

=J4a=+2a(b+c)+(b+c)。

=j3a2+(a+b+c):.

據(jù)三角不等式知

|a|+miN|a+6l,①

即得所要證的不等式.

式①等號(hào)成立的充分必要條件為a與。平等且方向相同.

注意到，

a\\^=(a+g)c=(a+g)b

<=>a(b-c)=0.

當(dāng)a=0時(shí)，式①等號(hào)成立=be之0.

當(dāng)b=c時(shí)，式①等號(hào)恒成立.

綜上，式①等號(hào)成立的充分必要條件為b=域。=0且兒20.

14.已知￡乜1a/(=「，￡：/=q，且為>0(i=1,2…n),p、q為常數(shù)求的最小值.

【答案】、q

【解析】

設(shè)O=2+/a為待定系數(shù)).則

Z"=1a^r=￡：=〃?+死尸=%汨+2)￡匚嗎4+W：=My『，①

而￡7=1由第=￡1=1a,U+yt)=%q+￡7=]%%=p,

于是取2=旨則鄧.凡乂=0

代入式①得

2a^；=7+Sa'v^7

當(dāng)且僅當(dāng)為=y2=?--=yn=0,即/=x:—,??=xn=A=:時(shí),上式等號(hào)成立

故E'aH取得最小值%

15.設(shè)/'(X)=W，令％=匕即=:,冊(cè)+二=f(冊(cè))+f(an+J(7i=L2….)，證明：對(duì)任何正整數(shù)n,有

/(3x2"-1)<a2n</(3x25-二).①

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任何正整數(shù)n,有M<冊(cè)+一

當(dāng)n=l時(shí)，4=：<：=0,命題成立?

當(dāng)n=2時(shí),a-=-<—=(ij,命題成立.

設(shè)n=1.2，.…k(整數(shù)k>l)時(shí)命題成立.

則n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)知”一<<ak+1,

由f(x)==1—彳在區(qū)間[0,+8)內(nèi)單調(diào)遞