2021-2022學年北京市西城區(qū)七年級下學期數(shù)學期末試卷（二）含答案

2021-2022學年北京市西城區(qū)七年級下學期數(shù)學期末試卷（二）

一、選一選（本大題共12小題，共36.0分）

1.下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的

是（）

【答案】B

【解析】

【分析】軸對稱圖形的概念進行求解即可.

【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念可知：

A、沒有是軸對稱圖形，故本選項錯誤：

B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

C、沒有是軸對稱圖形，故本選項錯誤；

D、沒有是軸對稱圖形，故本選項正確.

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后

可重合.

2.下列各運算中，計算正確的是（）

A.（X—2）2=x2—4B.（3/y=9a''C.x6-e-x2=x}D.

x3-x2=x5

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)完全平方公式、積的乘方與塞的乘方、同底數(shù)幕的乘除法法則進行計算即

可得解.

詳解：A、（X-2）2=X2-4X+4,故該選項錯誤；

B、（3/）3=27。6,故該選項錯誤;

C、原式=xt故該選項錯誤；

D、原式=/,故該選項正確.

故選D.

點睛：本題考查整式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.用科學記數(shù)法表示0.0000084為（）

A8.4X10-6B.8.4x10-5C.—8.4x10-6D.8.4xl06

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為axio-n,與較大數(shù)的

科學記數(shù)法沒有同的是其所使用的是負指數(shù)暴，指數(shù)由原數(shù)左邊起個沒有為零的數(shù)字前面的0

的個數(shù)所決定.

詳解：0.0000084=8.4x10-6,

故選A.

點睛：本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axlO-n,其中10a|<lO,n為由原數(shù)

左邊起個沒有為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.

4.如圖所示，如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么/I等于（）

A.120°B.105°C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】先求出N2,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它沒有相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即

可得解.

【詳解】解：如圖，Z2=900-45°=45°,

2

4夕\

依60。人

由三角形的外角性質(zhì)得，Zl=Z2+60°,

=45°+60°,

=105°.

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它沒有相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是熟記性質(zhì).

5.到△NBC的三邊距離相等的點是△/BC的()

A.三邊中線的交點B.三條角平分線的交點C.三邊上高的交點D.三邊垂直

平分線的交點

【答案】B

【解析】

【分析】到三角形三邊都相等的點應該在三角形三個內(nèi)角的角平分線上，可得出答案.

【詳解】解：設(shè)這個點為點P，

；點2到45、NC兩邊的距離相等，

；.點P在NB4C的平分線上，

同理可得點P在N/8C、NNC8的平分線上，

...點P為三個內(nèi)角的角平分線的交點，

故選：B.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖，邊長為(m+3)的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分

可剪拼成一個矩形(沒有重疊無縫隙)，若拼成的矩形一邊長為3,則另一邊長是()

B.m+6

D.2m+6

3

【答案】C

【解析】

【分析】由于邊長為（m+3）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼

成一個矩形（沒有重疊無縫隙），那么根據(jù)正方形的面積公式，可以求出剩余部分的面積，而矩

形一邊長為3,利用矩形的面積公式即可求出另一邊長.

【詳解】設(shè)拼成的矩形一邊長為X,

則依題意得：（m+3）2—m2=3x,

解得，x=（6m+9）+3=2m+3,

故選C.

7.如圖，在A/8C中，NB=32°,Z歷1C的平分線X。交8C于點。，若?！甏怪逼椒諾8,

則NC的度數(shù)為（）

A.90°B.84°C,64°D.58°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB,得到NDAB=NB=32。，根據(jù)角平分線的

定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【詳解】:DE垂直平分AB,

ADA=DB,

/.ZDAB=ZB=32°,

：AD是ZBAC的平分線，

/.ZDAC=ZDAB=32°,

NC=180°-32°-32°-32°=84°,

故選B.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義，掌握線段的垂直平分線上

的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

8.若等腰三角形的腰上的高與另一腰上的夾角為56"，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）

A.56°B.34°C.34°或146°D.56°或34°

4

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：本題要分情況討論.當?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角

兩種情況.

詳解：①當為銳角三角形時，如圖1,

.,.ZA=90°-56°=34°,

...三角形的頂角為34。；

②當為鈍角三角形時，如圖2,

VZBAD+ZBAC=180°,

ZBAC=146°

三角形的頂角為146°,

故選C.

點睛：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時，考慮問題要全面，必

要的時候可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

9.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形/5Q是一個箏形，其中

AB=CB,詹姆斯在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：

?ACLBD,?AO=CO=-AC；③"BDNACBD；④四邊形力仇力的面積

2

5

其中正確的結(jié)論有()

2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】

【詳解】分析：先證明AABD與ACBD全等，再證明AAOD與ACOD全等即可判斷.

詳解：在AABD與ACBD中，

AD=CD

<AB=BC,

DB=DB

/.△ABD^ACBD(SSS),

故③正確；

/.ZADB=ZCDB,

在AAOD與ACOD中，

AD=CD

<ZADB=ZCDB,

OD=OD

AAAOD^ACOD(SAS),

.,.ZAOD=ZCOD=90°,AO=OC,

AACIDB,

故①②正確；

四邊形ABCD的面積=SAADB+SABDC」DBXOA+-DBXOC=-AC?BD,

222

故④正確；

故選D.

點睛:此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SSS證明AABD與ACBD全等和利用SAS

6

證明AAOD與ACOD全等.

10.如圖，在四邊形48co中，AC,8。為對角線，AB=BC=AC=BD,則N/QC的大小為

()

A.120°B.135°C.145°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷出AABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個內(nèi)角都是60?？傻肗ABC=

60°,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NADB、ZBDC,然后根據(jù)NADC=/ADB+NBDC

求解即可.

【詳解】：AB=BC=AC,

/.△ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

VAB=BC=BD,

.".ZADB=y(180°-ZABD),

ZBDC=y(1800-ZCBD),

ZADC=NADB+/BDC,

=j(180°-ZABD)+y(180°-ZCBD),

=y(180°+180°-ZABD-ZCBD),

=y(360°-ZABC),

=1800-yx60°,

=150°.

故選D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，本題主要利用了等腰三角

形兩底角相等，要注意整體思想的利用.

11.如圖所示的4x4正方形網(wǎng)格中，Nl+N2+N3+N4+N5+N6+N7=()

7

B.315°C.310°D.320°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性得/1+/7=90。，Z2+Z6=90°,Z3+Z5=90°,Z4=45°.

【詳解】解：由圖可知，N1所在的三角形與N7所在的三角形全等，

可得Nl+N7=90°,Z2+Z6=90°,Z3+Z5=90°.N4=45'，

則Nl+N2+N3+N4+N5+N6+N7=315°

故選B.

12.把所有正偶數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（2）,（4,6,8）,（10,12,14,16,18）,

（20,22,24,26,28,30,32）,…，現(xiàn)用等式=億/）表示正偶數(shù)〃是第/組第/個數(shù)（

從左往右數(shù)），如4=（2,3）,則4。|8=（）

A.（32,25）B.（32,48）C.（45,39）D.（45,77）

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：先計算出2018是第1009個數(shù)，然后判斷第1009個數(shù)在第幾組，進一步判斷是

這一組的第幾個數(shù)即可.

詳解：2018是第1009個數(shù)，

設(shè)2018在第n組，則1+3+5+7+（2n-l）=-x2nx=n2,

2n

當n=31時，n2=961,

當n=32時，n2=1024,

故第1009個數(shù)在第32組，

第32組個數(shù)是961x2+2=1924,

2018-1924人卻

則nl2018是第-----------+1=48個數(shù)，

2

故A2oi8=（32,48）.

8

故選B.

點睛：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間排列的規(guī)律，得出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律

解決問題是關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.在△48C中，若N4NB：NC=2：3：5,則此三角形是__三角形.

【答案】直角

【解析】

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。求出的角NC,然后作出判斷即可.

【詳解】解：?.?/C=180°x—--=90°,

2+3+5

...△/BC是直角三角形.

故答案為：直角.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，求出的角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14.已知q-b=5，ab=-4>則/+〃=____.

【答案】17

【解析】

【詳解】分析：直接利用完全平方公式將原式變形進而計算得出答案.

詳解：*.*a-b=5,ab=-4,

（a-b）2=25,

則a2-2ab+b2=25,

故a2+b2=25+2ab=25-8=17.

故答案為17.

點睛：此題主要考查了完全平方公式，正確記憶完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2是解題關(guān)鍵.

15.如圖，要測量河兩岸相對兩點4、8間的距離，先在過點5的48的垂線上取兩點C、D,

使CD=BC,再在過點。的垂線上取點E,使4、C、E三點在一條直線上，可證明△EOC名△/3C,

所以測得EZ）的長就是4、8兩點間的距離，這里判定AEOC電△NBC的理由是

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件分析，題目中給出了三角形的邊相等，兩條垂線，可得一對角相等，加

上圖形中的對頂角相等，條件滿足了ASA,答案可得.

【詳解】:ABLBD,EDLBD,

：.ZABD=ZEDC=90°,

在AEDC和448c中，

ZBC=NEDC

<BC=DC,

ZACB=NECD

:.XEDgMABCCASA),

：.DE=AB,

故答案為ASA.

【點睛】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在心△ZBC中，NC=90°,以頂點4為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交ZC,AB

于點N,再分別以點“，N為圓心，大于衣皿的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線

/P交邊8c于點。，若CQ=4,48=15,則的面積是.

【解析】

【分析】作。E1.48于E,如圖，利用基本作圖得到4尸平分N8/C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

DC=DE=4,然后根據(jù)三角形面積公式.

【詳解】作OE1/B于E,如圖，

由作法得力「平分NB4C,

DC=DE=4,

io

/.LABD的面積=』x15x4=30.

2

故答案為：30.

【點睛】本題考查了基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角

等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）和

角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學經(jīng)典著作.在它的“方程”一章里，方程組

是由算籌布置而成的.《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，現(xiàn)在我們把它改為橫排，如圖1、圖

2,圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)X、>的系數(shù)與相應的常數(shù)項，把圖1所示

f3x+2j=19

的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來就是｛〃，類似地，圖2所示的算

[x+4y=23>

籌圖我們可以用方程組形式表述為.

【解析】

【分析】由圖1可得1個豎直的算籌數(shù)算1,一個橫的算籌數(shù)算10,每一橫行是一個方程，個

數(shù)是x的系數(shù)，第二個數(shù)是y的系數(shù)，第三個數(shù)是相加的結(jié)果：前面的表示十位，后面的表示

個位，由此可得圖2的表達式.

【詳解】解：個方程x的系數(shù)為2,y的系數(shù)為1,相加的結(jié)果為II；

第二個方程x的系數(shù)為4,y的系數(shù)為3,相加的結(jié)果為27,

2x+y=11

所以可列方程組為L；%

4x+3y=27

【點睛】本題考查了列二元方程組；關(guān)鍵是讀懂圖意，得到所給未知數(shù)的系數(shù)及相加結(jié)果.

18.如圖，下列4個三角形中，均有=則三角形的一個頂點的一條直線沒有能夠?qū)⑦@

個三角形分成兩個小等腰三角形的是（填序號）.

11

A

【答案】②

【解析】

108。

【詳解】分析：頂角為：36°,90。，108。，——的四種等腰三角形都可以用一條直線把這四個

7

等腰三角形每個都分割成兩個小的等腰三角形，再用一條直線分其中一個等腰三角形變成兩個

更小的等腰三角形.

詳解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，

①中分成的兩個等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36。，36。，108。和36。，72。72。，能：

②沒有能；

③顯然原等腰直角三角形的斜邊上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形，能；

④中的為36。，72,72。和36。，36°,108°,能.

故答案為②

點睛：本題考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，從一個頂點向?qū)呉粭l線段，分原

三角形為兩個新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個小等腰三角形與原等腰三角形相似才有

可能.

三、計算題(本大題共1小題，共6.0分)

19.化簡：［(xy+2)(xy-2)-2x2y2+4］-^xy>其中x=10,y=-

2

【答案】-xy,-

【解析】

［詳解】原式=(X2/-4-2x2y2+4)+孫=(-》2丁)+孫=-xy.

當x=10,y=--L時，

,25

原式=-孫=-I。X(-

四、解答題(本大題共8小題，共64.0分)

12

|5x+y=2

20.解二元方程組：^x-3y=4.

,5

x=—

8

【答案】＜9

y=—

18

【解析】

【詳解】分析：可以先消去y,求得x的值然后代入求得y的值.

'5x+y=2①

詳解：：＜x—3y=4(2),

由①x3+②得：16x=10,

解得x=，，③

O

9

把③代入②解得：

8

5

x=—

8

故原方程組的解是：-9.

y=—

C8

點睛：本題考查了解二元方程組.這類題目的解題關(guān)鍵是掌握方程組解法中的加減消元法和代

入法.

21.如圖，EB//DC,NC=NE,請證明NZ=NEZX4.

【答案】見解析

【解析】

【分析】先根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出從而求出N4BE=NE,然后根據(jù)內(nèi)

錯角相等，兩直線平行求出/C〃QE,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可證明.

【詳解】證明：：砧〃。。，

：.ZC=ZABE,

13

,/ZC=ZE,

/.NABE=NE,

：.AC//DE,

：.ZA=ZADE.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)圖形準確找出兩直線平行的條件是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，ZDCE=90°,CD=CE,AD±AC,BE±AC,垂足分別為A、B.試說明AD+AB=BE.

【答案】見解析

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)題意得出aADC和4BCE全等，從而得出AC=BE,AD=BC,從而得

出答案.

試題解析：VAD±AC,BE1ACAZA=ZEBC=90°ZACD+ZD=90°VZDCE=90°

/.ZACD+ZECB=90°ZD=ZECB又；CD=CEAAADC^ABCE（AAS）

/.AC=BEAD=BC：AC=AB+BC；.BE=AB+AD

考點：三角形全等的證明與應用

23.為了響應和市政府“綠色環(huán)保，節(jié)能減排”的號召，幸福商場用3300元購進甲、乙兩種節(jié)

能燈共計100只，很快售完.這兩種節(jié)能燈的進價、售價如下表：

進價（元/只）售價（元/只）

甲種節(jié)能燈3040

乙種節(jié)能燈3550

（1）求幸福商場甲、乙兩種節(jié)能燈各購進了多少只？

（2）全部售完100只節(jié)能燈后，商場共計獲利多少元？

【答案】（1）商場購進甲種節(jié)能燈40只，購進乙種節(jié)能燈60只

（2）商場共計獲利1300元

【解析】

【分析】（1）設(shè)商場購進甲種節(jié)能燈x只，購進乙種節(jié)能燈V只，根據(jù)幸福商場用3300元購

14

進甲、乙兩種節(jié)能燈共計100只，即可得出關(guān)于X、y的二元方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)總利潤=每只甲種節(jié)能燈的利潤X購進數(shù)量+每只乙種節(jié)能燈的利潤X購進數(shù)量,

即可求出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：設(shè)商場購進甲種節(jié)能燈X只，購進乙種節(jié)能燈〉只，

3Ox+35y=3300

根據(jù)題意得：｛-.goo

x=40

解得：，

，=60

答：商場購進甲種節(jié)能燈40只，購進乙種節(jié)能燈60只.

【小問2詳解】

40x（40-30）+60x（50-35）=1300（元）.

答：商場共計獲利1300元.

【點睛】本題主要考查了二元方程組的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的

條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組求解.

24.如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，點4B、C在小正方形的

頂點上.

（1）在圖中畫出與ANBC關(guān)于直線/成軸對稱的AZ'3'C'；

（2）求“臺。的面積；

（3）在直線Z上找一點P（在答題紙上圖中標出），使尸8+PC的長最小.

【答案】（1）見解析；（2）3;（3）見解析

【解析】

【詳解】分析：（1）直接利用對稱點的性質(zhì)得出對應點位置進而得出答案;

15

(2)利用割補法即可得出答案；

(3)利用軸對稱求最短路線的方法得出答案.

詳解：(1)如圖所示:

(2卜/3。的面積=2、4-2x2x--2xlx—lx4x—=3

222

(3)如圖所示，點P即為所求.

點睛：本題主要考查作圖~軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)與軸對稱的定義作出變換后的對應點

及割補法求三角形的面積.

25.如圖，在等邊三角形48c中，點。，E分別在邊3C,4c上，且OE〃/18,過點E作

交BC的延長線于點尸.

(1)求/尸的度數(shù)；

(2)若8=2,求。尸的長.

【答案】(1)30°；(2)4.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NEDC=NB=60°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;

(2)易證△E0C是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)是等邊三角形，

—0°,

'JDE//AB,

：.ZEDC=ZB=60°,

16

:EFLDE,

:.NDEF=90°,

ZF=90°-Z￡Z)C=30°；

(2)?:NACB=6Q°,NEDC=6Q°,

:.XEDC是等邊三角形.

：.ED=DC=2,

；NDEF=90°,"=30°,

：.DF=2DE=4.

【點睛】本題主要考查了運用三角形的內(nèi)角和算出角度，并能判定等邊三角形，會運用含30°

角的直角三角形的性質(zhì).

26.如圖1,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD、BE相交于點M.

(1)求證：BE=AD；

(2)直接用含a的式子表示NAMB的度數(shù)為—

(3)當a=90。時，WAD,BE的中點分別為點P、Q,連接CP,CQ,PQ,如圖2,判斷ACPQ

的形狀，并加以證明.

【答案】(1)見解析；(2)a；(3)ACPQ為等腰直角三角形，證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,利用SAS即可判定AACD學ABCE；

(2)根據(jù)AACD絲ABCE,得出NCAD=NCBE,再根據(jù)NAFC=NBFH,即可得到

ZAMB=ZACB=a；

(3)先根據(jù)SAS判定△ACPg^BCQ,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ,ZACP=ZBCQ,

根據(jù)/ACB=90。即可得到/PCQ=90。，進而得到APCQ為等腰直角三角形.

【詳解】解：(1)如圖1,

17

圖1

VZACB=ZDCE=a,

/.ZACD=ZBCE,

在AACD和ZkBCE中，

CA=CB

，ZACD=ZBCE,

CD=CE

/.△ACD^ABCE(SAS),

；.BE=AD；

(2)如圖1,VAACD^ABCE,

/.ZCAD=ZCBE,

「△ABC中，ZBAC+ZABC=180°-a,

AZBAM+ZABM=180°-a,

.,.△ABM中，ZAMB=180°-(180°-a)=a；

(3)ziCPQ為等腰直角三角形.

證明：如圖2,由(1)可得，BE=AD,

VAD,BE的中點分別為點P、Q,

；.AP=BQ,

VAACD^ABCE,

；.NCAP=NCBQ,

在AACP和ZkBCQ中,

18

CA=CB

<ZCAP^ZCBQ,

AP=BQ

AAACP^ABCQ(SAS),

.,.CP=CQ,且NACP=NBCQ,

又；/ACP+/PCB=90°,

；.NBCQ+NPCB=90°,

ZPCQ=90°,

/.△CPQ為等腰直角三角形.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和

定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

27.如圖，△Z8C中，AB=BC=AC=T2cm,現(xiàn)有兩點M