江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．正方體中，，分別為棱，中點(diǎn)，則與所成角為（

）A． B． C． D．3．已知向量，滿足：，，，則（

）A． B．5 C． D．4．如圖，將一個(gè)圓柱4等份切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了20，則原圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知向量，，滿足：，且，則三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形7．設(shè)為銳角，若，則的值為（

）A． B． C． D．8．在中，點(diǎn)，在邊上，且滿足：，，若，，，則的面積等于（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知，是不同平面，，，是不同直線，則“”的充分條件是（

）A．，； B．，，；C．，，； D．，，10．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），是的共軛復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的虛部為4； B．；C．； D．是的一個(gè)平方根11．設(shè)，是夾角為的單位向量，由平面向量基本定理知：對(duì)平面內(nèi)任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，我們稱有序數(shù)對(duì)為向量的“仿射坐標(biāo)”.若向量和的“仿射坐標(biāo)”分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的“仿射坐標(biāo)”為C．若，則D．若，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.12．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是.13．將正方形沿對(duì)角線折疊成直二面角，則此時(shí)與平面所成角的大小是.14．某校高一學(xué)生對(duì)學(xué)校附近的一段近似直線型高速公路進(jìn)行實(shí)地測(cè)繪（如圖），結(jié)合地形，他們選擇了，兩地作為測(cè)量點(diǎn).通過(guò)測(cè)量得知：，兩地相距300米，，分別位于地正東和東偏南方向上；，和分別位于地的北偏東，和南偏東方向上.則，兩地之間的距離為米；若一輛汽車通過(guò)高速公路段用時(shí)約50秒，則該輛汽車的車速約為千米/小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：，，，）四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．如圖，在正方體中.(1)求證：平面；(2)求證：.16．在直角坐標(biāo)系中，已知向量，，（其中），為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn).(1)若，，三點(diǎn)共線，求的值；(2)若向量與的夾角為，求的值；(3)若四邊形為矩形，求點(diǎn)坐標(biāo).17．已知角，滿足，，且，.(1)求的值；(2)求的大小.18．在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中并作答.①；②；③的面積為（如多選，則按選擇的第一個(gè)記分）問(wèn)題：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求面積的最大值；(3)在（2）的條件下，若為銳角三角形，求的取值范圍.19．已知在多面體中，，，.(1)若，，，四點(diǎn)共面，求證：多面體為棱臺(tái)；(2)在（1）的條件下，平面平面，，，，且.①求多面體的體積；②求二面角正切值.1．A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可求解對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故選：A2．C【分析】由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】如圖，連接，，，因?yàn)椋謩e為棱，中點(diǎn)，所以，所以為與所成角，因?yàn)樵谡襟w中，，所以為等邊三角形，所以，故選：C3．B【分析】首先求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B4．B【分析】原圓柱的底面圓半徑為，高為，得到，從而求出側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，則原圓柱的表面積為，新幾何體的表面積為，故，原圓柱的側(cè)面積為.故選：B5．A【分析】由結(jié)合兩角差的正切公式求得.【詳解】由得，故選：A.6．D【分析】由三角形重心、外心性質(zhì)得到是三角形的重心、外心，從而得到三角形為等邊三角形.【詳解】因?yàn)椋允侨切蔚闹匦?，又因?yàn)?，所以是三角形的外心，所以三角形是等邊三角?故選：D.7．B【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、同角公式及二倍角公式求解即得.【詳解】由為銳角，得，而，因此，所以.故選：B8．D【分析】因?yàn)?，則M為BC中點(diǎn)，兩邊平方化簡(jiǎn)得到；因?yàn)?，則AN為角平分線，，化簡(jiǎn)得到．解出，代入面積公式即可.【詳解】如圖，在中，設(shè),

因?yàn)?，則M為BC中點(diǎn)，兩邊平方得到，，即，化簡(jiǎn)因?yàn)?，則AN為角平分線，，即，條件代入化簡(jiǎn)得，，則，且，聯(lián)立解得，解得(負(fù)值舍去).所以.故選：D.9．BC【分析】根據(jù)空間中直線與平面，以及平面與平面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,由，，則,可能相交，可能異面，可能平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由線面平行的性質(zhì)定理可知，，，則，B正確，對(duì)于C,若，，，則，C正確，對(duì)于D，若，，，則,異面或者平行，D錯(cuò)誤，故選：BC10．ABD【分析】AB，根據(jù)虛部和共軛復(fù)數(shù)的概念得到AB正確；C選項(xiàng)，計(jì)算出，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，的虛部為4，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，故是的一個(gè)平方根，D正確.故選：ABD11．ABD【分析】根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，．將陌生的仿射坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為熟悉的向量表達(dá)式來(lái)解題即可．【詳解】根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，．對(duì)于A，，即，因此．故A正確．對(duì)于B，,則，根據(jù)“仿射坐標(biāo)”定義，的“仿射坐標(biāo)”為．故B正確．對(duì)于C，若，則，化簡(jiǎn)，即，解得，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，若，，則，聯(lián)立得出，故D正確．故選：ABD.12．【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．13．【分析】取中點(diǎn)，證明是與平面所成的角，求得此角即得，【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，所以是二面角的平面角，所以，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，，，故，因?yàn)椋?，，，平面，所以平面，所以是與平面所成的角．所以與平面所成的角是．故答案為：．14．【分析】由方位角知識(shí)得到，，，，，在和中由正弦定理得到米，米，在中由余弦定理得到米千米，由速度公式求得速度.【詳解】在中，，，米，，由正弦定理得，即得米；在中，米，，，，由正弦定理得，即得米，在中，，米，米，由余弦定理得，即，所以米千米，秒小時(shí)，所以速度為千米/小時(shí)，故答案為：1000；72.15．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，即可得證；（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到、，即可證明平面，從而得證.【詳解】（1）在正方體中，又平面，平面，所以平面；（2）連接、，在正方體中為正方形，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出、，利用，，三點(diǎn)共線列方程求出的值．（2）利用向量的夾角公式即可求解.（3）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和矩形的定義，列方程組求出、、的值，再求和．【詳解】（1）向量，，，所以，，由，，三點(diǎn)共線知，，即，解得；（2）,解得，（3）設(shè)，由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，故17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、二倍角公式分別求出，，，，再利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；（2）先根據(jù)題意縮小角的范圍到和，進(jìn)而得出，再計(jì)算的值即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，；因?yàn)?，所以；所?（2）因?yàn)?，，所以；因?yàn)椋?，故，所以；又因?yàn)?，所以，；所以，又因?yàn)?，所?18．(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）選①：由正弦定理得到，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到求解；選②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；選③利用三角形面積公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解.（2）利用余弦定理和基本不等式即可解題；（3）由正弦定理得到，從而有求解.【詳解】（1）若選①：由正弦定理得，則，，，．若選②：，切化弦，得到，則由正弦定理得，，即，，，若選③：，則，由正弦定理得，，.（2）由余弦定理得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，取“＝”號(hào)，即．，則，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取得最大值．（3）由正弦定理得，則，，由于為銳角三角形，則，..19．(1)證明見(jiàn)解析.(2)【分析】(1)利用面面平行的定義可以證明上下底面的兩個(gè)面平行，接著證明三條側(cè)棱交于一點(diǎn).(2)求棱臺(tái)的體積轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)棱錐的體積即可；求二面角的正切值做出二面角的正切值，利用解三角形求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平?所以平面.同理可證：平面.又因?yàn)?，平面，平?所以平面平面，而，故共面.因?yàn)?，設(shè).而，且平面，所以平面，同理可證平面，所以面面.又因平面平面，所以，則交于同一點(diǎn)，又因?yàn)槠矫嫫矫?所以多面體為棱臺(tái).（2）三棱臺(tái)中，由(1)知側(cè)棱交于同一個(gè)點(diǎn)，連結(jié).在側(cè)面梯形中，有，.所以梯形為直角梯形.又因?yàn)椋?，所以，所以，?又因面面，面面，面.所以平面，即的長(zhǎng)度等于點(diǎn)到平面的距