建筑制圖與識(shí)圖教案

學(xué)習(xí)目的：了解建筑制圖的任務(wù)與學(xué)習(xí)方法，掌握常用的工程圖的幾個(gè)分類教學(xué)重點(diǎn)：搞清本章所講的幾個(gè)概念，及其互相間的關(guān)系；掌握本課程的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)一絲不茍的學(xué)習(xí)作風(fēng)。教學(xué)難點(diǎn)：搞清“畫(huà)法幾何”與“工程制圖”之間的關(guān)系，并在工程制圖中對(duì)的運(yùn)用畫(huà)法幾何理論；掌握本課程的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)一絲不茍的學(xué)習(xí)作風(fēng)。課時(shí)：2個(gè)課時(shí)第一章緒論1.1建筑制圖的任務(wù)1．研究正投影的基本理論2．培養(yǎng)繪制和閱讀工程圖的能力3．研究常用的圖解方法，培養(yǎng)圖解能力4．通過(guò)繪圖、讀圖和圖解的實(shí)踐，培養(yǎng)空間想象能力5．培養(yǎng)認(rèn)真、細(xì)致、一絲不茍的工作作風(fēng)6．培養(yǎng)用圖形軟件繪制圖樣的初步能力工程圖：在生產(chǎn)建設(shè)和科學(xué)研究工程中，對(duì)于已有的或想象中的空間體（如地面、建筑物、機(jī)器等）的形狀、大小、位置和其它有關(guān)部門資料，很難用語(yǔ)言和文字表達(dá)清楚，因而需要在平面上（例如圖紙上）用圖形表達(dá)出來(lái)。這種在平面上表達(dá)工程物體的圖，稱為工程圖。工程圖常用的有以下幾種：1．透視圖2．軸測(cè)圖3．正投影圖4．標(biāo)高投影圖畫(huà)法幾何當(dāng)研究空間物體在平面上如何用圖形來(lái)表達(dá)時(shí)，因空間物體的形狀、大小和互相位置等不相同，不便以個(gè)別物體來(lái)逐個(gè)研究，并且為了使得研究時(shí)易于對(duì)的、深刻和完全，以及所得結(jié)論能廣泛地應(yīng)用于所有物體起見(jiàn)，特采用幾何學(xué)中將空間物體綜合概括成抽象的點(diǎn)、線、面等幾何形體的方法，先研究這些幾何形體在平面上如何用圖形來(lái)表達(dá)，以及如何通過(guò)作圖來(lái)解決它們的幾何問(wèn)題。這種研究在片面上用圖形來(lái)表達(dá)空間幾何形體和運(yùn)用幾何圖來(lái)解決它們的幾何問(wèn)題的一門學(xué)科，稱為畫(huà)法幾何。例如：正方體6個(gè)面組成每個(gè)面由無(wú)數(shù)條線組成每條線由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組1.1.2工程制圖把工程上具體的物體，視為由幾何形體所組成，根據(jù)畫(huà)法幾何的理論，研究它們?cè)谄矫嫔嫌脠D形來(lái)表達(dá)的問(wèn)題，而形成工程圖。在工程圖中，除了有表達(dá)物體形狀的線條認(rèn)為，還要應(yīng)用國(guó)家制圖標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的一些表達(dá)方法和符號(hào)，注以必要的尺寸和文字說(shuō)明，使得工程圖能完善、明確和清楚地表達(dá)出物體的形狀、大小和位置，以及其它必要的資料（例如：物體的名稱、材料的種類和規(guī)格，生產(chǎn)方法等）。研究繪制工程圖的這門學(xué)科，稱為工程制圖。注意：如將工程圖比方為工程界的一種語(yǔ)言，則畫(huà)法幾何便是這種語(yǔ)言的語(yǔ)法。一、目的培養(yǎng)學(xué)生繪圖、讀圖和圖解的能力，通過(guò)這幾方面的實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力二、任務(wù)1．研究正投影的基本理論2．培養(yǎng)繪制和閱讀工程圖的能力3．研究常用的圖解方法，培養(yǎng)圖解能力4．通過(guò)繪圖、讀圖和圖解的實(shí)踐，培養(yǎng)空間想象能力5．培養(yǎng)認(rèn)真、細(xì)致、一絲不茍的工作作風(fēng)6．培養(yǎng)用圖形軟件繪制圖樣的初步能力三、應(yīng)達(dá)成的規(guī)定1．掌握正投影的基本理論和作圖方法2．確使用繪圖工具，掌握繪圖的技巧和方法，又快又好地作出符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的工程圖，并能對(duì)的地閱讀一般的工程圖紙。3．具有圖示空間幾何形體和圖解空間幾何問(wèn)題的能力4．初步掌握計(jì)算機(jī)繪圖的基本知識(shí)1.1.3本課程的重要內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法一、重要內(nèi)容圖樣的基本知識(shí)：繪圖工具、儀器的使用，幾何作圖的知識(shí)，基本制圖標(biāo)準(zhǔn)。2．投影作圖：工程圖樣的圖示原理和方法。3．工程圖樣的看圖、畫(huà)圖的規(guī)則和方法。4．相關(guān)的其它圖樣：簡(jiǎn)介建筑制圖圖樣的看圖、畫(huà)圖規(guī)則和方法。5．計(jì)算機(jī)繪圖。二、學(xué)習(xí)方法畫(huà)法幾何是制圖的理論基礎(chǔ)，比較抽象，系統(tǒng)性較強(qiáng)。制圖是投影理論的運(yùn)用，實(shí)踐性較強(qiáng)，學(xué)習(xí)時(shí)要完畢一系列的繪圖、識(shí)圖作業(yè)。但必須注意學(xué)習(xí)方法，才干提高學(xué)習(xí)的效果。1．要下工夫培養(yǎng)空間想象能力從二維的平面想象出三維形體的形狀。這是初學(xué)者制圖的一道難關(guān)。開(kāi)始時(shí)可以借助于一些模型（沒(méi)有），加強(qiáng)圖物對(duì)照的感性結(jié)識(shí)，但要逐步減少使用模型，直至可以完全依靠自己的空間想象能力，看懂圖紙。2．作圖時(shí)要畫(huà)圖與讀圖相結(jié)合每一次根據(jù)物體畫(huà)出投影圖之后，隨即移開(kāi)物體，從所畫(huà)的視圖想象本來(lái)物體的形狀，是否相符。堅(jiān)持這種做法，有助于空間想象能力的培養(yǎng)。3．要培養(yǎng)解體能力課文易懂，習(xí)題難做。這是本門課程的第二道難關(guān)。要解決這個(gè)問(wèn)題，一要掌握解體的思緒，即空間問(wèn)題，一定要拿到空間去分析研究，決定解體的方案；二要掌握幾何元素之間的各種基本關(guān)系（如：平行、垂直、相交、交叉等）的表達(dá)方法，才干將解體逐步用作圖表達(dá)出來(lái)，并求得解答。4．要提高自學(xué)成才干力課前預(yù)習(xí)，然后帶著問(wèn)題聽(tīng)老師講課。復(fù)習(xí)時(shí)要著重檢查自己能否用圖表達(dá)書(shū)中每一個(gè)概念和每一種方法。5．工程圖紙（機(jī)械圖紙、化工圖紙、建筑圖紙等）是施工的根據(jù)，往往由于圖紙上一條線的疏忽或一個(gè)數(shù)字的差錯(cuò)，結(jié)果導(dǎo)致嚴(yán)重的反工浪費(fèi)。所以應(yīng)從初學(xué)制圖開(kāi)始，就嚴(yán)格規(guī)定自己，養(yǎng)成認(rèn)真負(fù)責(zé)、一絲不茍和力求符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的工作態(tài)度。同時(shí)又要逐步提高繪圖速度，達(dá)成又快又好的規(guī)定。注意：工程質(zhì)量終身負(fù)責(zé)制（工程質(zhì)量、設(shè)計(jì)方面的問(wèn)題）教學(xué)重點(diǎn)：1．掌握國(guó)家制圖標(biāo)準(zhǔn)《建筑制圖》等相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中的圖幅、圖框格式、常用比例、寫字規(guī)定及字形、圖線寬度等基本規(guī)定；2．掌握幾何作圖的基本方法，能對(duì)的運(yùn)用作圖工具繪制圓的內(nèi)截多邊形、橢圓等基本圖形；3．能對(duì)的地對(duì)平面圖形進(jìn)行尺寸和線段分析，能對(duì)的選擇尺寸基準(zhǔn)，完整地標(biāo)注定形尺寸和定位尺寸；4．掌握錐度和斜度的畫(huà)法及其標(biāo)注；5．掌握?qǐng)A弧連接的基本畫(huà)法。教學(xué)難點(diǎn)：.1．基本幾何圖形的基本畫(huà)法；2．平面圖形進(jìn)行尺寸和線段分析、尺寸基準(zhǔn)的選擇、尺寸的對(duì)的標(biāo)注。3．圓弧連接中應(yīng)注意的問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程：復(fù)習(xí)舊課講授新課教學(xué)課時(shí)：8課時(shí)第二章制圖規(guī)格與基本技能目前，雖然計(jì)算機(jī)繪圖技術(shù)正在逐漸步入設(shè)計(jì)、生產(chǎn)和科研等各個(gè)領(lǐng)域，但工程技術(shù)人員手工繪圖的基本技能還是要具有的。手工繪制工程圖樣通常是先在繪圖紙上用繪圖鉛筆按規(guī)定方法和繪制圖稿（也稱白圖），再在半透明的描圖紙上用描圖筆將圖稿描正，或直接在畫(huà)圖稿并描正。描好的圖樣稱為底圖。用曬圖機(jī)或復(fù)印機(jī)將底圖上的圖樣翻曬或復(fù)印在圖紙上，就得到了一般常見(jiàn)的工程圖紙（稱藍(lán)圖）。本章將簡(jiǎn)樸介紹基本的繪圖工具、一起的使用方法，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)部門規(guī)定，并簡(jiǎn)要介紹徒手繪制技術(shù)草圖的方法。2．1制圖工具和儀器的用法學(xué)習(xí)制圖，一方面要了解各種繪圖工具和一起的性能，純熟掌握它們的對(duì)的使用方法，并經(jīng)常注意維修保養(yǎng)，才干保證繪圖質(zhì)量，加快繪圖速度。2.1.1、繪圖儀器1．圖板：板面規(guī)定光滑平整,四周工作邊要平直。（見(jiàn)如下圖示）2．丁子尺：丁字尺重要用于畫(huà)水平線，使用時(shí)，左手握尺頭，使尺頭緊靠圖板左邊沿。尺頭沿圖板的左邊沿上下滑動(dòng)到需要畫(huà)線的位置，從左向右畫(huà)水平線，應(yīng)注意，尺頭不能靠圖板的其它邊沿滑動(dòng)畫(huà)線。丁字尺不用時(shí)應(yīng)掛起來(lái)，以免尺身翹起變形。（見(jiàn)圖2-7示）圖2-7圖板、丁字尺及其使用3．三角板：由兩塊直角形三角板組成一幅，其中一塊的兩個(gè)銳角都為45°，另一塊兩個(gè)銳角分別為30°和60°。用三角板和丁字尺配合，可畫(huà)出15°倍角的斜線，用三角板配合可畫(huà)出平行線。（見(jiàn)如下兩圖示）4．比例尺（1）比例尺：比例尺是用于放大（讀圖時(shí)）或縮?。ɡL圖時(shí)）實(shí)際尺寸的一種尺子。最常用的為三棱比例尺，常用比例有1：100，1：10，1：1000。（見(jiàn)如下圖示）5．圓規(guī)與分軌：用來(lái)畫(huà)圓和圓弧的工具，具體使用見(jiàn)教材P16圖2-106．鉛筆：由軟到硬以2B，B，HB，H，2H來(lái)表達(dá)型號(hào)7．曲線板：曲線板是用以畫(huà)非圓曲線的工具。如下圖所示，連接曲線板上各個(gè)點(diǎn)可以做出不同形狀的曲線，曲線板重要用于機(jī)械類制圖，而建筑制圖中曲線的出現(xiàn)概率不大。2.2建筑制圖國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的基本規(guī)定工程圖樣之所以能成為工程技術(shù)界的共同語(yǔ)言，重要是由于圖樣格式、內(nèi)容、畫(huà)法幾何及工程制圖和標(biāo)注等，都有一系列必須共同遵循的統(tǒng)一規(guī)定，簡(jiǎn)言之，就是實(shí)現(xiàn)了制圖的標(biāo)準(zhǔn)化。制圖的標(biāo)準(zhǔn)化工作是一切工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)。我國(guó)現(xiàn)行的制圖標(biāo)準(zhǔn)，是國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局于1983年和1984年發(fā)布，1985年實(shí)行的《中華人民共和國(guó)國(guó)家機(jī)械制圖標(biāo)準(zhǔn)》。國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)簡(jiǎn)稱“國(guó)標(biāo)”，代號(hào)：“GB”，本節(jié)只介紹國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)《機(jī)械制圖》部分中的部分內(nèi)容，其余將在以后各章節(jié)中結(jié)合各章節(jié)的內(nèi)容介紹之。2.1.1圖紙幅面（GB/50001—圖紙幅面尺寸尺寸代號(hào)A0A1A2A3A4bxl841x1189594x841420x594297x420210x297c105a25注：bl分別為圖紙的短邊與長(zhǎng)邊，ac分別為圖框線到圖幅邊沿之間的距離。A0面積為1㎡，A1是A0的對(duì)開(kāi)，其他以此類推2．圖樣格式A0~A3橫式幅面和立式幅面如下左右圖所示：標(biāo)題欄和會(huì)簽欄圖紙的標(biāo)題欄（簡(jiǎn)稱圖標(biāo)）和會(huì)簽欄的位置、尺寸及內(nèi)容如下圖所示。2.2.2比例（GB/50001—2023）圖樣的比例，應(yīng)為圖形與實(shí)物相相應(yīng)的線型尺寸之比。比例的大小是指其比值的大小。比例宜注寫在圖名的右側(cè)，字的基準(zhǔn)應(yīng)取平。比例的字高宜比圖名的字高小一號(hào)或二號(hào)。例如在一般情況下，應(yīng)當(dāng)優(yōu)選選用下表中所示比例2.1.3字體（GB/50001—2023）漢字、數(shù)字、字母等字體的大小以字號(hào)來(lái)表達(dá)，字號(hào)就是字體的高度。字高從下列序列中選用：3.5mm、5mm、7mm、10mm、14mm、20㎜。1．漢字應(yīng)采用簡(jiǎn)化漢字，書(shū)寫成長(zhǎng)仿宋字體。長(zhǎng)仿宋字體的字高與字寬的比例大約為3：2（或1：0.7）長(zhǎng)仿宋字的書(shū)寫要領(lǐng)：橫平豎直，起落分明，填滿方格，結(jié)構(gòu)勻稱。2．?dāng)?shù)字、字母拉丁字母及數(shù)字（涉及阿拉伯?dāng)?shù)字和羅馬數(shù)字及少數(shù)希臘字母）有一般字體和窄字體兩種，其中又有直體字和斜體字之分。拉丁字母、阿拉伯?dāng)?shù)字與羅馬數(shù)字的字高，應(yīng)不少于2.5mm。2.1.4圖線（GB/50001—2023）1．線型及其應(yīng)用(見(jiàn)下表所示)2．圖線的畫(huà)法（1）同一圖樣中，同類線的寬度應(yīng)基本一致，虛線、點(diǎn)劃線、雙點(diǎn)劃線各自線段的長(zhǎng)短和間隙應(yīng)大體相符。（見(jiàn)圖示說(shuō)明）。（2）繪制圓的中心線時(shí)a）應(yīng)超過(guò)圓外2～5mm；b）首末兩端應(yīng)是線段而不是點(diǎn)；c）圓心是線段的交點(diǎn)；d）當(dāng)繪制小圓的中心線有困難時(shí)，可由細(xì)實(shí)線代替點(diǎn)劃線。（3）繪制虛線與虛線（或其它圖線）相交時(shí)a）應(yīng)是線段相交；b）虛線是實(shí)線的延長(zhǎng)線時(shí)，在相交處要離開(kāi)。（見(jiàn)圖示說(shuō)明）。圖線交接的對(duì)的畫(huà)法2.1.5尺寸標(biāo)注（GB/50001—2023）圖樣中的圖形僅僅擬定了機(jī)件的形狀，而機(jī)件的真實(shí)大小是靠尺寸擬定的，因此，尺寸標(biāo)注是圖樣中的另一重要內(nèi)容。尺寸標(biāo)注也是制圖工作中極為重要的一環(huán)，需要認(rèn)真細(xì)致，一絲不茍。1．基本原則（1）機(jī)件的真實(shí)大小應(yīng)以圖樣上所標(biāo)注的尺寸數(shù)值為依據(jù)，與圖樣的大小及繪圖的準(zhǔn)確性無(wú)關(guān)。（2）圖樣中（涉及技術(shù)規(guī)定和其它說(shuō)明）的尺寸，以mm為單位，不需標(biāo)注計(jì)量單位的代號(hào)或名稱，如采用其他單位，則必須注明相應(yīng)的計(jì)量單位的代號(hào)或名稱。（3）圖樣中所注的尺寸，為該圖樣所示機(jī)件的最后竣工尺寸，否則，應(yīng)另加說(shuō)明。（4）機(jī)件的每一個(gè)尺寸，一般只標(biāo)注一次，并應(yīng)標(biāo)注在反映該結(jié)構(gòu)最清楚的圖形上。2．尺寸的組成（標(biāo)注尺寸的四要素）一個(gè)完整的尺寸由尺寸界線、尺寸線、尺寸數(shù)字和箭頭（或斜線）組成，故常稱為尺寸的四要素。(1)尺寸界線（表達(dá)尺寸的起止）的畫(huà)法。一般用細(xì)實(shí)線畫(huà)出并垂直于尺寸線。尺寸界線的一端應(yīng)與輪廓線接觸，另一端伸出尺寸線外2～3mm，有時(shí)也可以借用輪廓線、中心線等作為尺寸線。（2）尺寸線。a）尺寸線必須用細(xì)實(shí)線單獨(dú)畫(huà)出，不能用其它圖線代替，也不能畫(huà)在其它圖線的延長(zhǎng)線上；b）標(biāo)注線性尺寸時(shí)，尺寸線必須與所注的尺寸方向平行；c）當(dāng)有幾條互相平行的尺寸線時(shí)，大尺寸要注在小尺寸的外面，以免尺寸線與尺寸界線相交。d）在圓或圓弧上標(biāo)注直徑尺寸時(shí)，尺寸線一般應(yīng)通過(guò)圓心或其直徑的延長(zhǎng)線上；（3）尺寸線終端的兩種形式。尺寸線終端有箭頭和斜線兩種形式。機(jī)械圖多采用箭頭。同一張圖上箭頭（或斜線）大小要一致，一般應(yīng)采用一種形式。（4）尺寸數(shù)字。線性尺寸的數(shù)字一般注在尺寸線的上方（見(jiàn)圖示），也可注在尺寸線的中斷處。a）尺寸數(shù)字的書(shū)寫，水平方向的尺寸數(shù)字頭朝上；b）垂直方向的尺寸數(shù)字頭朝左；c）傾斜方向的尺寸數(shù)字字頭要保持朝上的趨勢(shì)；d）應(yīng)避免在300范圍內(nèi)標(biāo)注尺寸，當(dāng)實(shí)在無(wú)法避免時(shí)，可按圖所示。尺寸數(shù)字的注寫方向注意：（1）尺寸數(shù)字應(yīng)寫在尺寸線的中間，在水平線上的應(yīng)從左到右寫在尺寸線上方，在鉛直尺寸線上，應(yīng)從下到上寫在尺寸線左方；（2）長(zhǎng)尺寸在外，短尺寸在內(nèi)；（3）不能用尺寸界線左尺寸線；（4）輪廓線、中心線可以作尺寸界線，但不能作為尺寸線；（5）尺寸線傾斜時(shí)，數(shù)字的方向應(yīng)便于閱讀，應(yīng)盡量避免在斜線300范圍內(nèi)注寫尺寸（見(jiàn)書(shū)中圖示）；（6）同一張圖紙內(nèi)尺寸數(shù)字大小應(yīng)一致；（7）在剖面圖中寫尺寸數(shù)字時(shí)，應(yīng)在留有空白處書(shū)寫而在空白處不畫(huà)剖面線；（8）兩尺寸界線之間比較窄時(shí)，尺寸數(shù)字可注在尺寸界線外側(cè)，或上下錯(cuò)開(kāi)，或用引出線引出再標(biāo)注；（9）桁架式結(jié)構(gòu)的單線圖，可將尺寸直接注在桿件的一側(cè)。幾何作圖機(jī)件的形狀雖然各不相同，但都是由各種幾何形體組成。它們的圖形也是由一些幾何形體組成。最基本的幾何作圖涉及：圓周等分、斜度和錐度的畫(huà)法、線段連接等作圖方法。一、等分直線段和角二、兩平行線間的任意等分三、角的二等分分點(diǎn)，過(guò)各等分點(diǎn)作AB（或CD）的平行線，即為所求。四、作已知圓規(guī)的內(nèi)截正多邊形（或稱圓周的等分）1．內(nèi)截正三角形內(nèi)截正四角形3．內(nèi)截正五邊形4．內(nèi)截正六邊形五、斜度和錐度1．斜度斜度==tgα=1：n斜度是指一條直線（或平面）對(duì)另一條直線（或平面）的傾斜限度，如上式。其大小以直角三角形兩直角邊之比來(lái)表達(dá)，如圖所示。并把斜度注成1：n的形式；標(biāo)注斜度時(shí)用符號(hào)“∠”表達(dá)，如圖1—7所示。符號(hào)傾斜方向與輪廓線方向一致。例如：過(guò)A點(diǎn)對(duì)AB直線作一條1：5的傾斜線，其作圖方法如圖所示，先將直線五等分得點(diǎn)C，然后過(guò)C點(diǎn)作⊥，并使=，連接即得鎖求的傾斜線。斜度的作法和標(biāo)注2．錐度 1：n===2tg錐度是指圓錐底圓直徑與錐高之比。對(duì)于錐臺(tái)，其錐度則為上、下兩底圓直徑之差與錐臺(tái)的高度之比，如圖所示。并把比例寫1：n的形式。標(biāo)注：標(biāo)注錐度時(shí)用符號(hào)“⊿”表達(dá)，如圖所示，符號(hào)的方向應(yīng)與錐面的輪廓線方向一致。圖1—8錐度的作法和標(biāo)注六、圓弧連接圓弧連接是指用已知半徑的圓弧，光滑地連接（即相切）兩已知線（直線或圓?。?gòu)成機(jī)件的輪廓，如圖所示。這個(gè)起連接作用的圓弧，稱為連接弧。（a）（b）（c）圓弧連接作圖舉例注意：為保證光滑連接，作圖時(shí)必須準(zhǔn)確地求出連接弧的圓心和連接圓弧與被連接線段的連接點(diǎn)（即切點(diǎn)）。切點(diǎn)：即連接兩圓弧的圓心延長(zhǎng)線與已知圓弧的交點(diǎn)即為切點(diǎn)。1．連接弧的圓心軌跡（1）與直線相切時(shí)，其圓心在與直線的距離為R的平行線上，如圖（a）、（b）所示；（2）與圓心為O1，半徑為R1的圓弧相切時(shí)，其圓心在已知圓弧的同心圓上，該圓半徑根據(jù)相切情況（內(nèi)切、外切）而定（a）兩圓外切時(shí)，R外=R+R1，如圖（c）所示；（b）兩圓內(nèi)切時(shí)，R內(nèi)=R－R1，如圖（d）所示；根據(jù)已知條件分別作出兩條軌跡弧，其交點(diǎn)即為軌跡弧的圓心。2．連接圓弧切點(diǎn)的位置（1）與直線相切時(shí)，從連接弧的圓心向已知直線作垂線，其垂足就是切點(diǎn)，如圖所示，k1、k2點(diǎn)即為切點(diǎn)；（2）與圓弧相切時(shí)，切斷在兩圓弧圓心的連心線或延長(zhǎng)線與已知圓弧的交點(diǎn)處,如圖（c）、（d）所示,k1、k2點(diǎn)即為切。3．圓弧連接的作圖環(huán)節(jié)（1）一方面求唨連接弧圓心，它應(yīng)滿足兩被連接線段的距離均為連接弧半徑的條件；（2）找出連接點(diǎn)，即連接弧與已知線段的切點(diǎn)；（3）最后在兩連接點(diǎn)之間畫(huà)出連接圓弧。七、橢圓的近似畫(huà)法橢圓畫(huà)法較多，已知橢圓的長(zhǎng)短軸（或共軛軸），（a）用四心圓法作近似橢圓，稱為四心圓法；（b）用同心圓法作橢圓，稱為同心圓法。如圖（a）、（b）所示。橢圓的近似畫(huà)法（四心法）（a）作圖方法（四心法）：（1）畫(huà)長(zhǎng)短軸AB、CD，連接AC，并取CF=OA－OC（長(zhǎng)短軸差）；（2）作AF的中垂線與長(zhǎng)、短軸上交于兩點(diǎn)1、2，在軸上取對(duì)稱點(diǎn)3、4得四個(gè)圓心；（3）連接O1O2，O2O3，O3O4，O4O1并適當(dāng)延長(zhǎng)；（4）分別以O(shè)1、O2、O3、O4為圓心，以O(shè)1A、O2C、O3B、O（b）作圖方法（同心圓法）：橢圓的近似畫(huà)法（同心圓法）（見(jiàn)書(shū)中圖例）八、平面圖形的尺寸分析及畫(huà)法平面幾何圖形都是由若干直線和曲線連接而成的，這些線段有必須根據(jù)給定的尺寸關(guān)系畫(huà)出，所以要想對(duì)的而又迅速地畫(huà)好平面圖形，就必須一方面對(duì)圖形中標(biāo)注的尺寸進(jìn)行分析。通過(guò)度析，可使我們了解平面集合圖形中各種線段的形狀、大小、位置及性質(zhì)。1．平面圖形的尺寸分析標(biāo)注平面圖形的尺寸時(shí)，規(guī)定對(duì)的、完整、清楚、齊全。要達(dá)成此規(guī)定，就需了解平面圖形應(yīng)標(biāo)注哪些尺寸。平面圖形中的尺寸，按其作用分為定形尺寸和定位尺寸兩類。而在標(biāo)注和分析尺寸時(shí)，一方面必須擬定基準(zhǔn)，如圖1—11所示。（1）定形尺寸：擬定組成平面圖形的各個(gè)部分形狀大小的尺寸，稱為定形尺寸。如直線的長(zhǎng)度、圓及圓弧的半徑、角度大小等。如圖1—11中的75、15、￠20、￠45、R15、R12、R50、R10、￠30均為定形尺寸。平面圖形的畫(huà)圖環(huán)節(jié)及尺寸線段分析（書(shū)中圖例）（2）定位尺寸：擬定構(gòu)成平面圖形的各簡(jiǎn)樸的幾何圖形中線段間互相位置的尺寸，稱為定位尺寸。如圖1—11中尺寸8就是￠5的定位尺寸。（3）基準(zhǔn)：標(biāo)注尺寸的基點(diǎn)，稱為尺寸基準(zhǔn)。標(biāo)注尺寸時(shí)應(yīng)考慮基準(zhǔn)，一般以圖形的對(duì)稱中心線、較大圓的中心線或圖形中的較長(zhǎng)直線作為尺寸基準(zhǔn)。通常一個(gè)平面圖形需要X、Y兩個(gè)方向的基準(zhǔn)。（4）定形尺寸兼作定位尺寸：如圖1—11中的￠30尺寸即是。2．平面圖形的線段分析及作圖環(huán)節(jié)平面圖形的繪制環(huán)節(jié)、尺寸標(biāo)注都與線段連接情況相關(guān)。因此，根據(jù)鎖標(biāo)注的尺寸和組成圖形的各線段間的關(guān)系，圖形中的線段可以分為以下三種：（1）已知線段：定形尺寸、定位尺寸齊全，可以直接畫(huà)出的線段。（2）中間線段：有定形尺寸，而定位尺寸則不全，還需根據(jù)與相鄰線段的一個(gè)連接關(guān)系才干畫(huà)出的線段（3）連接線段：只有定形尺寸，而無(wú)定位尺寸，需要根據(jù)兩個(gè)連接關(guān)系才干畫(huà)出的線段。下面以圖2—11為例進(jìn)行分析（a）分析圖形，畫(huà)出基準(zhǔn)線，并根據(jù)定位尺寸畫(huà)出定位線；（b）畫(huà)出已知線段，即那些定形尺寸、定位尺寸齊全的線段；（c）畫(huà)連接線段，即那些只有定形尺寸，而定位尺寸不齊全或無(wú)定位尺寸的線段；注：這些線段必須在已知線段畫(huà)出之后，依靠他們和相鄰線段的關(guān)系采納畫(huà)出。（d）擦去不必要的圖線，標(biāo)注尺寸，按線型描深如圖1—11所示。徒手作圖儀器圖———用繪圖儀器畫(huà)出的圖。草圖———不用儀器，徒手作的圖。草圖是工程技術(shù)人員交談、記錄、構(gòu)思、創(chuàng)作的有利工具，工程技術(shù)人員必須純熟掌握徒手作圖的技巧。一、草圖的“草”字只是指徒手作圖而言，并沒(méi)有允許潦草的意思草圖上的線條也要粗細(xì)分明，基本平直，方向?qū)Φ?，長(zhǎng)短大體符合比例，線形符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。畫(huà)草圖用的鉛筆要軟些，例如B、HB；鉛筆要削長(zhǎng)些，筆尖不要過(guò)尖，要圓滑些；畫(huà)草圖時(shí)，持筆的位置高些，手放松些，這樣畫(huà)起來(lái)比較靈活。畫(huà)水平線時(shí)，鉛筆要放平些，初學(xué)畫(huà)草圖時(shí)，可先畫(huà)出直線兩端點(diǎn)，然后持筆沿直線位置懸空比劃一、兩次，掌握好方向，并輕輕畫(huà)出底線。然后眼睛盯住筆尖，沿底線畫(huà)出直線，并改正底線不平滑之處。畫(huà)鉛直線時(shí)方法相同，但持鉛筆可豎高些。畫(huà)向右上傾斜的線，手法與畫(huà)水平線相似。畫(huà)向右下傾斜的線，與畫(huà)沿直線相似，但鉛筆要更豎高些，并且要特別注意眼睛要盯住線的終點(diǎn)。二、畫(huà)草圖時(shí)要手眼并用作垂直線、等分一線段或一圓弧，截取相等的線段等，都是靠眼睛估計(jì)決定的。三、徒手畫(huà)平面圖形時(shí)，不要急于畫(huà)細(xì)部，先要考慮大局畫(huà)草圖時(shí)，既要注意圖形的長(zhǎng)與高的比例，以及圖形的整體與細(xì)部的比例是否對(duì)的，草圖最佳成績(jī)畫(huà)在方格紙（坐標(biāo)紙）上，圖形各部分之間的比例可借助方格數(shù)的比例來(lái)解決（當(dāng)然是在有條件時(shí)用）四、畫(huà)物體的立體草圖時(shí)，可將物體擺在一個(gè)可以同時(shí)看到它的長(zhǎng)、寬、高的位置，然后觀測(cè)及分析物體的形狀1．有的物體可以當(dāng)作由若干個(gè)幾何形體疊砌而成如圖2—12（a）所示的模型，可以看作由兩個(gè)長(zhǎng)方體疊加而成。畫(huà)草圖時(shí)，可先徒手畫(huà)出底下一個(gè)長(zhǎng)方體，使其高度方向鉛直，長(zhǎng)度和寬度方向與水平線成300角，并估計(jì)其大小，定出其長(zhǎng)、寬高。然后在頂面上另加一個(gè)長(zhǎng)方體，如圖2—12（a）所示。2．有的物體如棱臺(tái)，可以當(dāng)作從一個(gè)長(zhǎng)方體削去一部分而成先畫(huà)（徒手）一個(gè)以棱臺(tái)的下底為底，棱臺(tái)的高為高的長(zhǎng)方體，然后在其頂面畫(huà)出棱臺(tái)的頂面，并將上、下面的四個(gè)角連接起來(lái)。如圖2—12（b）所示，即為一個(gè)棱臺(tái)。（a）（b）圖2—12立體草圖五、畫(huà)立體草圖應(yīng)注意三點(diǎn)先定物體的長(zhǎng)、寬、高的方向，使高度方向垂直，長(zhǎng)度方向和寬度方向與水平線傾斜300；物體上互相平行的直線，在立體圖上也應(yīng)互相平行；畫(huà)不平行于長(zhǎng)、寬、高的斜線時(shí)，只能先畫(huà)出他的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連線，如圖2—12（b）所示。作業(yè)題：習(xí)題集2，3，4，5，6頁(yè)教學(xué)重點(diǎn)：投影的概念，正投影的基本特性，三視圖的形成及互相間的投影關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)：掌握正投影的基本特性，并能對(duì)的運(yùn)用正投影的基本特性解決實(shí)際的作圖問(wèn)題；教學(xué)課時(shí)：2個(gè)課時(shí)注：考慮到知識(shí)的傳承順序，將第一章投影法的部分放到第三章中講授第三章點(diǎn)、直線、平面的投影一切空間立體，從幾何的觀點(diǎn)出發(fā)都可當(dāng)作是由點(diǎn)，線，面所組成。本章重點(diǎn)研究將三維空間中的點(diǎn)，直線，平面及其相對(duì)位置關(guān)系在二維平面上表達(dá)出來(lái)的理論和方法。通過(guò)這個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，使學(xué)生初步建立起一定的空間概念，為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容打好基礎(chǔ)。3.1投影的概念一、投影在燈光或太陽(yáng)光照射物體時(shí)，在地面或墻上酒會(huì)產(chǎn)生與原物體相同或相似的影子，人們根據(jù)這個(gè)自然現(xiàn)象，總結(jié)出將空間物體表達(dá)為平面圖形的方法，即投影法在投影法中：投影線——在投影法中，向物體投射的光線，稱為投影線；投影面——在投影法中，出現(xiàn)影像的平面，稱為投影面；投影———在投影法中，所得影像的集合輪廓?jiǎng)t稱為投影或投影圖。二、投影法的分類投影法依投影線性質(zhì)的不同而分為兩類：1．中心投影法投影線由由投影中心的一點(diǎn)射出，通過(guò)物體與投影面相交所得的圖形，稱為中心投影。投影線的出發(fā)點(diǎn)稱為投影中心。這種投影方法，稱為中心投影法；螦得的單面投影圖，稱為中心投影圖。如圖所示。由于投影線互不平行，所得圖形不能反映提的真實(shí)大小，因此，中心投影不能作為繪制工程圖樣的基本方法中心投影法平行投影法（a）平行投影法（b）2．平行投影法假如將投影中心移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，則投影可當(dāng)作互相平行的通過(guò)物體與投影面相交，所得的圖形稱為平行投影；用平行投影線進(jìn)行投影的方法稱為平行投影法。在平行投影法中，根據(jù)投射方向是否垂直投影面。平行投影法又可分為兩種，（1）斜投影法：投影方向（投影線）傾斜于投影面，稱為斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影線）垂直于投影面，稱為直角投影法，簡(jiǎn)稱正投影法。如上圖所示。正投影法是工程制圖中廣泛應(yīng)用的方法。3．軸測(cè)投影軸測(cè)投影是用平行投影法在單一投影面上取得物體立體投影的一種方法。用這種方法獲得的軸測(cè)圖直觀性強(qiáng)，可在圖形上度量物體的尺寸，雖然度量性較差，繪圖也較困難，仍然是工程中一種較好的輔助手段。以后將有一章專門講解有關(guān)部門軸測(cè)圖的基本知識(shí)。三、正投影的基本特性正投影特性以對(duì)直線、平面進(jìn)行正投影來(lái)說(shuō)明其特性，如圖2—4所示。1．真實(shí)性當(dāng)直線或平面圖形平行于投面時(shí)，投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)和平面圖形的真實(shí)形狀；2．積聚性當(dāng)直線或平面圖形垂直于投面時(shí)，直線段的投影積聚成一點(diǎn)，平面圖形的投影積聚成一條線；3．類似性當(dāng)直線或平面圖形傾斜于投面時(shí)，直線段的投影仍然是直線段，比實(shí)長(zhǎng)短；平面圖形的投影仍然是平面圖形，但不反映平面實(shí)形，而是原平面圖形的類似形。由以上性質(zhì)可知，在采用正投影畫(huà)圖時(shí)，為了反映物體的真實(shí)形狀和大小及作圖方便，應(yīng)盡量使物體上的平面或直線對(duì)投影嘸處在平行或垂直的位置。四、三個(gè)投影面的建立（三面投影體系的建立）如圖所示是三個(gè)形狀不同的物體，它們?cè)谕粋€(gè)投影面上的投影是相同的。很明顯若不附加其它說(shuō)明，僅憑這一個(gè)投影面上的投影，是不能表達(dá)物體的形狀和大小的。一個(gè)投影不能擬定物體的形狀1．三個(gè)投影面的建立一般需將物體放置在如圖3—2的三面投影體系中，分別向三個(gè)投影面進(jìn)行投影，然后將所得到的三個(gè)投影聯(lián)系起來(lái)，互相補(bǔ)充即可反映出物體的真實(shí)形狀和大小。圖3—2三面投影體系2．三投影面名稱正投影面——正立著的面，簡(jiǎn)稱正投影面或V面，水平投影面——水平的面為水平投影面，簡(jiǎn)稱水平面或H面，側(cè)投影面——冊(cè)立著的面為側(cè)投影面，簡(jiǎn)稱側(cè)面或W面。在三投影面中：OX軸——V面和H面的交線，OY軸——H面和W面的交線，OZ軸——V面和W面的交線，坐標(biāo)原點(diǎn)O——OX、OY、OZ三軸的交點(diǎn)。五、三視圖的形成按照正投影法繪制出物體的投影圖，又稱為視圖。為了得到能反映物體真實(shí)形狀和大小的視圖，將物體適本地防止在三面投影體系中，分別向V面、H面、W面進(jìn)行投影美麗V面上得到的投影稱為主視圖；在H面上得到的投影稱為俯視圖；在W面上得到的投影稱為左視圖。三視圖的形成工程如圖3—2（a）所示。為了符合生產(chǎn)規(guī)定需要把三視圖畫(huà)在一個(gè)平面內(nèi)，即把三個(gè)投影面展開(kāi)，如圖3—2（b）所示。展開(kāi)方法：V面不動(dòng)，H面繞OX軸旋轉(zhuǎn)900，W面繞OZ軸旋轉(zhuǎn)900，使H、W面與V面形成同一平面。在旋轉(zhuǎn)工程中，需將OY軸一分為二，隨H面的稱為OYH，隨W面的OYW。展開(kāi)后的三視圖，如圖3—2（c）所示。值得注意的是：在生產(chǎn)中不需要畫(huà)出投影軸和表達(dá)投影面的邊框，視圖按上述位置布置時(shí)，不需注出視圖名稱，如圖3—2（d）所示。六、三視圖的投影關(guān)系從三視圖的形成工程和投影面展開(kāi)的方法中，可明確以下關(guān)系：1．位置關(guān)系俯視圖在主視圖的下邊，左視圖在主視圖的右邊；三視圖的形成2．方位關(guān)系任何物體都有前后、上下、左右六個(gè)方位。而每個(gè)視圖只能表達(dá)其四個(gè)方位，如圖3-3所示。在三視圖中，主、左視圖表達(dá)物體的上、下；主、俯視圖表達(dá)物體的左、右；俯左視圖表達(dá)物體的前后。靠近主視圖的一面是物體的后面，遠(yuǎn)離主視圖的一面是物體的前面圖3-3三視圖與物體的方位關(guān)系3．三等關(guān)系任何物體都有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)尺度，若將物體左右方向（X方向）的尺度稱為長(zhǎng)，上下方向（Z方向）尺度稱為高，前后方向（Y方向）尺度稱為寬，則在三視圖上（如圖3—4所示）主、俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度，主、左視圖反映了物體的高度，俯、左視圖反映了物體的寬度。歸納上述三視圖的三等關(guān)系是：主、俯上對(duì)正，主、左高平齊，俯、左寬相等。簡(jiǎn)稱為三視圖的關(guān)系是上對(duì)正，高平齊，寬相等關(guān)系。同時(shí)相應(yīng)到坐標(biāo)上應(yīng)有以下關(guān)系：1．長(zhǎng)對(duì)正——X坐標(biāo)相等2．寬相等——Y坐標(biāo)相等3．高平齊——Z坐標(biāo)相等如此可以把這種空間形象的方位關(guān)系轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)上的關(guān)系”，為以后的運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析題目打下基礎(chǔ)注意：不僅物體整體的三視圖符合三等關(guān)系，物體上的沒(méi)一部分都應(yīng)符合三等關(guān)系。圖3-4三視圖的三等關(guān)系學(xué)習(xí)目的：掌握點(diǎn)的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法教學(xué)重難點(diǎn)：點(diǎn)的三面投影規(guī)律以及彼此的位置關(guān)系和作圖方法。課時(shí)：4個(gè)課時(shí)2.2點(diǎn)的投影空間物體都是由面圍成的，而嘸可視為線的軌跡，線則是點(diǎn)的軌跡，所以點(diǎn)是最基本的集合元素。學(xué)習(xí)和掌握集合元素的投影規(guī)律和特性，才干透徹理解工程圖樣所表達(dá)物體的具體結(jié)構(gòu)形狀。一、點(diǎn)的投影和三面投影規(guī)律點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)，如圖所示，設(shè)：空間有一點(diǎn)A，自A分別向三個(gè)投影面作垂線（即投影線），得三個(gè)垂足、、。、、分別表達(dá)A點(diǎn)在H面、V面、W面的投影。（通常規(guī)定空間點(diǎn)用大寫字母如：A、B、C……等表達(dá)，其投影用響應(yīng)的小寫字母，如、、……等表達(dá)）見(jiàn)下圖。這樣，A點(diǎn)到W面的距離為A點(diǎn)的X坐標(biāo)，A點(diǎn)到V面的距離為A點(diǎn)的Y坐標(biāo)，A點(diǎn)到H面的距離為A點(diǎn)的Z坐標(biāo)。若用坐標(biāo)值擬定點(diǎn)的空間位置時(shí)，可用下列規(guī)定書(shū)寫形式：A=（XA，YA，ZA），B=（XB，YB，ZB）………。點(diǎn)的三面投影由作圖可知，⊥H面，⊥V面，⊥W面。則通過(guò)所作的平面P必然同時(shí)垂直于H面和V面，當(dāng)然，也垂直于H面與V面的交線OX軸，它與OX軸的交點(diǎn)用表達(dá)，顯然Ax是一矩形，同理Ay和Az也是矩形。這三個(gè)矩形平面都與響應(yīng)的投影軸相交，且是正交，并與三個(gè)投影面的響應(yīng)矩形圍成一長(zhǎng)方體。由于長(zhǎng)方體中互相平行棱線長(zhǎng)度相等，故可得點(diǎn)與三個(gè)投影面的關(guān)系為：1．=y=z=x（均為坐標(biāo)XA）2.=x=z=y（均為坐標(biāo)YA）3．=x=y=z（均為坐標(biāo)ZA）可見(jiàn)，空間點(diǎn)在某一投影面上的投影，都是由該點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)值決定的。點(diǎn)由ox和oy，即A點(diǎn)的XA，YA兩坐標(biāo)決定；點(diǎn)由ox和oz，即A點(diǎn)的XA，ZA兩坐標(biāo)決定；點(diǎn)由oy和oz，即A點(diǎn)的YA，ZA兩坐標(biāo)決定。如圖2—10（a）所示，將三投影面展開(kāi)，使其與V面成同一平面。為便于進(jìn)行投影分析，用細(xì)實(shí)線將點(diǎn)的兩面投影連接起來(lái)得到和（稱為投影連線），分別與X、Z軸相交于x和z點(diǎn)。由于Y軸展開(kāi)后分為Yh和Yw，在作圖時(shí)，一種方法是采用以O(shè)點(diǎn)為圓心畫(huà)弧yH和yw，如圖2—10（b），另一種方法是自O(shè)點(diǎn)作450斜線，再?gòu)膟H引Y軸的垂線與450斜線得交點(diǎn)，再?gòu)拇它c(diǎn)引Yw的垂線與由引出的Z軸的垂線交點(diǎn)，即為點(diǎn)。注：在投影面上通常住畫(huà)出投影軸，不畫(huà)投影面的邊界，如圖2—10（c）所示。按照點(diǎn)與三投影面關(guān)系，由立體展開(kāi)成平面，可得出點(diǎn)的三面投影規(guī)律：1．點(diǎn)的正投影和水平投影的連線垂直于X軸，即⊥OX兩投影都反映橫坐標(biāo)，表達(dá)空間點(diǎn)到側(cè)投影面的距離。即：⊥OX，z=yH=XA。2．點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于Z軸，這兩個(gè)投影都反映空間點(diǎn)的Z坐標(biāo)，即便表達(dá)點(diǎn)到水平面的距離?！蚙軸，x=yw=ZA。3．點(diǎn)的水平投影到X軸的距離等于其側(cè)面投影到Z軸的距離，這兩個(gè)投影都反映空間的Y坐標(biāo)，表達(dá)空間點(diǎn)到正投影面的距離：x=z=YA。顯然，點(diǎn)的投影規(guī)律和前面所講的三視圖的畫(huà)圖規(guī)則“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”是一致的。應(yīng)用：（1）根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律，可由點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)值X、Y、Z畫(huà)出其三面投影圖。（2）也可根據(jù)點(diǎn)的兩面投影圖作出第三投影圖。例3-1已知點(diǎn)A的水平投影a和正面投影a′，求其側(cè)面投影a″（題目）（求解）分析：運(yùn)用長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊的方位相等關(guān)系，也就是XYZ三坐標(biāo)相等，可以做出如上圖中YH和YW中間的斜45°輔助線，然后過(guò)a′和a分別作出∥于相應(yīng)投影軸的線最終做出一個(gè)以三投影為頂點(diǎn)的方形，且方形的第四個(gè)頂點(diǎn)就在45°輔助線上。例題1：已知：A（20，10，35）求作：A點(diǎn)的第三面投影例題2：已知：點(diǎn)的兩面投影求作：點(diǎn)的第三面投影例題3：已知A、B兩點(diǎn)的兩面的投影求作：第三面投影并擬定其相對(duì)位置解：∵XB＞XA，∴B點(diǎn)在左，A點(diǎn)在右∵ZA＞ZB，∴A點(diǎn)在上，B點(diǎn)在下∵YA＞YB，∴B點(diǎn)在后，A點(diǎn)在前總的結(jié)論：A點(diǎn)在B點(diǎn)的右前上方，B點(diǎn)在A點(diǎn)的左后下方。其它的例題自學(xué)。二、兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)1．兩點(diǎn)的相對(duì)位置根據(jù)相對(duì)于投影面的距離擬定如圖2—11所示。（1）距離W面遠(yuǎn)者在左，近者在右（根據(jù)V、H的投影分析）；（2）距離V面遠(yuǎn)者在前，近者在后（根據(jù)H、W面的投影分析）；（3）距離H面遠(yuǎn)者在上，近者在下（根據(jù)V、W面的投影分析）圖2—11兩點(diǎn)的相對(duì)位置2．重影點(diǎn)當(dāng)兩點(diǎn)的某個(gè)坐標(biāo)相同時(shí)，該兩點(diǎn)將處在同一投影線上，因而對(duì)某一投影面具有重合的投影，則這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。在投影圖上，假如兩個(gè)點(diǎn)的投影重合，則對(duì)重合投影所在的投影面的距離（即對(duì)該投影面的坐標(biāo)值）較大的那個(gè)點(diǎn)是可見(jiàn)的，而另一個(gè)點(diǎn)是不可見(jiàn)的，應(yīng)將不可見(jiàn)的點(diǎn)用括弧括起來(lái)。如圖所示分別列出H面、V面、W面的上面的重影點(diǎn)：H面上的重影點(diǎn)A和BV面上的重影點(diǎn)C和DW面上的重影點(diǎn)E和F學(xué)習(xí)目的：掌握各種位置直線的投影特性和作圖方法教學(xué)重點(diǎn)：直角三角形法求一般位置直線與投影面的傾角以及線段的實(shí)長(zhǎng)的方法；用定比方法擬定直線上點(diǎn)的投影；以及兩直線位置關(guān)系的判斷課時(shí)：8個(gè)課時(shí)3．3直線的投影空間兩點(diǎn)擬定一條空間直線段，空間直線段的投影一般仍為直線，如圖3—1所示將直線AB向H面投影，由于線段上的任意兩點(diǎn)可以擬定線段在空間的位置，所以直線段上兩端點(diǎn)A、B的同面投影a、b的連線就是線段在該面上的投影。直線與投影面之間的夾角稱為傾角，本學(xué)科規(guī)定直線與H、V、W之間的傾角分別用希臘字母αβγ來(lái)表達(dá)如圖3—1所示圖3—1空間線段的投影一、直線段對(duì)于一個(gè)投影面的投影空間直線段對(duì)于一個(gè)投影面的位置有傾斜、平行、垂直三種。三種不同的位置具有不同的投影特性。1．收縮性當(dāng)直線段AB傾斜于投影面時(shí)，如圖3—2（a），它在該投影面上的投影長(zhǎng)度比空間AB線段縮短了，這種性質(zhì)稱為收縮性。2．真實(shí)性當(dāng)直線段AB平行于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影與空間AB線段相等，這種性質(zhì)稱為真實(shí)性。如圖3—2（b）。3．積聚性當(dāng)直線段AB垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影重合于一點(diǎn)，這種性質(zhì)稱為積聚性。如圖2—14（c）。圖3—2線段的投影特性二、直線段在三面投影體系中的投影特性圖3—2投影面的平行線空間線段因?qū)θ齻€(gè)投影面的相對(duì)位置不同，可分為三種：投影面的平行線，投影面的垂直線，投影面的一般位置直線（傾斜線）前面兩種稱為特殊位置直線，后一種稱為一般位置直線。1．投影面的平行線平行于一個(gè)投影面，而對(duì)另兩個(gè)投影面傾斜的直線段，稱為投影面平行線。正平線——平行于V面的直線段；水平線——平行于H面的直線段；側(cè)平線——平行于W面的直線段如圖3—2所示，列出了三種投影面的平行線的投影特點(diǎn)和性質(zhì)。以水平線為例：按照定義，它平行于H面，線上所有點(diǎn)與H面的距離都相同，這就決定了它的投影特性是：（1）AB的水平投影=AB，即反映實(shí)長(zhǎng)；（2）正面投影平行于OX軸，即∥OX軸；（3）側(cè)面投影平行于OYw軸，即∥OYw軸；（4）水平投影與OX軸的夾角，反映該直線對(duì)V面的傾角β；水平投影與OY軸的夾角，反映該直線對(duì)W面的傾角γ。其它二投影面平行線的分析同上。投影面平行線的投影特性概括為：如圖3—2所示，（1）在直線段所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，且其投影與投軸的夾角反映直線與另兩投影面的傾角；（2）另兩投影面平行于相應(yīng)的投影軸（構(gòu)成所平行的投影面的兩根軸）。投影面平行線的辨認(rèn)：（1）當(dāng)直線的投影有兩個(gè)平行于投影軸時(shí)；（2）第三投影與投影軸傾斜時(shí)，則該直線一定是投影面的平行線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個(gè)投影面。投影面垂直線垂直于一個(gè)投影面，即與另兩個(gè)投影面都平行的直線段，稱為投影面的垂直線。投影面垂直線有三種：鉛垂線——直線⊥H面；正垂線——直線⊥V面；側(cè)垂線——直線⊥W面。圖3—3列出了三種投影面垂直線的投影特點(diǎn)及性質(zhì)。投影面垂直線的投影特性概括為：（1）在所垂直的投影面貌上的投影積聚為一點(diǎn)；（2）在此外兩個(gè)投影面上的投影，垂直于相應(yīng)的投影軸，且反反映直線段的實(shí)長(zhǎng)。如何判斷投影面的垂直線？根據(jù)投影面垂直線的投影特性來(lái)判斷即可。圖3—3垂直線3．一般位置直線由直線段對(duì)一個(gè)投影面的投影特性可知，當(dāng)直線傾斜于投影面時(shí)，它在投影面上的投影的長(zhǎng)度比空間線段的長(zhǎng)度縮短了，具有收縮性，如圖3—4所示。此特性對(duì)于在三面投影體系中的傾斜（一般位置）線段同樣合用，因而，同理可得在三面投影體系中它的投影特性為：（1）三個(gè)投影都是一般傾斜線段，且都小于線段的實(shí)長(zhǎng)；（2）三面投影都與投影軸傾斜，投影與投影軸的夾角，均不反映直線段對(duì)投影面的傾角。圖3—4一般位置直線的投影判斷：若直線段的投影與三個(gè)投影軸都傾斜，可判斷該直線為一般位置直線。三、求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角一般位置直線的投影不能反映其時(shí)常及其對(duì)投影面的傾角，因此，若求其時(shí)常及其對(duì)投影面的傾角時(shí)有兩種方法：一是運(yùn)用直角三角形法，二是運(yùn)用換面法。運(yùn)用三角形法求直線段的實(shí)長(zhǎng)及與投影面的傾角如書(shū)中圖3—5（a）中，在由直線AB及其對(duì)H面的投影線所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其兩直角邊分別為：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜邊AB即為實(shí)長(zhǎng)，該直線對(duì)H面的傾角∠BAC=，α，而B(niǎo)、A點(diǎn)的高度民主坐標(biāo)差，可從、中得到。由此，通過(guò)一般的幾何作圖便可得到如圖2—18（c）或（d）所示，求直線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面傾角了。作圖方法：（1）以水平投影ab為一直角邊，以正投影的坐標(biāo)為另一直角邊（ZB－ZA），作一直角三角形，該直角三角形可以畫(huà)在原投影之外，也可以畫(huà)在原投影之內(nèi)。（2）三角形的斜邊即為實(shí)長(zhǎng)，斜邊（實(shí)長(zhǎng)）與水平投影的夾角即為α。用同樣的方法，即可求出β角和γ角：=ZB－ZC（ZA）∠α=YA－YD（YB）∠β=XA－XE（XB）∠γ(a)(b)(c)(d)圖3—5直角三角形法求空間直線段的實(shí)長(zhǎng)和傾角四、直線上點(diǎn)的投影從圖3—6（a）可以看出，點(diǎn)在直線實(shí)長(zhǎng)的幾何條件及投影特性：1．直線上點(diǎn)的投影必然在該直線的同面投影上。K點(diǎn)的投影、、分別在、、上。2．同一直線上兩線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比。由于對(duì)同一投影面面的投影面線互相平行，因此：===。由直線有積聚性的投影面特性可知：（1）假如點(diǎn)在已知直線上，則根據(jù)點(diǎn)的一個(gè)投影面（頭版頭條面垂直線有積聚性的投影面除外），求出它的此外兩個(gè)投影面，如上圖（c）所示；（2）也可通過(guò)作第三面投影的方法求得；（3）也可如圖所示，通過(guò)a作一輔助線，在該線上量?。簅=，oo=，然后連接Bob，并通過(guò)o作o∥Bob交于ab上的k點(diǎn)，即為所求。（a）（b）（c）圖3—6直線上點(diǎn)的投影五、兩直線的相對(duì)位置圖3—7兩直線的相對(duì)位置1．平行兩直線（1）平行兩直線的所有同面投影面都互相平行；（2）反之若兩直線的同面投影均互相平行，則空間兩直線必然互相平行；（3）鑒定方法：（a）一般情況下，只要看他們的兩個(gè)同面投影是否平行就可以了；（b）特殊情況，當(dāng)兩直線為某一投影面平行線時(shí)，則需根據(jù)他們?cè)谒叫械哪莻€(gè)投影面上的是否平行才干鑒定。2．相交兩直線（1）若空間兩直線相交，則它們的所有同面投影都相交，且各同面投影的交點(diǎn)之間的關(guān)系符合點(diǎn)的的規(guī)律。這是由于交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，如圖3—7所示；（2）反之，若兩直線的各同面投影都相交，且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線必相交；（3）特殊情況：當(dāng)直線為某一投影面平行線時(shí)，它們是否相交需進(jìn)一步判斷之。通常有兩種方法：（a）用定比方法鑒定；（b）用兩條直線的第三投影來(lái)鑒定。3．交叉兩直線如圖3—7，交叉兩直線的同面投影也許相交，但各投影的交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。交叉兩直線上對(duì)該投影面的一對(duì)重影點(diǎn)的投影?？捎盟鼇?lái)判斷這兩直線的相對(duì)位置。4．直角投影定理（1）定理：a）空間兩條互相垂直的直線，假如其中一條為某一投影面的平行線，則它們?cè)谠撏队懊嫔系耐队叭曰ハ啻怪?；b）逆定理也成立；c）垂直交叉的兩直線仍具有上述特性。（2）定理的應(yīng)用：（P39）3.4平面的投影由初等幾何學(xué)可知，不在一條直線上的三點(diǎn)、一條直線和線外一點(diǎn)、兩平行直線、兩相交直線可決定一平面；在投影圖上可運(yùn)用幾何元素來(lái)表達(dá)平面。但是形體上任何一個(gè)平面圖形都有一定的形狀、大小和位置。從形狀上看，常見(jiàn)的平面圖形有三角形、矩形、正多邊形等直線輪廓的平面圖形。3.4.11．不在一條直線上的三點(diǎn)；2．一條直線和線外一點(diǎn)；3．兩平行直線；4．兩相交直線；5．任意一平面圖形。圖3—8幾何元素表達(dá)平面3.4.2平面形在三面投影體系中的特性平面形的投影一般仍為平面形，特殊情況下為一條直線。平面形投影的作圖方法是將圖形輪廓線上的一系列點(diǎn)（多邊形則是其頂點(diǎn)）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最簡(jiǎn)樸的平面形，如圖3—9所示，將△ABC三頂點(diǎn)向三投影面進(jìn)行投影的直觀圖和三面投影圖。其各投影即為三角形之各頂點(diǎn)的同面投影的連線。其它多邊形的作法與此類似。又此可見(jiàn)，唨平面形的投影，實(shí)質(zhì)上仍是以點(diǎn)的投影為基礎(chǔ)而得的投影。圖3—9一般位置平面的投影圖3—10投影面平行面的投影特性平面形在三面投影體系中的位置可分為三種：1．一般位置平面——對(duì)于三個(gè)投影面都傾斜平面對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面，稱為一般位置平面，如圖圖3—9所示。一般位置的三角形平面的投影情況，由于它對(duì)三個(gè)投影面都傾斜，所以三個(gè)投影仍為三角形，且不反映實(shí)形，都比實(shí)形縮小了。由此得到一般位置平面的投影特性：（1）類似性——在三個(gè)投影面上的投影均為相仿的平面圖形，且形狀縮??；（2）判斷——平面的三面投影都是類似的幾何圖形，該平面一定是一般位置平面。2．投影面平行面——平行于一個(gè)投影面的平面平行于一個(gè)投影面也即同時(shí)垂直于其它兩個(gè)投影面的平面，稱為投影面平行面。如圖3—10所示，投影面平行面有三種：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、側(cè)平面（∥W面）。三種投影面平行面的投影特性：（1）真實(shí)性——如平面用平面形表達(dá)，則在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的實(shí)形；（2）積聚性——在此外兩個(gè)投影面上的投影為直線段（有積聚性）且平行于相應(yīng)的投影軸；（3）判斷——若在平面形的投影中，同時(shí)有兩個(gè)投影分別積聚成平行于投影軸的直線，而只有一個(gè)投影為平面形，則此平面平行于該投影所在的那個(gè)投影面。該平面形投影反映該空間平面形的實(shí)形。投影面垂直面——垂直于一個(gè)投影面的平面圖3—11投影面垂直面的投影特性僅垂直于一個(gè)投影面，而與此外兩個(gè)投影面傾斜的平面，稱為投影面垂直面。如圖3—11所示。投影面垂直面有三種：鉛錘面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、側(cè)垂面（⊥W面）。三種投影面垂直面的投影特性：（1）積聚性——在其所垂直的投影面上的投影為傾斜直線段，該傾斜直線段與投影軸的夾角，反映該平面對(duì)相應(yīng)投影面的傾角；（2）相仿性——若平面用平面形表達(dá)，則在此外兩個(gè)投影面上的投影仍為平面形，但不是實(shí)形；（3）判斷——若平面形在某一投影面上的投影積聚成一條傾斜于投影軸的直線段，則此平面垂直于積聚投影所在的投影面。3.一、換面法概述當(dāng)直線或平面相對(duì)于投影面處在特殊位置（平行、垂直）時(shí)，它們的投影反映線段的實(shí)長(zhǎng)、平面的實(shí)形及其與頭面的傾角。當(dāng)直線或平面和投影面處在一般位置時(shí)，則它們的投影不具有上述特性。換面法的目的，就在于將直線或平面從一般位置變換為和投影面平行或垂直的位置，以便于解決它們的度量和定位問(wèn)題。1．換面法的基本概念換面法就是保持空間幾何元素不動(dòng)，用一個(gè)新的投影面替換其中一個(gè)本來(lái)的投影面，使新投影面對(duì)于空間幾何元素處在有助于解題的位置。然后找出其在新投影面上的投影。2．新投影面的選擇原則（1）新投影面必須和空間的幾何元素處在有助于解題的位置；（2）新投影面必須垂直于一個(gè)原有的投影面；（3）在新建立的投影體系中仍然采用正投影法。二、點(diǎn)的換面點(diǎn)是一切幾何元素的基本元素。因此在研究換面時(shí)，一方面從點(diǎn)的投影變換來(lái)研究換面法的投影規(guī)律。1．點(diǎn)的一次換面（1）換V面圖3-11（a）表達(dá)點(diǎn)A在原投影體系V/H中，其投影為和現(xiàn)令H面不動(dòng)，用新投影面V1來(lái)代替V面，V1面必須垂直于不動(dòng)的H面，這樣便形成新的投影體系V1/H，O1X1是新投影軸。過(guò)點(diǎn)A向V1面作垂線，得到V1面上的新投影，點(diǎn)是新投影，點(diǎn)是舊投影，點(diǎn)是新、舊投影體系中的共有的不變投影。和是新的投影體系中的兩個(gè)投影，將V1面繞O1X1軸旋轉(zhuǎn)到與H面重合的位置時(shí)，就得到圖3-11（b）所示的投影圖。由于在（a）（b）（c）圖3-11點(diǎn)的一次變換（換V面）新投影體系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影體系和V1/H體系中，具有公共的H面，所以點(diǎn)到H面的距離（Z坐標(biāo)）在兩個(gè)題詞體系中是相等的。所以有如下關(guān)系：⊥O1X1軸；==A，即：換V面時(shí)Z坐標(biāo)不變。由此得出點(diǎn)的投影變換規(guī)律是：①點(diǎn)的新投影和不便投影的連線，必垂直于新投影軸；②點(diǎn)的新投影到新投影軸（O1X1）的距離等于被替換的點(diǎn)的舊投影到舊投影軸（OX）的距離，也即換V面時(shí)高度坐標(biāo)不變。換V面的作圖方法和環(huán)節(jié)如圖3-11（c）所示：①在被保存的H投影附近（適當(dāng)?shù)奈恢茫┳鱋1X1軸；②由H投影向新投影軸O1X1作垂線，在此垂線上量取=，點(diǎn)即為所求。（2）換H面換H面時(shí)，新就投影之間的關(guān)系與換V面類似，也存在如下關(guān)系：⊥O1X1軸；==A，換H面是Y坐標(biāo)不變。其作圖方法和環(huán)節(jié)與換V面類似3-11（c），可依此類推，此略。2．點(diǎn)的二次換面由于應(yīng)用換面法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)一次換面還不便于解題，有時(shí)還需要二次或多次變換投影面。如圖3-27表達(dá)點(diǎn)的二次換面，其求點(diǎn)的新投影的作圖方法和原理與一次換面相同。但要注意：在更換投影面時(shí)，不能一次更換兩個(gè)投影面，為在換面過(guò)程中二投影面保持垂直，必須在更換一個(gè)之后，在新的投影體系中交替地再更換另一個(gè)。如3-12（a）所示，先由H1代替H面，構(gòu)成新的投影體系V/H1，O1X1為新坐標(biāo)軸；再以這個(gè)新投影體系為基礎(chǔ)，以V2面代替V面，又構(gòu)成新的投影體系V2/H1，O2X2為新坐標(biāo)軸。二次換面的作圖環(huán)節(jié)如圖3-12（b）所示：（1）先換H面，以H1面替換H面，建立V/H1新投影體系，得新投影，而==A，作圖方法與點(diǎn)的一次換面完全相同；（2）再換V面，以V2面替換V面，建立V2/H1新投影體系，得新投影，而==A，作圖方法與點(diǎn)的一次換面類似。（1）（2）圖3-12點(diǎn)的二次換面注：根據(jù)實(shí)際需要也可以先換V面，后換H面，但兩次或多次換面應(yīng)當(dāng)是V面和H面交替更換，如：→→→……。三、幾個(gè)基本作圖問(wèn)題 1．將一般位置直線變換為投影面的平行線如圖3-13（a）為把一般位置直線AB變換為投影面平行線的情況。用V1面代替V面，使V1面∥AB并垂直于H面。此時(shí)，AB在新投影體系V1/H中為正平線。圖3-13（b）為投影圖。作圖時(shí)，先在適當(dāng)位置畫(huà)出與不變投影平行的新投影軸O1X1（O1X1∥），然后根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律和作圖方法，求出A、B兩點(diǎn)在新投影面V1上的新投影、，再連接直線。則反映線段AB的實(shí)長(zhǎng)，即=AB，并且新投影和新投影軸（O1X1軸）的夾角即為直線AB對(duì)H面的傾角α，如圖3-13（b）。如圖3-13（c）所示若求線段AB的實(shí)長(zhǎng)和與V面的傾角β，應(yīng)將直線AB變換成水平線（AB∥H1面）也即應(yīng)當(dāng)換H面，建立V/H1新投影體系，，基本原理和作圖方法同上。（a）（b）（c）圖3-13將一般位置直線變換為投影面平行線將投影面的平行線變換為投影面垂直線將投影面平行線變換為投影面的垂直線，是為了使直線積聚成一個(gè)點(diǎn)，從而解決與直線有關(guān)部門的度量問(wèn)題（如求兩直線間的距離）和空間文質(zhì)彬彬問(wèn)題（如求線段面交點(diǎn)）。應(yīng)當(dāng)選擇哪一個(gè)投影面進(jìn)行變換，要根據(jù)給出的直線的位置而定。即選擇一個(gè)與已知平行線垂直的新投影面進(jìn)行變換，使該直線在新投影體系中成為垂直線。如圖3-14（a）表達(dá)將水平線AB變換為新投影面的垂直線的情況。圖3-14（b）表達(dá)投影圖的作法：因所選的新投影面垂直于AB，而AB為水平線，所以新投影面一定垂直于H面，故應(yīng)換V面，用新投影體系V1/H更換舊投影體系V/H，其中O1X1⊥。（a）（b）圖3-14將投影面的平行線變換為投影面垂直線將一般位置直線變換為投影面垂直線（需要二次換面）假如要將一般位置直線變換為投影面垂直線，必須變換兩次投影面。先將一般位置直線變換為投影面的平行線，然后再將該投影面平行線變換為投影面垂直線。如圖3-15所示，先換V面，使直線AB在新投影體系V1/H中成為正平線，然后再換H面，使直線AB在新投影體系V1/H2中成為鉛垂線。其作圖方法詳見(jiàn)圖3-15（b），其中O1X1∥，O2X2⊥。（a）（b）圖3-15直線的二次換面將一般位置平面變換為投影面垂直面（求傾角問(wèn)題）將一般位置平面變換為投影面垂直面，只需使平面內(nèi)的任一條直線垂直于新的投影面。我們知道要將一般位置直線變換為投影面的垂直線，必須通過(guò)兩次變換，而將投影面平行線變換為投影面垂直線只需要一次變換。因此，在平面內(nèi)不取一般位置直線，而是取一條投影面的平行線為輔助線，再取與輔助線垂直的平面為新投影面，則平面也就和新投影面垂直了。如圖3-16表達(dá)將一般位置平面△ABC變換為新投影體系中的正平線段的情況。由于新投影面V1既要垂直于△ABC平面，又要垂直于原有投影面H面，因此，它必須垂直于△ABC平面內(nèi)的水平線。作圖環(huán)節(jié)（如圖3-16（b））：（1）在△ABC平面內(nèi)作一條水平線AD線作為輔助線及其投影、；（2）作O1X1⊥；（3）求出△ABC在新投影面V1面上的投影、、，、、三點(diǎn)連線必積聚為一條直線，即為所求。而該直線與新投影軸的夾角即為該一般位置平面△ABC與H面的傾角α。同理，也可以將△ABC平面變換為新投影體系V/H1中的鉛垂面，并同時(shí)求出一般位置平面△ABC與V面的傾角β。（a）（b）（c）圖3-16平面的一次換面（求傾角）5．將投影面的垂直面變換為投影面平行面（求實(shí)形問(wèn)題）如圖表達(dá)將鉛垂面△ABC變?yōu)橥队懊嫫叫忻妫ㄇ髮?shí)形）的情況。由于新投影面平行于△ABC，因此它必然垂直于投影面H，并與H面組成V1/H新投影體系?！鰽BC在新投影體系中是正平面。圖3-16（b）為它的投影圖。作圖環(huán)節(jié)（如圖3-17（b））：（1）在適當(dāng)位置作O1X1∥；（2）求出△ABC在H1面的投影、、，連接此三點(diǎn)，得△即為△ABC的實(shí)形。（a）（b）圖3-17將投影面的垂直面變換為投影面平行面6．將一般位置平面變換為投影面平行面（二次換面）要將一般位置平面變換為投影面平行面，必須通過(guò)兩次換面。由于假如取新投影面平行于一般位置平面，則這個(gè)投影面也一定是一般位置平面，它和原體系V/H中的哪個(gè)投影面都不垂直而無(wú)法構(gòu)成新投影體系。因此，一般位置平面變換為投影面平行面，必須通過(guò)兩次換面。如圖3-18（a）所示，先換V面，其變換順序?yàn)閄→X1→X2，在H2面上得到△=△ABC，即△是△ABC的實(shí)形；如圖3-18（b）所示，先換H面，其變換順序?yàn)閄→X1→X2，在V2面上得到△=△ABC，即△是△ABC的實(shí)形。（a）（b）圖3-18平面的二次換面四、應(yīng)用舉例1．點(diǎn)到平面的距離擬定點(diǎn)到平面的距離，只要把已知的平面變換成垂直面，點(diǎn)到平面的實(shí)際距離就可反映在投影圖上了。圖3-19，用變換V面的方法，擬定點(diǎn)D到△ABC的距離，作圖環(huán)節(jié)如下：（1）由于△ABC中的AC為水平線，故直接取新軸O1X1⊥；（2）再作出D面和△ABC的新投影和（為一直線）；（3）過(guò)點(diǎn)向直線作垂線，得垂足的新投影，投影之長(zhǎng)即為所求的距離。圖3-19點(diǎn)到平面的距離2.點(diǎn)到直線的距離及其投影例如圖3-20（a）所示：已知線段AB和線外一點(diǎn)C的兩個(gè)投影，求點(diǎn)C到直線AB的距離，并作出C點(diǎn)對(duì)AB的垂線的投影。分析：要使新投影直接反映C點(diǎn)到直線AB的距離，過(guò)C點(diǎn)對(duì)直線AB的垂線必須平行于新投影面。即直線AB或垂直于新的投影面，或與點(diǎn)C所決定的平面平行于新投影面。要將一般位置直線變?yōu)橥队懊娴拇怪本€，必須通過(guò)二次換面，由于垂直一般位置直線的平面不也許又垂直于投影面。因此要先將一般位置直線變換為投影面的平行線，再由投影面平行線變換為投影面的垂直線。作圖環(huán)節(jié)：（1）求C點(diǎn)到直線AB的距離。在圖3-20（b）中先將直線AB變換為投影面的正平線（∥V1面），再將正平線變換為鉛垂線（⊥H2面），C點(diǎn)的投影也隨著變換過(guò)去，線段即等于C點(diǎn)到直線AB的距離；（2）作出C點(diǎn)對(duì)直線AB的垂線的舊投影。如圖3-20（c），由于直線AB的垂線CK在新投影體系V1H2中平行于H2面，因此CK在V1面上的投影∥O2X2軸，而與⊥。據(jù)此，過(guò)點(diǎn)作O2X2軸的平行線，就可得到點(diǎn)，運(yùn)用直線上點(diǎn)的投影規(guī)律，由點(diǎn)返回去，在直線AB的相應(yīng)投影上，先后求得垂足K點(diǎn)的兩個(gè)舊投影點(diǎn)和點(diǎn)，連接、。、即為C點(diǎn)對(duì)直線AB的垂線的舊投影。（a）（b）圖3-20求點(diǎn)到直線的距離及其投影3.兩交叉直線之間的距離兩交叉直線之間的距離，應(yīng)當(dāng)用它們的公垂線來(lái)度量。分析：（1）當(dāng)兩交叉直線中有一條直線是某一投影面的垂直線時(shí)，不必?fù)Q面即可直接求出兩交叉直線之間的距離；（2）當(dāng)兩交叉直線中有一條直線是某一投影面的平行線段時(shí)，只需要一次換面即可求出兩交叉直線之間的距離；（3）當(dāng)當(dāng)兩交叉直線都是一般位置直線時(shí)，則需要進(jìn)行二次換面才干求出兩交叉直線之間的距離。例如圖3-21所示：已知兩條交叉直線AB、CD，求兩直線間的距離。作圖方法和環(huán)節(jié)：（1）由于AB、CD兩直線在V/H體系中均為一般位置直線，所以需要二次換面。先用V1面代替V面，使V1面∥AB，同時(shí)V1⊥H面。此時(shí)AB在新投影體系V1/H中為新投影面的平行線。在新投影體系中求出AC、CD的新投影、；（2）在適當(dāng)?shù)奈恢靡峦队拜SO2X2⊥，用H2代替H面，使H2面⊥，圖3-21兩交叉直線之間的距離作業(yè)：習(xí)題集7-11頁(yè)學(xué)習(xí)目的：掌握平面立體和曲面立體的區(qū)分，棱柱以及棱錐的形狀特點(diǎn)，純熟只能掌握立體的投影特性以及表面上的點(diǎn)和線的求解方法教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：基本形體的投影特性以及立體表面上點(diǎn)和線的求解教學(xué)課時(shí)：6課時(shí)第4章立體的投影各種立體形體，雖然形狀結(jié)構(gòu)各異，一般都可看作由若干個(gè)基本幾何形體組成的組合體；而任何基本形體又都可以看作是由一個(gè)或若干個(gè)面圍成的。根據(jù)這些表面性質(zhì)，幾何體可分為兩類：平面立體——由若干個(gè)平面圍成的幾何體，如棱柱、棱錐體等；曲面立體——由曲面或曲面與平面形所圍成的幾何體，最常見(jiàn)的是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓臺(tái)、圓球、圓環(huán)等。4．1平面立體的投影平面立體重要有棱柱、棱錐等，在投影圖上表達(dá)立體就是把組成立體的平面和棱線表達(dá)出來(lái)，然后判斷其可見(jiàn)性?？吹靡?jiàn)的棱線投影畫(huà)成粗實(shí)線，看不見(jiàn)的棱線的投影畫(huà)成細(xì)實(shí)線。1．棱柱在一個(gè)平面立體中，若各棱面互相平行，則該平面立體稱為棱柱，如圖2—36所示為一正四棱柱，它由四個(gè)棱面、頂面和底面組成。（1）分析投影其頂面和底面為水平面，該兩面的水平投影反映實(shí)形；正面、側(cè)面投影分別積聚成直線；棱柱的前、后棱面為正平面，該兩面的投影反映實(shí)形，水平面、側(cè)平面投影積聚成直線；棱柱的左、右兩棱面為側(cè)平面，該兩面的側(cè)面投影反映實(shí)形，水平面、正平面積聚成直線。棱線EC、FD為鉛錘線，水平投影積聚成一點(diǎn)c（e）、d（f），正面投影、側(cè)面投影反映實(shí)長(zhǎng)，即：==CE，==DF，其它各棱線的投影分別與此類似。畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)先畫(huà)出三個(gè)視圖的中心線作為投影圖的基準(zhǔn)線，先畫(huà)出反映實(shí)形的那個(gè)投影圖（注意放高位置），再根據(jù)投影規(guī)律畫(huà)出其他兩個(gè)投影。畫(huà)完底稿后一般應(yīng)檢查各投影圖是否符合點(diǎn)、直線、平面形的投影規(guī)律，最后擦去不必要的作圖線，加深需要的各種圖線，使其符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，如圖2—36。圖2—36四柱的投影、三視圖及表面求點(diǎn)（2）棱柱表面上求點(diǎn)立體表面上的點(diǎn)，其投影一定位于立體表面的同面投影上。例題1：已知CDEF棱面上B點(diǎn)的正面投影，求：它的水平投影和側(cè)面投影。解：∵CDEF為鉛錘面，其水平投影具有積聚性，∴點(diǎn)B的水平投影必在這條直線上，然后由和求出。注意：點(diǎn)的可見(jiàn)性的辨認(rèn)。2．棱錐三棱錐是一個(gè)三角形底面和三個(gè)三角形棱面的四周體，如圖2—37所示，就是這種錐體的立體圖和按箭頭方向投影所得的三視圖。圖2—37三棱錐及其視圖（1）投影分析按照?qǐng)D中所示的位置，三棱錐的三個(gè)三角形棱面都是一般位置平面，因此，它們的投影都不反映其真實(shí)形狀和大小，但都是小于相應(yīng)棱面的三角形線框。三個(gè)棱面既然都是一般位置平面，它們的交線即三棱錐的棱線自然也是一般位置直線，它們的都不積聚成點(diǎn)，而是小于實(shí)際長(zhǎng)度的傾斜直線。（2）棱錐表面上求點(diǎn)組成棱錐的表面有特殊平面，也有一般位置平面；特殊位置平面上點(diǎn)的投影可運(yùn)用平面積聚性作圖；一般位置平面上點(diǎn)的投影可選取適當(dāng)?shù)妮o助線作圖，稱為輔助線法。其依據(jù)是：在平面上的點(diǎn)，必然在平面上且通過(guò)該點(diǎn)的一條直線上。圖2-38棱錐表面上求點(diǎn)例題2：已知：（如上圖）棱面ASB上點(diǎn)M的正面投影和棱面ASC上的N點(diǎn)的水平投影，求：這兩點(diǎn)的此外兩個(gè)投影。解：①棱面ASB是一般位置平面，過(guò)頂點(diǎn)S及M作一輔助線SⅡ，通過(guò)SⅡ的水平投影2可求出M的水平投影，再根據(jù)和求出；②還可過(guò)M點(diǎn)在棱面ASB上作AB的平行線IM，即作∥，再作∥，求出，并從，求出，如上圖（b）；棱面ASC是側(cè)垂面，其側(cè)投影具有積聚性，故（）必與重影，由和即可求得（）。注意ASC是后側(cè)棱面，該面上的點(diǎn)（不含棱線上的點(diǎn)）是正投影不可見(jiàn)。③棱錐表面上取線：方法1，作輔助線；方法2，直接延長(zhǎng)已知線的投使與棱線相交，后求之。4．2曲面立體的投影常見(jiàn)的曲面立體重要有圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)、圓臺(tái)等，在投影圖上表達(dá)曲面立體，就是把組成立體的曲面或平面和曲面表達(dá)出來(lái)，然后判斷其可見(jiàn)性。1．圓柱圓柱表達(dá)由圓柱面和頂、底圓形平面所組成，圓柱面可當(dāng)作是一條直線AA1繞與它平行的固定軸OO1回轉(zhuǎn)形成的曲面。直線OO1稱為回轉(zhuǎn)軸，直線AA1稱為母線，AA1回轉(zhuǎn)到任何一個(gè)位置稱為素線，如圖2—39所示。（1）圓柱的投影及特性圓柱的軸線⊥H面，上、下底面為水平面貌，其水平投影面上的投影反映實(shí)形，其正面和側(cè)面投影積聚成一直線，圓柱面的水平投影也積聚為一個(gè)圓，外形輪廓的投影（即為圓柱面可見(jiàn)與不可見(jiàn)分界線的投影）。入正面上投影為最左、最右兩條素線AA1、BB1的投影、；側(cè)面上投為最前和最后兩條素線投影和。作圖時(shí)：一方面畫(huà)出中心線和軸線；然后畫(huà)出投影是圓的那個(gè)投影面的投影；再畫(huà)出其它兩個(gè)投影面的投影。如圖4—1圓柱的形成和投影如圖4—1所示，當(dāng)圓柱的軸線垂直于某個(gè)投影面時(shí)，必有一個(gè)投影是圓，另兩個(gè)投影圖為全等的矩形。（2）圓柱表面上求點(diǎn)如圖4—1中的p點(diǎn)k點(diǎn)。已知：其在V面投影和，均為可見(jiàn)，（如圖2—39中的點(diǎn)點(diǎn)）。求：此外兩個(gè)投影。解：由于點(diǎn)位于圓柱面的最左邊界母線上，其此外兩投影、可直接求出，而點(diǎn)不在圓柱面的界線母線上，可運(yùn)用圓柱面有積聚性的H投影先求出點(diǎn)K的水平投影，再由和求出，并判斷可見(jiàn)性。2．圓錐圓錐表面由圓錐面和底面所組成，圓錐面可當(dāng)作一直線繞與它相交的固定軸OO1回轉(zhuǎn)而形成的曲面。SA為母線，SA在圓錐面的任意位置即是它的素線，如圖2—40所示。圖4—2圓錐的形成和投影（1）圓錐的投影特性如圖4—2，圓錐軸線⊥H面，底面圓為水平面，它的水平投影反映實(shí)形，其正面、側(cè)面投影均積聚成一條水平線。在正、側(cè)兩面投影中還要分別畫(huà)出錐面外形輪廓線的投影，在正面投影上為最左、最右兩條素線SA、SB的投影、，在側(cè)面投上為最前、最后兩條素線SC、SD的投影、。作圖：一方面畫(huà)出中心線和軸線，然后畫(huà)出投影是圓的那個(gè)投影面的投影，再畫(huà)出錐頂S的三面投影，最后分別畫(huà)出其外形輪廓素線的投影，即得圓錐的投影圖，如圖2—32所示。特性：當(dāng)圓錐軸線⊥某一個(gè)投影面時(shí)，在該投影面上的投影為一個(gè)與底圓相等的圓形；另兩個(gè)投影必為全等的等腰三角形；其底邊為底圓的直徑投影（活說(shuō)水平面積聚為一直線）；其兩腰即為輪廓素線的投影；其頂點(diǎn)即為錐頂?shù)耐队啊?2)圓錐表面上求點(diǎn)已知：如圖4—2，M、K為錐面上的兩個(gè)點(diǎn)，M、K在V面上的投影、，求：其它二個(gè)投影解：求M點(diǎn)，∵M(jìn)點(diǎn)為特殊位置點(diǎn)（在界線母線上），它的作圖簡(jiǎn)樸，可直接運(yùn)用投影關(guān)系求出。求K點(diǎn)，∵K點(diǎn)是一般位置的點(diǎn)，求它可運(yùn)用兩種方法：方法1：過(guò)點(diǎn)K及錐頂S作錐面上的母線SE，即先過(guò)作由求出、，連接、，它們的輔助線SE點(diǎn)H、W面投影，而點(diǎn)K的H、W面投影必在SE的同面投影上，從而求出、。方法2：過(guò)點(diǎn)KL錐面上作一輔助圓，該圓與圓錐的軸線⊥，稱此圓為緯線。點(diǎn)K的投影必在緯線上。其作圖環(huán)節(jié)是，先過(guò)K作水平線，它是緯線的水平投影（圓心與S點(diǎn)重合、半徑為R），由點(diǎn)向下引垂線與緯線圓的交點(diǎn)，再由、求。然后判斷可敬否，即為所求。（2）圓球三、基本幾何形體的尺寸標(biāo)注視圖表達(dá)了物體的形狀，而形體的真實(shí)大小，是由圖樣上縮標(biāo)注的尺寸決定的，任何物體都有長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的尺寸，在視圖上標(biāo)注基本幾何形體的尺寸時(shí)，應(yīng)將三個(gè)方向的尺寸標(biāo)注齊全，但每個(gè)尺寸只標(biāo)注一次，應(yīng)注在相關(guān)視圖之間。1．平面立體尺寸標(biāo)注（a）（b）圖4-3平面立體尺寸標(biāo)注2．曲面立體尺寸標(biāo)注圖4-4曲面立體尺寸標(biāo)注常見(jiàn)不完整基本形體的三視圖例1：畫(huà)出球體缺口的三視圖（1）平面截切球：平面截切球，其切口為正圓形，如圖4—4所示。其切口的水平投影是球水平投影的同心圓并反映切口實(shí)形，其它兩切口積聚成直線。圖4—4平面水平切球（2）開(kāi)槽的半圓球及視圖圖4—5開(kāi)槽的半圓球及視圖如圖4—5所示，它是在半圓球上開(kāi)槽而成。作圖：①畫(huà)法幾何及工程制圖出半圓球的三視圖，及開(kāi)槽的主視圖，②畫(huà)開(kāi)槽兩側(cè)平面與球的交線，按主、左、俯的順序作圖，③畫(huà)槽底平面與球的交線，按主、左、俯的順序作圖，④擦去多余的線條，最后便是它的三視圖。平面立體的截交線特殊位置平面與平面立體的截交線平面立體被較平面切割后所得的截交線，是由直線段組成的平面多邊形。多邊形的各邊是立體表面的交線，而多邊形的頂點(diǎn)是立體的棱線與截平面的交點(diǎn)。截交線即在立體表面上，又在截平面上，∴它是立體表面和截平面的共有線，截交線上每一點(diǎn)都是共有點(diǎn)。因此，求平面與平面立體的截交線可歸結(jié)為：求平面立體棱線與截平面的交點(diǎn)，或求截平面與平面立體表面的交線。例1：求四棱錐SABCD被正垂面P切割后截交線的投影。圖4—6四棱錐被正垂面切割例2：求P、Q二平面與三棱錐SABC截交線的投影（其中：P⊥V面，Q∥H面）。圖4—7三棱錐被二平面切割常見(jiàn)回轉(zhuǎn)體的截交線平面與回轉(zhuǎn)體表面相交時(shí)，其截交線是由曲線或曲線與直線組成的封閉平面圖形。截交線既是截平面上的線，又是回轉(zhuǎn)體上的線，它是回轉(zhuǎn)體表面與截平面的共有線。因此求截交線的實(shí)質(zhì)是求截交線上的若干共有點(diǎn)，然后順序連接成封閉的平面圖形。方法是：（1）運(yùn)用截平面和回轉(zhuǎn)體表面的積聚性，按投影關(guān)系直接求出截交線上點(diǎn)的投影，（2）運(yùn)用截平面的積聚性和求曲面立體上點(diǎn)的方法，求出截交線上點(diǎn)的投影。1．特殊位置平面與回轉(zhuǎn)體的截交線（1）圓柱的截交線平面與圓柱相交時(shí)，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置不同，其截交線有三種情況：①兩條平行線，②圓，③橢圓。例1：求圓柱的截交線圖4—8圓柱的截交線例2：圓柱被一正垂面截切，畫(huà)三視圖（2）圓錐的截交線平面與圓錐面相交時(shí)，根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同（截平面與圓錐軸線的傾斜限度），其截交線的形狀也不同。共有五種情況：詳見(jiàn)書(shū)中表所示。作業(yè)：習(xí)題集12-15頁(yè)本章目的：掌握畫(huà)組合體三面投影圖的方法和環(huán)節(jié)，了解