2022-2023學年廣東省深圳市某中學高二年級上冊期中數學試題（解析版）

2022-2023學年廣東省深圳市高級中學高二上學期期中數學試題

一、單選題

1.復數的虛部是（）

1-1

A.；B.1C.iiD.i

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算化簡復數，即可得虛部.

【詳解】口二兩市T〒二十下,故虛部為"

故選：A

2.直線"x+&y-l=O的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】化成斜截式方程得斜率為A=-6，進而根據斜率與傾斜角的關系求解即可.

【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：『一年+冬

所以直線的斜率為上=-6，

所以根據直線傾斜角與斜率的關系得直線的傾斜角為120。.

故選：C

3.已知某圓錐的底面圓半徑為5,它的高與母線長的和為25,則該圓錐的側面積為（）

A.15兀B.207cC.60/rD.65萬

【答案】D

【分析】根據圓錐軸截面的性質直接計算其母線，進而可得側面積.

【詳解】設該圓錐的母線長為/,則它的高為25-1,

由『_（25-/）2=52,解得1=13,

所以該圓錐的側面積為兀rl=657，

故選：D.

4.已知￡,5為不共線的非零向量，AB=a+5h,BC=-2a+Sb,CD=3a-3b＞貝U（）

A.A,B,C三點共線B.A,B,。三點共線

C.B,C,。三點共線D.A,C,。三點共線

【答案】B

【分析】根據給定條件，求出而，衣，再利用共線向量逐項判斷作答.

【詳解】kB為不共線的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b，CD=3a-3b，

則麗=及+函=￡+5B，AC=AB+BC=-a+l3b,

因々H'j，則通與材不共線，A,B,C三點不共線，A不正確；

因通=而，即麗與麗共線，且有公共點8,則A,B,。三點共線，B正確；

因三，則就與前不共線，B,C,。三點不共線，C不正確；

3—3

-113

因一力與，則衣與前不共線，A,C,O三點不共線，D不正確.

3—3

故選：B

5.已知：空間四邊形ABC。如圖所示，E、尸分別是AB、AO的中點，G、，分別是8C、CO上的

點，且CG=：8C,CH=^DC,則直線FH與直線EG()

A.平行B.相交C.異面D.垂直

【答案】B

【解析】由已知EF為三角形麗的中位線，從而EF//BD且EF=gBD,由CG=；8c.eH=?)C,

得在四邊形EEHG中，EF//HG,即E,F,G,”四點共面，且EFMHG,由此能得出結論.

【詳解】如圖所示，連接EEG”.

???四邊形ABCD是空間四邊形，E、尸分別是48、A。的中點,

EF為三角形ABD的中位線

:.EFHBD^.EF=-BD

2

XvCG=-BC.CH=-DC,

33

；4CH"ACDB,且HG//BD,HG=；BD

二在四邊形EfHG中，EF//HG

即E,F,G,"四點共面，且

四邊形EFGH是梯形，

，直線FH與直線EG相交，

故選：B

【點睛】方法點睛：證明兩直線相交，首先要證明兩直線共面，再證明它們不平行.所以本題先證明

E,F,G,H四點共面，再證明直線F”與直線EG不平行.

6.記“LBC的內角A,B,C的對邊分別為a,h,c,已知B=Ic=66,且"WC有兩解，則人

6

的值可能是（）

A.36B.4&C.6石D.76

【答案】B

【分析】根據已知條件，結合有兩解，作出示意圖，確定3百<。<66，可得答案.

【詳解】作/，作A」D_L8W于。點，則AO=csinB=3G,

因為“LBC有兩解，故以A為圓心，以人為半徑作圓弧，需交于兩點，即為點C,

所以3G<6<66,符合條件的是46，

故選：B

7.如圖，在正方體A8CO-A4GR中，E是棱CG的中點，尸是側面BCC4內的動點，且與

平面RAE的垂線垂直，則下列說法不正確的是（）

A.4尸與RE不可能平行

B.4尸與5E是異面直線

C.點F的軌跡是一條線段

D.三棱錐F-AB"的體積為定值

【答案】A

【分析】設平面RAE與直線3C交于G,連接AG,EG,則G為3c的中點，分別取用8,qG的

中點M,N,連接AM,MN,AN,證明平面AMN//平面2AE,即可分析選項ABC的正誤；

再由MN//EG,得點尸到平面RAE的距離為定值，可得三棱錐F-A8A的體積為定值判斷D.

【詳解】解：設平面AAE與直線BC交于G,連接AG,EG,

則G為BC的中點，分別取8田，4G的中點M,N,

連接AM,MN,AN,

,:AMU*,4例區(qū)平面。仙￡,"^(::平面0①后,

/.\MH平面RAE,同理可得MNH平面DtAE,

又4時、MN是平面AMN內的兩條相交直線,

，平面AMN〃平面QAE,而AF〃平面DAE,AFu平面ANN,

得點尸的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當F與M重合時，A尸與RE平行，故A錯誤；

?.?平面AMN〃平面RAE,8E和平面QAE相交，；.A尸與BE是異面直線，故B正確；

VMN//EG,則點F到平面RAE的距離為定值，.?.三棱錐尸-ABQ的體積為定值，故D正確.

故選：A.

8.若對圓（x—iy+（y—lf=l上任意一點P（x,y）,由-4），+4+辰-今一9|的取值與羽y無關，則

實數a的取值范圍是（）

A.a<4B.-4<a<6C.a<-4Wca>6D.a>6

【答案】D

【分析】利用幾何意義得到要想|3x-4y+a㈤3x-4y-9|的取值要想與x,y無關，只需圓

（》-1）2+（丫-1）2=1位于直線3工-4〉+。=0與3》-4），-9=0之間，利用點到直線距離公式列出不等

式，求出aWT或“26,通過檢驗舍去不合要求的解集.

［詳解】"丁，'+4+"丁'T可看作點p（x,y）到直線3x—4y+a=0與3x-4y-9=0的距離之

V9+16,9+16

和，

要想|3x-4y+a|+|3x-4），-9］的取值與x,y無關,

只需圓（x_l）2+（y—l）2=l位于直線3x_4y+a=0與3x_4y_9=0之間，

所以圓心（1,1）到3x-4y+q=0的距離大于等于半徑，

|3-4+

BP.S1,解得；aVY或。26,

V9+16

當aWT時，3x-4y+a=0與3x—4y—9=0位于圓心的同一側，不合要求，舍去；

當aN6時，3x-4y+a=0與3x-4y-9=0位于圓心的兩側，滿足題意.

故選：D

二、多選題

9.已知橢圓C：16/+4y2=1,則下列結論正確的是（）

焦距為牛

A.長軸長為gB.

c.焦點坐標為：。，土￥）D.離心率為立

2

【答案】CD

x1y__

【解析】先化簡橢圓方程為標準方程工+1再求出橢圓的長軸長、焦距、焦點坐標和離心率

164

得解.

【詳解】由橢圓方程16/+4/=1化為標準方程可得￡了十￡7_=11

164

所以〃=Lb=—f6

24~T

所以長軸長為2a=l,焦距2c=立，焦點坐標為0,士

2

短軸長為◎=:，離心率e=￡=Y3

2a2

故選：CD

2

10.已知方程x2+y-ar+2ay+2/+a-l=0,則下列選項中a的值能滿足方程表示圓的有（）

A.-1B.0C.yD.-2

【答案】ABC

【分析】將圓的方程化為標準方程卜-雪+（y+a）2=l-?-|a2,則1-解得即可得出

答案.

222

【詳解】解：x+y-aX+2ay+2a+a-\=0,即方程+（y+a）2=l-a-1/方程表示圓的

條件是即-2<"（所以選項A,B,C能表示圓，選項D表示一個點，不能表示

4J

圓.

故選：ABC.

11.衢州市柯城區(qū)溝溪鄉(xiāng)余東村是中國十大美麗鄉(xiāng)村，也是重要的研學基地，村口的大水車，是一

道獨特的風景.假設水輪半徑為4米（如圖所示），水輪中心。距離水面2米，水輪每60秒按逆時針

轉動一圈，如果水輪上點P從水中浮現時（圖中耳）開始計時，則（）

p

A.點P第一次達到最高點，需要20秒

B.當水輪轉動155秒時，點尸距離水面2米

C.在水輪轉動的一圈內，有15秒的時間，點尸距水面超過2米

D.點P距離水面的高度/?(米)與f(秒)的函數解析式為6=4sin(T-11+2

【答案】ABD

【分析】先根據題意求出點P距離水面的高度”(米)與/(秒)的函數解析式，再從解析式出發(fā)求

解ABC選項.

【詳解】如圖所示，過點。作OCL水面于點C,作。4平行于水面交圓于點A,過點尸作P8L0A

于點B,則因為水輪每60秒按逆時針轉動一圈，故轉動的角速度為芻=三(rad/s),且點P從水

6030

7T

中浮現時(圖中《)開始計時，f(秒)后，可知又水輪半徑為4米，水輪中心。距

離水面2米，即OC=2m,OP0=4m,所以NO/JC=NA。？=￡，所以NPOA=2/-三,因為。2=4m,

6306

所以PB=4sin/a-H，故"4sin(+2,D選項正確；

1306yz^306J

點P第一次達到最高點，此時sin但/一引=1,令白W，解得：『=20(s),A正確；

<30o)3()62

令4sin仁/—工+2=2,解得：r=5+3(R,keZ,當人=5時，z=155(s),B選項正確；

(3。o)

4.(a41+2>2,令°<白一當(兀，解得：5</<35,故有30s的時間點P距水面超過2米,

13UoJ3()6

12.已知正四棱柱ABCO-ABCQI，43=2,點"為CG點的中點，點P為底面

上的動點，下列四個結論中正確的為（）

A.當4=省且點尸位于底面AB|G2的中心時，四棱錐P-A3CD外接球的表面積為子

B.當”=2時，存在點P滿足月4+PM=4

C.當a=2時，存在唯一的點P滿足NAPM=90。

D.當a=2時，滿足的點P的軌跡長度為0

【答案】ACD

【分析】根據給定條件，結合球的截面小圓性質求出球半徑計算判斷A；建立空間直角坐標系，利

用空間向量計算判斷B,C,D作答.

【詳解】在正四棱柱48（70-486。中，取底面ABCO的中心H,即四邊形ABCD外接圓圓心，連

接P4,BH,如圖,

四棱錐P-MC3是正四棱錐，刊7_1底面458,PH=0,BH=血,

顯然四棱錐的外接球球心0在直線PH上，連80,令球半徑為R,則?！?|/?-石|,

由BO2=O”2+8"2得：W=(尺_百)2+(&)2,解得R=金,

所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為S=4乃/?2=手，A正確;

在正四棱柱ABCO-A四6。中，以點A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，當a=2時,

則A(0,0,2),8(2,0,2),M(2,2,1),延長至點AT,使CM=g=l，

連接W交底面于點〃，連接則點AT(2,2,-1),

因MM'_L平面則線段MVT被平面A4GR垂直平分，即有戶M=PM=PM',

PA+PM^PA+PM'>AM'=AP'+P,M'=AP'+PM,當且僅當點尸與P'重合時取等號，

因此(PA+PM)111bl=AM'=12?+2?+3?=JF7>4,B不正確；

設P(x,y,0),0<x<2,0<y<2,

A戶=(x,y,-2),MP=(x-2,y-2,-[),BP=(x-2,y,-2),AM=(2,2,-1),

因而?祈？=x(x-2)+y(y-2)+2=(x-l)2+(y-l)2,則當且僅當x=l,y=1,即點尸(1,1,0)時，

麗.標=0成立，

所以存在唯一的點P滿足ZAPM=90。，C正確；

當3P_LAM時，BPAM=2x+2y-2=0,即x+y=l,而x20,y20,

因此點尸的軌跡是以點(1,0,0)與點(0,1,0)為端點的線段，其長度為0,D正確.

故選：ACD

三、填空題

13.已知同=4,|@=3,ab=-6,則1與5所成的夾角大小是.

27T2

【答案】一##-n##120°

33

【分析】根據向量夾角公式，由題中條件，即可直接求解.

【詳解】因為同=4,忖=3,ab=-6,記&與B所成的夾角為巴

ca2b6I

所以c°s"麗=FT-

因此"2學乃

故答案為：-

14.空間向量萬=（i,i,i）/=（i,o,i）,e=（i,2,M，若三個向量&，尻c共面，則實數用的值為

【答案】1

【分析】利用空間向量共面定理即得.

【詳解】因為三個向量方石/共面,

可設1,gp(1,1,1)=2(1,0,1)+〃(1,2,加),

1=4+〃

J<1=2〃,

1=2+my

解得4=〃=；,”2=1.

故答案為：1.

15.在四面體P-ABC中，PCJ_平面ABC,PA=PB=5,PC=4,AB=3正，則四面體尸一MC

外接球的表面積為.

【答案】34TI

【分析】根據線面垂直的性質定理及勾股定理，結合長方體的體對角線為外接球的直徑，求出半徑,

再利用球的表面積公式即可求解.

【詳解】如圖所示，

P

PCmABC,PA=PB=5,PC=4,由勾股定理得，AC=BC=3,

又AB=3&.,得AC?+8C?=A",則AC13C.

設外接球的半徑為R，則(2R)2=PC2+4^+8(72=42+32+32=34,解得R=孚,

所以外接球的表面積為S=4兀R2=34兀.

故答案為：34K

22

16.九5是橢圓曰]+親?=l(a>b>0)的左、右焦點，點M為橢圓E上一點，點N在x軸上，

滿足N耳MN=N舄MN=60。，若3礪+5麗=2麗，則橢圓E的離心率為.

7

【答案】-##0.875

8

【分析】根據給定條件，結合向量加法的平行四邊形法則確定I"用與|例鳥|的關系，再利用橢圓定

義結合余弦定理求解作答.

【詳解】由3砒+5*=/1加得：以3M1、5麗為一組鄰邊的平行四邊形的以點"為起點的對

角線對應的向量與麗共線，

由N《MN=NEMN=60。知，MN平分/4奶，因此這個平行四邊形是菱形，有3|/6|=51加代|,

又IMKI+IM入|=2〃，于是得|A//"=：a,|g|=1a,令橢圓E的半焦距為c,

2

在△耳例心中，馬=120,由余弦定理得：\FtF2^MF^+\MF21-21MFt||MF2\cosZFtMF2,

即4c2=(3〃)2+(=a)2+0〃.：〃=與〃2,則有《2=二=竺，解得e=(,

444416a648

___7

所以橢圓上的離心率為7.

O

故答案為：:

O

四、解答題

17.求經過點4(-2,石)和點網1,2句的橢圓的標準方程.

【答案】^+―=1.

155

【分析】根據給定條件，設出橢圓的方程，利用待定系數法計算作答.

【詳解】設橢圓的方程為：nvc2+ny2=\(m>0,”>0,〃?豐〃)，因該橢圓經過點A(-2,73)和8(1,2石卜

于是得9f4m++⑵3〃”=1解得11日n右fy2

m=-,n=—,即有——+—=1,

515515

所以橢圓的標準方程為：^+―=1.

155

18.已知圓C：f+(y_l)2=5,直線/：〃優(yōu)一丁+1一m=0

(1)求證：對加wR，直線/與圓C總有兩個不同的交點;

(2)若直線/與圓C交于A8兩點，當|A8|=J/時，求小的值.

【答案】(1)略

(2)m=土幣

【詳解】試題分析：

(1)先證明直線/恒過定點P(Ll),再證明點P在圓C內即可.(2)將直線方程與圓方程聯立消元

后得到一個二次方程，運用根據系數的關系及弦長公式求得加=±6,進而得到直線/的傾斜角為q

,v2萬

-M乂V—3-

試題解析：

(1)證明：直線/的方程可化為y-l=，w(x-l),

1=0,[x=1

令,解得,

y-l=0卜=1

直線/恒過定點尸(1,1).

?.」PC|=1<石，

點P在圓C內，

直線/與圓C總有兩個不同的交點.

(2)由卜'GT)=5,消去y整理得

mx-y+\-m=0,

(62+i)%2-2tn2x+nr-5=0,

顯然△=(-2m2)2-4(/n2+l)(m2-5)=4(4m2+5)>0.

設人(辦,％),8(孫%)，

則與々是一元二次方程的兩個實根,

2m2m2-5

，中2="

222

V\AB\=-Jl+m|XI-x2|=-J(l+/n)[(xl+x,)-4xtx2],

>/16后+20

Tn=Vl+m2-

1+nr

解得加=3,

=即直線/的斜率為土道

；?直線/的傾斜角為或富.

點睛：圓的弦長的求法

（1）幾何法：設圓的半徑為"，弦心距為d,弦長為/,則（；）2=產-

y=kx+m

⑵代數法：設直線與圓相交于兩點,由方程組消y后得到

=r2,

關于x的一元二次方程，從而求得玉+%,x/2,則弦長為

14?1=41+解）［（百+占）2-4不5僅為直線斜率）.在代數法中，由于涉及到大量的計算，所以在解題中

要注意計算的準確性，同時也要注意整體代換的運用，以減少運算量.

19.如圖，四棱錐P-他CD中，底面A8C。為邊長為2的菱形且對角線AC與8。交于點0,

ND4B=60°,PO_L底面ABC。，點E是PC的中點.

⑴求證：AP〃平面33E；

⑵若三棱錐P-BQE的體積為G，求。尸的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）0尸=6

【分析】（1）由中位線證得EO//AP,即可證得”〃平面8DE；

（2）取0C中點F,證得EF/平面ABC。，再由乙一皿=%一血=LBS結合棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】（1）證明：連接OE.

?.?點。，E分別為AC,C尸的中點，AEO//AP,?.?0￡匚平面8￡>已尸4<2平面8?！?AP〃平面

BDE；

(2)取0C中點F,連接EF.

：E為尸C中點，EF為△POC的中位線，，M〃OP,且EF=；OP.由菱形的性質知，△8CD

為邊長為2的等邊三角形.

又OPL平面A3CO,；.EF/平面ABC￡>,=點E是PC的中點，

Vp-BDE=VJBDE~%-BCO=]X5OPX相=石,OP=6.

22

20.“LBC的內角A,B,C的對邊分別為a,h,c,已知A為銳角，sinB-cosC=C~a.

2ab

(1)求A；

(2)若b=Bc,且BC邊上的高為2道，求AABC的面積.

4

【答案】(1)g;(2)773.

0

【分析】(1)先用余弦定理化余弦為邊，再用正弦定理化邊為角從而求得A；

(2)由余弦定理用。表示“，然后把三角形的面積用兩種方法表示求得。，從而可計算出面積.

22

【詳解】(1)由sin3-cosC=^---上得2absin3-2qbcosC=c2一"，

lab

由余弦定理得2。/?$拾8+。2一。2一/=/_/,所以2^sinB=Z;,

由正弦定理得2sinAsinB=sin3,B是三角形內角，sin8H0,

所以sinA=!，又A為銳角，所以A=f.

26

(2)由(I)a2=b2+c2-2bccosA=-c2+c2-2x^^c-c-cos—>a=^-c,

1646164

2

所以SAABc=!bcsinA=!ax26,gplx^cxi=ix^cx2^,c=4百，

2224224

b=-c=42\,

4

S%c=gbcsinA=；x>/5Tx4gg=76

【點睛】思路點睛：本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式.利用正弦定理和余弦定理進

行邊角互化是解題關鍵.三角形的面積采取了二次計算,通過不同的計算方法得出等式,從而求解.這

是一種解題技巧.

21.如圖，半圓所在的平面與矩形所在平面ABC。垂直，P是半圓弧上一點(端點除外)，49是半

圓的直徑，AB=1,AD=2.

(1)求證：平面附B_L平面PDC；

(2)是否存在尸點，使得二面角B-PC-。的正弦值為且?若存在，求四棱錐P-ABCO的體積；若不

2

存在，說明理由，

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)根據矩形性質和面面垂直性質定理可證CD_L平面APP,結合直徑所對圓周角為直角

可證API平面PDC,然后由面面垂直判定定理可證；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量法可得二面角8-PC-。為正弦值為正時點尸坐標，然后計算

2

可得體積.

【詳解】(1)在矩形ABCD中，CDVAD,

又平面A5co1平面ADP,平面43C￡>c平面ADP=A￡),CDu平面ABCD,

所以，。9，平面4)尸，

又APu平面皿"，所以8，”，

P是AO為直徑的半圓上一點，所以E>P_LAP,

又CDC\DP=P,CD，OPu平面PDC,

所以，AP1平面PDC,

又APu平面RW,則平面EW_L平面POC

(2)取8c中點E,以AO的中點O為坐標原點，0A為x軸，0E為y軸建立如圖所示空間直角坐

標系，由平面ABCD1平面ADP可知，半圓在平面xOz平面內，設尸(。,0/)，

則黯+從=］力>o,又4(1,0,0),B(l,l,0),C(-l,l,0),￡>(-1,0,0),

由(1)可知，平面P0C的一個法向量為麗，麗=(a-l,0,6),

設平面PBC的法向量為元=(x,y,z),又麗=(a-1,-1向,就=(-2,0,0),

BP-n=(a-\)x-y+bz=O

則取z=l,則為=(0也1),

BC'n=-2x=0

設二面角3-尸。-。的大小為a,

Icosa1=1cos(AP,n\|=T=,",/,=-

若sina=#,則|cos