高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題(新高考地區(qū)專用)考向40事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式(七大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向40事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式經(jīng)典題型一：條件概率經(jīng)典題型二：相互獨(dú)立事件的判斷經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算經(jīng)典題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用(2023·全國·高考真題（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案：D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D(2023·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.知識點(diǎn)1、條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．知識點(diǎn)2、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．知識點(diǎn)3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率．1、兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．2、貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．經(jīng)典題型一：條件概率1．(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（

）A． B． C． D．2．(2023·山東日照·三模）若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率3．(2023·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．4．(2023·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則（

）A． B． C． D．5．(2023·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）漳州某地準(zhǔn)備建造一個(gè)以水仙花為主題的公園.在建園期間，甲?乙?丙三個(gè)工作隊(duì)負(fù)責(zé)采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻時(shí)會(huì)損壞部分水仙花球莖，假設(shè)水仙花球莖損壞后便不能使用，無損壞的全部使用.已知甲?乙?丙工作隊(duì)所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%，35%，40%，甲?乙?丙工作隊(duì)采摘的水仙花球莖的使用率分別為0.8，0.6，0.75（水仙花球莖的使用率）.(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊(duì)采摘的水仙花球莖被抽取到的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，求它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率.經(jīng)典題型二：相互獨(dú)立事件的判斷6．(2023·湖北·模擬預(yù)測）奧密克戎變異毒株傳染性強(qiáng)、傳播速度快隱蔽性強(qiáng)，導(dǎo)致上海疫情嚴(yán)重，牽動(dòng)了全國人民的心．某醫(yī)院抽調(diào)了包括甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生隨機(jī)派往上海①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生，“醫(yī)生甲派往①醫(yī)院”記為事件A：“醫(yī)生乙派往①醫(yī)院”記為事件B；“醫(yī)生乙派往②醫(yī)院”記為事件C，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．7．(2023·全國·模擬預(yù)測（文））一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，四個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4．拋擲該正四面體兩次，依次記下它與地面接觸的面上的數(shù)字．記事件A為“第一次記下的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“第二次記下的數(shù)字比第一次記下的數(shù)字大1”，則下列說法正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C． D．事件A與事件B相互獨(dú)立8．(2023·湖南常德·一模）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．9．(2023·上海金山·一模）設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算10．(2023·福建·模擬預(yù)測）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動(dòng)中，對投壺的壺也有所改進(jìn)，即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得分.投入壺耳一次得分，現(xiàn)有甲?乙兩人進(jìn)行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨(dú)立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壺口的概率為，投中壺耳的概率為.四支箭投完，以得分多者贏請問乙贏得這局比賽的概率為（

）A． B． C． D．11．(2023·天津和平·二模）已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次（假定費(fèi)用只可能為、、元）．甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為（

）A． B． C． D．12．(2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A，B，C三個(gè)景區(qū)中的一個(gè)景區(qū)旅游，甲乙去A，B，C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：則甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為（

）去A景區(qū)旅游去B景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游甲0.40.2乙0.30.6A．0.66 B．0.58 C．0.54 D．0.5213．(2023·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）某同學(xué)高考后參加國內(nèi)3所名牌大學(xué)A，B，C的“強(qiáng)基計(jì)劃”招生考試，已知該同學(xué)能通過這3所大學(xué)A，B，C招生考試的概率分別為x，y，，該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，且該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率為，該同學(xué)恰好通過A，B兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為（

）A． B． C． D．14．(2023·河南開封·三模（理））生物的性狀是由遺傳因子確定的，遺傳因子在體細(xì)胞內(nèi)成對存在，一個(gè)來自父本，一個(gè)來自母本，且等可能隨機(jī)組合.豌豆子葉的顏色是由顯性因子D（表現(xiàn)為黃色），隱性因子d（表現(xiàn)為綠色）決定的，當(dāng)顯性因子與隱形因子結(jié)合時(shí)，表現(xiàn)顯性因子的性狀，即DD，Dd都表現(xiàn)為黃色；當(dāng)兩個(gè)隱形因子結(jié)合時(shí)，才表現(xiàn)隱形因子的性狀，即dd表現(xiàn)為綠色.已知父本和母本確定子葉顏色的遺傳因子都是Dd，不考慮基因突變，從子一代中隨機(jī)選擇兩粒豌豆進(jìn)行雜交，則選擇的豌豆的子葉都是黃色且子二代豌豆的子葉是綠色的概率為（

）A． B． C． D．15．(2023·廣東韶關(guān)·二模）某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1和元件2同時(shí)正常工作，或元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件正常工作的概率均為，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件正常工作的概率為（

）A． B． C． D．經(jīng)典題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用16．(2023·遼寧鞍山·一模）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問天實(shí)驗(yàn)艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場，計(jì)劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級太空實(shí)驗(yàn)室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.17．(2023·河南安陽·模擬預(yù)測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對5個(gè)樣品進(jìn)行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響.(1)若3個(gè)樣品選擇甲方案，2個(gè)樣品選擇乙方案.（i）求5個(gè)樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個(gè)樣品測試合格的概率.(2)若測試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測試的樣品個(gè)數(shù).18．(2023·江西九江·三模（理））電子競技（Electronic

Sports）是電子游戲比賽達(dá)到“競技”層面的體育項(xiàng)目，其利用電子設(shè)備作為運(yùn)動(dòng)器械進(jìn)行的、人與人之間的智力和體力結(jié)合的比拼.電子競技可以鍛煉和提高參與者的思維能力、反應(yīng)能力、四肢協(xié)調(diào)能力和意志力，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月10日至25日在浙江杭州舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)增設(shè)電子競技競賽項(xiàng)目，比賽采取“雙敗淘汰制”.以一個(gè)4支戰(zhàn)隊(duì)參加的“雙敗淘汰制”為例，規(guī)則如下：首輪比賽：抽簽決定4支戰(zhàn)隊(duì)兩兩對陣，共兩場比賽.根據(jù)比賽結(jié)果（每場比賽只有勝、敗兩種結(jié)果），兩支獲勝戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入勝者組，另外兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入敗者組；第二輪比賽：敗者組兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊(duì)（該戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍）；勝者組兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入總決賽，失敗戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入敗者組；第三輪比賽：上一輪比賽中敗者組的獲勝戰(zhàn)隊(duì)與勝者組的失敗戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊(duì)（該戰(zhàn)隊(duì)獲得季軍）；第四輪比賽：剩下的兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行總決賽，獲勝戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍，失敗戰(zhàn)隊(duì)獲得亞軍.現(xiàn)有包括戰(zhàn)隊(duì)在內(nèi)的4支戰(zhàn)隊(duì)參加比賽，采用“雙敗淘汰制”.已知戰(zhàn)隊(duì)每場比賽獲勝的概率為，且各場比賽互不影響.(1)估計(jì)戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍的概率；(2)某公司是戰(zhàn)隊(duì)的贊助商之一，賽前提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案1：獲得冠軍則獎(jiǎng)勵(lì)24萬元，獲得亞軍或季軍則獎(jiǎng)勵(lì)15萬元，獲得殿軍則不獎(jiǎng)勵(lì)；方案2：獲得冠軍則獎(jiǎng)勵(lì)（其中以全勝的戰(zhàn)績獲得冠軍獎(jiǎng)勵(lì)40萬元，否則獎(jiǎng)勵(lì)30萬元），其他情況不獎(jiǎng)勵(lì).請以獲獎(jiǎng)金額的期望為依據(jù)，選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案，并說明理由.19．(2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止．獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．若，，，，求．(2)記事件為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)，，時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件．20．(2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）某工廠對一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，具體檢測方案是：從這批零件中任取10件逐一進(jìn)行檢測，當(dāng)檢測到2件不合格零件時(shí)，停止檢測，此批零件未通過，否則檢測通過.設(shè)每件零件為合格零件的概率為p，且每件零件是否合格是相互獨(dú)立的.(1)已知，若此批零件檢測未通過，求恰好檢測5次的概率；(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元，合格零件的售價(jià)為每件150元.現(xiàn)對不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)后按正常零件進(jìn)行銷售，修復(fù)后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修復(fù)的費(fèi)用為每件20元，每件不合格的零件修復(fù)為合格零件的概率為工廠希望每件零件可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）“送出一本書，共圓讀書夢”，某校組織為偏遠(yuǎn)鄉(xiāng)村小學(xué)送書籍的志愿活動(dòng)，運(yùn)送的卡車共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書．到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的概率為（

）A． B． C． D．22．(2023·黑龍江·綏芬河市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）某射擊小組共有25名射手，其中一級射手5人，二級射手10人，三級射手10人，若一、二、三級射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9，0.8，0.4，則任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.7523．(2023·山東濰坊·高三階段練習(xí)）某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，而沒有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是（

）A． B． C． D．24．(2023·全國·模擬預(yù)測）書架上放有本語文書和本數(shù)學(xué)書，學(xué)生甲先隨機(jī)取走本書，學(xué)生乙再在剩下的書中隨機(jī)取走本書．已知甲至少取走了本數(shù)學(xué)書，則乙取走語文書的概率為__________．25．(2023·黑龍江·牡丹江市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)）一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，若他答對了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是__________.經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用26．(2023·全國·高三專題練習(xí)）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示到家時(shí)間5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結(jié)果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為______．27．(2023·山東青島·高三開學(xué)考試）北京時(shí)間年月日，歷時(shí)天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，中國代表團(tuán)以金?銀?銅?打破項(xiàng)世界紀(jì)錄?創(chuàng)造項(xiàng)奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄的傲人成績，順利收官.作為“夢之隊(duì)”的中國乒乓球隊(duì)在東京奧運(yùn)會(huì)斬獲金銀的好成績，參賽的名選手全部登上領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái).我國是乒乓球生產(chǎn)大國，某廠家生產(chǎn)了兩批同種規(guī)格的乒乓球，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.為確保質(zhì)量，現(xiàn)在將兩批乒乓球混合，工作人員從中抽樣檢查·（1）從混合的乒乓球中任取個(gè).（i）求這個(gè)乒乓球是合格品的概率；（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率.（2）從混合的乒乓球中有放回地連續(xù)抽取次，每次抽取個(gè)，記兩次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.28．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)某廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？29．(2023·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校高三開學(xué)考試）某品牌汽車廠今年計(jì)劃生產(chǎn)10萬輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個(gè)配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲、乙兩個(gè)配件廠家訂購．已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計(jì)劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．(1)分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數(shù)量；(2)已知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；(3)現(xiàn)有一輛轎車由于使用了次品配件M出現(xiàn)了質(zhì)量問題，需要返廠維修，維修費(fèi)用為14000元，若維修費(fèi)用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔(dān)，則它們各自應(yīng)該承擔(dān)的維修費(fèi)用分別為多少？經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用30．（多選題）(2023·全國·高三專題練習(xí)）甲箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙箱中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則（

）A．事件與事件相互獨(dú)立 B．C． D．31．(2023·全國·高三專題練習(xí)）兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍．(1)求任意取出1個(gè)零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1個(gè)零件是廢品，求它是第二臺(tái)車床加工的概率．32．(2023·山西長治·高三階段練習(xí)）已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng)．（i）；（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．1．（2023·全國·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立2．（2023·天津·高考真題）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.3．(2023·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.4．(2023·全國·高考真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計(jì)值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285．（2023·北京·高考真題）某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）6．（2023·全國·高考真題（理））甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.7．(2023·天津·高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________8．（2023·天津·高考真題）甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對且另一方猜錯(cuò)，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為____________，3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為______________．經(jīng)典題型一：條件概率1．答案：D【解析】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為和，則男員工中，肥胖者有人，女員工中，肥胖者有人，設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，則，，則.故選：D.2．答案：A【解析】由題意可知：表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，表示在事件B不發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件A發(fā)生的概率.故選：A.3．答案：D【解析】由題意得，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤，D正確；，所以C錯(cuò)誤；故選：D4．答案：D【解析】由題可得，，，所以．故選：D5．【解析】（1）在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊(duì)采摘的概率是.依題意，的所有取值為0，1，2，3，且，所以，，即，，，，所以的分布列為：0123所以.（2）用，，分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊(duì)采摘，表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，則，，，且，故，所以.即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率為.經(jīng)典題型二：相互獨(dú)立事件的判斷6．答案：C【解析】將甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生派往①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生有個(gè)基本事件，它們等可能．事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件AB含有的基本事件數(shù)為，則事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，即事件A與B相互不獨(dú)立，事件A與C相互不獨(dú)立，故A、B不正確；，，故選：C．7．答案：C【解析】由題意得，，，∵，∴事件A和事件B不相互獨(dú)立，．故選：C．8．答案：D【解析】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個(gè)村莊義診的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件AB含有的基本事件數(shù)為，則，事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，對于A，，即事件A與B相互不獨(dú)立，A不正確；對于B，，即事件A與C相互不獨(dú)立，B不正確；對于C，，C不正確；對于D，，D正確.故選：D9．答案：D【解析】若為互斥事件，且，則，故（1）正確；若則由相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；若，則由對立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；若，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，故（4）錯(cuò)誤；若則由對立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（5）正確.故選D.經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算10．答案：A【解析】由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：（1）第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入表耳，其概率為；（2）第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口?壺耳均可，其概率為，所以乙贏得這局比賽的概率為.故選：A.11．答案：B【解析】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為．故選：B．12．答案：A【解析】由題可得甲乙去A，B，C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：去A景區(qū)旅游去B景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游甲0.40.20.4乙0.10.30.6故甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率為，故甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為.故選：A.13．答案：D【解析】由題意，恰好通過兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為，故選：D．14．答案：B【解析】因?yàn)樽右淮羞z傳因子為，取兩粒葉子為黃色的豌豆并要子二代是綠色，所以子一代父本、母本只能取型基因，取出兩粒都是滿足題意的子一代豌豆概率為，因?yàn)樽佣~子是綠色的，故基因?yàn)?，所占概率為，所以由相互?dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率為.故選：B15．答案：D【解析】討論元件3正常與不正常，第一類，元件3正常，上部分正常或不正常都不影響該部件正常工作，則正常工作的概率為．第二類，元件3不正常，上部分必須正常，則正常工作的概率為，故概率為．故選：D．經(jīng)典題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用16．【解析】（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因?yàn)椋约妆纫谊J關(guān)成功的可能性大.17．【解析】（1）（i）因?yàn)?個(gè)樣品選擇甲方案,2個(gè)樣品選擇乙方案,所以5個(gè)樣品全部測試合格的概率為（ii）4個(gè)樣品測試合格分兩種情況,第一種情況,3個(gè)樣品甲方案測試合格和1個(gè)樣品乙方案測試合格,此時(shí)概率為第二種情況,2個(gè)樣品甲方案測試合格和2個(gè)樣品乙方案測試合格,此時(shí)概率為所以4個(gè)樣品測試合格的概率為（2）設(shè)選擇甲方案測試的樣品個(gè)數(shù)為,則選擇乙方案測試的樣品個(gè)數(shù)為,并設(shè)通過甲方案測試合格的樣品個(gè)數(shù)為,通過乙方案測試合格的樣品個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案乙測試,則,所以,不符合題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測試,則所以,符合題意;當(dāng)時(shí),,所以若使,,則,由于,故時(shí)符合題意,綜上,選擇甲方案測試的樣品個(gè)數(shù)為3,4或者5時(shí),測試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3.18．【解析】(1)由題意可知，戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍有以下3種可能情況：①“勝勝勝”概率為②“敗勝勝勝”概率為③“勝敗勝勝”概率為則戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍的概率為；(2)戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍的情況是“敗敗”，故戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍的概率為，則獲得亞軍或季軍的概率為，設(shè)方案1中戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額為，則其分布列為24150若選擇方案1，則戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額的期望為（萬元）設(shè)方案2中戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額為，則其分布列為40300若選擇方案2，則戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額的期望為（萬元）∵，故選擇方案1、方案2均可.19．【解析】(1)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，2．，，故，從而．(2)設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，3．，，故，即，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，從而，所以，故事件是小概率事件．20．答案：(1)(2)分析：若此批零件檢測未通過，恰好檢測5次，則第五次檢驗(yàn)不合格，前四次有一次檢驗(yàn)不合格，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，即可求解．由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，則X可取70，50，，分別求出對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解．（1）記事件“此批零件檢測未通過，恰好檢測5次”則前4次有1次未通過，第5次未通過.即恰好檢測5次未通過的概率為；（2）由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，設(shè)每件零件可獲利X元，；50；；；，則，

解得，即：每件零件為合格零件的概率p的最小值為經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用21．答案：A【解析】設(shè)事件A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，事件表示丟失的一箱為分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書．由全概率公式得．故選：A22．答案：B【解析】設(shè)表示選到i級射手的事件，B表示任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的事件，則,,故任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為,故選：B23．答案：C【解析】記事件某人患肝癌，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是.故選：C.24．答案：【解析】記2本語文書為，本數(shù)學(xué)書為，則甲至少取走了本數(shù)學(xué)書包含以下基本事件：共9個(gè)基本事件，設(shè)“甲至少取走了本數(shù)學(xué)書的情況下甲取走i本數(shù)學(xué)書”為事件，“乙取走語文書”為事件，則事件包含共6個(gè)基本事件，故同理可得則，故答案為：25．答案：【解析】設(shè)表示“考生答對”，表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得故故答案為：.經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用26．答案：【解析】設(shè)事件H表示“乘地鐵回家”，則事件表示“乘汽車回家”．到家時(shí)間為5：47，屬于區(qū)間5：45~5：49，設(shè)事件T表示“到家時(shí)間在5：45~5：49之間”，則所求概率為．易知，，因?yàn)樗怯蓴S硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，所以．由貝葉斯公式得．故答案為：27．【解析】設(shè)事件“任取一個(gè)乒乓球是合格品”，事件“產(chǎn)品取自第一批”，事件“產(chǎn)品取自第二批”，則且互斥；（1）（i）由全概率公式可知：，所以；（ii）由貝葉斯公式可知：；（2）由條件可知：的可取值為，，，，所以的分布列為：所以.28．【解析】（1）取到次品的概率為（2）若取到的是次品，則：此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：.29．【解析】（1）設(shè)使用甲廠生產(chǎn)的配件M的比例為a，則使用乙廠生產(chǎn)的配件M的比例為0.8-a，由已知可得，解得a＝0.5．所以需要從甲廠訂購配件M的數(shù)量為100.5＝5萬個(gè)；從乙廠訂購配件M的數(shù)量為＝3萬個(gè)．（2）由（1）知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的比例分別為0.5，0.3，0.2，所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計(jì)值為，所以該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為0.028．（3）設(shè)A＝“該轎車使用了次品配件”，“配件M來自甲廠”，“配件M來自乙廠”，“配件M來自本廠”．由（2）可知．該次品配件M來自甲廠的概率為：，該次品配件M來自乙廠的概率為：，該次品配件M來自本廠的概率為：，所以甲廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元，乙廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元，本廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元．經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用30．答案：BD【解析】由題意知：，，，，，，，D正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，，，事件與事件不相互獨(dú)立，A錯(cuò)誤.故選：BD.31．【解析】（1）設(shè)表示“第i臺(tái)機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C表示“出現(xiàn)合格品”．．（2）．32．【解析】（1）記事件A為“題目答對了”，事件B為“知道正確答案”，則由全概率公式：，所求概率為.（2）設(shè)事件表示小明選擇了個(gè)選項(xiàng)，，表示選到的選項(xiàng)都是正確的.則，，.（i）；（ii）隨機(jī)變量的分布列為025.1．答案：B【解析】，故選：B2．答案：

【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.3．【解析】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．4．【解析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因?yàn)?，所以所以?ii)由已知，，又，，所以5．【解析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）6．【解析】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.7．答案：

【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.8．答案：

【解析】由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；則在3次活動(dòng)中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.考向40事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式經(jīng)典題型一：條件概率經(jīng)典題型二：相互獨(dú)立事件的判斷經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算經(jīng)典題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用經(jīng)典題型七：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用(2023·全國·高考真題（理））某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大答案：D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則此時(shí)連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.故選：D(2023·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.知識點(diǎn)1、條件概率（一）定義一般地，設(shè)，為兩個(gè)事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時(shí)用條件概率公式計(jì)算就沒有意義了，所以條件概率計(jì)算必須在的情況下進(jìn)行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當(dāng)于發(fā)生，要求，相當(dāng)于把看作新的基本事件空間計(jì)算發(fā)生的概率，即．知識點(diǎn)2、相互獨(dú)立與條件概率的關(guān)系（一）相互獨(dú)立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨(dú)立事件的概念對于兩個(gè)事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設(shè)，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，，從而．由此我們可得：設(shè)，為兩個(gè)事件，若，則稱事件與事件相互獨(dú)立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個(gè)事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨(dú)立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．（二）事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．知識點(diǎn)3、全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個(gè)公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時(shí)要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時(shí)，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個(gè)事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會(huì)遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個(gè)起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率．1、兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性的推廣兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性可以推廣到個(gè)事件的相互獨(dú)立性，即若事件，，…，相互獨(dú)立，則這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率．2、貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．經(jīng)典題型一：條件概率1．(2023·福建泉州·模擬預(yù)測）目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI來衡量人體胖瘦程度以及是否健康．某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為；女員工中，肥胖者的占比為，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1，若從該公司中任選一名肥胖的員工，則該員工為男性的概率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)公司男、女員工的人數(shù)分別為和，則男員工中，肥胖者有人，女員工中，肥胖者有人，設(shè)任選一名員工為肥胖者為事件，肥胖者為男性為事件，則，，則.故選：D.2．(2023·山東日照·三模）若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)邊長為1的正方形，任何事件都對應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對應(yīng)子集的面積．則如圖所示的陰影部分的面積表示（

）A．事件A發(fā)生的概率 B．事件B發(fā)生的概率C．事件B不發(fā)生條件下事件A發(fā)生的概率 D．事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率答案：A【解析】由題意可知：表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，表示在事件B不發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件A發(fā)生的概率.故選：A.3．(2023·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測）甲口袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙口袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨(dú)立C． D．答案：D【解析】由題意得，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨(dú)立，所以B錯(cuò)誤，D正確；，所以C錯(cuò)誤；故選：D4．(2023·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必凈注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化濕敗毒方、宜肺敗毒方．若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出三種藥方，事件A表示選出的三種藥方中至少有一藥，事件B表示選出的三種藥方中至少有一方，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題可得，，，所以．故選：D5．(2023·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）漳州某地準(zhǔn)備建造一個(gè)以水仙花為主題的公園.在建園期間，甲?乙?丙三個(gè)工作隊(duì)負(fù)責(zé)采摘及雕刻水仙花球莖.雕刻時(shí)會(huì)損壞部分水仙花球莖，假設(shè)水仙花球莖損壞后便不能使用，無損壞的全部使用.已知甲?乙?丙工作隊(duì)所采摘的水仙花球莖分別占采摘總量的25%，35%，40%，甲?乙?丙工作隊(duì)采摘的水仙花球莖的使用率分別為0.8，0.6，0.75（水仙花球莖的使用率）.(1)從采摘的水仙花球莖中有放回地隨機(jī)抽取三次，每次抽取一顆，記甲工作隊(duì)采摘的水仙花球莖被抽取到的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)已知采摘的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，求它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率.【解析】（1）在采摘的水仙花球莖中，任取一顆是由甲工作隊(duì)采摘的概率是.依題意，的所有取值為0，1，2，3，且，所以，，即，，，，所以的分布列為：0123所以.（2）用，，分別表示水仙花球莖由甲，乙，丙工作隊(duì)采摘，表示采摘的水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，則，，，且，故，所以.即采摘出的某顆水仙花球莖經(jīng)雕刻后能使用，它是由丙工作隊(duì)所采摘的概率為.經(jīng)典題型二：相互獨(dú)立事件的判斷6．(2023·湖北·模擬預(yù)測）奧密克戎變異毒株傳染性強(qiáng)、傳播速度快隱蔽性強(qiáng)，導(dǎo)致上海疫情嚴(yán)重，牽動(dòng)了全國人民的心．某醫(yī)院抽調(diào)了包括甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生隨機(jī)派往上海①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生，“醫(yī)生甲派往①醫(yī)院”記為事件A：“醫(yī)生乙派往①醫(yī)院”記為事件B；“醫(yī)生乙派往②醫(yī)院”記為事件C，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．答案：C【解析】將甲、乙在內(nèi)5名醫(yī)生派往①，②，③，④四個(gè)醫(yī)院，每個(gè)醫(yī)院至少派1名醫(yī)生有個(gè)基本事件，它們等可能．事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件AB含有的基本事件數(shù)為，則事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，即事件A與B相互不獨(dú)立，事件A與C相互不獨(dú)立，故A、B不正確；，，故選：C．7．(2023·全國·模擬預(yù)測（文））一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體，四個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4．拋擲該正四面體兩次，依次記下它與地面接觸的面上的數(shù)字．記事件A為“第一次記下的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“第二次記下的數(shù)字比第一次記下的數(shù)字大1”，則下列說法正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C． D．事件A與事件B相互獨(dú)立答案：C【解析】由題意得，，，∵，∴事件A和事件B不相互獨(dú)立，．故選：C．8．(2023·湖南常德·一模）將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)村莊進(jìn)行義診活動(dòng)，每個(gè)村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．答案：D【解析】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個(gè)村莊義診的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件AB含有的基本事件數(shù)為，則，事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，對于A，，即事件A與B相互不獨(dú)立，A不正確；對于B，，即事件A與C相互不獨(dú)立，B不正確；對于C，，C不正確；對于D，，D正確.故選：D9．(2023·上海金山·一模）設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D【解析】若為互斥事件，且，則，故（1）正確；若則由相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；若，則由對立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；若，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，故（4）錯(cuò)誤；若則由對立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（5）正確.故選D.經(jīng)典題型三：相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算10．(2023·福建·模擬預(yù)測）投壺是從先秦延續(xù)至清末的中國傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲晉代在廣泛開展投壺活動(dòng)中，對投壺的壺也有所改進(jìn)，即在壺口兩旁增添兩耳因此在投壺的花式上就多了許多名目，如“貫耳(投入壺耳)”.每一局投壺，每一位參賽者各有四支箭，投入壺口一次得分.投入壺耳一次得分，現(xiàn)有甲?乙兩人進(jìn)行投壺比賽(兩人投中壺口?壺耳是相互獨(dú)立的)，甲四支箭已投完，共得分，乙投完支箭，目前只得分，乙投中壺口的概率為，投中壺耳的概率為.四支箭投完，以得分多者贏請問乙贏得這局比賽的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意，若乙要贏得這局比賽，按照乙第三支箭的情況可分為兩類：（1）第三支箭投中壺口，第四支箭必須投入表耳，其概率為；（2）第三支箭投入壺耳，第四支箭投入壺口?壺耳均可，其概率為，所以乙贏得這局比賽的概率為.故選：A.11．(2023·天津和平·二模）已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次（假定費(fèi)用只可能為、、元）．甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，甲、乙租車費(fèi)用為元的概率分別是、，則甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是，∴甲、乙兩人所扣租車費(fèi)用相同的概率為．故選：B．12．(2023·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（理））甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A，B，C三個(gè)景區(qū)中的一個(gè)景區(qū)旅游，甲乙去A，B，C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：則甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為（

）去A景區(qū)旅游去B景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游甲0.40.2乙0.30.6A．0.66 B．0.58 C．0.54 D．0.52答案：A【解析】由題可得甲乙去A，B，C三個(gè)景區(qū)旅游的概率分別如表：去A景區(qū)旅游去B景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游甲0.40.20.4乙0.10.30.6故甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率為，故甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為.故選：A.13．(2023·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）某同學(xué)高考后參加國內(nèi)3所名牌大學(xué)A，B，C的“強(qiáng)基計(jì)劃”招生考試，已知該同學(xué)能通過這3所大學(xué)A，B，C招生考試的概率分別為x，y，，該同學(xué)能否通過這3所大學(xué)的招生考試相互獨(dú)立，且該同學(xué)恰好能通過其中2所大學(xué)招生考試的概率為，該同學(xué)恰好通過A，B兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，恰好通過兩所大學(xué)招生考試的概率最大值為，故選：D．14．(2023·河南開封·三模（理））生物的性狀是由遺傳因子確定的，遺傳因子在體細(xì)胞內(nèi)成對存在，一個(gè)來自父本，一個(gè)來自母本，且等可能隨機(jī)組合.豌豆子葉的顏色是由顯性因子D（表現(xiàn)為黃色），隱性因子d（表現(xiàn)為綠色）決定的，當(dāng)顯性因子與隱形因子結(jié)合時(shí)，表現(xiàn)顯性因子的性狀，即DD，Dd都表現(xiàn)為黃色；當(dāng)兩個(gè)隱形因子結(jié)合時(shí)，才表現(xiàn)隱形因子的性狀，即dd表現(xiàn)為綠色.已知父本和母本確定子葉顏色的遺傳因子都是Dd，不考慮基因突變，從子一代中隨機(jī)選擇兩粒豌豆進(jìn)行雜交，則選擇的豌豆的子葉都是黃色且子二代豌豆的子葉是綠色的概率為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)樽右淮羞z傳因子為，取兩粒葉子為黃色的豌豆并要子二代是綠色，所以子一代父本、母本只能取型基因，取出兩粒都是滿足題意的子一代豌豆概率為，因?yàn)樽佣~子是綠色的，故基因?yàn)?，所占概率為，所以由相互?dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率為.故選：B15．(2023·廣東韶關(guān)·二模）某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1和元件2同時(shí)正常工作，或元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件正常工作的概率均為，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件正常工作的概率為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】討論元件3正常與不正常，第一類，元件3正常，上部分正?；虿徽６疾挥绊懺摬考９ぷ?，則正常工作的概率為．第二類，元件3不正常，上部分必須正常，則正常工作的概率為，故概率為．故選：D．經(jīng)典題型四：相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用16．(2023·遼寧鞍山·一模）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問天實(shí)驗(yàn)艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號航天員乘組成功開啟問天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場，計(jì)劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級太空實(shí)驗(yàn)室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【解析】（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因?yàn)?，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.17．(2023·河南安陽·模擬預(yù)測（理））產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進(jìn)老產(chǎn)品?開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程.某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對5個(gè)樣品進(jìn)行性能測試，現(xiàn)有甲?乙兩種不同的測試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響.(1)若3個(gè)樣品選擇甲方案，2個(gè)樣品選擇乙方案.（i）求5個(gè)樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個(gè)樣品測試合格的概率.(2)若測試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測試的樣品個(gè)數(shù).【解析】（1）（i）因?yàn)?個(gè)樣品選擇甲方案,2個(gè)樣品選擇乙方案,所以5個(gè)樣品全部測試合格的概率為（ii）4個(gè)樣品測試合格分兩種情況,第一種情況,3個(gè)樣品甲方案測試合格和1個(gè)樣品乙方案測試合格,此時(shí)概率為第二種情況,2個(gè)樣品甲方案測試合格和2個(gè)樣品乙方案測試合格,此時(shí)概率為所以4個(gè)樣品測試合格的概率為（2）設(shè)選擇甲方案測試的樣品個(gè)數(shù)為,則選擇乙方案測試的樣品個(gè)數(shù)為,并設(shè)通過甲方案測試合格的樣品個(gè)數(shù)為,通過乙方案測試合格的樣品個(gè)數(shù)為,當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案乙測試,則,所以,不符合題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)所有樣品均選擇方案甲測試,則所以,符合題意;當(dāng)時(shí),,所以若使,,則,由于,故時(shí)符合題意,綜上,選擇甲方案測試的樣品個(gè)數(shù)為3,4或者5時(shí),測試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3.18．(2023·江西九江·三模（理））電子競技（Electronic

Sports）是電子游戲比賽達(dá)到“競技”層面的體育項(xiàng)目，其利用電子設(shè)備作為運(yùn)動(dòng)器械進(jìn)行的、人與人之間的智力和體力結(jié)合的比拼.電子競技可以鍛煉和提高參與者的思維能力、反應(yīng)能力、四肢協(xié)調(diào)能力和意志力，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神.第19屆亞運(yùn)會(huì)將于2022年9月10日至25日在浙江杭州舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)增設(shè)電子競技競賽項(xiàng)目，比賽采取“雙敗淘汰制”.以一個(gè)4支戰(zhàn)隊(duì)參加的“雙敗淘汰制”為例，規(guī)則如下：首輪比賽：抽簽決定4支戰(zhàn)隊(duì)兩兩對陣，共兩場比賽.根據(jù)比賽結(jié)果（每場比賽只有勝、敗兩種結(jié)果），兩支獲勝戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入勝者組，另外兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入敗者組；第二輪比賽：敗者組兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊(duì)（該戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍）；勝者組兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，獲勝戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入總決賽，失敗戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)入敗者組；第三輪比賽：上一輪比賽中敗者組的獲勝戰(zhàn)隊(duì)與勝者組的失敗戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行比賽，并淘汰1支戰(zhàn)隊(duì)（該戰(zhàn)隊(duì)獲得季軍）；第四輪比賽：剩下的兩支戰(zhàn)隊(duì)進(jìn)行總決賽，獲勝戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍，失敗戰(zhàn)隊(duì)獲得亞軍.現(xiàn)有包括戰(zhàn)隊(duì)在內(nèi)的4支戰(zhàn)隊(duì)參加比賽，采用“雙敗淘汰制”.已知戰(zhàn)隊(duì)每場比賽獲勝的概率為，且各場比賽互不影響.(1)估計(jì)戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍的概率；(2)某公司是戰(zhàn)隊(duì)的贊助商之一，賽前提出了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：方案1：獲得冠軍則獎(jiǎng)勵(lì)24萬元，獲得亞軍或季軍則獎(jiǎng)勵(lì)15萬元，獲得殿軍則不獎(jiǎng)勵(lì)；方案2：獲得冠軍則獎(jiǎng)勵(lì)（其中以全勝的戰(zhàn)績獲得冠軍獎(jiǎng)勵(lì)40萬元，否則獎(jiǎng)勵(lì)30萬元），其他情況不獎(jiǎng)勵(lì).請以獲獎(jiǎng)金額的期望為依據(jù)，選擇獎(jiǎng)勵(lì)方案，并說明理由.【解析】(1)由題意可知，戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍有以下3種可能情況：①“勝勝勝”概率為②“敗勝勝勝”概率為③“勝敗勝勝”概率為則戰(zhàn)隊(duì)獲得冠軍的概率為；(2)戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍的情況是“敗敗”，故戰(zhàn)隊(duì)獲得殿軍的概率為，則獲得亞軍或季軍的概率為，設(shè)方案1中戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額為，則其分布列為24150若選擇方案1，則戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額的期望為（萬元）設(shè)方案2中戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額為，則其分布列為40300若選擇方案2，則戰(zhàn)隊(duì)獲獎(jiǎng)金額的期望為（萬元）∵，故選擇方案1、方案2均可.19．(2023·江蘇南京·模擬預(yù)測）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B．Pascal）提出了一個(gè)問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個(gè)問題，后來惠更斯（C．Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員約定誰先贏(，)局，誰便贏得全部獎(jiǎng)金元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，比賽意外終止．獎(jiǎng)金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．(1)規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．若，，，，求．(2)記事件為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)，，時(shí)比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說明理由．規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件．【解析】(1)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，2．，，故，從而．(2)設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則，3．，，故，即，則，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，從而，所以，故事件是小概率事件．20．(2023·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）某工廠對一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，具體檢測方案是：從這批零件中任取10件逐一進(jìn)行檢測，當(dāng)檢測到2件不合格零件時(shí)，停止檢測，此批零件未通過，否則檢測通過.設(shè)每件零件為合格零件的概率為p，且每件零件是否合格是相互獨(dú)立的.(1)已知，若此批零件檢測未通過，求恰好檢測5次的概率；(2)已知每件零件的生產(chǎn)成本為80元，合格零件的售價(jià)為每件150元.現(xiàn)對不合格零件進(jìn)行修復(fù)，修復(fù)后按正常零件進(jìn)行銷售，修復(fù)后不合格零件以每件10元按廢品處理.若每件零件修復(fù)的費(fèi)用為每件20元，每件不合格的零件修復(fù)為合格零件的概率為工廠希望每件零件可獲利至少60元.求每件零件為合格零件的概率p的最小值？答案：(1)(2)分析：若此批零件檢測未通過，恰好檢測5次，則第五次檢驗(yàn)不合格，前四次有一次檢驗(yàn)不合格，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，即可求解．由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，則X可取70，50，，分別求出對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解．（1）記事件“此批零件檢測未通過，恰好檢測5次”則前4次有1次未通過，第5次未通過.即恰好檢測5次未通過的概率為；（2）由題意可得，合格產(chǎn)品利潤為70元，不合格產(chǎn)品修復(fù)合格后利潤為50元，不合格產(chǎn)品修復(fù)后不合格的利潤為元，設(shè)每件零件可獲利X元，；50；；；，則，

解得，即：每件零件為合格零件的概率p的最小值為經(jīng)典題型五：全概率公式及其應(yīng)用21．(2023·全國·高三專題練習(xí)）“送出一本書，共圓讀書夢”，某校組織為偏遠(yuǎn)鄉(xiāng)村小學(xué)送書籍的志愿活動(dòng)，運(yùn)送的卡車共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學(xué)書、3箱語文書．到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)事件A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，事件表示丟失的一箱為分別表示英語書、數(shù)學(xué)書、語文書．由全概率公式得．故選：A22．(2023·黑龍江·綏芬河市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）某射擊小組共有25名射手，其中一級射手5人，二級射手10人，三級射手10人，若一、二、三級射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率分別是0.9，0.8，0.4，則任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為（

）A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75答案：B【解析】設(shè)表示選到i級射手的事件，B表示任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的事件，則,,故任選一名射手能通過選拔進(jìn)入比賽的概率為,故選：B23．(2023·山東濰坊·高三階段練習(xí)）某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為，現(xiàn)用甲胎蛋白法進(jìn)行普查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，而沒有患肝癌的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】記事件某人患肝癌，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患肝癌的概率是.故選：C.24．(2023·全國·模擬預(yù)測）書架上放有本語文書和本數(shù)學(xué)書，學(xué)生甲先隨機(jī)取走本書，學(xué)生乙再在剩下的書中隨機(jī)取走本書．已知甲至少取走了本數(shù)學(xué)書，則乙取走語文書的概率為__________．答案：【解析】記2本語文書為，本數(shù)學(xué)書為，則甲至少取走了本數(shù)學(xué)書包含以下基本事件：共9個(gè)基本事件，設(shè)“甲至少取走了本數(shù)學(xué)書的情況下甲取走i本數(shù)學(xué)書”為事件，“乙取走語文書”為事件，則事件包含共6個(gè)基本事件，故同理可得則，故答案為：25．(2023·黑龍江·牡丹江市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)）一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來.某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，若他答對了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是__________.答案：【解析】設(shè)表示“考生答對”，表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得故故答案為：.經(jīng)典題型六：貝葉斯公式及其應(yīng)用26．(2023·全國·高三專題練習(xí)）某人下午5：00下班，他所積累的資料如表所示到家時(shí)間5：35~5：395：40~5：445：45~5：495：50~5：54晚于5：54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，結(jié)果他是5：47到家的，則他是乘地鐵回家的概率為______．答案：【解析】設(shè)事件H表示“乘地鐵回家”，則事件表示“乘汽車回家”．到家時(shí)間為5：47，屬于區(qū)間5：45~5：49，設(shè)事件T表示“到家時(shí)間在5：45~5：49之間”，則所求概率為．易知，，因?yàn)樗怯蓴S硬幣決定乘地鐵回家還是乘汽車回家，所以．由貝葉斯公式得．故答案為：27．(2023·山東青島·高三開學(xué)考試）北京時(shí)間年月日，歷時(shí)天的東京奧運(yùn)會(huì)落下帷幕，中國代表團(tuán)以金?銀?銅?打破項(xiàng)世界紀(jì)錄?創(chuàng)造項(xiàng)奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄的傲人成績，順利收官.作為“夢之隊(duì)”的中國乒乓球隊(duì)在東京奧運(yùn)會(huì)斬獲金銀的好成績，參賽的名選手全部登