高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）第04課時排列與組合(原卷版+解析)

第4課時排列與組合編寫：廖云波【回歸教材】1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用表示．3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(3)0！＝；Aeq\o\al(n,n)＝！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝【典例講練】題型一排列應(yīng)用題【例1-1】（1）若，則________；（2）不等式的解集為________．【例1-2】有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，女生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】若，則n=（

）A．1 B．8 C．9 D．10【練習(xí)1-2】某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過道工序．(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）【練習(xí)1-3】隨著經(jīng)濟的發(fā)展，私家車成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過程中預(yù)留了7個排成一排的備用車位．現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車隨機停車，任意兩輛車都不相鄰，則共有不同停車種數(shù)為（

）A．144 B．24 C．72 D．60題型二組合應(yīng)用題【例2-1】解不等式：.【例2-2】某學(xué)校為增進學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長跑比賽，該學(xué)校高一年級共有5個班級，現(xiàn)將7個參賽名額分配給這5個班級，每班至少1個參賽名額，則不同的分配方法為（

）A．21種 B．18種 C．15種 D．10種【例2-3】男運動員名,女運動員名,其中男女隊長各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.（1）任選人（2）男運動員名,女運動員名（3）至少有名女運動員（4）隊長至少有一人參加（5）既要有隊長,又要有女運動員歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】在10件產(chǎn)品中，有8件正品，2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)共有多少種不同抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？題型三分組、分配問題【例3-1】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.【例3-2】第24屆冬季奧林匹克運動會在北京舉辦，據(jù)此，北京成為世界上第一座雙奧之城，該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情．現(xiàn)將5名志愿者分到3個不同的場所進行志愿服務(wù)，要求每個場所至少1人，則不同的分配方案有（

）A．150種 B．90種 C．300種 D．360種歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】現(xiàn)有張獎券，其中有一、二、三等獎各張，其余張無獎，現(xiàn)將這張獎券隨機分發(fā)給名同學(xué)，每人張，則恰有兩人獲獎的情況數(shù)是（

）A． B． C． D．【練習(xí)3-2】名同學(xué)簡記為、、、、、到甲、乙、丙三個場館做志愿者(1)一天上午有個相同的口罩全部發(fā)給這名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？(2)每名同學(xué)只去一個場館，甲場館安排名，乙場館安排名，丙場館安排名，則不同的安排方法種數(shù)？【練習(xí)3-3】某班有一個5男4女組成的社會實踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進行三項不同的社會實踐，將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個組去進行社會實踐.題型四排列組合綜合題【例4-1】現(xiàn)選派3名男醫(yī)生3名女醫(yī)生組成兩個組，去支援兩個社區(qū)的防疫工作，每組至少2人，女醫(yī)生不能全在同一組，且每組不能全為女醫(yī)生，則不同的安排方法有______種（用數(shù)字填寫答案）．【例4-2】有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是（

）A．12 B．48 C．72 D．96【例4-3】北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計，表達了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛．某校為了加強學(xué)生對體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個吉祥物組裝安放至操場，每個吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個吉祥物，則不同的方案共有（

）種．A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進行演出．要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．240種 B．480種 C．540種 D．720種【練習(xí)4-2】英文單詞"sentence”由8個字母構(gòu)成，將這8個字母組合排列，且兩個n不相鄰一共可以得到英文單詞的個數(shù)為（

）（可以認為每個組合都是一個有意義的單詞）A．2520 B．3360 C．25200 D．4530【練習(xí)4-3】《長津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國慶檔的熱門電影．某電影院的某放映廳在國慶節(jié)的白天可以放映6場，晚上可以放映4場電影．這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場和晚上第一場視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（

）A．30種 B．54種 C．60種 D．64種【完成課時作業(yè)（六十六）】

【課時作業(yè)（六十六）】A組礎(chǔ)題鞏固1．現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．172802．學(xué)校有個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種4．為了配合社區(qū)核酸檢測，某醫(yī)院共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與社區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會被分為2組派往2個不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨成組.若每組不超過4人，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．32 B．48 C．40 D．565．某學(xué)校為了迎接市春季運動會，從由5名男生和4名女生組成的田徑訓(xùn)練隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為（

）A．85 B．86 C．9 D．906．中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種7．將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，其中一個路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種8．年07月01日是中國共產(chǎn)黨成立100周年，習(xí)近平總書記代表黨和人民莊嚴(yán)宣告，經(jīng)過全黨全國各族人民持續(xù)奮斗，我們實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)，在中華大地上全面建成了小康社會，歷史性地解決了絕對貧困問題.某數(shù)學(xué)興趣小組把三個0?兩個2?兩個1與一個7組成一個八位數(shù)（如20001217），若其中三個0均不相鄰，則這個八位數(shù)的個數(shù)為（

）A．200 B．240 C．300 D．6009．霍慶市海軍青少年航空學(xué)校招生，某服務(wù)站點需要連續(xù)五天有志愿者參加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者計劃依次安排到該服務(wù)站點參加服務(wù)，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．48種 B．60種 C．76種 D．96種10．若，則________．11．某公司有9個連在一起的停車位，現(xiàn)有5輛不同型號的轎車需停放，若停放后恰有3個空車位連在一起，則不同的停放方法有____種.12．北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計，表達了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛．某校為了加強學(xué)生對體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個吉祥物組裝安放至操場，每個吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個吉祥物，則不同的方案共有________種．13．某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓(xùn)．(1)若至多有1名主任參加，則有多少種派法？(2)若呼吸內(nèi)科至少有2名醫(yī)生參加，則有多少種派法？(3)若至少有1名主任參加，且有女醫(yī)生參加，則有多少種派法？B組挑戰(zhàn)自我1．2021年是鞏固脫貧攻堅成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國家政策，選派了6名工作人員到A、B、C三個村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個村至少去1人，不同的安排方式共有（

）種．A．540 B．480 C．360 D．2402．疫情之下，口罩成為家家戶戶囤貨清單中必不可少的一項，某新聞記者為調(diào)查不同口罩的防護能力，分別在淘寶、京東、拼多多等購物平臺購買了7種口罩，安排4人進行相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計，且每人至少統(tǒng)計1種口罩的相關(guān)數(shù)據(jù)（不重復(fù)統(tǒng)計），則不同的安排方法有（

）A．6000種 B．7200種 C．7800種 D．8400種3．設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個數(shù)為（

）A．833 B．884 C．5050 D．51514．某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動，主持人事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每列最下面的一個燈籠中的謎語來猜（無論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）第4課時排列與組合編寫：廖云波【回歸教材】1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(3)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)【典例講練】題型一排列應(yīng)用題【例1-1】（1）若，則________；（2）不等式的解集為________．【答案】

3

【分析】（1）利用排列數(shù)的計算公式化簡計算，再結(jié)合的取值范圍即可得出答案.（2）利用排列數(shù)的計算公式化簡計算，再結(jié)合的取值范圍即可得出答案.【詳解】（1）原方程可化為，化簡得，解得或或或．由，得，且，所以．（2）原不等式可化為，其中，，整理得，即，所以或．因為，，所以，，所以原不等式的解集為．故答案為：3，.【例1-2】有7名同學(xué)，其中3名男生、4名女生，求在下列不同條件下的排法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)全體站成一排，女生互不相鄰；(3)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，也不站在最右邊；(4)全體站成一排，其中甲不站在最左邊，乙不站在最右邊；(5)男生順序已定，女生順序不定；(6)站成三排，前排2名同學(xué)，中間排3名同學(xué)，后排2名同學(xué)，其中甲站在中間排的中間位置；(7)7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙相鄰，但都不與丙相鄰；(8)7名同學(xué)坐圓桌吃飯，其中甲、乙相鄰．【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240【分析】（1）根據(jù)排列即可求解，（2）根據(jù)不相鄰問題運用插空法即可求解，（3）根據(jù)特殊元素或者特殊位置優(yōu)先安排即可求解,（4）根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可分兩類情況分別求解：一類甲在最后最右端，另一類甲在出來左右兩端之外的中間5個位置中選一個，（5）根據(jù)定序問題利用除法即可求解，（6）先安排好甲，剩余人員全排列即可，（7）甲乙相鄰問題，然后甲乙整體與丙屬于不相鄰問題，分別利用捆綁法和插空法即可分步求解，（8）根據(jù)圓桌問題，利用定序問題的除法公式即可求解.（1）從7人中選5人排列，排法有（種）．（2）先排男生，有種排法，再在男生之間及兩端的4個空位中排女生，有種排法．故排法共有（種）．（3）方法一（特殊元素優(yōu)先法）

先排甲，有5種排法，其余6人有種排法，故排法共有（種）．方法二（特殊位置優(yōu)先法）

左右兩邊位置可安排除甲外其余6人中的2人，有種排法，其他位置有種排法，故排法共有（種）．（4）方法一

分兩類：第一類，甲在最右邊，有種排法；第二類，甲不在最右邊，甲可從除去兩端后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，而乙可從除去最右邊的位置及甲的位置后剩下的5個位置中任選一個，有5種排法，其余人全排列，有種排法．故排法共有（種）．方法二

7名學(xué)生全排列，有種排法，其中甲在最左邊時，有種排法，乙在最右邊時，有種排法，甲在最左邊、乙在最右邊都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種排法，故排法共有（種）．（5）7名學(xué)生站成一排，有種排法，其中3名男生的排法有種，由于男生順序已定，女生順序不定，故排法共有（種）．（6）把甲放在中間排的中間位置，則問題可以看成剩余6人的全排列，故排法共有（種）．（7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有種排法，由于甲、乙相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法，最后把排好的甲、乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人之間及兩端的5個空隙中，有種排法．故排法共有（種）．（8）將甲、乙看成一個整體，相當(dāng)于6名同學(xué)坐圓桌吃飯，有種排法，甲、乙兩人可交換位置，故排法共有（種）．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】若，則n=（

）A．1 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)排列數(shù)的運算求解即可.【詳解】由得，，又，所以，解得，所以正整數(shù)n為8．故選：B.【練習(xí)1-2】某種產(chǎn)品的加工需要經(jīng)過道工序．(1)如果工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(2)如果工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）(3)如果工序C，D必須不能相鄰，那么有多少種加工順序？（數(shù)字作答）【答案】(1)96(2)48(3)72【分析】（1）先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，再將剩余的4道工序全排列即可；（2）先排A，B這2道工序，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列；（3）先排其余的3道工序，出現(xiàn)4個空位，再將這2道工序插空.(1)先從另外4道工序中任選1道工序放在最后，有種不同的排法，再將剩余的4道工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；(2)先排A，B這2道工序，有種不同的排法，再將它們看做一個整體，與剩余的工序全排列，有種不同的排法，故由分步乘法原理可得，共有種加工順序；(3)先排其余的3道工序，有種不同的排法，出現(xiàn)4個空位，再將C，D這2道工序插空，有種不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有種加工順序.【練習(xí)1-3】隨著經(jīng)濟的發(fā)展，私家車成為居民的標(biāo)配．某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化，在小區(qū)建設(shè)過程中預(yù)留了7個排成一排的備用車位．現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位．現(xiàn)規(guī)定3位私家車隨機停車，任意兩輛車都不相鄰，則共有不同停車種數(shù)為（

）A．144 B．24 C．72 D．60【答案】D【分析】由題可知7個車位停三輛車，則會產(chǎn)生4個空位，故可先擺4個空位留下5個空隙供3輛車選擇即可.【詳解】由題可知7個車位停三輛車，則會產(chǎn)生4個空位，故可先擺好4個空車位，4個空車位之間共有5個空隙可供3輛車選擇停車．因此，任何兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有.故選：D．題型二組合應(yīng)用題【例2-1】解不等式：.【答案】【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算公式可得解集.【詳解】解：由題意，得，.原不等式可化簡為，即，解得.又，，所以.【例2-2】某學(xué)校為增進學(xué)生體質(zhì)，擬舉辦長跑比賽，該學(xué)校高一年級共有5個班級，現(xiàn)將7個參賽名額分配給這5個班級，每班至少1個參賽名額，則不同的分配方法為（

）A．21種 B．18種 C．15種 D．10種【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用隔板法直接求解作答.【詳解】7個參賽名額分配給5個班級，每班至少1個參賽名額，名額無區(qū)別，可將7個參賽名額視為7個球，排成一列形成6個空隙，插入4塊隔板分成5份，每一份至少一個球，即至少一個名額，所以不同分配方法為.故選：C【例2-3】男運動員名,女運動員名,其中男女隊長各人,選派人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法.（1）任選人（2）男運動員名,女運動員名（3）至少有名女運動員（4）隊長至少有一人參加（5）既要有隊長,又要有女運動員【答案】（1）252（2）120（3）246（4）196（5）191【分析】（1）男運動員名,女運動員名,共名,任選5人的選法為:,即可求得任選5人的選法;（2）本題是一個分步計數(shù)問題,首先選名男運動員,有種選法.再選名女運動員,有種選法.利用乘法原理,即可求得答案;（3）至少名女運動員包括以下幾種情況:女男,女男,女男,女男.分別寫出這幾種結(jié)果,利用分類加法原理,即可求得答案;（4）只有男隊長為種選法,只有女隊長為種選法,男、女隊長都入選為種選法,把所有的結(jié)果數(shù)相加,即可求得答案;（5）當(dāng)有女隊長,其他人選法任意,共有種選法.不選女隊長時,必選男隊長,共有種選法.其中選男隊長,不含女運動員種選法,即可求得答案.【詳解】（1）男運動員名,女運動員名,共名任選人的選法為:任選人,共有種選法.（2）選派男運動員名,女運動員名.首先選名男運動員,有種選法,再選名女運動員,有種選法根據(jù)分步計數(shù)乘法原理選派男運動員名,女運動員名,共有種選法.（3）至少名女運動員包括以下幾種情況:女男,女男,女男,女男.由分類加法計數(shù)原理可得有:.至少有名女運動員有種選法.（4）只有男隊長的選法為選法,只有女隊長的選法為選法又男、女隊長都入選的選法為選法.共有種選法.隊長至少有一人參加有:種選法.（5）當(dāng)有女隊長,其他人選法任意,共有種選法,不選女隊長時,必選男隊長,共有種選法,選男隊長且不含女運動員有種選法.不選女隊長時共有種選法.既有隊長又有女運動員共有:種選法.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】在10件產(chǎn)品中，有8件正品，2件次品，從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)共有多少種不同抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？【答案】(1)120(2)56(3)64【分析】（1）根據(jù)組合定義可得答案；（2）根據(jù)組合定義可得答案；（3）根據(jù)組合定義和間接法可得答案.(1)從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件有種.(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有種.(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有種.題型三分組、分配問題【例3-1】按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無序不均勻分組問題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問題．直接求出即可．（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，求出組合總數(shù)除以即可．（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問題．直接求出即可，（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本．這是部分平均分組問題，求出組合總數(shù)除以即可，(1)解：依題意，先選1本有種選法；再從余下的5本中選2本有種選法；最后余下3本全選有種方法，故共有種．(2)解：由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．(3)解：先分三步，則應(yīng)是種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為、、、、、，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，記該種分法為，，，則種分法中還有，，、，，、，，、，，、，，，共種情況，而這種情況僅是、、的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有種．(4)解：在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有種．(5)解：無序均勻分組問題，種，【例3-2】第24屆冬季奧林匹克運動會在北京舉辦，據(jù)此，北京成為世界上第一座雙奧之城，該奧運會激發(fā)了大家對冰雪運動的熱情．現(xiàn)將5名志愿者分到3個不同的場所進行志愿服務(wù)，要求每個場所至少1人，則不同的分配方案有（

）A．150種 B．90種 C．300種 D．360種【答案】A【分析】根據(jù)題意，5名志愿者去3個地方，有兩種可能，根據(jù)部分分組的原理求解.【詳解】依題意，5名志愿者去3個場所，每個場所至少1人，有以下兩種可能，3個場所可能分別有或名志愿者，根據(jù)部分均分的分組公式，分組的可能有：種，在把這些分組分到三個不同的場所，有種.故選：A.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】現(xiàn)有張獎券，其中有一、二、三等獎各張，其余張無獎，現(xiàn)將這張獎券隨機分發(fā)給名同學(xué)，每人張，則恰有兩人獲獎的情況數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】只需考慮將一、二、三等獎的獎券分配給其中的兩人，結(jié)合分組分配的原理可得結(jié)果.【詳解】只需考慮將一、二、三等獎的獎券分配給其中的兩人，則兩人中有一人分了兩張獎券，故恰有兩人獲獎的情況數(shù)是.故選：B.【練習(xí)3-2】名同學(xué)簡記為、、、、、到甲、乙、丙三個場館做志愿者(1)一天上午有個相同的口罩全部發(fā)給這名同學(xué)，每名同學(xué)至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？(2)每名同學(xué)只去一個場館，甲場館安排名，乙場館安排名，丙場館安排名，則不同的安排方法種數(shù)？【答案】(1)126種；(2)60種；【分析】（1）先讓每位同學(xué)拿一個口罩，余下10個用隔板法求解作答.（2）利用分步計數(shù)乘法原理從6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三個場館列式計算作答.(1)個相同的口罩，每位同學(xué)先拿一個，剩下的個口罩排成一排有個間隙，插入塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，所以不同的發(fā)放方法種.(2)求不同的安排方法分三步：人中選一人去甲場館，剩下的人中選人去乙場館，最后剩下人去丙場館，所以不同的安排方法有種.【練習(xí)3-3】某班有一個5男4女組成的社會實踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進行三項不同的社會實踐，將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個組去進行社會實踐.【答案】.【分析】將4個女生按分組，再取男生到分成的三組，確保各組都為3人，然后將三組分配到三個項目中去，列式計算作答.把4個女生按分組，有種分法，再從5個男生中任取1個到兩個女生的一組，從余下4個男生中任取2人到1個女生的一組，最后2個男生到最后的1個女生組，分法種數(shù)為，將分得的三個小組分配到三個項目中去有方法，由分步乘法計數(shù)原理得：，所以不同的調(diào)查方式有.題型四排列組合綜合題【例4-1】現(xiàn)選派3名男醫(yī)生3名女醫(yī)生組成兩個組，去支援兩個社區(qū)的防疫工作，每組至少2人，女醫(yī)生不能全在同一組，且每組不能全為女醫(yī)生，則不同的安排方法有______種（用數(shù)字填寫答案）．【答案】36【分析】分類根據(jù)加法原理和分步乘法原理進行計算.【詳解】設(shè)兩個社區(qū)為A，，若A社區(qū)派遣2名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，若A社區(qū)派遣3名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，若A社區(qū)派遣4名醫(yī)生，等同社派遣2名醫(yī)生，則共有種不同的派遣方法，綜合①②③得：則不同的派遣方法有，故選：C．【例4-2】有5本不同的教科書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是（

）A．12 B．48 C．72 D．96【答案】B【分析】此題分為物理在第一或第五個位置、物理在第二或第四個位置和物理在第三個位置，分別求出它們的總數(shù)即可求出答案.【詳解】物理在第一或第五個位置，共有：種；物理在第二或第四個位置，共有：種；物理在第三個位置，共有：種；所以同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是：.故選：B.【例4-3】北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計，表達了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛．某校為了加強學(xué)生對體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個吉祥物組裝安放至操場，每個吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個吉祥物，則不同的方案共有（

）種．A． B． C． D．【答案】B【分析】先分類成兩種情況：四人一組和兩人一組以及三人一組和三人一組，然后根據(jù)計數(shù)原理求解即可.【詳解】由題意可以分為兩種情況：第一種：四人一組和兩人一組，共有；第二種：三人一組和三人一組，共有；所以不同的方案一共有：.故選：B.歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從舞蹈、小品、相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦6個節(jié)目中選取5個進行演出．要求舞蹈和小品必須同時參加，且他們的演出順序必須滿足舞蹈在前、小品在后．那么不同的演出順序種數(shù)有（

）A．240種 B．480種 C．540種 D．720種【答案】A【分析】先從4個節(jié)目中選3個，再按照定序排列即可求解.【詳解】先從相聲、音樂、魔術(shù)、朗誦4個節(jié)目中選3個，有種，再把5個節(jié)目排列且滿足舞蹈在前、小品在后，有，總共有種.故選：A.【練習(xí)4-2】英文單詞"sentence”由8個字母構(gòu)成，將這8個字母組合排列，且兩個n不相鄰一共可以得到英文單詞的個數(shù)為（

）（可以認為每個組合都是一個有意義的單詞）A．2520 B．3360 C．25200 D．4530【答案】A【分析】排列定序問題與不相鄰問題綜合，先去掉排列其他個字母，再插入字母．【詳解】英文單詞“sentence”中字母e有3個，字母n有2個，字母s、t、c各有一個，優(yōu)先考慮無限制的字母，注意重復(fù)字母需除去順序，共有種，再插入個字母，共有種，所以一共有種，故選：A．【練習(xí)4-3】《長津湖》和《我和我的父輩》都是2021年國慶檔的熱門電影．某電影院的某放映廳在國慶節(jié)的白天可以放映6場，晚上可以放映4場電影．這兩部影片只各放映一次，且兩部電影不能連續(xù)放映（白天最后一場和晚上第一場視為不連續(xù)），也不能都在白天放映，則放映這兩部電影不同的安排方式共有（

）A．30種 B．54種 C．60種 D．64種【答案】B【分析】分兩種情況考慮，均在晚上播放，或者白天一場，晚上一場，求得結(jié)果.【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場，晚上一場，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有48+6=54種.故選：B【完成課時作業(yè)（六十六）】

【課時作業(yè)（六十六）】A組礎(chǔ)題鞏固1．現(xiàn)從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，則不同安排方法的種數(shù)是（

）A．12 B．120 C．1440 D．17280【答案】C【分析】首先選3名男生和2名女生，再全排列，共有種不同安排方法.【詳解】首先從4名男生和3名女生中，任選3名男生和2名女生，共有種情況，再分別擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，共有種情況.所以共有種不同安排方法.故選：C2．學(xué)校有個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少個名額，則有（

）種分配方案.A． B． C． D．【答案】C【分析】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，結(jié)合隔板法可得結(jié)果.【詳解】問題等價于將個完全相同的小球，放入個不同的盒子，每個盒子至少個球，由隔板法可知，不同的分配方案種數(shù)為.故選：C.3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B4．為了配合社區(qū)核酸檢測，某醫(yī)院共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與社區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會被分為2組派往2個不同的社區(qū)，且女志愿者不單獨成組.若每組不超過4人，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．32 B．48 C．40 D．56【答案】B【分析】分為（3，3）兩組、（2，4）兩組兩種情況討論，分別計算每一組分配方法求和可得答案.【詳解】分兩種情況討論：分為3，3的兩組時，2名女志愿者不單獨成組，有種分組方法，再對應(yīng)到兩個社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時共有種分配方法；分為2，4的兩組時，有種分組方法，其中有1種兩名女志愿者單獨成組的情況，則有14種符合條件的分組方法，再對應(yīng)到兩個社區(qū)參加志愿工作，有種情況，此時共有種分配方法，故共有種分配方法.故選：B.5．某學(xué)校為了迎接市春季運動會，從由5名男生和4名女生組成的田徑訓(xùn)練隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為（

）A．85 B．86 C．9 D．90【答案】B【分析】由加法原理分類計算：第一類，男生甲入選，女生乙不入選；第二類，男生甲不入選，女生乙入選；第三類，男生甲、女生乙均入選，由此計算可得，其中第一類和第二類里計算時還需要再按男女生人數(shù)分類．【詳解】由題意，可分三類考慮：第一類，男生甲入選，女生乙不入選，選法種數(shù)為；第二類，男生甲不入選，女生乙入選，選法種數(shù)為；第三類，男生甲、女生乙均入選，選法種數(shù)為．所以男生甲與女生乙至少有1人入選的選法種數(shù)為．故選：B．6．中國航天工業(yè)迅速發(fā)展，取得了輝煌的成就，使我國躋身世界航天大國的行列.

中國的目標(biāo)是到2030年成為主要的太空大國.它通過訪問月球，發(fā)射火星探測器以及建造自己的空間站，擴大了太空計劃.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】在排列時，相鄰元素用捆綁法，特殊元素特殊安排，利用分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】首先將程序B和C捆綁在一起，再和除程序A之外的3個程序進行全排列，最后將程序A排在第一步或最后一步，根據(jù)分步計數(shù)原理可得種.故選：C7．將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，其中一個路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種【答案】A【分析】由于甲乙在同一路口執(zhí)勤且有一路口需3人，所以甲乙在三人組，第一步給甲乙組選一人，剩余兩人為兩組，第二步把三組人安排到3個路口即可.【詳解】5名交警分配到三個不同路口疏導(dǎo)交通，每個路口至少一人，其中一個路口3人，所以不同路口的執(zhí)勤人數(shù)為，又甲、乙在同一路口，先選一個人和甲乙組成一組有種選法,剩余兩人為兩組，然后安排到3個路口共有種不同的安排方法，故選：A8．年07月01日是中國共產(chǎn)黨成立100周年，習(xí)近平總書記代表黨和人民莊嚴(yán)宣告，經(jīng)過全黨全國各族人民持續(xù)奮斗，我們實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)，在中華大地上全面建成了小康社會，歷史性地解決了絕對貧困問題.某數(shù)學(xué)興趣小組把三個0?兩個2?兩個1與一個7組成一個八位數(shù)（如20001217），若其中三個0均不相鄰，則這個八位數(shù)的個數(shù)為（

）A．200 B．240 C．300 D．600【答案】C【分析】由于三個0均不相鄰，所以采用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，第二步再把0插入其中五個空，即可得答案.【詳解】利用插空法，第一步排列兩個2，兩個1，一個7，共有種排法，第二步再把0插入其中五個空，所以有種排法，所以共有個八位數(shù).故選：C.9．霍慶市海軍青少年航空學(xué)校招生，某服務(wù)站點需要連續(xù)五天有志愿者參加志愿服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有5名志愿者計劃依次安排到該服務(wù)站點參加服務(wù)，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．48種 B．60種 C．76種 D．96種【答案】B【分析】考慮兩種情況，即乙丙之間恰好安排的是甲，與乙丙之間安排的不恰好是甲兩種情況，采用插空法以及捆綁法，即可求得答案.【詳解】當(dāng)乙丙兩人之間恰好安排的是甲時，先排甲乙丙之外的兩人有種排法，將乙甲丙三人看作一個人，但乙丙可以交換位置，插到其余兩人的空位中，此時共有種安排方案，當(dāng)乙丙之間安排的不恰好是甲時，先排甲乙丙之外的兩人有種排法，再將乙丙插入到先排的兩人之間的空位中，有種排法，由于甲不安排第一天，故將甲插入到排完的四人形成的后面四個空位中，此時共有種安排方案，故不同的安排方案共有種安排方案，故選：B10．若，則________．【答案】5【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)公式直接計算可得.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：5.11．某公司有9個連在一起的停車位，現(xiàn)有5輛不同型號的轎車需停放，若停放后恰有3個空車位連在一起，則不同的停放方法有____種.【答案】3600【解析】先將5輛不同型號的轎車停放好，再用插空法將空車插入5輛不同型號的轎車產(chǎn)生的空位中即可.【詳解】分兩步：第一步，先將5輛不同型號的轎車停放好有種不同停法，第二步，再將3個空車位打包和剩下的1個空車位插入5輛車產(chǎn)生的6個空位中有種不同的插法，根據(jù)分步乘法原理得不同的停放方法種.故答案為：3600.【點睛】本題考查計數(shù)原理中的排列問題，求解排列問題主要有以下方法：1.直接法，2.優(yōu)先法，3.捆綁法，4.插空法，5.先整體后局部，6.定序問題除法處理，7.間接法等，做題時要靈活處理和運用，是一道中檔題.12．北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”以熊貓為原型進行創(chuàng)作，意喻敦厚、健康、活潑、可愛；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”以燈籠為原型進行設(shè)計，表達了世界文明交流互鑒，和諧發(fā)展理念．兩者一經(jīng)發(fā)布，深受大家喜愛．某校為了加強學(xué)生對體育的熱情，委派小劉、小陳、小趙、小孫、小王、小航人將這兩個吉祥物組裝安放至操場，每個吉祥物組裝安放至少需要兩人，每人都必須前往組裝安放，但小陳和小王不能組裝安放同一個吉祥物，則不同的方案共有________種．【答案】28【分析】先分類成兩種情況：四人一組和兩人一組以及三人一組和三人一組，然后根據(jù)計數(shù)原理求解即可．【詳解】由題意可以分為兩種情況：第一種：四人一組和兩人一組，共有；第二種：三人一組和三人一組，共有；所以不同的方案一共有：．故答案為：2813．某醫(yī)院呼吸內(nèi)科有3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中李亮（男）為科室主任；感染科有2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，其中張雅（女）為科室主任．現(xiàn)在院方?jīng)Q定從兩科室中選4人參加培訓(xùn)．