高考數(shù)學一輪復習題型講解+專題訓練(新高考專用)專題26解三角形中的最值、范圍、多元及多邊形問題(原卷版+解析)

2023高考一輪復習講與練專題26解三角形中的最值、范圍、多元及多邊形問題正（余）弦定理的應用正（余）弦定理的應用求最值求范圍多元問題兩元積兩元商兩元和多邊形問題多三角形問題多邊形問題多三角形問題練高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．2.(2023·全國甲（理）T16）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．(2023·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.4．（2023·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．①；②周長為；③面積為.5.(2023·新高考全國Ⅰ卷)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-17;條件②:cosA=18,cosB=注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.7．(2023年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．8．(2023年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．9.(2023·浙江高考·T18)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.10．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．11．(2023年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四邊形中，，，,．(1)求;(2)若,求．12．(2023高考數(shù)學新課標2理科)中內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積的最大值．13．(2023高考數(shù)學新課標1理科)如圖，在中，，，P為內(nèi)一點，(1)若，求；(2)若，求．14.(2023·浙江高考·T18)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.15．(2023江蘇)在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為．16.(2023·北京高考文科)若△ABC的面積為QUOTE3434(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;QUOTE????ca的取值范圍是.

17．(2023湖南）設的內(nèi)角的對邊分別為，，且為鈍角．（1）證明：；（2）求的取值范圍．18．(2023高考數(shù)學新課標1理科)在平面四邊形中，，B，則的取值范圍是.

19．(2023重慶)已知的內(nèi)角，，滿足=，面積滿足，記，，分別為，，所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．20．(2023高考數(shù)學課標1理科)已知分別為的三個內(nèi)角的對邊,=2,且,則面積的最大值為__________．21.(2023·山東高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(1)證明:a+b=2c.(2)求cosC的最小值.22．(2023高考數(shù)學新課標2理科)中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的長．講典例備高考類型一、四邊形中解三角形問題基本題型：1．（四邊形中的求角問題）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)2．（四邊形中的求面積問題）為測出小區(qū)的面積，進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積為（）A．B．C．D．3．（四邊形中的求邊問題）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，則BC的長為（）A． B．2 C．3 D．4．（四邊形中的求角問題）凸四邊形中，已知，，，，，則__________.5.（四邊形中的綜合性問題）如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,2)，點E是AD上一點，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB.(1)求∠BEC的大小；(2)若△BCE的面積S為8eq\r(3)，求BC.類型二、多邊形中解三角形問題基本題型：1．17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（）A． B． C． D．2.黃金分割比值是指將一條線段一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值．我們把滿足上述分割的點稱為該線段的黃金分割點，滿足黃金分割比值的分割稱為黃金分割．女生穿高跟鞋、空調(diào)溫度的設置、埃菲爾鐵塔的設計、很多國家國旗上的五角星都和黃金分割息息相關，也正是因為這個比值才讓人類的設計產(chǎn)生了一種自然和諧美．已知連接正五邊形的所有對角線能夠形成國旗上的五角星，如圖點D是線段AB的黃金分割點，由此推斷cos144°＝()A.eq\f(1－\r(5),2) B．－eq\f(\r(5)＋1,4)C.eq\f(1－\r(5),4) D.eq\f(－1－\r(5),8)3、某環(huán)保監(jiān)督組織為了監(jiān)控和保護洞庭湖候鳥繁殖區(qū)域，需測量繁殖區(qū)域內(nèi)某濕地、兩地間的距離（如圖），環(huán)保監(jiān)督組織測繪員在（同一平面內(nèi)）同一直線上的三個測量點、、，從點測得，從點測得，，從點測得，并測得，（單位：千米），測得、兩點的距離為___________千米.4．如圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值.類型三、最值問題基本題型：1．（三角函數(shù)值的最值問題）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為（）A． B．C． D．2．在中，內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，且，，邊上的高為，則的最大值為________.3、（三角形面積的最值）已知在△ABC中，三邊a，b，c分別對應三個內(nèi)角A，B，C，且eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b).(1)求角C的大?。?2)當△ABC外接圓半徑R＝1時，求△ABC面積的最大值．（三角形周長的最值）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若A≠eq\f(π,2)，且3acosB＋3bcosA＝ac．(1)求a的值；(2)若A＝eq\f(2π,3)，求△ABC周長的最大值．類型四、范圍問題基本題型1．（三角函數(shù)值的范圍）在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．2．（參數(shù)的范圍）在中，,是的平分線，且,則的取值范圍是()A． B． C． D．3．（三角形面積的范圍）在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△為銳角三角形，且，求△面積的取值范圍．基本方法：(1)解決三角形中的某個量的最值問題，除了利用基本不等式外，再一個思路就是利用正弦定理、余弦定理，把該量轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解．(2)利用三角函數(shù)求解最值問題的關鍵是求三角函數(shù)中角的范圍，此時要特別注意題目隱含條件的應用，如銳角三角形、鈍角三角形，三角形內(nèi)角和為π等．類型五、多元問題基本題型：1．（兩元和的求值問題）在銳角三角形中，，，分別為角、、所對的邊，且，，且的面積為，的值為（）A．4 B．6 C．5 D．32．（兩元商的求值問題）的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，，則等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．（兩元積的求值問題）若的內(nèi)角、、所對應的邊、、滿足,且,則的值為()A． B． C． D．4．（三元商的求值問題）在中，分別是角的對邊,若,且，則的值為()A．2 B． C． D．45．（兩元和的最值問題）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.6．（兩元和的范圍問題）設銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為（1）求B的大??；（2）求的取值范圍.（三元和的范圍問題）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB.(1)求角C的大??；(2)求sinA＋cosB＋tanC的取值范圍．基本方法：(1)解決三角形中的某個量的范圍問題，除了利用基本不等式外，再一個思路就是利用正弦定理、余弦定理，把該量轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解．(2)利用三角函數(shù)求解范圍問題的關鍵是求三角函數(shù)中角的范圍，此時要特別注意題目隱含條件的應用，如銳角三角形、鈍角三角形，三角形內(nèi)角和為π等．類型六、多三角形問題基本題型：1．如圖，在中，是邊上的點，且，，，則的值為（）A． B． C． D．2．在中，已知的平分線,則的面積（）A． B． C． D．3、如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，點為邊上一點，且，則的面積為______.4．已知中，，是的中點，且，則______.5.在中，已知點在邊上，，，，．（1）求的值；（2）求的長．基本方法：多三角形背景解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果．解題時，有時要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的性質(zhì)，要把這些知識與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題．類型七、結構不良問題基本題型：1、（四邊形中的結構不良問題）在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＋b＝1且滿足條件________．(1)求C；(2)求c的取值范圍．請從下列兩個條件：①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)；②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3)中選一個條件補充到橫線上并解決問題．3、在①a=2,②S=C2cosB，③C=π問題:在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分。新預測破高考1．若的內(nèi)角、、所對應的邊、、滿足,且,則的值為()A． B． C． D．2.某社區(qū)為了美化社區(qū)環(huán)境，欲建一塊休閑草坪，其形狀如圖所示為四邊形ABCD，AB＝2eq\r(3)，BC＝4(單位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且擬在A，C兩點間修建一條筆直的小路(路的寬度忽略不計)，則當草坪ABCD的面積最大時，AC＝()A．2eq\r(7)百米 B．2eq\r(10)百米C．2eq\r(13)百米 D．2eq\r(19)百米3.在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A,2AD＝3BD，則cosA等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．04、（多選題），，分別為內(nèi)角，，的對邊.已知，且，則（）A． B．C．的周長為 D．的面積為5.△ABC中，角C的平分線CD交邊AB于點D，∠A＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(3)，CD＝3eq\r(2)，則BC＝()A．3eq\r(3) B．4C．4eq\r(2) D．66．的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，，則等于（）A．2 B．3 C．4 D．67、（多選題）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交于點，，，以下結論正確的是A． B． C． D．的面積為8．是邊長為2的正三角形，D．E．F分別為AB，AC，BC上三點，且，，則當線段AD的長最小時，（）A． B． C． D．9．在中，，，的面積為，則中最大角的正切值是（）A．或 B． C． D．或10、在中，，為的平分線，，則___________．11．如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長______．12．在中，，的角平分線交于點，若，，則______.13．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大?。唬?）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．14．已知中，內(nèi)角所對邊分別為，若.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范圍.15、在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，請從以下三個條件任選一個作答．①eq\f(a,cosA)，eq\f(b,cosA)，eq\f(c,cosC)成等差數(shù)列；②2a－b＝2ccosB；③ccos(B－A)＋ccosC＝2eq\r(3)bsinAcosC.(1)求角C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，△ABC的面積為eq\r(3)，求a＋b和sinA＋sinB的值．16．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，的面積為，為的中點，求的長.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，請在①a2＋c2－b2＝eq\f(4\r(3),3)S△ABC；②a＋acosB＝eq\r(3)bsinA；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2c－a))cosB＝bcosA這三個條件中任意選擇一個，完成下列問題：(1)求∠B的大小；(2)若b＝2，求△ABC面積的取值范圍．18．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，的面積為，為的中點，求的長.2023高考一輪復習講與練專題26解三角形中的最值、范圍、多元及多邊形問題正（余）弦定理的應用正（余）弦定理的應用求最值求范圍多元問題兩元積兩元商兩元和多形問題多三角形問題多形問題多三角形問題練高考明方向1.(2023·新高考Ⅰ卷T18）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）若，求B；（2）求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【小問1詳解】因為，即，而，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．2.(2023·全國甲（理）T16）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，________．答案：##分析：設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.【詳解】設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.(2023·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點D在邊AC上，BD·sin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.解：(1)證明：由BD·sin∠ABC＝asinC及正弦定理，得BD＝eq\f(asinC,sin∠ABC)＝eq\f(ac,b)＝eq\f(b2,b)＝b.(2)由cos∠BDA＋cos∠BDC＝0及余弦定理，得eq\f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)b))2－c2,2·b·\f(2,3)b)＋eq\f(b2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b))2－a2,2·b·\f(1,3)b)＝0.整理得eq\f(11,3)b2－2a2－c2＝0，即eq\f(11,3)ac－2a2－c2＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－eq\f(11,3)·eq\f(c,a)＋2＝0，解得eq\f(c,a)＝3或eq\f(c,a)＝eq\f(2,3).所以cos∠ABC＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2－\f(c,a),2·\f(c,a)).當eq\f(c,a)＝3時，cos∠ABC＝eq\f(1＋9－3,2×3)＝eq\f(7,6)(不合題意，舍去)；當eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)時，cos∠ABC＝eq\f(1＋\f(4,9)－\f(2,3),2×\f(2,3))＝eq\f(7,12).所以cos∠ABC＝eq\f(7,12).4．（2023·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大?。唬?）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．①；②周長為；③面積為.答案：（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．分析：（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理及（1）得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長度為：.5.(2023·新高考全國Ⅰ卷)在①ac=3,②csinA=3,③c=3b這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求c的值;若問題中的三角形不存在,說明理由.問題:是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且sinA=3sinB,C=π6,注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【命題意圖】本題考查正弦定理與余弦定理的應用,考查分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).【解析】方案一:選條件①.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c.由①因此,選條件①時問題中的三角形存在,此時c=1.方案二:選條件②.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b=c,B=C=π6,A=2π3因此,選條件②時問題中的三角形存在,此時c=23.方案三:選條件③.由C=π6和余弦定理得a2+b2-c22ab=32.于是3b2+b2-c223b2=32,由此可得b因此,選條件③時問題中的三角形不存在.6.(2023·北京高考·T17)在△ABC中,a+b=11,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面積.條件①:c=7,cosA=-17;條件②:cosA=18,cosB=注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理,三角恒等變換等.【解析】方案一:選①.(1)由已知及余弦定理,cosA=b2+c2-a22bc,即-1(2)由(1)知,b=3,又sin2A+cos2A=1,0<A<π,所以sinA=437,由正弦定理得asinA=csin所以sinC=32,S△ABC=12absinC=6方案二:選②.(1)因為cosA=18,所以A∈0,π2,所以sinA=378,因為cosB=9所以sinB=5716,由正弦定理:asinA=bsinB,又由asinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=74,因為a+b=11,所以b=5,所以S△ABC=12absinC=7．(2023年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．答案：（1）；（2）．解析：（1）由正弦定理可得：，，，（2）由余弦定理得：，即．（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為．【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值．8．(2023年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________．答案：【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得．9.(2023·浙江高考·T18)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查正弦定理,和角公式等基礎知識,同時考查運算求解能力.體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【解析】(Ⅰ)由正弦定理,得2sinAsinB=3sinA?sinB=32?B=π(Ⅱ)cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A=sinA+π6+1則A∈π6,π2?A+π6∈π3,2π310．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案：(1);(2)．【解析】(1)由題設及正弦定理得，因為，所以．由，可得，故．因為，故，因此．(2)由題設及(1)知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，．由(1)知，所以，故，從而．因此面積的取值范圍是．【點評】這道題考查了三角函數(shù)的基礎知識，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題．11．(2023年高考數(shù)學課標卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四邊形中，，，,．(1)求;(2)若,求．解析：（1）在中，由正弦定理得．由題設知，，所以．由題設知，，所以．（2）由題設及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．12．(2023高考數(shù)學新課標2理科)中內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積的最大值．答案：（1）；（2）解析：（1）由已知及正弦定理得eq\o\ac(○,1)又eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)，eq\o\ac(○,2)可得又（2）的面積．由已知及余弦定理得又，故，當且僅當時，等號成立．因此的面積的最大值為13．(2023高考數(shù)學新課標1理科)如圖，在中，，，P為內(nèi)一點，(1)若，求；(2)若，求．答案：（1）（2）解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；（Ⅱ）設，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化簡得，，∴=，∴=．14.(2023·浙江高考·T18)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2bsinA=3a.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查正弦定理,和角公式等基礎知識,同時考查運算求解能力.體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【解析】(Ⅰ)由正弦定理,得2sinAsinB=3sinA?sinB=32?B=π(Ⅱ)cosA+cosB+cosC=cosA+12+cos2π3-A=sinA+π6+12,由于C=2π3則A∈π6,π2?A+π6∈π3,2π3,則cosA+cosB15．(2023江蘇)在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為．答案：9【解析】因為，的平分線交于點，所以，由三角形的面積公式可得，化簡得，又，，所以，則，當且僅當時取等號，故的最小值為9．16.(2023·北京高考文科)若△ABC的面積為QUOTE3434(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;QUOTE????ca的取值范圍是.

答案:QUOTEπ3π3(2,+∞)【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范圍,意在考查靈活運用公式與基本運算能力,培養(yǎng)學生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算的數(shù)學素養(yǎng).【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,△ABC的面積S=QUOTE3434(a2+c2-b2)=QUOTE3434·2accosB,又S=QUOTE1212acsinB,所以QUOTE3232cosB=QUOTE1212sinB,因為角C為鈍角,所以cosB≠0,所以tanB=QUOTEsin??cos??sinBcosB=QUOTE33,又0<B<π,所以B=QUOTEπ3π3.由正弦定理,QUOTE????ca=QUOTEsin??sin??sinCsinA,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=QUOTE1212sinA+QUOTE3232cosA,所以QUOTE????ca=QUOTE1212+QUOTE32cos??sin??32cosAsinA=QUOTE1212+QUOTE32tan??32tanA因為B=QUOTEπ3π3,A+B+C=π,所以A+C=QUOTE2π32π3,A=QUOTE2π32π3-C,又0<A<π,C是鈍角,即QUOTEπ2π2<C<π,所以0<A<QUOTEπ6π6,0<tanA<QUOTE3333,QUOTE32tan??32tanA>QUOTE3232,QUOTE????ca=QUOTE1212+QUOTE32tan??32tanA>2,即QUOTE????ca的取值范圍是(2,+∞).17．(2023湖南）設的內(nèi)角的對邊分別為，，且為鈍角．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【解析】（1）由及正弦定理，得，所以，即．又為鈍角，因此+(，)，故=+，即=；（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，所以，于是===，因為0<<，所以0<<，因此<2．由此可知的取值范圍是（，]．18．(2023高考數(shù)學新課標1理科)在平面四邊形中，，B，則的取值范圍是．答案：（，）解析：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當A與D重合與E點時，AB最長，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD，當D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）．19．(2023重慶)已知的內(nèi)角，，滿足=，面積滿足，記，，分別為，，所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．答案：A【解析】因為，由，得，即，整理得，又，因此，由得，即，因此選項C、D不一定成立．又，因此，即，選項A一定成立．又，因此，顯然不能得出，選項B不一定成立．綜上所述，選A．20．(2023高考數(shù)學課標1理科)已知分別為的三個內(nèi)角的對邊,=2,且,則面積的最大值為__________．答案：解析:由且,即,由及正弦定理得:∴,故,∴,∴,∴,21.(2023·山東高考理科·T16)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2(tanA+tanB)=.(1)證明:a+b=2c.(2)求cosC的最小值.【解題指南】利用三角恒等變換與正、余弦定理求解.【解析】(1)由題意得,2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB,即2sin(A+B)=sinA+sinB,又A+B+C=π,所以,sinA+sinB=2sinC,由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知,c=,由余弦定理得,cosC=.所以cosC的最小值為.22．(2023高考數(shù)學新課標2理科)中，是上的點，平分，面積是面積的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)若，，求和的長．解析：（Ⅰ），，因為，，所以．由正弦定理可得．（Ⅱ）因為，所以．在和中，由余弦定理得，．．由（Ⅰ）知，所以．講典例備高考類型一、四邊形中解三角形問題基本題型：1．（四邊形中的求角問題）如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，則cos∠DAC＝()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)答案：B【解析】由已知條件可得圖形，如圖所示，設CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(eq\r(2)a)2＋(eq\r(5)a)2－2×eq\r(2)a×eq\r(5)a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10).2．（四邊形中的求面積問題）為測出小區(qū)的面積，進行了一些測量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積為（）A．B．C．D．答案：D【解析】如圖，連結AC，，則是直角三角形；，是等腰三角形，，，。3．（四邊形中的求邊問題）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，則BC的長為（）A． B．2 C．3 D．答案：C【解析】在中，由余弦定理得，設在中，由正弦定理，，故。4．（四邊形中的求角問題）凸四邊形中，已知，，，，，則__________.答案：【解析】如圖，設，在△中，因為，所以，由余弦定理得，所以.在△中，，所以，在△中，.由正弦定理得.5.（四邊形中的綜合性問題）如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝eq\f(π,2)，點E是AD上一點，DE＝2AE＝4，2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB.(1)求∠BEC的大小；(2)若△BCE的面積S為8eq\r(3)，求BC.【解析】(1)因為2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB＝BE·eq\f(BE2＋BC2－CE2,2BE·BC)＋CE·eq\f(CE2＋BC2－BE2,2CE·BC)＝BC，所以cos∠BEC＝eq\f(1,2).因為∠BEC為三角形的內(nèi)角，故∠BEC＝eq\f(π,3).(2)設∠AEB＝α，則∠DEC＝eq\f(2π,3)－α，其中0＜α＜eq\f(2π,3).因為DE＝2AE＝4，所以BE＝eq\f(AE,cosα)＝eq\f(2,cosα)，CE＝eq\f(DE,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝eq\f(4,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))).△BCE的面積S＝eq\f(1,2)BE·CE·sineq\f(π,3)＝eq\f(2\r(3),cosαcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝eq\f(2\r(3),－\f(cos2α,2)＋\f(\r(3),2)cosαsinα)＝eq\f(8\r(3),－2cos2α＋2\r(3)cosαsinα)＝eq\f(8\r(3),\r(3)sin2α－cos2α－1)＝eq\f(8\r(3),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))－1)，由已知得eq\f(8\r(3),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))－1)＝8eq\r(3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＝1，由0<α<eq\f(2,3)π，得－eq\f(π,6)<2α－eq\f(π,6)<eq\f(7,6)π，故2α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以α＝eq\f(π,3)，此時BE＝eq\f(2,cosα)＝4，CE＝eq\f(4,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α)))＝8，所以在△BCE中，由余弦定理得BC2＝BE2＋CE2－2BE×CEcos∠BEC＝48，所以BC＝4eq\r(3).類型二、多邊形中解三角形問題基本題型：1．17世紀德國著名的天文學家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）．例如，五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，如圖所示，在其中一個黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（）A． B． C． D．答案：D【解析】在，由正弦定理可知，，又.2.黃金分割比值是指將一條線段一分為二，較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值．我們把滿足上述分割的點稱為該線段的黃金分割點，滿足黃金分割比值的分割稱為黃金分割．女生穿高跟鞋、空調(diào)溫度的設置、埃菲爾鐵塔的設計、很多國家國旗上的五角星都和黃金分割息息相關，也正是因為這個比值才讓人類的設計產(chǎn)生了一種自然和諧美．已知連接正五邊形的所有對角線能夠形成國旗上的五角星，如圖點D是線段AB的黃金分割點，由此推斷cos144°＝()A.eq\f(1－\r(5),2) B．－eq\f(\r(5)＋1,4)C.eq\f(1－\r(5),4) D.eq\f(－1－\r(5),8)答案：B【解析】依題意在正五邊形中，每一個內(nèi)角為108°，所以∠ACD＝∠DCB＝∠CBD＝36°，所以∠CAD＝∠CDA＝∠ACB＝72°，所以BC＝AB，CD＝BD＝AC.因為D為AB的黃金分割點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(BD>AD))，所以eq\f(BD,AB)＝eq\f(AD,BD)，即eq\f(BD,AD＋BD)＝eq\f(AD,BD)，解得eq\f(AD,BD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(\r(5)－1,2)，故不妨設CD＝2，AD＝eq\r(5)－1，則在△CDA中，cos36°＝eq\f(22＋22－\r(5)－12,2×2×2)＝eq\f(\r(5)＋1,4)，從而cos144°＝cos(180°－36°)＝－cos36°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).3、某環(huán)保監(jiān)督組織為了監(jiān)控和保護洞庭湖候鳥繁殖區(qū)域，需測量繁殖區(qū)域內(nèi)某濕地、兩地間的距離（如圖），環(huán)保監(jiān)督組織測繪員在（同一平面內(nèi)）同一直線上的三個測量點、、，從點測得，從點測得，，從點測得，并測得，（單位：千米），測得、兩點的距離為___________千米.答案：【解析】在中，，，，，則，在中，，，，則，由正弦定理得，可得，在中，，，，由余弦定理得，因此，（千米）.4．如圖，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值.答案：.【解析】因為CP∥OB，所以∠CPO＝∠POB＝60°﹣θ，∴∠OCP＝120°．在△POC中，由正弦定理得，∴，所以CPsinθ．又，∴OCsin（60°﹣θ）．因此△POC的面積為S（θ）CP?OCsin120°?sinθ?sin（60°﹣θ）sinθsin（60°﹣θ）sinθ（cosθsinθ）（sinθcosθsin2θ）（sin2θcos2θ）[cos（2θ﹣60°）]，θ∈（0°，60°）．所以當θ＝30°時，S（θ）取得最大值為．類型三、最值問題基本題型：1．（三角函數(shù)值的最值問題）銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最小值為（）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意，因為，所以，又由，得，則所以，令，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，所以的最小值為。2．在中，內(nèi)角，，對應的邊分別為，，，且，，邊上的高為，則的最大值為________.答案：【解析】因為，所以由正弦定理得，所以，所以.因為，所以當時，取得最大值為.3、（三角形面積的最值）已知在△ABC中，三邊a，b，c分別對應三個內(nèi)角A，B，C，且eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b).(1)求角C的大小；(2)當△ABC外接圓半徑R＝1時，求△ABC面積的最大值．【解析】(1)∵eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b)，∴c2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))2＝ab，即b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理可得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又角C為△ABC的內(nèi)角，因此C＝eq\f(π,3).(2)∵△ABC外接圓半徑R＝1，∴由正弦定理可得：2R＝eq\f(c,sinC)，則c＝2RsinC＝eq\r(3)，∴b2＋a2－3＝ab，則ab＋3＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤3，當且僅當a＝b＝eq\r(3)時等號成立，∴△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab≤eq\f(3\r(3),4).即△ABC的面積的最大值是eq\f(3\r(3),4)．（三角形周長的最值）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，若A≠eq\f(π,2)，且3acosB＋3bcosA＝ac．(1)求a的值；(2)若A＝eq\f(2π,3)，求△ABC周長的最大值．【解析】(1)則由正弦定理得：3sinAcosB＋3sinBcosA＝asinC?3sin(A＋B)＝asinC?3sinC＝asinC，因為C∈(0，π)，所以sinC≠0，因此a＝3.（2）若A＝eq\f(2π,3)，則由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA?9＝b2＋c2＋bc?b2＋c2－9＝－bc?(b＋c)2－9＝bc，又bc≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋c,2)))2，故(b＋c)2－9≤eq\f(b＋c2,4)，即b＋c≤2eq\r(3)，當且僅當b＝c＝eq\r(3)時取等號，所以a＋b＋c的最大值為3＋2eq\r(3)，即△ABC周長的最大值為3＋2eq\r(3).類型四、范圍問題基本題型1．（三角函數(shù)值的范圍）在中，角、、所對的邊分別是、、.已知，，且滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：D【解析】且，所以，由正弦定理得，即，，，所以，，則，由余弦定理得，，則，由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以，.因此，的取值范圍為.2．（參數(shù)的范圍）在中，,是的平分線，且,則的取值范圍是()A． B． C． D．答案：A【解析】如圖所示，∵在△ABC中，AD是∠A的平分線，AB＝2AC，∴2，∠1＝∠2．令AC＝a，DC＝b，AD＝c，則AB＝2a，BD＝2b．在△ABD與△ACD中，分別利用余弦定理可得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB?AD?cos∠1，DC2＝AC2+AD2﹣2AC?ADcos∠2，∴4b2＝4a2+c2﹣4accos∠1，b2＝a2+c2﹣2ac?cos∠2，化為3c2﹣4accos∠1＝0，又a＝tc，∴cos∠1，∵∠1∈（0，），∴cos∠1∈（0，1）．∴∈（0，），即3．（三角形面積的范圍）在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若△為銳角三角形，且，求△面積的取值范圍．答案：（1）；（2）．【解析】（1）由題設及正弦定理得，因為，所以．由，可得，故．因為，故，由．（2）由題設及（1）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，，由（1）知，所以，故，所以，從而．因此，面積的取值范圍是．基本方法：(1)解決三角形中的某個量的最值問題，除了利用基本不等式外，再一個思路就是利用正弦定理、余弦定理，把該量轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解．(2)利用三角函數(shù)求解最值問題的關鍵是求三角函數(shù)中角的范圍，此時要特別注意題目隱含條件的應用，如銳角三角形、鈍角三角形，三角形內(nèi)角和為π等．類型五、多元問題基本題型：1．（兩元和的求值問題）在銳角三角形中，，，分別為角、、所對的邊，且，，且的面積為，的值為（）A．4 B．6 C．5 D．3答案：C【解析】由，結合正弦定理可得.在銳角三角形中，可得.所以的面積，解得.由余弦定理可得，解得.2．（兩元商的求值問題）的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，，則等于（）A．2 B．3 C．4 D．6答案：B【解析】因為，所以由正弦定理化得：，整理得：，即則由正弦定理得：.3．（兩元積的求值問題）若的內(nèi)角、、所對應的邊、、滿足,且,則的值為()A． B． C． D．答案：C【解析】的邊，滿足，又，由余弦定理得，，故選C.4．（三元商的求值問題）在中，分別是角的對邊,若,且，則的值為()A．2 B． C． D．4答案：A【解析】在中，因為,且，由正弦定理得，因為，則，所以，即，解得，由余弦定理得，即，解得，故選A．5．（兩元和的最值問題）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若.（1）求角的大?。唬?）若，求的最大值.答案：（1）；（2）.【解析】（1）因為，故，由正弦定理可得，，由余弦定理得，，又因為，故.（2）因為，，則有，，其中，故的最大值為.6．（兩元和的范圍問題）設銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為（1）求B的大小；（2）求的取值范圍.答案：（1）；（2）【解析】（1）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由△ABC為銳角的三角形得（2）由△ABC為銳角的三角形知，，所以，，，由此有，所以的取值范圍為（三元和的范圍問題）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB.(1)求角C的大小；(2)求sinA＋cosB＋tanC的取值范圍．【解析】(1)因為sin2C－sin2B＝sin2A－eq\r(3)sinAsinB，由正弦定理得c2－b2＝a2－eq\r(3)ab，所以a2＋b2－c2＝eq\r(3)ab,由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3),2)，因為0<C<eq\f(π,2)，所以C＝eq\f(π,6).(2)因為在銳角△ABC中，C＝eq\f(π,6)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<A<\f(π,2)，,0<B<\f(π,2)，,A＋B＝\f(5π,6)，))得eq\f(π,3)<B<eq\f(π,2)，sinA＋cosB＋tanC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＋cosB＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)sinB＋eq\f(3,2)cosB＋eq\f(\r(3),3)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),3)，因為eq\f(2π,3)<B＋eq\f(π,3)<eq\f(5π,6)，所以eq\f(1,2)<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))<eq\f(\r(3),2)，即eq\f(5\r(3),6)<sinA＋cosB＋tanC<eq\f(3,2)＋eq\f(\r(3),3)，所求取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),6)，\f(3,2)＋\f(\r(3),3))).基本方法：(1)解決三角形中的某個量的范圍問題，除了利用基本不等式外，再一個思路就是利用正弦定理、余弦定理，把該量轉化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解．(2)利用三角函數(shù)求解范圍問題的關鍵是求三角函數(shù)中角的范圍，此時要特別注意題目隱含條件的應用，如銳角三角形、鈍角三角形，三角形內(nèi)角和為π等．類型六、多三角形問題基本題型：1．如圖，在中，是邊上的點，且，，，則的值為（）A． B． C． D．答案：D【解析】設，∴，，，在中，，因為為三角形的內(nèi)角，∴.在中，由正弦定理知.2．在中，已知的平分線,則的面積（）A． B． C． D．答案：D【解析】，為角平分線，即，，則，。3、如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則______，點為邊上一點，且，則的面積為______.答案：10【解析】因為，，，由正弦定理可得：，所以，則；，，由余弦定理可得：，解可得（舍或，所以，．4．已知中，，是的中點，且，則______.答案：【解析】如圖所示，已知，是的中點，且，設，則，，，在中，，，，由正弦定理得，解得.5.如圖，在中，已知點在邊上，，，，．ABCD（1）求的值；（2）求的長ABCD【解析】（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．（2）在中，由正弦定理得，．又，所以．在中，由余弦定理得，．基本方法：多三角形背景解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果．解題時，有時要用到平面幾何中的一些知識點，如相似三角形的邊角關系、平行四邊形的性質(zhì)，要把這些知識與正弦、余弦定理有機結合，才能順利解決問題．類型七、結構不良問題基本題型：1、（四邊形中的結構不良問題）在①面積，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【解析】選擇①：所以；由余弦定理可得，所以。選擇②：設，則，，在中，即，所以，在中，，即，所以.所以，解得，又，所以，所以.2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＋b＝1且滿足條件________．(1)求C；(2)求c的取值范圍．請從下列兩個條件：①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)；②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3)中選一個條件補充到橫線上并解決問題．【解析】(1)補充①S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．由余弦定理可知2abcosC＝a2＋b2－c2，則S＝eq\f(\r(3),4)·2abcosC＝eq\f(\r(3),2)·abcosC，又S＝eq\f(1,2)absinC，故可得tanC＝eq\r(3)，所以C＝eq\f(π,3).補充②eq\r(3)tanAtanB－tanA－tanB＝eq\r(3).由②得eq\r(3)sinAsinB－sinAcosB－cosAsinB＝eq\r(3)cosAcosB，整理可得tan(A＋B)＝－eq\r(3)，故tanC＝eq\r(3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcosC，又cosC＝eq\f(1,2)，a＋b＝1，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab.又a＋b≥2eq\r(ab)，a>0，b>0，∴0<eq\r(ab)≤eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)≤1－3ab<1，即eq\f(1,4)≤c2<1，∴eq\f(1,2)≤c<1，∴c的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).3、在①a=2,②S=C2cosB，③C=π問題:在?ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S，3bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求c的值.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分?！窘馕觥吭谥校驗?，所以根據(jù)正弦定理得所以,因為，所以選擇①，由余弦定理得，解得選擇②，，所以，所以，即，解得選擇③，，因為，所以由得。新預測破高考1．若的內(nèi)角、、所對應的邊、、滿足,且,則的值為()A． B． C． D．答案：C【解析】的邊，滿足，又，由余弦定理得，，故選C.2.某社區(qū)為了美化社區(qū)環(huán)境，欲建一塊休閑草坪，其形狀如圖所示為四邊形ABCD，AB＝2eq\r(3)，BC＝4(單位：百米)，CD＝AD，∠ADC＝60°，且擬在A，C兩點間修建一條筆直的小路(路的寬度忽略不計)，則當草坪ABCD的面積最大時，AC＝()A．2eq\r(7)百米 B．2eq\r(10)百米C．2eq\r(13)百米 D．2eq\r(19)百米答案：C【解析】設∠ABC＝θ，0＜θ＜π，在△ABC中，AC2＝42＋(2eq\r(3))2－2×4×2eq\r(3)cosθ＝28－16eq\r(3)cosθ，由CD＝AD，∠ADC＝60°，所以△ADC為等邊三角形，所以SABCD＝S△ABC＋S△DAC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)AC2＝4eq\r(3)sinθ＋eq\f(\r(3),4)(28－16eq\r(3)cosθ)＝7eq\r(3)＋8eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，當θ＝eq\f(5π,6)時，草坪ABCD的面積最大，此時AC＝eq\r(28＋24)＝2eq\r(13).3.在△ABC中，CD為角C的平分線，若B＝2A,2AD＝3BD，則cosA等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．0答案：C【解析】因為CD為角C的平分線，所以eq\f(AD,BD)＝eq\f(AC,BC)，因為2AD＝3BD，所以eq\f(AC,BC)＝eq\f(3,2)，所以不妨設AC＝3x，BC＝2x，因為在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，B＝2A，所以eq\f(AC,sin2A)＝eq\f(BC,sinA)?eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)，因為在△ABC中，sinA≠0，x≠0，所以eq\f(3x,2sinAcosA)＝eq\f(2x,sinA)?eq\f(3,2cosA)＝2，所以cosA＝eq\f(3,4).4、（多選題），，分別為內(nèi)角，，的對邊.已知，且，則（）A． B．C．的周長為 D．的面積為答案：ABD【解析】∵，∴，∴.由余弦定理得，整理得，又，∴，.周長為.故的面積為.5.△ABC中，角C的平分線CD交邊AB于點D，∠A＝eq\f(2π,3)，AC＝2eq\r(3)，CD＝3eq\r(2)，則BC＝()A．3eq\r(3) B．4C．4eq\r(2) D．6答案：D【解析】在△ACD中，根據(jù)正弦定理得sin∠ADC＝eq\f(AC·sinA,CD)＝eq\f(2\r(3)×\f(\r(3),2),3\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，由∠ADC<∠A，所以∠ADC＝eq\f(π,4)，所以∠ACD＝π－eq\f(2π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(π,12)，所以∠ACB＝eq\f(π,6)，則∠B＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝2eq\r(3)，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝(2eq\r(3))2＋(2eq\r(3))2－2×2eq\r(3)×2eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝36，所以BC＝6.6．的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，，則等于（）A．2 B．3 C．4 D．6答案：B【解析】因為，所以由正弦定理化得：，整理得：，即則由正弦定理得：.7、（多選題）在中，角，，所對的邊分別為，，．若，角的角平分線交于點，，，以下結論正確的是A． B． C． D．的面積為答案：ACD【解析】：因為，由正弦定理可得，，所以，因為，所以即，，由角平分線定理可得，，設，，則，，中，由勾股定理可得，，解可得，即，，，所以．8．是邊長為2的正三角形，D．E．F分別為AB，AC，BC上三點，且，，則當線段AD的長最小時，（）A． B． C． D．答案：C【解析】在中，，當且僅當時取等號，因此當線段AD的長最小時，，9．在中，，，的面積為，則中最大角的正切值是（）A．或 B． C． D．或答案：D【解析】，，或當時，最大角為，則，當時，，由余弦定理可得：，，最大角為，，，綜上所述：中最大角的正切值為或。10、在中，，為的平分線，，則___________．答案：【解析】原題圖形如圖所示：則：，設，則，又，解得：，。11．如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長______．答案：【解析】在△ABD中，由余弦定理得BD=16，在△BCD中，由正弦定理得BC=。12．在中，，的角平分線交于點，若，，則______.答案：【解析】在△ABC中，由余弦定理得.所以.所以.在△ABD中，由正弦定理得.13．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．答案：（1）（2）【解析】（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.14．已知中，內(nèi)角所對邊分別為，若.(1)求角的大小；(2)若