河北省石家莊二十四中2023-2024學年高一下學期期中數(shù)學試題(原卷版)

2023-2024學年下學期期中考試高二數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在等差數(shù)列中，，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，，求出，再由求值即可.【詳解】等差數(shù)列中，有，，得，則.故選：D.2.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知關(guān)于對稱軸對稱即可求解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形特征，其圖象關(guān)于直線對稱，又因為，所以有，解得，故選：A3.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A.9 B.12 C.27 D.48【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，從而得到，再求即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，所以，解得，則有.故選：C.4.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，后由裂項求和法可得答案.【詳解】注意到，則.則.故選：B5.從集合中任意選出三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列公比為2的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法，結(jié)合古典概率計算即得.【詳解】從集合中任意選出三個不同的數(shù)，這三個數(shù)依次成等比數(shù)列，它們是：，共8個，其中公比是2的等比數(shù)列為，共2個，所以等比數(shù)列公比為2的概率是.故選：C6.數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得，再根據(jù)當時，，，可求得范圍.【詳解】因為，則，兩式相減得，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以當時，，解得.當時，，所以，解得.綜上.故選：B.7.若某地區(qū)一種疾病流行，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病，已知該試劑的準確率為，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有的可能呈現(xiàn)陽性，該試劑的誤報率為，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，用該試劑來檢驗，結(jié)果呈現(xiàn)陽性的概率為0.0688，則該地區(qū)疾病的患病率是（）A.0.02 B.0.98 C.0.049 D.0.05【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件概率以及對立事件的概率，結(jié)合題意寫出對應(yīng)概率，利用全概率公式，可得答案.【詳解】設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件，被檢測者患病為事件，未患病為事件，則故所求概率，解得故選：A.8.已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，且，若，則（）A.4050 B.2025 C.4052 D.2026【答案】A【解析】【分析】先由得，再由等比中項的性質(zhì)得，再得定值，直接代入求和即可.【詳解】由數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，故，因為，故，即有，由，則當時，有，設(shè)，，，，故．故選：.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知由樣本數(shù)據(jù)（）組成的一個樣本，得到經(jīng)驗回歸方程為且，去除兩個異常數(shù)據(jù)和后，得到的新的經(jīng)驗回歸直線的斜率為3，則（）A.相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B.去除異常數(shù)據(jù)后，新的平均數(shù)C.去除異常數(shù)據(jù)后的經(jīng)驗回歸方程為D.去除異常數(shù)據(jù)后，隨值增加，的值增加速度變小【答案】AC【解析】【分析】A選項，根據(jù)正相關(guān)的定義得到A正確；B選項，根據(jù)得到B錯誤；C選項，先求出，進而得到，結(jié)合新的經(jīng)驗回歸直線的斜率得到新的經(jīng)驗回歸方程；D選項，去除異常數(shù)據(jù)后，斜率由增大到3，故D錯誤.【詳解】A選項，因為回歸方程的斜率為正，所以相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系，所以A正確；B選項，因為，所以去除兩個異常數(shù)據(jù)和后，得到新的，所以B錯誤；C選項，由代入得，故去除兩個異常數(shù)據(jù)和后，，因為得到的新的經(jīng)驗回歸直線的斜率為3，所以，所以去除異常數(shù)據(jù)后經(jīng)驗回歸方程為，故C正確；D選項，因為經(jīng)驗回歸直線的斜率為正數(shù)，所以變量，具有正相關(guān)關(guān)系，且去除異常數(shù)據(jù)后，斜率由增大到3，故值增加的速度變大，D錯誤.故選：AC．10.已知事件，，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么B.如果，那么，C.如果與互斥，那么D.如果與相互獨立，那么【答案】CD【解析】【分析】利用概率的性質(zhì)結(jié)合事件的關(guān)系計算相應(yīng)的概率.【詳解】A選項：若，且事件與為對立事件滿足題意，而，故A選項錯誤；B選項：如果，那么，故選項B錯誤.C選項：如果與互斥，那么，故選項C正確.D選項：如果與相互獨立，那么相互獨立，則，故選項D正確.故選：CD.11.設(shè)一個正方體，一只螞蟻從上底面的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個相鄰頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由，可判定A正確；再由，得到，得出數(shù)列為等比數(shù)列，求得，可判定B、D不正確；結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可判定C正確.【詳解】解：由題意得，所以A正確；螞蟻爬行次，仍然在上底面的概率為，則它前一步只有兩種情況：①本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率為；②若上一步在下底面，第步不在上底面概率為，如果爬上來，其概率應(yīng)為，所以，整理得，即，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以B、D不正確；因為數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以C正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)均為，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的．若有的把握認為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，則的最小值為________.附，0.050.013.8416.635【答案】20【解析】【分析】根據(jù)題意先列出列聯(lián)表計算值，再根據(jù)計算出的最小值.【詳解】根據(jù)題意，列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男3m3m6m女4m2m6m合計7m5m12m，有的把握認為喜歡短視頻和性別相關(guān)聯(lián)，即，，解得，又，所以的最小值為.故答案：20.13.甲、乙兩位同學進行象棋比賽，采用五局三勝制（當一人贏得三局時，該同學獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是，且各局比賽結(jié)果相互獨立.若甲以獲勝的概率不高于甲以獲勝的概率，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】分別求得甲以獲勝的概率，甲以獲勝的概率，再由求解.【詳解】解：題意可知，甲以獲勝的概率為，甲以獲勝的概率為，因為，所以，解得，故取值范圍為.故答案為：14.已知數(shù)列的首項為2，前項和為，．若數(shù)列的前項和為，則滿足成立的的最小值為________.【答案】7【解析】【分析】利用數(shù)列和與項的關(guān)系、裂項法求數(shù)列通項公式、累加法求數(shù)列前項和的知識解答即可.【詳解】當時，故即，又當時，，則，故數(shù)列為首項為,公比為的等比數(shù)列，故的通項公式為故，則，故當時，即，即又可得的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張需要通過“抽小球”的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個箱子里裝有質(zhì)地，大小一樣的5個球，3個標有字母A，另外2個標有字母B，小張從中任取3個小球，若取出的球比球多，則答類題，否則答類題．（1）設(shè)小張抽到球的個數(shù)為，求的分布列及．（2）已知A類題里有4道論述題和1道計算題，B類題里有3道論述題和2道計算題，小張確定題目的難度類型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答．求小張回答論述題的概率；【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）利用超幾何分布可求分布列，利用公式可求期望.（2）利用全概率可求小張回答論述題的概率.【小問1詳解】的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列為123故．【小問2詳解】記事件為“小張回答類題”，為“小張回答類題”，為“小張回答論述題”．由（1）知，，由題意知，，所以．16.已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，，已知數(shù)列，設(shè)的前項和．（1）求；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用和與通項的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為通項的遞推關(guān)系，從而來求出通項公式，再利用錯位相減法求和即可；（2）對于該不等式恒成立，需要對分奇偶討論，然后利用分離參變量思想求數(shù)列的最值，即可得到答案.【小問1詳解】由可得：，，上面兩式相減得：，整理得：，，所以數(shù)列是常數(shù)列，即，所以，則，所以兩邊同乘以2得：兩式相減得：，即.【小問2詳解】由可得：，整理得：，當為偶數(shù)時，上面不等式可化簡為：，利用該數(shù)列單調(diào)遞增性可知：，所以，當為奇數(shù)時，上面不等式可化簡為：，再利用該數(shù)列單調(diào)遞減性可知：，所以，綜上可得：.17.當前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表．12345611.53612（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少?經(jīng)驗回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．【答案】（1），（2）②的擬合效果好，預(yù)測銷售量是千件【解析】【分析】（1）根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的求法求得正確答案.（2）通過計算決定系數(shù)確定擬合效果較好的方案，并由此進行預(yù)測.【小問1詳解】，所以，所以.由，兩邊取以為底的對數(shù)得，即，，所以，所以.【小問2詳解】，對于，；對于，，所以②的擬合效果好，當時，預(yù)測值千件.18.某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．比賽規(guī)則為：甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為，求的數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過輪踢球，用表示經(jīng)過第輪踢球累計得分后乙得分高于甲得分的概率．①求，，；②規(guī)定，且有，請根據(jù)①中，，的值求出A、，并求出數(shù)列的通項公式．【答案】（1）（2）①，，；②，；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意的可能取值為，然后求出對應(yīng)的概率，然后求出的分布列及期望即可；（2）①結(jié)合題意求出；②根據(jù)題意求出的值，再利用累加法求數(shù)列的通項公式即可.【小問1詳解】的可能取值為，則，，，所以得分布列為：所以得數(shù)學期望為.【小問2詳解】①由（1）知，經(jīng)過兩輪踢球，乙的累計得分高的有兩種情況：一是乙兩輪都得分為1；二是兩輪中乙一輪得1分，另一輪得0分，則，經(jīng)過三輪踢球，乙累計得分高于甲有四種情況：乙3輪各得1分；乙3輪中有2輪各得1分，l輪得0分；乙3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；乙3輪中有2輪各得1分，1輪得分.則；②由，可得，將的值代入可得，解得，，，即，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，所以數(shù)列的通項公式為.19.設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項；③．設(shè)集合，將集合中的元素的最小值記為．換句話說，是數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最小值．我們稱數(shù)列為數(shù)列的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，2，2，3，3．（1）請寫出數(shù)列1，5，7的伴隨數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前30項之和；（3）若數(shù)列的前項和（其中常數(shù)），求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前項和．【答案】（1）