2023-2024學(xué)年福建省多校高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=1+2i3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)，一位射擊運(yùn)動(dòng)員10次射擊射中的環(huán)數(shù)依次為：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8.則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7

C.這組數(shù)據(jù)的極差為4 D.這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為93.已知向量a,b的夾角為45°,A.5 B.7 C.134.已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為4π3的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為(

)A.6π B.8π C.10π5.已知非零向量a，b滿足2a+b⊥2a?b，且向量a在向量b上的投影向量是A.π6 B.π3 C.π26.學(xué)生甲想?yún)⒓幽掣咧行Ｋ{(lán)球投籃特長生考試，測試規(guī)則如下：①投籃分為兩輪，每輪均有兩次機(jī)會(huì)，第一輪在罰球線處，第二輪在三分線處；②若他在罰球線處投進(jìn)第一球，則直接進(jìn)入下一輪，若第一次沒有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則進(jìn)入下一輪，否則不預(yù)錄?。虎廴羲谌志€處投進(jìn)第一球，則直接錄取，若第一次沒有投進(jìn)可以進(jìn)行第二次投籃，投進(jìn)則錄取，否則不預(yù)錄取.已知學(xué)生甲在罰球線處投籃命中率為34，在三分線處投籃命中率為35，假設(shè)學(xué)生甲每次投進(jìn)與否互不影響.則學(xué)生甲共投籃三次就結(jié)束考試得概率為(

)A.2780 B.3380 C.9507.故宮角樓的屋頂是我國十字脊頂?shù)牡湫痛?，如圖1，它是由兩個(gè)完全相同的直三棱柱垂直交叉構(gòu)成，將其抽象成幾何體如圖2所示.已知三樓柱ABF?CDE和BDG?ACH是兩個(gè)完全相同的直三棱柱，側(cè)棱EF與GH互相垂直平分，EF,A.33a B.12a 8.如圖，直線l1//l2，點(diǎn)A是l1，l2之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2的距離分別為2和6，點(diǎn)B是直線l2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥AB，點(diǎn)E、F在線段BC上運(yùn)動(dòng)A.3 B.114 C.32二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是(

)A.若a，b是共線的單位向量，則a=b

B.若a，b是相反向量，則a=b

C.若a+b=0，則向量a，b共線

D.若AB10.如圖所示的電路中，5只箱子表示保險(xiǎn)匣，設(shè)5個(gè)盒子分別被斷開為事件A，B，C，D，E.箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是(

)

A.A，B兩個(gè)盒子串聯(lián)后暢通的概率為13

B.D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為130

C.A，B，C三個(gè)盒子混聯(lián)后暢通的概率為56

11.如圖，已知二面角α?l?β的棱l上有A,B兩點(diǎn)，C∈αA.當(dāng)α⊥β時(shí)，直線CD與平面β所成角的正弦值為33

B.當(dāng)二面角α?l?β的大小為60°時(shí)，直線AB與CD所成角為45°

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若復(fù)數(shù)z滿足z1+i=i2020+13.為深入貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記對天津工作“三個(gè)著力”重要要求，天津持續(xù)深化改革，創(chuàng)建全國文明城區(qū)，城市文明程度顯著提升，人民群眾的夢想不斷實(shí)現(xiàn).在創(chuàng)建文明城區(qū)的過程中，中央文明辦對某小區(qū)居民進(jìn)行了創(chuàng)建文明城區(qū)相關(guān)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，從本次問卷中隨機(jī)抽取了50名居民的問卷結(jié)果，統(tǒng)計(jì)其得分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得50份數(shù)據(jù)的得分結(jié)果分為6組：40,50,50,60,60,14.《九章算術(shù)》中記載：將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵，將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得到一個(gè)陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體).在如圖所示的塹堵ABC?A1B1C1中，BB1=BC=23，AB=2，A四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，(1)求角(2)若a=3316.(本小題12分)如圖，在三棱錐A?BCD中，O,E,

(1)求證：EM(2)求證：AO(3)求異面直線AB與17.(本小題12分)2023年為普及航天知識(shí)，某校開展了“航天知識(shí)競賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(滿分100分)，其中成績不低于80分的學(xué)生被評為“航天達(dá)人”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)若該中學(xué)參加這次競賽的共有(2)估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成績的第(3)若在抽取的80名學(xué)生中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法從成績不低于70分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，求被選中的218.(本小題12分)如圖①所示，在Rt?ABC中，∠C=90°，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE//BC,AC=2BC(1)求(2)證明：平面BC(3)求點(diǎn)P到平面B19.(本小題12分)如圖，在四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABC(1)證明：A(2)證明：平面EF(3)若AB=2A1B1，AA1=1答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)四則運(yùn)算化簡z，得到對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到答案．【解答】

解：∵z=1+2i31?i=12.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了平均數(shù)、極差、眾數(shù)和百分位數(shù)，是基礎(chǔ)題．

根據(jù)平均數(shù)、極差、眾數(shù)和百分位數(shù)的概念逐一求解判斷即可．【解答】

解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7+7+10+9+7+6+9+10+7+810=8，故A說法正確；

這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故B說法正確;

這組數(shù)據(jù)的極差為10?6=4，故C說法正確;

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序?yàn)?，7，7，73.【答案】A

【解析】【分析】由題意，根據(jù)2b【詳解】由題意知，2b故選：A4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查圓錐表面積問題，屬于基礎(chǔ)題．

由圓面積公式求出圓錐的底面面積，再由扇形側(cè)面積公式求出圓錐側(cè)面積．【解答】

解：因?yàn)榈酌姘霃?/p>

r=2

，所以底面積

S底=πr2=4π

，底面周長

L=2πr=45.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)2a+b⊥2【詳解】因?yàn)?a所以2a所以b=因?yàn)橄蛄縜在向量b上的投影向量是3所以acos即12cosa又因?yàn)閍,所以a與b的夾角是π6故選：A．6.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解．【詳解】記事件Ai表示“甲在罰球線處投籃，第i次投進(jìn)”，事件Bi表示“甲在三分線處投籃，第i次投進(jìn)，事件則P(故選：B7.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間總直線與平面的位置關(guān)系，先確定點(diǎn)G到平面ACEF的垂線段，在根據(jù)已知條件得sin【詳解】取AC中點(diǎn)M，連接MI，過G作MI的垂線交M

取AB中點(diǎn)N，連接F由已知，M、I分別為AC、E因?yàn)锳BF?CDE是直三棱柱，所以所以FI//AM又AF⊥AC，所以又EF⊥GH，MK?平面KI所以EF⊥平面KIG，KG又因?yàn)镵G⊥MK，EF?平面AC所以KG⊥平面ACEF，所以點(diǎn)G到平面AAF⊥BF，在所以AB=a2因?yàn)樗倪呅蜛MIF又因?yàn)橐驗(yàn)锽DG?AC所以∠KIG又因?yàn)镵G⊥平面ACEF，I所以sinθ=KGI所以點(diǎn)G到平面ACEF故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，確定點(diǎn)G到平面AC8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查三角形面積公式，二倍角公式，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于較難題．

過點(diǎn)A作l1，l2的垂線，交l1，l2分別于點(diǎn)M，N，根據(jù)三角形ABC的面積為23，先求出【解答】

解：過點(diǎn)A作l1，l2的垂線，交l1，l2分別于點(diǎn)M，N，

則AM=2，AN=6，

設(shè)∠ABN=θ，則∠ACM=π2?θ，0<θ<π2，

所以AC=AMsin(π2?

可知A(3,3),

因?yàn)镋F所以AE=(x?3,?3),AF=(故選：B．9.【答案】BC【解析】【分析】利用相反向量、共線向量的概念分析判斷各選項(xiàng)得解．【詳解】對于A，a，b是共線的單位向量，則a=b或a=對于B，若a，b是相反向量，則a=b，對于C，a+b=0，即a=?b對于D，AB//CD，點(diǎn)A，B，C故選：B10.【答案】AC【解析】【分析】本題主要考查了互斥與對立事件的概率計(jì)算、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算，屬于中檔題．

根據(jù)互斥與對立事件的概率計(jì)算、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式逐個(gè)計(jì)算判定．【解答】

解：由題意知，，，，，，

所以A，B兩個(gè)盒子暢通的概率為，因此A正確;

D，E兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為1?15×16=1?130=2930，因此B錯(cuò)誤;

A，B，C三個(gè)盤子混聯(lián)后暢通的概率為，C正確;

根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為，D11.【答案】AB【解析】【分析】本題考查空間線線角、線面角、面面角的求法，考查幾何體的體積求法，屬于較難題．

對A：借助空間垂直的轉(zhuǎn)化可得線線垂直，結(jié)合線面角的定義計(jì)算即可得；對B：借助二面角的定義，作出平行直線AB且與CD相交的直線即可計(jì)算異面直線夾角；對C：找到底面外接圓圓心，作出過該點(diǎn)且垂直底面的直線，則球心必在該直線上，設(shè)出半徑，結(jié)合勾股定理可得半徑，即可得外接球體積；對【解答】

解：對A選項(xiàng)：當(dāng)α⊥β時(shí)，因?yàn)棣痢伤訟C⊥β，所以直線CD與平面又因?yàn)锳D?β因?yàn)锽D⊥l，A所以sin?∠C對B選項(xiàng)：如圖，過A作AE/?/BD，且

則四邊形ABDE為正方形，所以AB//D因?yàn)锽D⊥l，四邊形ABD又因?yàn)锳C⊥l，所以∠CA由AC⊥l、AE⊥l、AC所以l⊥平面ACE，又四邊形A所以DE⊥平面ACE，又CE由AC=BD且四邊形AB所以tan?∠CDE=1，即∠CD對于D，如圖，作AE/?則二面角α?l?β的平面角為∠CAE

(

由CD=2，在R在△ACE中，由余弦定理得cos過C點(diǎn)作CO⊥AE交線段EA的延長線于點(diǎn)O，

由B選項(xiàng)的中l(wèi)⊥平面ACE，且OC?平面ACE，故CO⊥l，過O點(diǎn)作OH⊥BD，交線段DB則∠CHO易得CO=32所以cos?∠C對C選項(xiàng)：同選項(xiàng)D可知∠C如圖，分別取線段AD，AE的中點(diǎn)G，M，連接GM，過G

記三棱錐A?BCD則球心O1必在該垂線上，設(shè)球的半徑為R，則O又△ACE的外接圓半徑r所以四面體A?BCD的外接球的體積為故選ABD．12.【答案】2i【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方及乘法運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】z1所以z=故答案為：2i13.【答案】84.55

【解析】【分析】利用第70百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可．【詳解】由題意得0.004+解得a=因?yàn)榍?組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.04+前5組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.04+則70%分位數(shù)在80,90內(nèi)，設(shè)70則0.6+x?所以70%分位數(shù)約為84.55故答案為：84.5514.【答案】100π【解析】【分析】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

由題意可得鱉臑C1?ABC經(jīng)翻折后，與鱉臑C1?AB【解答】

解：鱉臑C1?ABC經(jīng)翻折后，與鱉臑C1?ABB1拼接成的幾何體如圖，

該幾何體是三棱錐，由已知求得底面三角形A′B1A是邊長為4的正三角形，

側(cè)棱C1B1⊥底面A′B1A，

設(shè)△A′B1A的外心為M，過M作底面垂線，取C1B115.【答案】解：(1)由a=2bsinA，

根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以【解析】本題考查了正弦定理和余弦定理．

(1)利用正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC為銳角三角形可得結(jié)論；

(2)16.【答案】(由已知得EM又EM?平面ABD，因此EM//(連結(jié)O

∵B∵B在?AOC中，由已知可得∴AO2+C∵BD∩OC=O∴AO⊥(連結(jié)OM,OE，由E為∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB在?OM∵OM是直角?AO∴∴異面直線AB與CD所成角的所成角的余弦值是

【解析】(1)由已知得(2)由AO(3)連結(jié)OM,OE，直線OE17.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，成績在

[80,100]則估計(jì)全校這次競賽中“航天達(dá)人”的人數(shù)約為

3000×0.3(2)由頻率分布直方圖可知，成績在

[40,50)成績在

[50,60)

內(nèi)的頻率為

0.015×10=0.15

，

成績在成績在

[70,80)

內(nèi)的頻率為

0.030×10=0.3

，

成績在所以成績在

80

分以下的學(xué)生所占的比例為

0.05+0.15成績在

90

分以下的學(xué)生所占的比例為

0.05+0.15所以成績的75%分位數(shù)一定在

[80,90因此估計(jì)參加這次競賽的學(xué)生成績的75百分位數(shù)為82.5；(3)因?yàn)?/p>

6×0.30.3+0.2+0.1=所以從成績在[70,80),[80,90其中有3人為航天達(dá)人，設(shè)為a,b,c，有則從6人中選擇2人作為學(xué)生代表，有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，

(b,c)，(b,d)，所以被選中的2人均為航天達(dá)人的概率為315

【解析】本題考查頻率分布直方圖，考查百分位數(shù)，以及古典概型的概率求解，屬中檔題．

(1)根據(jù)直方圖求得成績在

[80,100]

內(nèi)的頻率，再乘以總?cè)藬?shù)，即可估計(jì)；18.【答案】(令平面PED交棱A1C于點(diǎn)N，連接PN,DN，由DE則DE//平面A1BC，而平面PED∩又EP//平面A1CD，平面PED∩因此四邊形DEPN是平行四邊形，PN=所以A1

(2在圖①的Rt?AB