浙江省紹興市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023學(xué)年第二學(xué)期高中期末調(diào)測高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.請將學(xué)校、班級、姓名分別填寫在答卷紙相應(yīng)位置上.本卷答案必須做在答卷相應(yīng)位置上.2.全卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．用斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖，所得圖形的面積是（

）A．4 B． C． D．3．十名工人某天生產(chǎn)同一批零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，則這組數(shù)據(jù)的極差、眾數(shù)、第一四分位數(shù)分別是（

）A．3，17，12 B．5，16，14 C．7，17，14 D．7，17，134．已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．已知平面四邊形，，若，則（

）A． B．1 C． D．6．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．7．如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，其中，，則（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件A與事件C互為對立 D．事件A與事件C相互獨(dú)立8．如圖，矩形ABCD中，．面積為的平行四邊形ACEF繞AC旋轉(zhuǎn)，且平面ABCD，則（

）A．平面平面EFD B．平面平面ABCC．平面平面BCF D．平面平面ADF二、選擇題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得4分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的模為 B．復(fù)數(shù)的虛部為﹣1C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則10．已知一組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，其平均數(shù)，則下列數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與不相等的是（

）A．B．C．D．11．如圖，已知正方體的棱長為，分別為棱上的點(diǎn)，，則（

）A．B．平面經(jīng)過棱的中點(diǎn)C．平面截該正方體，截面面積的最大值為D．點(diǎn)到平面距離的最大值為三、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分.12．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”的概率是．13．已知向量與的夾角為，，則向量在向量上的投影向量的模為．14．正四棱錐的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則的最小值為．四、解答題：本大題共5小題，共52分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)求及向量與夾角的大小；(2)若，求實(shí)數(shù)t的值.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：平面PAD；(2)求四棱錐的體積．17．某機(jī)構(gòu)對甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的一批零件隨機(jī)抽取部分進(jìn)行尺寸檢測，統(tǒng)計(jì)所得數(shù)據(jù)分別畫出了如下頻率分布直方圖：根據(jù)乙工廠零件尺寸的頻率分布直方圖估計(jì)事件“乙工廠生產(chǎn)的零件尺寸不低于60cm”的頻率為0.70．(1)估計(jì)甲工廠生產(chǎn)的這批零件尺寸的平均值；(2)求乙工廠頻率分布直方圖中a，b的值，并求乙工廠被測零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù))；(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從甲工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取尺寸在[40，50)和[70，80)內(nèi)的零件3個(gè)，從乙工廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取尺寸在[40，50)和[80，90)內(nèi)的零件5個(gè)，再從抽得的8個(gè)零件中任取2個(gè)，求這兩個(gè)零件的尺寸都在[40，50)內(nèi)的概率．18．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，．(1)證明：平面ACE；(2)求點(diǎn)E到平面ABCD的距離；(3)求側(cè)面ADE與側(cè)面BCF所成二面角的正切值．19．克羅狄斯、托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四邊形(所有內(nèi)角都小于180°的四邊形)中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補(bǔ)時(shí)取等號．已知圓O是凸四邊形ABCD的外接圓，其中．(1)若圓O的半徑為r，且，(ⅰ)求的大??；(ⅱ)求的取值范圍(用r表示)．(2)若，求線段BD長度的最大值．1．B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可以求得.【詳解】由共軛復(fù)數(shù)的定義可得，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B.2．C【分析】根據(jù)斜二測畫法的原則得到直觀圖的對應(yīng)邊長關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積.【詳解】斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖如圖所示，根據(jù)斜二測畫法的原則可知，，，，所以直觀圖的面積為.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意，由極差，眾數(shù)以及第一四分位數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，則極差為，眾數(shù)為，且，則第一四分位數(shù)為.故選：C4．D【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一分析求解．【詳解】若，則與可能平行也可能異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則與可能平行也可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，則可能與平行，可能與相交，也可能在內(nèi)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；垂直于同一平面的兩條直線互相平行，D選項(xiàng)正確.故選：D.5．B【分析】構(gòu)建以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，應(yīng)用坐標(biāo)表示，結(jié)合平面向量基本定理求，，得到兩個(gè)關(guān)系式，即可求值；【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?，，化簡，即化簡得，即所以，?故選：B.6．A【分析】利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，即，又，所以，所?故選：A7．B【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件，事件相互獨(dú)立的定義逐一判斷即可得解.【詳解】對于A，，所以與事件B可以同時(shí)發(fā)生，故A錯(cuò)；對于B，,,所以事件A與事件B相互獨(dú)立，故B正確；對于C，,所以事件A與事件C不對立，故C錯(cuò)誤；對于D，由圖可知，所以，所以，所以事件A與事件C不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤；故選：B.8．A【分析】利用旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)在平行四邊形ACEF繞AC旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體上，從而利用半圓得到線線垂直，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)軸垂直橫截面，即可得到另一個(gè)線線垂直，從而可證線面垂直，最后得證.【詳解】如圖，過作直線，因?yàn)榫匦蜛BCD中，．所以，又平行四邊形ACEF面積為，所以平行四邊形ACEF的高為，又在中，令到高為，所以,所以平行四邊形ACEF繞AC旋轉(zhuǎn)時(shí)，會經(jīng)過，形成如圖所示半圓,由旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)可知，，所以,又，所以又在半圓中，為直徑，所以，又，，所以，又，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題的關(guān)鍵是平行四邊形ACEF繞AC旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過兩點(diǎn)，從而可以利用旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)來解題.9．AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式和虛部的定義可以判斷A、B選項(xiàng)，虛數(shù)不能比較大小，可判斷C選項(xiàng)，舉反例即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，故A正確，對于B選項(xiàng)，的虛部為，故B正確，對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，均為虛?shù)，虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤，對于D選項(xiàng)，令，則，故D錯(cuò)誤，故選：AB.10．ACD【分析】根據(jù)方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的性質(zhì)及方差公式一一判斷即可.【詳解】因?yàn)榈臉?biāo)準(zhǔn)差，其平均數(shù)，則，對于A：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故A符合題意；對于B：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故B不符合題意；對于C：因?yàn)?，又?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，設(shè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則的方差，所以，則，故C符合題意；對于D：數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D符合題意；故選：ACD11．ABD【分析】記為的中點(diǎn)，取線段上的點(diǎn)使得，正方體的中心為，然后說明平面截該正方體的截面就是中心為的六邊形，之后根據(jù)正方體的對稱性和勾股定理，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】記為的中點(diǎn)，棱的中點(diǎn)，取線段上的點(diǎn)使得，正方體的中心為.則根據(jù)對稱性，和，和，和分別關(guān)于點(diǎn)對稱.從而在平面內(nèi)，而，故，從而在平面內(nèi).由于前面的對稱性，及在平面內(nèi)，知平面截該正方體的截面就是中心為的六邊形，從而一定在平面內(nèi)，至此我們得到選項(xiàng)B正確.前面已經(jīng)證明，同理有，故.由于，故，同時(shí)顯然有.從而，.由于，，故四邊形和都是等腰梯形，從而，.這表明線段和互相平分且長度相等，所以四邊形是矩形，故，至此我們得到選項(xiàng)A正確.由于四邊形和都是等腰梯形，且上底均為，下底均為，腰長均為，故它們的高都等于.所以它們的面積都等于.故截面的面積.當(dāng)時(shí)，，至此我們得到選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由于，且在平面內(nèi)，故點(diǎn)到平面的距離不超過.而當(dāng)時(shí)，分別是各自所在棱的中點(diǎn)，從而.而，這表明點(diǎn)和點(diǎn)到三點(diǎn)的距離兩兩相等.故點(diǎn)和點(diǎn)在平面的投影同樣滿足到三點(diǎn)的距離兩兩相等，從而點(diǎn)和點(diǎn)在平面的投影都是的外心，所以由點(diǎn)和點(diǎn)的投影是同一點(diǎn)，知垂直于平面.從而由在平面內(nèi)，知點(diǎn)到平面的距離就是的長，即.所以，點(diǎn)到平面的距離的最大值是，至此我們得到選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于截面六邊形的構(gòu)造，這是利用正方體的對稱性的關(guān)鍵.12．##【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】記“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)都為奇數(shù)”為事件，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所以可能結(jié)果有個(gè)，其中事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)，所以.故答案為：13．【分析】計(jì)算出，利用求出答案.【詳解】，，故，向量在向量上的投影向量的模為.故答案為：14．##【分析】設(shè)出底面邊長和高后，結(jié)合正四棱錐外接球與內(nèi)切球性質(zhì)用底面邊長及高表示出外接球半徑與內(nèi)切球半徑，而后作商，多次換元將式子化簡后結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正四棱錐底面邊長為，高為，底面的中心為，連接，則，，所以，設(shè)外接球球心為，內(nèi)切球球心為，則，在上，因?yàn)?，所以，在中，，化簡得，因?yàn)椋?，所以，令，則，令，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題解題的關(guān)鍵是表示出外接球半徑和內(nèi)切球半徑之比后，經(jīng)過多次換元轉(zhuǎn)化將式子化簡，從而得解.15．(1)，(2)【分析】（1）先求出，然后可求出，利用向量的夾角公式可求出向量與夾角；（2）求出的坐標(biāo)，再利用向量平行的條件列方程求解即可.【詳解】（1）因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，即向量與夾角的大小為；（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，解?16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）做輔助線構(gòu)造平行四邊形，從而證明線線平行，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）連接，證明垂直于底面，從而確定為錐體的高，再利用體積公式求體積即可.【詳解】（1）證明：如圖，取PD的重點(diǎn)Q，連接AQ，QN，因?yàn)樵谥?，Q，N分別為的PD，PC中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)樵谡叫沃?，M分別為AB的中點(diǎn)，所以，且,所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）連接，因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)閭?cè)面是正三角形，M為AB的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，所以四棱錐P﹣ABCD的體積是.17．(1)(2)，，中位數(shù)(3)【分析】（1）結(jié)合頻率分布直方圖，由平均數(shù)的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）由頻率分布直方圖的性質(zhì)代入計(jì)算，即可求得，再由中位數(shù)的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，由分層抽樣可得抽取的8個(gè)零件中[40，50)個(gè)數(shù)為個(gè)，再由概率的計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，甲工廠生產(chǎn)的這批零件尺寸的平均值為.（2）因?yàn)椤耙夜S生產(chǎn)的零件尺寸不低于60cm”的頻率為0.70，即，解得，再由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，解得，因?yàn)?，，所以中位?shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.即乙工廠被測零件尺寸的中位數(shù)為.（3）由分層抽樣可知，甲工廠抽取尺寸在[40，50)為個(gè)，則甲工廠抽取尺寸在[70，80)為個(gè)，乙工廠抽取尺寸在[40，50)為個(gè)，則乙工廠抽取尺寸在[80，90)為個(gè)，所以抽得的8個(gè)零件中[40，50)個(gè)數(shù)為個(gè)，記為，另外4個(gè)零件記為，設(shè)事件E為抽取的兩個(gè)零件的尺寸都在[40，50)內(nèi)，所有情況為，，，，，共28種，其中滿足條件的為，共6種，則.所以抽取的兩個(gè)零件的尺寸都在[40，50)內(nèi)的概率為.18．(1)證明見解析(2)2(3)【分析】（1）證明，得到，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）證明，確定即為所求，勾股定理求出即可.（3）利用面面平行，把所求二面角轉(zhuǎn)化為了平面與面ADE所成的角，設(shè)交線為m，然后分別證明,從而找到對應(yīng)的平面角，再求出正切值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)?所以,所以設(shè),連接，則G為BD的中點(diǎn)，,又,所以平面ACE；（2）過點(diǎn)E作,垂足為H,因?yàn)槠矫鍭CE，平面ACE，所以，又，所以,所以點(diǎn)E到平面ABCD的距離即為線段EH的長度.因?yàn)?,所以,所以，又因?yàn)闉檎切?，所以點(diǎn)H為的中心.延長DH交AB于點(diǎn)I，則I為AB的中點(diǎn).因?yàn)樵谥校?所以,因?yàn)?所以.所以點(diǎn)E到平面ABCD的距離為2.（3）過點(diǎn)H作BC的平行先分別交AB,CD于點(diǎn)J,K，則BJ=CK=4，因?yàn)镋F=4,,所以,所以四邊形EFCK和四邊形EFBJ均為平行四邊形，所以,所以平面平面.過點(diǎn)E作直線,則平面平面,過點(diǎn)H作,垂足為L,連接LE.因?yàn)?所以,所以,所以,所以為二面角的平面角.因?yàn)樵谥苯侨切沃校?因?yàn)槠矫嫫矫?所以，側(cè)面ADE與側(cè)面BCF所成二面角的正切值為.19．(1)(ⅰ)，(ⅱ)(2)【分析】（1）(ⅰ)根據(jù)正弦定理和倍角公式即可求得，從而得解；(ⅱ)由(ⅰ)結(jié)論得出AC是圓O的直徑，設(shè)，用表示數(shù)量積，再根據(jù)的取值范圍，求