高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊)專題36對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)(原卷版+解析)

專題36對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2．對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)3．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)．4．底數(shù)對函數(shù)圖象的影響對數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x的圖象如圖所示，可得如下規(guī)律：①y＝logax與y＝logeq\s\do8(\f(1,a))x的圖象關(guān)于x軸對稱；②當a＞1時，底數(shù)越大圖象越靠近x軸；當0＜a＜1時，底數(shù)越小圖象越靠近x軸．5．函數(shù)圖象的變換規(guī)律1一般地，函數(shù)y＝fx±a＋ba，b為實數(shù)的圖象是由函數(shù)y＝fx的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度，再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.2含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.一般地，y＝f|x－a|的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|fx|的圖象與y＝fx的圖象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分關(guān)于x軸對稱.題型一對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用1．指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.2．下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是對數(shù)函數(shù)的為()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥3．下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1個B．2個C．3個D．4個4．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx5．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx6．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的有()①y＝2log3x；②y＝1＋log3x；③y＝log3x；④y＝(log3x)2.A．1個B．2個C．3個D．4個7．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是對數(shù)函數(shù)，則a＝______.8．函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax為對數(shù)函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))等于()A．3B．－3C．－log36D．－log389．若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.10．若函數(shù)f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.11．若對數(shù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(4)＝2，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不確定12．已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(16,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__________.13．已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(8，－3)，則f(2eq\r(2))＝________.14．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________.15．已知f(x)為對數(shù)函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________.16．已知函數(shù)f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，則f(2019)的值為()A．－4B．－2C．0 D．217．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，則a＝________.18．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，則f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))的值等于___．19．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))則f(log23)＝________.20．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為題型二對數(shù)型函數(shù)的定義域1．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；(3)y＝eq\r(lg2－x)；(4)y＝eq\f(1,log33x－2)．2．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\f(1,log2x－1)；(2)y＝eq\r(lgx－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．3．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\r(3,log2x)；(2)y＝eq\r(log0.54x－3)；(3)y＝eq\r(log0.54x－3－1)；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．4．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\f(\r(log0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq\f(1,\r(log0.5x－1))；(3)y＝eq\r(loga4x－3)(a>0且a≠1)．5．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；6．函數(shù)y＝lneq\r(x－2)的定義域是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[4，＋∞)7．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定義域為()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)8．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2log5x)的定義域為________．9．函數(shù)y＝eq\f(1,log2x－2)的定義域為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)10．函數(shù)f(x)＝eq\f(lg4－x,x－3)的定義域為________．11．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域為()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)12．函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域為()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]13．函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,lgx＋1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)14．函數(shù)y＝eq\f(\r(3－x),2－log2x＋1)的定義域是()A．(－1,3) B．(－1,3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)15．函數(shù)f(x)＝eq\r(a－lgx)的定義域為(0,10]，則實數(shù)a的值為()A．0 B．10C．1 D．eq\f(1,10)16．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的圖象過點(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的定義域．17．函數(shù)f(x)＝eq\r(lgx)＋lg(5－3x)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))18．若函數(shù)y＝log2(kx2＋4kx＋5)的定義域為R，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))19．已知函數(shù)f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．20．已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；題型三對數(shù)函數(shù)的圖象問題1．函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖象大致是()2．函數(shù)f(x)＝log2(1－x)的圖象為()3．函數(shù)y＝eq\f(lg|x|,x)的圖象大致是()4．如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a(chǎn)>b>1D．b>a>15．已知m，n∈R，函數(shù)f(x)＝m＋lognx的圖象如右圖，則m，n的取值范圍分別是()A．m>0,0<n<1B．m<0,0<n<1C．m>0，n>1D．m<0，n>16．如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d,1,0的大小關(guān)系為________．7．當a>1時，在同一坐標系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為()8．已知0<a<1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是()9．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致是()10．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的圖象必不過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限11．已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是()12．函數(shù)y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________．13．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．14．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點________．15．函數(shù)y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的圖象所過定點的坐標是________．16．若函數(shù)f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．17．若函數(shù)y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(3,2)，則實數(shù)b，c的值分別為_______．18．已知f(x)＝loga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出這個函數(shù)的圖象；(2)若f(a)<f(2)，利用圖象求a的取值范圍．20．若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表達式，并畫出大致圖象．21．已知函數(shù)f(x)＝lg|x|，(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象草圖；(3)利用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是減函數(shù)．22．若不等式x2－logmx<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．專題36對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.2．對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)a的范圍0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)定點(1,0)，即x＝1時，y＝0單調(diào)性在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)3．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)．4．底數(shù)對函數(shù)圖象的影響對數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do8(\f(1,3))x的圖象如圖所示，可得如下規(guī)律：①y＝logax與y＝logeq\s\do8(\f(1,a))x的圖象關(guān)于x軸對稱；②當a＞1時，底數(shù)越大圖象越靠近x軸；當0＜a＜1時，底數(shù)越小圖象越靠近x軸．5．函數(shù)圖象的變換規(guī)律1一般地，函數(shù)y＝fx±a＋ba，b為實數(shù)的圖象是由函數(shù)y＝fx的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度，再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.2含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.一般地，y＝f|x－a|的圖象是關(guān)于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|fx|的圖象與y＝fx的圖象在fx≥0的部分相同，在fx<0的部分關(guān)于x軸對稱.題型一對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用1．指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1.[解析](1)log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù)．(2)符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù)．(3)自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù)．(4)對數(shù)式log2x后又加1，不是對數(shù)函數(shù)．2．下列給出的函數(shù)：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(eq\r(3)－1)x；④y＝eq\f(1,3)log3x；⑤y＝logxeq\r(3)(x>0，且x≠1)；⑥y＝logeq\f(2,π)x.其中是對數(shù)函數(shù)的為()A．③④⑤ B．②④⑥C．①③⑤⑥ D．③⑥[解析]由對數(shù)函數(shù)定義知，③⑥是對數(shù)函數(shù)，故選D.3．下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有()①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1個B．2個C．3個D．4個[解析]形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函數(shù)即為對數(shù)函數(shù)，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故選B.4．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)D．y＝lnx[解析]結(jié)合對數(shù)函數(shù)的形式y(tǒng)＝logax(a>0且a≠1)可知D正確．5．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y＝loga(2x) B．y＝log22xC．y＝log2x＋1 D．y＝lgx[解析]形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函數(shù)即為對數(shù)函數(shù)，符合此形式的只有D，其他的不符合．故選D.6．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的有()①y＝2log3x；②y＝1＋log3x；③y＝log3x；④y＝(log3x)2.A．1個B．2個C．3個D．4個[解析]結(jié)合對數(shù)函數(shù)的形式y(tǒng)＝logax(a>0且a≠1)可知A正確．7．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是對數(shù)函數(shù)，則a＝______.[解析]由對數(shù)函數(shù)的定義可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：58．函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax為對數(shù)函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))等于()A．3B．－3C．－log36D．－log38[解析]∵函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax為對數(shù)函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a－5＝1，,a＞0，,a≠1，))解得a＝2，∴f(x)＝log2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝log2eq\f(1,8)＝－3.故選B.9．若函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.[解析]因為函數(shù)y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是對數(shù)函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，,a2－5a＋4＝0，))解得a＝4.10．若函數(shù)f(x)＝log(a＋1)x＋(a2－2a－8)是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.[解析]由對數(shù)函數(shù)的定義可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－8＝0，,a＋1＞0，,a＋1≠1，))解得a＝4.11．若對數(shù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(4)＝2，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不確定[解析]設(shè)對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)，由題意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴該對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x.12．已知對數(shù)函數(shù)的圖象過點(16,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝__________.[解析]設(shè)對數(shù)函數(shù)為f(x)＝logax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.13．已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(8，－3)，則f(2eq\r(2))＝________.[解析]設(shè)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則－3＝loga8，∴a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝logeq\f(1,2)x，f(2eq\r(2))＝logeq\f(1,2)(2eq\r(2))＝－log2(2eq\r(2))＝－eq\f(3,2).14．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________.[解析]由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.15．已知f(x)為對數(shù)函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝________.[解析]設(shè)f(x)＝logax，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝logaeq\f(1,2)＝－2，得a＝eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝logeq\s\do8(eq\r(2))eq\f(1,4)＝－4.16．已知函數(shù)f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，則f(2019)的值為()A．－4B．－2C．0 D．2[解析]f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝alog2x＋blog3x＋2＋alog2eq\f(1,x)＋blog3eq\f(1,x)＋2＝4，所以f(2019)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，又因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)))＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,2x，x≤0，))若f(a)＝eq\f(1,2)，則a＝________.[解析]當x>0時，f(x)＝log2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得log2a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\r(2).當x≤0時，f(x)＝2x，由f(a)＝eq\f(1,2)得2a＝eq\f(1,2)，a＝－1.綜上a＝－1或eq\r(2).18．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2019)＝8，則f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))的值等于___．[解析]∵f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋f(xeq\o\al(2,3))＋…＋f(xeq\o\al(2,2019))＝logaxeq\o\al(2,1)＋logaxeq\o\al(2,2)＋logaxeq\o\al(2,3)＋…＋logaxeq\o\al(2,2019)＝loga(x1x2x3…x2019)2＝2loga(x1x2x3…x2019)＝2×8＝16.19．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥4，,fx＋2x＜4，))則f(log23)＝________.[解析]因為log23＜4，log23＋2＝log23＋log24＝log212＜4，log212＋2＝log212＋log24＝log248＞4，所以f(log23)＝f(log248)＝2log248＝48.20．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝3x的反函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為[解析]由題意可知f(x)＝log3x，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)＝－log32題型二對數(shù)型函數(shù)的定義域1．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋eq\f(1,x－3)；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)；(3)y＝eq\r(lg2－x)；(4)y＝eq\f(1,log33x－2)．[解析](1)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函數(shù)定義域為(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4x>0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x<4，所以函數(shù)定義域為(－1,0)∪(0,4)．(3)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg2－x≥0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x≥1，,2－x>0.))∴x≤1.即y＝eq\r(lg2－x)的定義域為{x|x≤1}．(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log33x－2≠0，,3x－2>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2≠1，,3x>2，))解得x>eq\f(2,3)，且x≠1.∴y＝eq\f(1,log33x－2)的定義域為{xeq\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(2,3)，且x≠1)).2．求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\f(1,log2x－1)；(2)y＝eq\r(lgx－3)；(3)y＝log2(16－4x)；(4)y＝log(x－1)(3－x)．[解析](1)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log2x－1≠0，))解得x>1，且x≠2.∴函數(shù)y＝eq\f(1,log2x－1)的定義域是{x|x>1，且x≠2}．(2)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3>0，,lgx－3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.∴所求函數(shù)的定義域是{x|x≥4}．(3)要使函數(shù)式有意義，需16－4x>0，解得x<2.∴所求函數(shù)的定義域是{x|x<2}．(4)要使函數(shù)式有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1<x<3，且x≠2.∴所求函數(shù)的定義域是{x|1<x<3，且x≠2}．3．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\r(3,log2x)；(2)y＝eq\r(log0.54x－3)；(3)y＝eq\r(log0.54x－3－1)；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．[解析](1)定義域為(0，＋∞)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq\f(3,4)<x≤1，∴定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq\f(3,4)<x≤eq\f(7,8)，∴定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,8))).(4)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1<x<0或0<x<2，∴定義域為(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\f(\r(log0.4x－1),2x－1)；(2)y＝eq\f(1,\r(log0.5x－1))；(3)y＝eq\r(loga4x－3)(a>0且a≠1)．[解析](1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log0.4x－1≥0，,2x－1≠0，))解得1<x≤2，∴定義域為{x|1<x≤2}．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,log0.5x－1>0，))解得1<x<2，∴定義域為{x|1<x<2}．(3)當0<a<1時，0<4x－3≤1?eq\f(3,4)<x≤1，∴定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(3,4)<x≤1))；當a>1時，4x－3≥1?x≥1，∴定義域為{x|x≥1}.5．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(1,\r(log\f(1,2)x＋1))；(2)f(x)＝eq\f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；[解析](1)要使函數(shù)f(x)有意義，則logeq\f(1,2)x＋1>0，即logeq\f(1,2)x>－1，解得0<x<2，即函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)．(2)函數(shù)式若有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,2－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x<2，))解得－1<x<2，故函數(shù)的定義域為(－1,2)．(3)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x＋8>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2，,x>\f(1,2)，,x≠1.))故函數(shù)y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2，且x≠1)))).6．函數(shù)y＝lneq\r(x－2)的定義域是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[4，＋∞)[解析]要使函數(shù)有意義，真數(shù)需大于0，所以x－2＞0，即x＞2.故選C.7．函數(shù)f(x)＝lg(x－1)＋eq\r(4－x)的定義域為()A．(1,4] B．(1,4)C．[1,4] D．[1,4)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,4－x≥0，))所以1＜x≤4.8．函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2log5x)的定義域為________．[解析]由1－2log5x≥0，得log5x≤eq\f(1,2)，故0<x≤eq\r(5).[答案](0，eq\r(5)]9．函數(shù)y＝eq\f(1,log2x－2)的定義域為()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2x－2≠0，))解得x＞2且x≠3，故選C.10．函數(shù)f(x)＝eq\f(lg4－x,x－3)的定義域為________．[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＞0，,x－3≠0))?{x|x＜4，且x≠3}．11．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域為()A．(0,2) B．(0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)[解析]若函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1＞0，∴l(xiāng)og2x＞1，∴x＞2.所以函數(shù)f(x)的定義域為(2，＋∞)．12．函數(shù)y＝eq\r(x)ln(1－x)的定義域為()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1][解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－x>0，))得0≤x<1，故選B.13．函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,lgx＋1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,x＋1≠1))?x＞－1，且x≠0.故選C.14．函數(shù)y＝eq\f(\r(3－x),2－log2x＋1)的定義域是()A．(－1,3) B．(－1,3]C．(－∞，3) D．(－1，＋∞)[解析]若要函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x＋1＞0，,2≠log2x＋1，))解得－1＜x＜3.15．函數(shù)f(x)＝eq\r(a－lgx)的定義域為(0,10]，則實數(shù)a的值為()A．0 B．10C．1 D．eq\f(1,10)[解析]由已知，得a－lgx≥0的解集為(0,10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又當0＜x≤10時，lgx≤1，所以a＝1，故選C.16．若函數(shù)y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的圖象過點(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函數(shù)的定義域．[解析](1)將(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，則－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，所以函數(shù)的定義域為{x|x>－2}．17．函數(shù)f(x)＝eq\r(lgx)＋lg(5－3x)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx≥0，,5－3x>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x<\f(5,3)，))即1≤x<eq\f(5,3).18．若函數(shù)y＝log2(kx2＋4kx＋5)的定義域為R，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))) D．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))[解析]由題意得，kx2＋4kx＋5＞0在R上恒成立．k＝0時，成立；k≠0時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，,Δ＝16k2－20k＜0，))解得0＜k＜eq\f(5,4)，綜上，k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，故選B.19．已知函數(shù)f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒為正，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范圍是a>1.20．已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).若定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；[解析]要使f(x)的定義域為R，則對任意實數(shù)x都有t＝ax2＋(a－1)x＋eq\f(1,4)>0恒成立．當a＝0時，不合題意；當a≠0時，由二次函數(shù)圖象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a－12－a<0.))解得eq\f(3－\r(5),2)<a<eq\f(3＋\r(5),2).故所求a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(5),2)，\f(3＋\r(5),2))).題型三對數(shù)函數(shù)的圖象問題1．函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖象大致是()[解析]由底數(shù)大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的圖象向左平移1個單位．(或令x＝0得y＝0，而且函數(shù)為增函數(shù))，[答案]C2．函數(shù)f(x)＝log2(1－x)的圖象為()[解析]該函數(shù)為單調(diào)遞減的復(fù)合函數(shù)，且過定點(0,0)，故A正確．3．函數(shù)y＝eq\f(lg|x|,x)的圖象大致是()[解析]由函數(shù)y＝eq\f(lg|x|,x)的定義域是{x|x≠0}，易得函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可排除A，B，當x＝1時，y＝lg1＝0，故圖象與x軸相交，且其中一個交點為(1,0)，只有D中圖象符合．4．如圖，若C1，C2分別為函數(shù)y＝logax和y＝logbx的圖象，則()A．0<a<b<1B．0<b<a<1C．a(chǎn)>b>1D．b>a>1[解析]作直線y＝1，則直線與C1，C2的交點的橫坐標分別為a，b，易知0<b<a<1.5．已知m，n∈R，函數(shù)f(x)＝m＋lognx的圖象如右圖，則m，n的取值范圍分別是()A．m>0,0<n<1B．m<0,0<n<1C．m>0，n>1D．m<0，n>1[解析]由圖象知函數(shù)為增函數(shù)，故n>1.又當x＝1時，f(x)＝m>0，故m>0.[答案]C6．如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d,1,0的大小關(guān)系為________．[解析]由題圖可知函數(shù)y＝logax，y＝logbx的底數(shù)a>1，b>1，函數(shù)y＝logcx，y＝logdx的底數(shù)0<c<1,0<d<1.過點(0,1)作平行于x軸的直線l(圖略)，則直線l與四條曲線交點的橫坐標從左向右依次為c，d，a，b，顯然b>a>1>d>c>0.7．當a>1時，在同一坐標系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為()[解析]∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選C.8．已知0<a<1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象可能是()[解析]因為0<a<1，所以y＝ax單調(diào)遞減，y＝logax單調(diào)遞減，而y＝loga(－x)與y＝logax關(guān)于y軸對稱，所以選D．9．若函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象大致是()[解析]由函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)的圖象可知，函數(shù)f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是減函數(shù)．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝ax＋b在R上是減函數(shù)，故排除A、B.由g(x)的值域為(b，＋∞)．所以g(x)＝ax＋b的圖象應(yīng)在直線y＝b的上方，故排除C.[答案]D10．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的圖象必不過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其圖象如下圖所示，故選A.11．已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝－logbx的圖象可能是()[解析]由lga＋lgb＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝eq\f(1,b)，所以當0＜b＜1時，a＞1；當b＞1時，0＜a＜1.又因為函數(shù)y＝－logbx與函數(shù)y＝logbx的圖象關(guān)于x軸對稱．利用這些信息可知選項B符合0＜b＜1且a＞1的情況．12．函數(shù)y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________．[解析]因為函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，則令x＋1＝1，得x＝0，此時y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函數(shù)y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(0，－2).13．已知函數(shù)y＝loga(x－3)－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是________．[解析]y＝logax的圖象恒過點(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，則y＝－1.14．函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因為f(－1)＝3，所以f(x)的圖象恒過定點(－1,3)．15．函數(shù)y＝2＋loga(3x－2)(a>0，且a≠1)的圖象所過定