高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊)6.4平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

6.4平面向量的應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義。（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：（或）。（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：（或）。（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式。（5）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題。知識點(diǎn)詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了。知識點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點(diǎn)，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決。常見解析幾何問題及應(yīng)對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)。（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程。（3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件。（4）夾角問題：利用公式。知識點(diǎn)三：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象。（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積。（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論。知識點(diǎn)四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：余弦定理的變形公式：知識點(diǎn)五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角。知識點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一.知識點(diǎn)六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一。（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊。知識點(diǎn)七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角.知識點(diǎn)八、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；知識點(diǎn)九：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形.特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論.在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：知識點(diǎn)十：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識點(diǎn)十一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計(jì)算正確.其解題的一般步驟是：(1)準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(3)分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問題.知識點(diǎn)十二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問題畫圖數(shù)學(xué)問題解三角形數(shù)學(xué)問題的解檢驗(yàn)實(shí)際問題的解【典型例題】類型一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.例3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平分線交線段AB于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．類型二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例4．（2023·全國·高一單元測試）已知在△ABC中，，.對于△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)O，動點(diǎn)P滿足，λ∈[0，+∞).試問動點(diǎn)P的軌跡是否過某一個定點(diǎn)?并說明理由.例5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知點(diǎn).求：（1）的值；（2）的大小；（3）點(diǎn)到直線的距離.例6．（2023·山西·洪洞縣第一中學(xué)校高三期中（理））在三角形ABC中，，，，是線段上一點(diǎn)，且，為線段上一點(diǎn)．（1）設(shè)，，設(shè)，求；.（2）求的取值范圍；（3）若為線段的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，求．類型三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用例7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）兩個力，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：（1），分別對該質(zhì)點(diǎn)做的功；（2），的合力對該質(zhì)點(diǎn)做的功.例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東的方向移動了，其中，方向?yàn)楸逼珫|；，方向?yàn)楸逼珫|；，方向?yàn)楸逼?，求合力所做的?

例9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，重為的勻質(zhì)球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端固定在墻上，端用水平繩索拉住，板長，木板與墻夾角為，如果不計(jì)木板重，當(dāng)為時，求繩的拉力大小.類型四：余弦定理的應(yīng)用：例10．(2023·海南華僑中學(xué)高二期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（1）求角A；（2）如果，，求△ABC的面積.例11．(2023·廣東羅湖·高三期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若邊上的高為，求．例12．（2023·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的周長.類型五：正弦定理的應(yīng)用：例13．(2023·新疆·一模（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若△ABC的面積為，求邊長a.例14．(2023·云南昆明·一模（理））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足①；②；③．（1）從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，，求的面積．例15．（2023·貴州金沙·高二期中）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．（1）若，，求外接圓的半徑；（2）若的周長為16，，求．類型六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀例16．（2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高三期中）已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）判斷三角形△的形狀；（2）記線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，若，，求.例17．（2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，在條件①；②；③中任選一個，做出解答.（1）求角的大??；（2）若，試判斷的形狀.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.類型七：正余弦定理舉例應(yīng)用例18．(2023·河北保定·高三期末）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與.現(xiàn)測得.在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?（1）求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；（2）求塔高（結(jié)果精確到）.例19．（2023·上海浦東新·一模）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.（1）求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）例20．（2023·陜西·西安一中高二期中）如圖，在四邊形中，已知，求類型八：解三角形范圍與最值問題例21．（2023·陜西·西安中學(xué)高三期末（理））在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角；（2）若，求的最小值．例22．(2023·廣東番禺·高二期末）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面積S的最大值.例23．（2023·西藏昌都市第三高級中學(xué)高二期末）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求周長的最大值．【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·北京石景山·高三期末）在△中，若，則（）A． B． C． D．2．(2023·云南·高二期末）初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性發(fā)展，其突出的一點(diǎn)就是三角術(shù)的發(fā)展.三角術(shù)是人們?yōu)榱私⒍康奶煳膶W(xué)，以便用來預(yù)報(bào)天體的運(yùn)行路線和位置以幫助報(bào)時，計(jì)算日歷、航海和研究地理而產(chǎn)生的.對于一切，三個內(nèi)角，，所對的邊分別是a，b，c，始終滿足：（其中，是外接圓的半徑）.若的邊長，外接圓半徑，則等于（）A． B． C． D．3．(2023·廣西河池·高二期末（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形4．(2023·廣西河池·高二期末（理））在中，若，則等于（）A． B． C． D．5．(2023·廣西河池·高二期末（理））已知三角形的邊長分別為2，3，4，則它的最大內(nèi)角的余弦值是（）A． B． C． D．6．（2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一期中）在中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a?b?c，若，，，則B等于（）A． B． C．或 D．37．（2023·天津一中高一期末）的內(nèi)角的對邊分別為則下列說法正確的個數(shù)是（）①若，則②若，則有兩解③若為鈍角三角形，則④若，則面積的最大值為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2023·貴州黔西·高二期中（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A．有最小值，且最小值為 B．有最小值，且最小值為C．有最大值，且最大值為 D．有最大值，且最大值為二、多選題9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．若，則的形狀為等邊三角形B．若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)C．過M任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)A，B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若恒成立，則點(diǎn)M是的垂心D．若，則點(diǎn)M在邊BC的延長線上10．（2023·浙江·高一期中）在水流速度為的河水中，一艘船以的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為11．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列判斷中正確的是（）A．若，則該三角形有兩解 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值12．（2023·福建·三明一中高三期中）隨著市民健康意識的提升，越來越多的人走出家門健身，身邊的健身步道成了市民首選的運(yùn)動場所.如圖，某公園內(nèi)有一個以為圓心，半徑為，圓心角為的扇形人工湖，、是分別由、延伸而成的兩條健身步道.為進(jìn)一步完善全民健身公共服務(wù)體系，主管部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)增建三條健身步道，其中一條與相切于點(diǎn)，且與、分別相交于、，另兩條是分別和湖岸、垂直的、(垂足均不與重合).在區(qū)域以內(nèi)，扇形人工湖以外的空地鋪上草坪，則（）A．點(diǎn)到點(diǎn)的直線距離是一個定值B．新增步道的長度可以為C．新增步道、長度之和可以為D．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，草坪的面積為三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預(yù)測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，則_______.14．（2023·廣西玉林·模擬預(yù)測（理））如圖，無人機(jī)在離地面的高的A處，觀測到山頂M處的仰角為，山腳C處的俯角為，已知，則山的高度為___________.15．(2023·江蘇鹽城·一模）在中，角的對邊分別為.若，則的最小值是___________.16．（2023·云南·模擬預(yù)測（文））已知中，點(diǎn)，點(diǎn)，內(nèi)角的對邊分別為，面積為，且，則滿足條件的點(diǎn)的軌跡長度為______．四、解答題17．(2023·廣東潮州·高三期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，(1)求角B的大??；(2)若點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，BD=2，求面積的最大值．18．(2023·云南昆明·一模（文））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足，．(1)證明：；(2)若為線段上一點(diǎn)，且，，求的面積．19．(2023·廣東東莞·高三期末）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.20．（2023·貴州黔西·高二期中（文））為了測量一個不規(guī)則湖泊兩端C，D之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距1km的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方向上，且A，B，C，D四點(diǎn)在同一水平面上.從點(diǎn)A處觀測得點(diǎn)C在它的東北方向上，點(diǎn)D在它的西北方向上；從點(diǎn)B處觀測得點(diǎn)C在它的北偏東30°方向上，點(diǎn)D在它的北偏西60°方向上.(1)求C，D兩點(diǎn)之間的距離；(2)以點(diǎn)D為觀測點(diǎn)，求點(diǎn)C的方位角.21．(2023·北京昌平·高三期末）在△中，.(1)求A；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上高線的長．條件①：；條件②：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．22．(2023·黑龍江·哈爾濱三中高三期末（理））中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)求的取值范圍.6.4平面向量的應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下幾個方面：（1）證明線段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時用到向量減法的意義。（2）證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線（或線段）是否平行，常運(yùn)用向量平行（共線）的條件：（或）。（3）證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（線段）是否垂直等，常運(yùn)用向量垂直的條件：（或）。（4）求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式。（5）向量的坐標(biāo)法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題。知識點(diǎn)詮釋：用向量知識證明平面幾何問題是向量應(yīng)用的一個方面，解決這類題的關(guān)鍵是正確選擇基底，表示出相關(guān)向量，這樣平面圖形的許多性質(zhì)，如長度、夾角等都可以通過向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，再通過向量的運(yùn)算法則運(yùn)算就可以達(dá)到解決幾何問題的目的了。知識點(diǎn)二：向量在解析幾何中的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對（x，y）既可以表示一個固定的點(diǎn)，又可以表示一個向量，使向量與解析幾何有了密切的聯(lián)系，特別是有關(guān)直線的平行、垂直問題，可以用向量方法解決。常見解析幾何問題及應(yīng)對方法：（1）斜率相等問題：常用向量平行的性質(zhì)。（2）垂直條件運(yùn)用：轉(zhuǎn)化為向量垂直，然后構(gòu)造向量數(shù)量積為零的等式，最終轉(zhuǎn)換出關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程。（3）定比分點(diǎn)問題：轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線及向量共線的等式條件。（4）夾角問題：利用公式。知識點(diǎn)三：向量在物理中的應(yīng)用（1）利用向量知識來確定物理問題，應(yīng)注意兩方面：一方面是如何把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理問題抽象成數(shù)學(xué)模型；另一方面是如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋相關(guān)物理現(xiàn)象。（2）明確用向量研究物理問題的相關(guān)知識：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成與分解就是向量的加減法；③動量mv是數(shù)乘向量；④功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積。（3）用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決問題；三是把結(jié)果還原為物理結(jié)論。知識點(diǎn)四、余弦定理三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：余弦定理的變形公式：知識點(diǎn)五、利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：①已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角；②已知三角形的三條邊，求其三個角。知識點(diǎn)詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一.知識點(diǎn)六、正弦定理正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：知識點(diǎn)詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一。（4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題：=1\*GB3①已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊。知識點(diǎn)七、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角.知識點(diǎn)八、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；知識點(diǎn)九：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形.特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論.在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：①若A為銳角時：一解一解兩解無解②若A為直角或鈍角時：知識點(diǎn)十：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識點(diǎn)十一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計(jì)算正確.其解題的一般步驟是：(1)準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(3)分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問題.知識點(diǎn)十二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問題畫圖數(shù)學(xué)問題解三角形數(shù)學(xué)問題的解檢驗(yàn)實(shí)際問題的解【典型例題】類型一：向量在平面幾何中的應(yīng)用例1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對角線．求證：．【詳解】證明：設(shè)，．因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又則，故．所以.例2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點(diǎn)，BE，BF分別與AC交于R，T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關(guān)系嗎？用向量方法證明你的結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，則.由，可設(shè)，又，，可設(shè)，∵，∴，綜上，有，即，由于與不共線，則，解得，∴.同理，，.∴.例3．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(3，4)，B(5，12)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平分線交線段AB于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】由題設(shè)，，若，則，，∵的平分線交線段AB于點(diǎn)D，且，∴，即，解得.∴.類型二：向量在解析幾何中的應(yīng)用例4．（2023·全國·高一單元測試）已知在△ABC中，，.對于△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)O，動點(diǎn)P滿足，λ∈[0，+∞).試問動點(diǎn)P的軌跡是否過某一個定點(diǎn)?并說明理由.【解析】是.理由:如圖，以為鄰邊作?ABDC，設(shè)對角線AD，BC交于點(diǎn)E，則.由，得，.故共線.由可知動點(diǎn)P的軌跡是射線AE，故動點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心.例5．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知點(diǎn).求：（1）的值；（2）的大小；（3）點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以；?），因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以在方向上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為.例6．（2023·山西·洪洞縣第一中學(xué)校高三期中（理））在三角形ABC中，，，，是線段上一點(diǎn)，且，為線段上一點(diǎn)．（1）設(shè)，，設(shè)，求；.（2）求的取值范圍；（3）若為線段的中點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，求．【詳解】（1）而，．（2）在三角形中，，，，①不妨設(shè)，①式，．（3）為線段的中點(diǎn)不妨設(shè)，、M、D三點(diǎn)共線．即類型三：向量在物理學(xué)的應(yīng)用例7．（2023·全國·高一課時練習(xí)）兩個力，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)（其中、分別是x軸正方向、y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）.求：（1），分別對該質(zhì)點(diǎn)做的功；（2），的合力對該質(zhì)點(diǎn)做的功.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，，故對該質(zhì)點(diǎn)做的功（）；對該質(zhì)點(diǎn)做的功（）.（2）根據(jù)題意，，的合力，故，的合力對該質(zhì)點(diǎn)做的功（）.例8．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力，，的作用，沿北偏東的方向移動了，其中，方向?yàn)楸逼珫|；，方向?yàn)楸逼珫|；，方向?yàn)楸逼鳎蠛狭λ龅墓?

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，位移，所以，所以合力所做的功為，例9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，重為的勻質(zhì)球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端固定在墻上，端用水平繩索拉住，板長，木板與墻夾角為，如果不計(jì)木板重，當(dāng)為時，求繩的拉力大小.【詳解】設(shè)球的重力為，球?qū)Π宓膲毫椋K對板的拉力為，由已知得，由處于平衡狀態(tài)，以為杠桿支點(diǎn)，有.又，，，所以繩的拉力為.類型四：余弦定理的應(yīng)用：例10．(2023·海南華僑中學(xué)高二期末）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，（1）求角A；（2）如果，，求△ABC的面積.【詳解】解：（1）因?yàn)橛烧叶ɡ淼?，即，所以，，所?（2）又，，所以，所以.例11．(2023·廣東羅湖·高三期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大小；（2）若邊上的高為，求．【解析】（1）解：由余弦定理，得，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以，，則，，因此，.（2）解：因?yàn)榈拿娣e，則，由余弦定理，得，所以，，所以，.例12．（2023·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的周長.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由余弦定理可得：，又因?yàn)椋?（2）由已知所以，由已知及余弦定理得，即，所以，解得：或（舍），所以的周長為.類型五：正弦定理的應(yīng)用：例13．(2023·新疆·一模（理））在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若△ABC的面積為，求邊長a.【解析】（1）由，得即，∴，，∴，由正弦定理，可得，即.（2）∵，，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴即邊長.例14．(2023·云南昆明·一模（理））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足①；②；③．（1）從①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；（2）若為線段上一點(diǎn)，且，，求的面積．【解析】（1）“由①②③”證明：因?yàn)?，由正弦定理：，所以，；因?yàn)椋?，所以，由余弦定理得：“由②③①”因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)?，由正弦定理：，所以，，所以，“由①③②”因?yàn)?，由余弦定理得，又，，所以，所以三角形為等腰直角三角形，?（2）由已知設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，所以，根?jù)正弦定理得：，則，，.例15．（2023·貴州金沙·高二期中）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．（1）若，，求外接圓的半徑；（2）若的周長為16，，求．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椋?，所以外接圓的半徑為；（2）因?yàn)榈闹荛L為16，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得．類型六：利用正余弦定理判斷三角形的形狀?6．（2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)高三期中）已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）判斷三角形△的形狀；（2）記線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，若，，求.【解析】（1）∵，由正弦定理得，整理得.∴由，可得，即三角形為等腰三角形.（2）設(shè)，則，由余弦定理得：，，而，∴，解得，∴.例17．（2023·山東師范大學(xué)附中高三期中）已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，在條件①；②；③中任選一個，做出解答.（1）求角的大?。唬?）若，試判斷的形狀.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【解析】（1）選①，，，，，則，；選②，由正弦定理得：，，，，，，；選③由，根據(jù)正弦定理，有，即有，則有，又，所以，.（2）法一：因?yàn)?，所以，所以，即，，因?yàn)?，所以，或，則，或，所以時，；時，；所以為直角三角形.法二：因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，即，所以或，?dāng)時，解得；當(dāng)時，；所以為直角三角形.類型七：正余弦定理舉例應(yīng)用例18．(2023·河北保定·高三期末）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與.現(xiàn)測得.在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?（1）求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；（2）求塔高（結(jié)果精確到）.【解析】（1）在中，，由正弦定理得，則.（2）由正弦定理得，則.故塔高.例19．（2023·上海浦東新·一模）某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域.如圖，、為直線岸線，米，米，，該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧，過弧上一點(diǎn)按線段和修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知.（1）求岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離；（2）如果線段上的網(wǎng)箱每米可獲得40元的經(jīng)濟(jì)收益，線段上的網(wǎng)箱每米可獲得30元的經(jīng)濟(jì)收益.記，則這兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高為多少？（精確到元）【解析】（1），岸線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線距離為米.（2）△中，，，，（），設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為元，則，當(dāng)，即時，（元）所以兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益最高約為55076元.例20．（2023·陜西·西安一中高二期中）如圖，在四邊形中，已知，求【詳解】過點(diǎn)作于，在Rt中，.在中，.又.在中，..類型八：解三角形范圍與最值問題例21．（2023·陜西·西安中學(xué)高三期末（理））在△中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角；（2）若，求的最小值．【解析】（1）△中，，由正弦定理知，，∵，∴，∴，∴，∴，又∵,∴；（2）由（1）及得，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為.例22．(2023·廣東番禺·高二期末）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△的面積S的最大值.【解析】（1）由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.（2）由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△的面積S的最大值為.例23．（2023·西藏昌都市第三高級中學(xué)高二期末）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求周長的最大值．（1），由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，∴；（2）∵，，∴，即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.∴周長的最大值為.【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·北京石景山·高三期末）在△中，若，則（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：通過正弦定理將邊化為角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，由于，即，所以，得，故選：C.2．(2023·云南·高二期末）初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性發(fā)展，其突出的一點(diǎn)就是三角術(shù)的發(fā)展.三角術(shù)是人們?yōu)榱私⒍康奶煳膶W(xué)，以便用來預(yù)報(bào)天體的運(yùn)行路線和位置以幫助報(bào)時，計(jì)算日歷、航海和研究地理而產(chǎn)生的.對于一切，三個內(nèi)角，，所對的邊分別是a，b，c，始終滿足：（其中，是外接圓的半徑）.若的邊長，外接圓半徑，則等于（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由正弦定理建立方程求解即可.【詳解】解：由已知得，即，解得，故選：C.3．(2023·廣西河池·高二期末（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案：B【解析】分析：根據(jù)降冪公式，先得到，化簡整理，再由正弦定理，得到，推出，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，即．由正弦定理得：．在中，，從而有，即．在中，，所以．由此得，故為直角三角形.故選：B.4．(2023·廣西河池·高二期末（理））在中，若，則等于（）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：結(jié)合正弦定理以及二倍角公式化簡整理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，結(jié)合正弦定理知，而，所以，即，由于，即，故，因此，故選：C.5．(2023·廣西河池·高二期末（理））已知三角形的邊長分別為2，3，4，則它的最大內(nèi)角的余弦值是（）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)三角形大邊對大角可得邊長為4所對的角最大，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)三角形三邊分別為2、3、4，則最大，所以.故選：B6．（2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一期中）在中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a?b?c，若，，，則B等于（）A． B． C．或 D．3答案：A【解析】分析：利用正弦定理可求答案.【詳解】由正弦定理可知，；因?yàn)?，，，所以；因?yàn)?，所以或（舍?故選：A.7．（2023·天津一中高一期末）的內(nèi)角的對邊分別為則下列說法正確的個數(shù)是（）①若，則②若，則有兩解③若為鈍角三角形，則④若，則面積的最大值為A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：C【解析】分析：利用正弦定理結(jié)合大邊對大角定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用正弦定理可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式?余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng)的正誤．【詳解】對于選項(xiàng)，若，則，由正弦定理可得，所以，選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，則，所以，有兩解，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若為鈍角三角形且為鈍角，則，可得選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由余弦定理與基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，D選項(xiàng)正確．故選：C．8．（2023·貴州黔西·高二期中（理））已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A．有最小值，且最小值為 B．有最小值，且最小值為C．有最大值，且最大值為 D．有最大值，且最大值為答案：A【解析】分析：由，得，，然后結(jié)合余弦定理可求出的范圍，再利用余弦的二倍角公式可求出的范圍【詳解】因?yàn)?，所以，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故有最小值，且最小值.故選：A二、多選題9．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．若，則的形狀為等邊三角形B．若，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)C．過M任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)A，B，C作l的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，若恒成立，則點(diǎn)M是的垂心D．若，則點(diǎn)M在邊BC的延長線上答案：AB【解析】分析：根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，以及數(shù)量積運(yùn)算，一一判斷即可.【詳解】對于選線A，如圖作的中點(diǎn)，連接，由，得，即，結(jié)合三角形性質(zhì)易知，，同理，，故的形狀為等邊三角形，故A正確；對于選項(xiàng)B，由，得，即，因此點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C，如圖當(dāng)過點(diǎn)時，，由，得，則直線經(jīng)過的中點(diǎn)，同理直線經(jīng)過的中點(diǎn)，直線經(jīng)過的中點(diǎn)，因此點(diǎn)M是的重心，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，由，得，即，因此點(diǎn)M在邊的延長線上，故D錯.故選：AB.10．（2023·浙江·高一期中）在水流速度為的河水中，一艘船以的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為答案：BD【解析】分析：根據(jù)題意作出圖示，結(jié)合向量的平行四邊形法則計(jì)算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夾角.【詳解】設(shè)船的實(shí)際航行速度為，水流速度為，船的航行速度為，根據(jù)向量的平行四邊形法則可知：，設(shè)船的航行方向和水流方向的夾角為，所以，所以，故選：BD.11．（2023·全國·高一課時練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列判斷中正確的是（）A．若，則該三角形有兩解 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值答案：BC【解析】分析：根據(jù)、選項(xiàng)給出的條件，利用正弦定理解出和，結(jié)合角度大小進(jìn)行判斷；，選項(xiàng)，根據(jù)余弦定理結(jié)合均值不等式即可判斷．【詳解】解：對于，由，得，由于，所以，故為銳角，所以只有一組解，錯誤；對于，同理，由，可得，由于，所以，有兩個解，則相應(yīng)的有兩個解，正確；對于，由，得．故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形周長最大，最大值為，此時三角形為等邊三角形，故正確；對于，由推導(dǎo)過程知得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時三角形面積最大，最大值為，故錯誤，故選：．12．（2023·福建·三明一中高三期中）隨著市民健康意識的提升，越來越多的人走出家門健身，身邊的健身步道成了市民首選的運(yùn)動場所.如圖，某公園內(nèi)有一個以為圓心，半徑為，圓心角為的扇形人工湖，、是分別由、延伸而成的兩條健身步道.為進(jìn)一步完善全民健身公共服務(wù)體系，主管部門準(zhǔn)備在公園內(nèi)增建三條健身步道，其中一條與相切于點(diǎn)，且與、分別相交于、，另兩條是分別和湖岸、垂直的、(垂足均不與重合).在區(qū)域以內(nèi)，扇形人工湖以外的空地鋪上草坪，則（）A．點(diǎn)到點(diǎn)的直線距離是一個定值B．新增步道的長度可以為C．新增步道、長度之和可以為D．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，草坪的面積為答案：ABD【解析】分析：設(shè)，則，其中，利用解三角形及三角變換變換公式逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，其中.故，，故.故，故A正確.又，而，故，因?yàn)?，故，由基本不等式可得：，故，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，的取值范圍為，而，故B成立.,因?yàn)椋?，故，故的取值范圍為，故C不正確.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，，故草坪的面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預(yù)測（文））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足