初中幾何問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)50個(gè)經(jīng)典幾何難題,

第一題:

已知：外接于。O,Z/MC=60°,AEA.BC,CbLAIi,AE.相交

于點(diǎn)〃，點(diǎn)/)為弧伙’的中點(diǎn)，連接〃/)、AI).求證：AJ"/)為等腰三角形

fHjil):易證//""'=120°.Z/iOC=120°,；.B、〃、

。、('四點(diǎn)共圓。

DIi=DO=DC.：.1)II=D()=()/1,又，

.1UDO是菱形

：.AH=HD.△/〃〃)為等腰三角形。

D

第二題：

如圖，/」為正方形ABCD邊⑺上一點(diǎn),連接AC、

AF,延長(zhǎng)月/交/C的平行線平“于點(diǎn)E,連接

且AC=AE。求證：(7：=('P

簡(jiǎn)ilh作點(diǎn)E關(guān)于/〃)對(duì)稱點(diǎn)G.則DEL1)(；

△CDG^△///)/<,A//CG是等邊二角形。

NG7c=60°,N/)./F=15°,/(?：”=30°.

ND￡“=30°.ZCFE=30°,

.?.△CE尸是等腰三角形。CE=CF0

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第三題:

已知：A48C中,AH=AC.NBAC=20//，）（'=30°。

求證：AD=BC

前3：以,11）為邊作正三角形ADE（如圖）

易知△，而CgZ\C，/?

第四愚

已知:中,。為7r邊的中點(diǎn),Z4=3ZC,乙〃用=45。求證:ABLBC

簡(jiǎn)證:過(guò)D作DEi附交BC于E

由已知得4E=EC,ZE71)=ZC

又Nd=3NC,："R";NBIM

HA=HE,由/加8=鉆°得ZEDB=45°

："、D、￡、片四點(diǎn)共圓,ZJBE=Z//DE=

90°

即

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一^I

第五題:

如圖,四邊形43(7)的兩條對(duì)角線人‘、/")交r點(diǎn)/「，//〃('=50。，ZAHD=60°,

ZCW9=20°.Z.CA/)=30°,4/)7?=40°.求NAC/)

就：設(shè)/〃)、BC交上點(diǎn)1\過(guò)/)作\X；//.IH

交B/,F點(diǎn)G,.1(；交HD尸//.則

ZU3F是等腰三角形，/、從G、/)四點(diǎn)共

圓。

ZD./G=ZZ)BG=2O°.；.NR/G=6O°

N/")G=N/〃/G=GO°.Z//GD=ZJBD

=60°.,.△GHD是等邊三角形。△加〃是

等邊三角形

：.ZBII('=80B,.,./(〃(；

=40

AZ//G(-H)°,：.IIC=GC,，△”(度

△GCD

Z//D('=S0°./.Z.7(7)=8O°.

第六題:

已知，ZJM,=30°,ZJ/X=60°,Al)=l)(\求證：AB?+BC2=BD2

Will：以AB為邊向外作正三角形ABE

則BC1BE,BE2+BC2=CE2

易ilE△IM8空△CAE,BD=CE

于是力42+/"'2=/")2。

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第七題:

如圖，〃(‘切。0TC.AC為例的直徑，PEI-為。。的割線，AE、4」|川'［線PO相

交「/，、D.求證：四邊形4/3(7)為平行四邊形

<：過(guò)C作(GIROJ--G,

則由Zz/EC=ZPG(>=90°得

E、/3、G、(泗點(diǎn)共“I

同理尸、D、G、C四點(diǎn)共圓

PC是OO切線，2=PEPF

在RT^PCO中,PCZ=PGPO

：.PEPF=2Y；PO.

：.E.G、0、/四點(diǎn)共圓。；.NOGF

=ZOEF,NBGE=NOEF..*.ZC

OGF-/BGE

乂CG_U>0得N/：G('=N/JGC,ZEG/-ZEO/-=2ZE.ll\?.ZEGC=Z/-GC=Z/?：.//?'

乂NEGC=NEKC,ZFGC=Z/DC.ZEHC=Z/-7X=ZE./F

?〃加，WE〃CD..?.四邊形./WD是平行四邊形.

第八題:

已知：在A4/，r中，AB=AC,4=80°,ZO/?C=10°,^OCA=20°,

求證：AH=()B

：延長(zhǎng)CO交48于D以"C為邊作正三角

形OCE(如圖)

易知//C=DC,BI)OD,OC=.1D

△“Eg△C/l).△.1(()^△.!E(),

ZCJO=-ZC/Zi=10°

2

/.ZB.7O=7O°.ZJBO=K)°

AZB0J=70°.：./lB=OB.

一^I

第九題:

己知：正方形中，Z()A/)=Z()1)A=\50,求證：△(〃《'為正三角形。

簡(jiǎn)id：以5C為邊作正三角形BCO'(如圖)，

則/〃3=0'R,ZJBO'=30°,

ZB/1O'=75",ND,1()'=15°

同理N//D0'=15°

于是^Az/DO

二。與()'重合

，△()我是正：角形。

第十題:

己知：正方形4"7)中，E、F為AD、。(’的中點(diǎn)，連接用"彳/」，相交于點(diǎn)/>,連

接尸C。求證:PC=BC

徜川：易知△.〃3￡gZU).〃J

BEUF,：.B、(\/?'、〃四點(diǎn)共圓

NBPC=NBFC

NPBC=NBE.1

IfljZBE.1=zinc

：.ZliPC=ZPBC

：.PC=HC

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第十一題:

如圖，&4c8與MDE都是等腰直角:.角形，ZADE=乙4cB=90°.ZC/)/-=45°,DF

交BE求證：ZCW=90°

:.E-A+AE=/+x+y-1+(v-x-1)/-x+v-1+(>,-x)/

—y/2,....--<

：.1)!■=—DCe4.

2

——Jl,、五1,1,

/,=1)+1)/-=x+//+—(-v-y/)-^-(l+/)=—(.v+v)+-(v-v)/

'：E+B=x+y+(y-xN=21'

：.F是￡5中點(diǎn)，.??△CDF是等腰直角三角形,ZCFD=9O0°

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第十二題:

己知：&4BC中,NCBA=2/CAB,NCR4的角平分線M與NC45的角平分線4）相

交于點(diǎn)。，且8（'=/Q.求證:“點(diǎn)=60°

用ill:作的平分線BE交ACJ-E.

易得四邊形/〃“比是等腰梯形

AD=HE,BC=BE

NC=NCEB=S乙1BE

ZCHE=SZ.1HE

...△/，（,￡為等邊三角形

/力（73=60°?

第十四題:

已知：A4/K中，AB=BC,D是AC的中點(diǎn),過(guò)D作DEA.BC1E,連接AE,取DE

中點(diǎn)/?'，連接身求證：AE±H1'

Bl）J3DAC

------=2-------=2.-------=-------△BDFS&ACE

DFDECECE

NDBF=NCAE,:.A、/）、G、5四點(diǎn)共圓。

Z/iG.-/=ZBD.7=90°,AF.LHF.

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第十五題:

已知：伙’中，4=24°,ZC=30°,/）為從（'上一點(diǎn),AB=（'D，連接用）。

求證：AI3BC=BDAC

簡(jiǎn)說(shuō):以.4B為邊作正三角形(如圖)

山/C=3()°得oc=o〃

ZZiOC=s>ZR/C=48°

ZJOC=1()8°,NOCD=36°

(X=OD,ZCOD=72°AC

N〃OQ=24°

△〃川)出△Q/3/),//〃，/)=3()°

AlBDsfCB,.Hi?BC=BD?AC.

第十六題:

已知：ABCD丐ABCiR均為正方形,A2.%J、A分別為441、BB、、Cg、DD、

的中點(diǎn)。求證：4層(；僅為正方形

而5：只要證明△聞信g是等腰在角三角形即可。

設(shè)8=0,(—I,A—i,Hi=b,Ct=c(/>,€€J).

J,=/?!+((；-By=z>+(c-6y

.A+A.i+(c-b)i+b

A-,----------=-----------------

-22

B+B、h

從=-------L=—

^7\/=(c2-/y2>=^y^/

----./+(c-/>)/+/>hc-/>+l

=a-”,=---------------------=----------

-?222

:.BKZLBI"］，II=IH1A1I

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第十七題:

如圖，在A44C:邊上，向外做:和形⑷次、8CP、（力0,使N（WN（/0=45。,

2B(T=NACQ=30°.ZA/iR=/BAR=15°。求iiE：RQ與貝〃垂I'ill相等。

：以BR為邊作正三角形（如圖）

則△OM是等腰直角三角形,

△a〃，s△/＞（/“，AOBM△ABC

△（加監(jiān)△山設(shè)

；.RQ=HP*

第十八題:

如圖，已知力/）是OO的直徑，/）是/，（‘中點(diǎn)，，4/，、4c交0（）T?點(diǎn)*、/-,.EMxIM

是0。的切線，EM、/「A/相交于點(diǎn)“，連接。A/。求證：DMA.BC

沛ill:：如圖，過(guò)。作GH_LDM,

△OGKSAMDE,△OI124、IDFA

()(i()/■：()/■OH.

..----=-----=----=-----,：.(K；=OH

DMEMl-MDM

AGDII是平行四邊形，D是/“'中點(diǎn)

:.(；、〃分別是〃從/“,的中點(diǎn)

：.Gll//HC.DMLUC.

M

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第十九題:

如圖，三角形4塊’內(nèi)接fO().兩條高4)、BE交于點(diǎn)H,連接AO.OH“若AH=2,

BD=3,(7)=3求三角形/OH面積。

解：設(shè)〃D=?/,'是BC中點(diǎn)，()F=d

由/"△"a)s用△/*〃)得

—解得.7=1

3x

J7)=S.由03=。/得

M+42=y/(3-J)2+l2得4=1

.,.Q〃D尸為正方形,0/7=1

?:角形〃”〃而積為！x2xl=|.

2

第二十題:

如圖，^l)AC=2x,乙釵火=4x.ZABC'=3x,Al)=HC,求"4)。

附：延氏次'至七使(>：=/"),則

,11)=DE,設(shè)/"=八則/￡,〃'=4『一/,

由/〃)=/)￡得6J-t=f,t=3x,

：./1B=AE,△/〃/)四△/"(

：.AD=AC,N/〃)C=《.z,

.，.5>x+4z+4x=18O°,1=18°

即NR〃)=18°.

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第二十一題:

己知：住RtMBC'中，乙4次'=90。，/）為4C匕一點(diǎn)，/:,是/〃）的中點(diǎn)，Zl=Z2.

求證：ZAD/i=2ZAHJ)

簡(jiǎn)漢：過(guò)4作BD平行線,交CE于F,

交C/3于G.則

iyi=FG=Hi,

易得△.〃》；且△“/"?；

Z//DE=NFBE

Z(,?/?；=NBGF=/(；/“?’

NFBT=N.1BD

：.N.IDB=2N.IBD

第二十二題:

已知正方形/8CP,〃是（7）上的?點(diǎn),以46為直徑的GOO交上4、PB于E、F,

射線DE,C/?.交于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M在。0上。

證明：設(shè)DELj圓。交于N.

DEDM=DA2=DC2

：.△D.VC^ADCE

/.Z/XE=ZD.VC

B、（\1\￡四點(diǎn)共圓，

/.ZIXE=ZPHE=ZEXE

；.NI）NC=NFXE

：.N.I\C三點(diǎn)共線.即DE、C7?'的交點(diǎn)為

與"用合。

故點(diǎn)山住。。上。

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第二十四題:

如圖，過(guò)正方形的頂點(diǎn)A的H線交B（\CD，M、N,DM與BN交于點(diǎn)1BN,

交DM丁點(diǎn)尸求證：（1）CL工MN：3AMON=ABPM

證明：(1)設(shè)C=(),D=—1,Ii=/,

/l=-\+i,M=ai,N=b(a,bS)

A-M

兒”、N共線.有土士e.

N-M

即-l+/-a/e口^h=a

b-ai1-a

75A7=i+?/.BN=--i,求得

1-a

i.=

(i-a+/)

-a+1

而貂產(chǎn)

7n77)T7/1'(1Y1I+a-2tr+(3a-1)，

DMOM=(1+ai)2+{a~2J=-----------------------

.標(biāo)/?麗1BNi\OMa\

??—―?，?=~?■一—=T“??IL-----------Z">O

DMQM(1-a)2DM(l-?)2

由BPI.MN得/.uav=arg

:.ZM()N=ZBPyf.

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第二十六題:

己知：/fBC/y與4aG均為正方形,連接《尸.取CF的中點(diǎn)",連接。加、ME

求證：&M)/：,為等腰比角?.角形

設(shè)a、(卻分別是正方形,〃

川卯G的中心,則

(),M//.1F.O.M//.IC

O,M=.ia-(^E,

Q.M=.1O,=OID,

//)04/=9<>°-ZJ01.W=90°-

N.4Q?M=/."QB.

二AWE,MD=EM

又O.A/10,E,312.01),/.A/D

1EM

故△,T〃)K為等股?:角形.

第二十七題:

四邊形//"'/)中，時(shí)角線力「、8。交于點(diǎn)O.ItA/i=Al).40=(%'請(qǐng)你疥想

AB+HO'jHC+OD的數(shù)M關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

：：過(guò)“作AELBDfE.過(guò)C作CA*1皿)于F,

A

由AO=(X^AECF是平行四邊形

又AB=AD得E是BD中點(diǎn)

設(shè)8E=工，；/E=d,f)E=/

AB=>Jx2+d2,/iC=^(x+2t)2+d2,

BO=X+?,()i)=x—i(x>/)y

當(dāng)HO>OD時(shí)./>o,AH+HO>BC+

OD<=>\jx2+d'+x+/>y](X+2tf+d2+x-I

o(Jx，+d?+2/)>

(J(x+2/)，+叫oify/x:+d2>HJ<=><t->o

當(dāng)li()=()D^\t-O,.1H+HO=HC+()1)

由對(duì)稱性，"lHO<OD時(shí)〃4+li()<W+OD

綜上,當(dāng)BO>OD時(shí)，“8+HO>BC+ODi

當(dāng)時(shí)，JB+H0=HC+()l)；

,pi8O<“/)時(shí)，.〈我、+on

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第二十九題:

在A/1次中，。是月4的中點(diǎn)，〃)AC=2NDCA,Z/?C/i=30°,求NA的度數(shù)。

就：作CD的垂直平分線交“C于E

作△BCD的外心。，則

ZDE.I=gZIXE=ZDIE.

：.AD=DE,乂Q是「〃，中點(diǎn)

：.BE1.AE,又NDCB=3O°

ABl)0是等邊：角形，J-是1)0=BI)

ZB0/f=90e,："、B、0、E四點(diǎn)共圓

若。與Ejg合(如上圖),則乙〃“、=105°：

若O與E不里合(如下圖),則四邊形DOCE

是菱形，

：.DO//.K\H.ZDa/=so°

ZDJE=60°,△/〃)￡是等邊:.角形

二E是/〃'中點(diǎn),工△〃/*'是等邊三角形

//〃?'=60°

故所求//3=105°或60°。

第三十題:

在四邊形片次7)中，AD=CD.AC=HD,求N8"'的度數(shù).

解:取“中點(diǎn)凡則由dD=CD得

DFX.AC,又“BL/('得

AFFF

I心/泥s/必—

BEDI-：

.4EFEAE+FE_"_?

''HE=7)E=HE+DE=7iD=2

〃沾=60°,ZBEC=\20°.

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一^I

第三十一題:

在RlMBC中,乙"力=90°./（力〃=60°,CD工AB,M、N為直線AH上的兩

點(diǎn)，目.N欣N=NM'/T=8。，求的度數(shù)

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第三十二題:

如圖，AJ加'中，BD上AC于D,E為BD上?點(diǎn).IL4皮)=38。,Z(WJ=68°.

加圮=14。,求/DAE的度數(shù).

.....tan8°tail52°..

..tan/J-.AI)=---------------=tan24o

tan220

:.NDH。

),O),

已知BD是AABD邊AC上高.ZABD=38.ZCBD=68.ZBCE=141ZDCE=8°.

求/CAE

證明設(shè)NDAE?x,

BEABsln(52°-x)BC*in140

rajfa—-------------------------------

^DEADsInxDCsln80，得到

sln(52°-x)sin14°

sln38°slnxsln680sln80'9

■?In38^sinxtln14°?ffisin24°Bkn(520?x)

>4sln52°sln38<>8lnxsln14o-sln28oslnx.Tft

sln240sin5r

tanx*-=--t--a-n---2-4--°--,-所---以----/-D--A---E--=--x--=24°

?In24°co?52<>>tln28<>

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一^I

第三十三題:

CD為O()的H件，A.5為半圓上兩點(diǎn)，DE為過(guò)點(diǎn)I)的切線，AH交DEjE,連接

OE.交.CBfM,交,AC于N求證：ON=OM

證明:設(shè)O=o.D=1.c=->..4=e'a.R-e,fi

(?,/?€I).E=l+”，由4從E共線得

B-A即cos夕+isin/7—cosa—isinae

E-A1+ai-cosa-isina

解色°二sina-sin/?-sin(a-/?)_2

cosc-cos/L?cota+cot——

22

令^f=%￡，N=4月

由4。共線得且工W，即

M-(

cosa+l+/sin%,解得

4+1+Zfii

cota+cot^

sina22

4二a(l+8sa)-sina，向-1-cota-cot

222

Pa

cot+cot

同理/=22故,"+N=o,I,WI=INI.即O,V=QU.

cot'-co嚴(yán)

22

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第三十四題:

如圖,四邊形4，(7)中.BC=CD.々(Z=21°,Z<A/)=39°.Z<DA=78°.求

ZJiAC的度數(shù)。

/：作△/〃")的外心。.則由以、=(7)，05=00)31

△CBO^ACDO.

易知//*7)=84°|tJZ('D/?=48°,Z/iCO=H?°.

N/m/=so°

ZBO,I=(H)°,△/，〃?/是箸邊：角形，

ZJCO=ZBCO-ZHCA=21",

A('f分Z/SCO,乂4B=,")

：.△//"/△//0(,<否則ZB.1O>oo°),

/.ZBD//=so°。

第三十五題:

如圖,四邊形4#(曾中，AD=CD,NA4('=IO°，4切)=50。，4(?)=20°，求

/(#/)的度數(shù)。

,：作△.〃“)的外心。，山//"?/=

80°得N401)=60°.△/*")是等邊

三角形,

Z0B?/=io°.又NR〃=io°

r.OB//AC.乂,〃)=DC,")=￡>/)知

△Dz/O^ADBC.

AOHC是等腰梯形，ZBf'J=ZQ/(-

20°.Z.('HD=160°—60°=l()0*

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第三十六題:

如圖,BD=CE,(；,H為BC、?！曛悬c(diǎn),AH=A(\ID=FE.Z/iA('=ZJ)/E

求證：Ab,UGH

證明：將△18(,平移至T是MV中點(diǎn)，!\

Q、小S分別是C/)、BE、1：M.DV中點(diǎn)，則四邊形

ABMF.ACN!\AGTF.BC.VM都是平行四邊形

易得△F,VDg/\FNE,MDNE

PH=；CE=G0.〃G=；Bl)=HQ

乂HI)=CE得四邊形PHQG是菱形.改_LG〃

同理SRA.TH.

PS=1(W$M=QR,：.PQ//SH,

：.T/1-GHh.XGT//AF

：.AF//GH.

第三十七題：

如圖.在正方形4"7)中，有任意四點(diǎn)為、/?,,

EG廠”的面積為5.求正方形4*7)的面枳。

就：如圖，作〃?/，交疝>于M,/N〃G〃

交CD于N.則BM=EF,AN=Gll

易知四邊形EGFH的面枳等于四邊形

4HNA的面積

tJlAM=a,DN=b,正方形邊長(zhǎng)為#.則

X2--/>(.<-a)--x(x-b)=5

22

>yjx2+a2=4

Jx2+h'=3

4444

解得/=ZZ。即正方形ABCD的面枳是—.

55

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第三十八題：

己知2N（'=3NA,2B（=AB,求4。

解：//=30。.ZB=60°.ZC=￡K）°顯然符合已知條件。

由2/，C=/〃，，則（,點(diǎn)在/，為圓心,〃，為半徑的圓上

2

NC=90"有C在以AB為直徑的陰（）,1：

取國(guó)6上異于C的點(diǎn)，

若點(diǎn)在圓0內(nèi)部（如點(diǎn)D）,則ND>90。，/〃/"）<60°,乙奶D不合題意:

若點(diǎn)在圓。外部（如點(diǎn)￡）,則點(diǎn)EV90°,ZJBE>60°,2/EV3乙仍E不合題意。

故只有Nz/=30°。

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第三十九題:

在A4/無(wú)中，乙〃，。是8('邊上一點(diǎn)，DC=AB.ZDAB=21°,求

解:如圖,做平行四邊形4BED,

ZEIX'=ZB.1C=Uia,

ZB/X,=M>°+21°=67°

DE=AB=DC,.*.ZZXE=67°

HECD是等腰梯形

ZHCD=ZEDC=W°

即NC=16°.

第四十題:

在中，AB=AC,。為/“‘邊上一點(diǎn)，〃為4)上一點(diǎn)，且滿足//苑/)=2/(/；/)

=/"/('?求證：BD=2CD。

ill叫:在5E上作BF=AE,過(guò)/作FG//AD與/BED

的平分線交于點(diǎn)G交?。〧/L

由N8￡D=Z/i/C,得乙〃，￡=ZC.1E,又

△//B/^AC.7Z<,:.Z.AFE=ZCED,

ZBED=2NC￡￡>,ZAEE=ZHIE.AE=FE

故〃是BE中點(diǎn)。EG平分//",；/）,NGED=NEIE

：.EG//AF.四邊形AFGE是平行四邊形?EG=4F=（五,

.../〃）平分GC,又!-'（；//.ID,I）是〃（中點(diǎn)。

又F是BE中點(diǎn),得II是5D中點(diǎn).故BD=2DC。

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第四十一題:

己知，rc是正方形ABC7）和正方形AEFG上的點(diǎn)知、C的連線，點(diǎn)H是FC的中點(diǎn),

連接EH、DH。求證：EH=DHIIEH±DH

E

BC

同二十六題

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第四十二題:

-知：NC川)=NJMB=IO。，ZC/?n=40°,ZDBA=20°,求證：N(7陽(yáng)=70。

滴證：作點(diǎn).1關(guān)r直線BD對(duì)稱點(diǎn)(),則△/〃)/30/\。/犯，//〃)〃=150°

△.”〃)是等邊三角形.ZO/iD=2()°,Z/)OB=10°.ZOBC=K)°-20°=20°

以()為陰心0.1為半徑的圓()與直線交于點(diǎn)C,

由NC/〃)=10°.得NDOC'=20°,ZBOC'=10°

.,.△DO〃絲△「'Oli,ZOHC'=NC)BD=20°=/OBC

所以C與C'重合。BC=BD.ZCDB=70°?

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第四十三題:

如圖，￡、/??分別是圓內(nèi)接四邊形38C的

對(duì)角線AB、CD的中點(diǎn)，若

4DEB=4EB.

求證：NA1D=NBFD

:延匕(力之圓。于(；點(diǎn)，

由已知得

NDEB=NCEH

=NDE()=NGE()

U>△DOE坦△《；(”,：

=NEDO=NEG()=NEC”

=1)、E、().(.四點(diǎn)共[81

<=>NDCB=1ZD()B=1(ZBOE-ZDOE)

=1(ZJOE-ZDOE)=1(Z.1()1)-2N

[)()￡)=；(2乙—//)(〃?：)=N〃C1)-Z

DCE^Z.ICE

sinZ/X7?sinZJCA'

O/,〃'/)=NBCEO（易證）

sinZJCP-sinZ^C/f

="="_=4。「=/。./“、

Al)AC

同理/〃)?/0=ADBC=ZJFD=ZB/D.

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第四十四題:

已知：A/i=A(',ZADH=60°.N/4力=30°,求證：HA=HE

證明：作點(diǎn)E關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)尸，則

△ECF是等邊三角形，又乙〃W=6。°

二￡、1)、C/?,四點(diǎn)共留，

ZECI)=ZEF/).ZH)B=(iO°

NA"'=180°-2Z.1CB

=180°—s>(ZECD+SO0)

=180°-(Z/-：FD+ZECD+(H))

=180°-ZEID-ZIX'I'=IHO0-Z

EID-ZHEI'=180°—ZHID

；.//、/)、/\A四點(diǎn)共圓，

AZAFIi=ZADB=6()e.ZEIB=Z

/3)/，=60°

是等邊?:角形，B.I=BF=BE。

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