浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

麗水市2023學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二數(shù)學(xué)試題卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3．已知，則“”是“”成立的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件4．已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．若樣本，，，，的平均數(shù)為10，方差為20，則樣本，，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A．16，40 B．16，80 C．20，40 D．20，806．已知，則（

）A． B． C． D．7．一個袋子中有標(biāo)號分別為1，2，3，4的4個球，除標(biāo)號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次，設(shè)事件“第一次摸出球的標(biāo)號小于3”，事件“第二次摸出球的標(biāo)號小于3”，事件“第一次摸出球的標(biāo)號為奇數(shù)”，則（

）A．與互斥 B．與相互獨(dú)立C．與互斥 D．與相互獨(dú)立8．已知函數(shù)的定義域為，的圖象關(guān)于中心對稱，是偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．向量在向量上的投影向量為10．在中，角所對的邊分別為，，，以下判斷正確的是（

）A．若，則的面積為 B．若，則C．若，則 D．若有兩解，則11．如圖，在矩形中，，是的中點，沿直線將翻折成（不在平面內(nèi)），是的中點，設(shè)二面角的大小為.（

）A．若，則B．直線與所成的角為定值C．若，則三棱錐的外接球的表面積為D．設(shè)直線與平面所成的角為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，則.13．已知，，則.14．已知，，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值，以及相應(yīng)的值.16．本學(xué)期初，某校對全校高二學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，并從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，被抽取的成績?nèi)拷橛?0分到100分之間（滿分100分），將統(tǒng)計結(jié)果按照如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，畫出頻率分布直方圖如圖所示.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)求該樣本的中位數(shù)；(3)為進(jìn)一步了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從分?jǐn)?shù)位于的學(xué)生中，按照第二組，第三組，第四組分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.17．如圖，在四棱錐中，，，，平面，為的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求與平面所成角的正弦值.18．已知，函數(shù).(1)若，解不等式；(2)證明：函數(shù)有唯一零點；(3)設(shè)，證明：.19．設(shè)為正整數(shù)，，，記.(1)當(dāng)時，若，，求的值；(2)當(dāng)時，設(shè)集合，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，.寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多；(3)當(dāng)時，，，其中是銳角的三個內(nèi)角，證明：.1．C【分析】直接利用交集運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題意，集合，，所以.故選：C2．B【分析】用復(fù)數(shù)的除法法則和模長公式即可求解.【詳解】，.故選：.3．B【解析】分別判斷充分條件和必要條件是否成立，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，和無意義，可知“”是“”的不充分條件；當(dāng)時，，可知“”是“”的必要條件；綜上所述：“”是“”的必要不充分條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.4．C【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分析判斷各個選項.【詳解】對于A，由，，則與可能平行，相交，異面，故A錯誤；對于B，由，，則或，故B錯誤；對于C，由，，則，故C正確；對于D，由，，則或或，故D錯誤.故選：C.5．B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)與方差的線性公式，即可求解【詳解】因為樣本，，，，的平均數(shù)為10，方差為20，所以樣本，，，，的平均數(shù)，方差為.故選：B.6．D【分析】分析得到，即得解.【詳解】由題得，，且..所以.故選：D【點睛】本題主要考查指數(shù)對數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7．D【分析】以、分別表示第次、第次摸球的編號，以為一個基本事件，列舉出所有的基本事件，以及事件、、、、所包含的基本事件，利用互斥事件以及獨(dú)立事件的定義逐項判斷，即可得出合適的選項.【詳解】以、分別表示第次、第次摸球的編號，以為一個基本事件.摸球方式為不放回摸球，則所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、，共種，事件包含的基本事件有：、、、、、，共種，事件包含的基本事件有：、、，共3種，則，根據(jù)互斥事件的概念可知與不互斥，所以A錯誤；，，所以與不相互獨(dú)立，所以B錯誤；，根據(jù)互斥事件的概念可知與不互斥，所以C錯誤；，，所以與相互獨(dú)立，所以D正確.故選：D8．D【分析】根據(jù)對稱性定義，再加賦值可解.【詳解】的圖象關(guān)于中心對稱，則（?）；是偶函數(shù)，則，則的圖象關(guān)于中心對稱，則（??）；令代入（?）得，，解得，代入（??）得到.故選：D.9．BD【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示相關(guān)知識逐一作答.【詳解】對于A選項，因為，，不存在實數(shù)使得成立，故A錯誤；對于B選項，因為，所以，故B正確；對于C選項，因為，所以，故C錯誤；對于D選項，向量在向量上的投影向量為，故D正確，故選：BD10．ACD【分析】根據(jù)三角形的面積公式計算即可判斷A；根據(jù)正弦定理計算即可判斷B；根據(jù)余弦定理計算即可判斷C；根據(jù)正弦定理和且即可判斷D.【詳解】A：若，則，故A正確；B：若，由正弦定理得，即，解得，故B錯誤；C：若，由余弦定理得，即，整理得，由解得，故C正確；D：由正弦定理得，則，由得，若有兩個解，則且，所以，即，解得，故D正確.故選：ACD11．BCD【分析】如圖，利用反證法即可判斷A；如圖，確定為異面直線與的所成角，即可判斷B；如圖，確定外接球的球心位置，建立關(guān)于R的方程，解之即可判斷C；如圖，確定、，求出即可判斷D.【詳解】A：，取的中點，的中點，連接，則，四邊形為正方形，所以.假設(shè)，由平面，得平面，又平面，所以，這與“”矛盾，所以假設(shè)不成立，故A錯誤；B：取的中點，連接，則且，所以四邊形是平行四邊形，故，所以為異面直線與的所成角.由，得，則，所以，即異面直線與的所成角為定值，故B正確；C：如圖，由選項A的分析知為二面角的平面角，即.當(dāng)時，，易知，，則為外接圓的圓心.過作于，過作，在上取使得，則四邊形為矩形，得，則為三棱錐外接球的球心，設(shè)其半徑為，則，所以，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；D：過作平面于點，作于點，連接，為二面角的平面角，即，為直線與平面所成的角，即，由，平面，知平面，又平面，所以，所以為的中點，得，又，所以，即，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決選項A的關(guān)鍵是熟練反證法的應(yīng)用；解決選項B的關(guān)鍵是為異面直線與的所成角；解決選項C的關(guān)鍵是確定外接球的球心位置；解決選項D的關(guān)鍵是確定、.12．【分析】根據(jù)題意，先求得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，可得，所以.故答案為：.13．【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即可根據(jù)同角關(guān)系求解.【詳解】由可得，進(jìn)而可得，由于，故，進(jìn)而可得，故，故答案為；14．【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值.【詳解】令，則，且，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了利用基本不等式求解最值，解題的關(guān)鍵是換元法后利用“1”的代換，使用基本不等式求解最值.15．(1)(2)2，【分析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期；（2）時，，整體法求出函數(shù)的最大值及相應(yīng)的的值.【詳解】（1），所以周期；（2）因為，所以，則，的最大值為2，此時，即.16．(1)(2)75(3)【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1列方程即可求解；（2）結(jié)合頻率分布直方圖和中位數(shù)的定義即可求解；（3）通過列舉法和對立事件即可求得概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：，得；（2）設(shè)中位數(shù)為該樣本的中位數(shù)為，所以，得；（3）由分層抽樣知，第二組中抽1人，記作，第三組中抽2人，記作，第四組中抽3人，記作，這6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，，共個樣本點；2人來自同一組的有，，，共4個樣本點，所以2人來自不同組的的概率.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線和平行四邊形的性質(zhì)得到，然后利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)線面角的定義得到為直線與平面所成角，然后求正弦值即可.【詳解】（1）證明：取的中點，連結(jié)，又為的中點，所以，，又，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面所以平面；（2）過作直線的垂線，為垂足，連結(jié)，由三棱錐的體積為，得，解得，因為平面，所以，又，平面，平面，且，所以平面，又平面，所以平面平面，所以直線在平面上的射影為直線，所以即為與平面所成角，

在中，，所以，所以與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）將不等式化簡，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可；（2）先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用零點存在性定理即可證明；（3）作差變形后，結(jié)合基本不等式利用作差法即可判斷.【詳解】（1）當(dāng)時，不等式即為，即，所以，解得；（2）因為，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，，，所以由零點存在定理得，函數(shù)有唯一零點，且零點在內(nèi).（3）由知，，因為，所以.19．(1