高一數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)微專題提分精練(人教A版必修第一冊)微專題03基本不等式和積問題(原卷版+解析)

微專題03基本不等式和積問題【方法技巧與總結(jié)】一．重要不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．二．基本不等式如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．三．與基本不等式相關(guān)的不等式（1）當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）當(dāng)，時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（3）當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．四．利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有最大值．【題型歸納目錄】題型一：比較大小及不等式證明問題題型二：簡單的和為定值或積為定值型題型三：含或以及可以轉(zhuǎn)化為此的類型題型四：含類型【典型例題】題型一：比較大小及不等式證明問題例1．（多選題）(2023·河北唐山·高一期末）已知兩個不為零的實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．例2．（多選題）(2023·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)a＞0，b＞0，則（

）A． B．C． D．例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正數(shù)．（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4．(2023·廣東茂名·高一期末）已知均為正數(shù)，且，證明：，并確定為何值時，等號成立．例5．(2023·遼寧沈陽·高一期中）已知a，b，，求證：．例6．(2023·江蘇·高一單元測試）設(shè)a0，b0，a+b＝2．（1）證明：≥4；（2）證明：a3+b3≥2．題型二：簡單的和為定值或積為定值型例7．(2023·陜西安康·高一期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．例8．(2023·廣東·華南師大附中高一期末）若正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2例9．(2023·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值（

）A． B． C． D．例10．(2023·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）若則的最大值是（

）A．4 B．1 C． D．不存在例11．(2023·河南鄭州·高一期中）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．x的最大值為B．的最小值為，C．+的最大值為4D．的最小值為例12．(2023·山東青島·高一期末）已知都是正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8例13．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期末）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2例14．(2023·湖北黃石·高一期中）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．9例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函數(shù)中最小值為8的是（

）A． B．C． D．例16．(2023·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．題型三：含或以及可以轉(zhuǎn)化為此的類型例17．(2023·四川·華陽中學(xué)高一期中）若正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取最大值時，的最大值為______．例18．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．例19．(2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81例20．(2023·河南·商丘市第一高級中學(xué)高一期中）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（

）A． B． C． D．例21．(2023·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）已知正數(shù)a和b滿足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．例22．(2023·浙江·寧波市鄞州高級中學(xué)高一期中）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．例23．(2023·江西省豐城中學(xué)高一期中）已知正實(shí)數(shù)，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例24．(2023·河南三門峽·高一期末）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．例25．(2023·貴州·六盤水紅橋?qū)W校高一期中）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A．4 B．2 C． D．例26．(2023·重慶八中高一期中）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．題型四：含類型例27．(2023·全國·益陽平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16例28．(2023·全國·高一單元測試）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22例30．(2023·天津·南開中學(xué)高一期中）若，，則的最小值為___________．例31．(2023·云南麗江·高一期末）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________．例32．(2023·四川資陽·高一期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為______．例33．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4例36．(2023·廣東·化州市第三中學(xué)高一期中）下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（

）A．若，則函數(shù)的最大值為B．若，，則的最小值為C．若，，，則的最大值為D．若，，，則的最小值為例37．(2023·福建·廈門一中高一期中）已知p，q為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．例38．(2023·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點(diǎn)中學(xué)高一期末）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．例39．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知，，，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江蘇·高一期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．2．(2023·福建三明·高一期中）已知正實(shí)數(shù)滿足，使得取最小值時，實(shí)數(shù)的值為（

）A．， B．， C．， D．，3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個數(shù)，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于24．(2023·云南玉溪·高一期末）現(xiàn)有以下結(jié)論：①函數(shù)的最小值是；②若、且，則；③的最小值是；④函數(shù)的最小值為．其中，正確的有（

）個A． B． C． D．5．(2023·河南·林州一中高一開學(xué)考試）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．27．(2023·浙江省樂清中學(xué)高一開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．8．(2023·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27二、多選題9．(2023·江蘇省沭陽高級中學(xué)高一期中）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．任意的正數(shù)，且，都有C．若正數(shù)、滿足，則的最小值為3D．設(shè)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為11．(2023·河北·邢臺市第二中學(xué)高一開學(xué)考試）若，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值為10C．的最小值為 D．的最小值為12．(2023·湖北·華中師大一附中高一期末）已知，則（

）A．的最大值為B．的最小值為4C．的最小值為D．的最小值為113．(2023·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一期中）設(shè)a＞0，b＞0，則（

）A． B．C． D．三、填空題14．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一期中）若則的最小值為_________．15．(2023·湖北十堰·高一期中）已知，則的最小值為___________．16．(2023·上海交大附中高一期中）已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足，則的最大值為___．17．(2023·江西·上高二中高一期末（理））已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________．18．(2023·浙江·長興縣教育研究中心高一期中）已知，，，則的最小值為__．四、解答題19．(2023·河南焦作·高一期中）已知，是正實(shí)數(shù)，且，證明下列不等式并指出等號成立的條件：（1）；（2）．20．(2023·全國·高一單元測試）已知，，均為正數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）若，求證：．微專題03基本不等式和積問題【方法技巧與總結(jié)】一．重要不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．二．基本不等式如果，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．三．與基本不等式相關(guān)的不等式（1）當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（2）當(dāng)，時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．（3）當(dāng)時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．四．利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當(dāng)時，積有最大值．【題型歸納目錄】題型一：比較大小及不等式證明問題題型二：簡單的和為定值或積為定值型題型三：含或以及可以轉(zhuǎn)化為此的類型題型四：含類型【典型例題】題型一：比較大小及不等式證明問題例1．（多選題）(2023·河北唐山·高一期末）已知兩個不為零的實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】當(dāng)時，得，A錯；當(dāng)時，，B錯；，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．C正確；是實(shí)數(shù)，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確．故選：CD．例2．（多選題）(2023·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）設(shè)a＞0，b＞0，則（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】a＞0，b＞0，對A：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項(xiàng)A正確；對B：因?yàn)椋赃x項(xiàng)B錯誤；對C：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項(xiàng)C正確；對D：因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．例3．(2023·河南·高一期中）已知、、都是正數(shù)．（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：要證，左右兩邊同乘以可知即證，即證．因?yàn)椤ⅰ⒍际钦龜?shù)，由基本不等式可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，以上三式等號成立，將上述三個不等式兩邊分別相加并除以，得．所以，原不等式得證．（2），因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．例4．(2023·廣東茂名·高一期末）已知均為正數(shù)，且，證明：，并確定為何值時，等號成立．【解析】證明：因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以．所以①故，而．②所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)①式和②式等號成立，即當(dāng)且僅當(dāng)時，故當(dāng)且僅當(dāng)時，原不等式等號成立．例5．(2023·遼寧沈陽·高一期中）已知a，b，，求證：．【解析】因?yàn)閍，b，，則，，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，將上述三個不等式相加得：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此有，所以，當(dāng)a，b，時，．例6．(2023·江蘇·高一單元測試）設(shè)a0，b0，a+b＝2．（1）證明：≥4；（2）證明：a3+b3≥2．【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，．．且（?dāng)且僅當(dāng)時取等號），故．所以（2）證明：當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，故．題型二：簡單的和為定值或積為定值型例7．(2023·陜西安康·高一期中）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對于選項(xiàng)A：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴A錯誤；對于選項(xiàng)B：，，∴B錯誤；對于選項(xiàng)C：，因?yàn)椤郈錯誤；對于選項(xiàng)D：∵，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，∴，D正確；故選：D例8．(2023·廣東·華南師大附中高一期末）若正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2答案：A【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即取等號，故A正確、C錯誤．，當(dāng)且僅當(dāng)，，即取等號，故B、D錯誤．故選：A例9．(2023·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高一期末）已知正數(shù)滿足，則的最大值（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：B例10．(2023·廣東·汕頭市潮陽區(qū)河溪中學(xué)高一期中）若則的最大值是（

）A．4 B．1 C． D．不存在答案：A【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；故選：A例11．(2023·河南鄭州·高一期中）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．x的最大值為B．的最小值為，C．+的最大值為4D．的最小值為答案：B【解析】正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y=1，則，無最大值，A錯誤；由基本不等式得：，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，B正確；，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故+的最小值為4，C錯誤；顯然，其中，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以，即的最大值為，D錯誤．．故選：B例12．(2023·山東青島·高一期末）已知都是正實(shí)數(shù)，若，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案：D【解析】由可知（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）以上三個不等式兩邊同時相乘，可得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：D例13．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期末）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2答案：D【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2．故選：D．例14．(2023·湖北黃石·高一期中）若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．9答案：C【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為；故選：C例15．(2023·云南楚雄·高一期末）下列函數(shù)中最小值為8的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】對于A，當(dāng)時，顯然不滿足題意；對于B，因?yàn)?，又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，當(dāng)時，取得最小值，D不符合題意．故選：C例16．(2023·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故選：A題型三：含或以及可以轉(zhuǎn)化為此的類型例17．(2023·四川·華陽中學(xué)高一期中）若正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取最大值時，的最大值為______．答案：【解析】正實(shí)數(shù)，，滿足則則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號所以，此時所以所以所以的最大值為故答案為：例18．(2023·四川內(nèi)江·高一期末（文））已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．答案：B【解析】∵正實(shí)數(shù)a、b滿足，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故選：B．例19．(2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．81答案：D【解析】由題意得，得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故選：D例20．(2023·河南·商丘市第一高級中學(xué)高一期中）設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正實(shí)數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值是1．故選：D例21．(2023·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）已知正數(shù)a和b滿足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)閍b+a+2b=7，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：A例22．(2023·浙江·寧波市鄞州高級中學(xué)高一期中）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．答案：B【解析】，可得，，所以，所以的最小值為，故選：B例23．(2023·江西省豐城中學(xué)高一期中）已知正實(shí)數(shù)，，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，化簡得，解得，即的取值范圍為，故選：B．例24．(2023·河南三門峽·高一期末）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意，正實(shí)數(shù)滿足，則，令，可得，即，解得，或（舍去），所以當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值2，故選：B．例25．(2023·貴州·六盤水紅橋?qū)W校高一期中）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A．4 B．2 C． D．答案：A【解析】由題設(shè)，，∴，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴的最小值是4．故選：A例26．(2023·重慶八中高一期中）已知，，，則的最小值為（

）A．8 B． C．9 D．答案：C【解析】由題意得，，因，所以，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)得，在時取得最小值．故選：C．題型四：含類型例27．(2023·全國·益陽平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16答案：A【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值是6．故選：A例28．(2023·全國·高一單元測試）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)閍，b均為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時取等號，則的最大值為．故選：A．例29．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22答案：C【解析】因?yàn)椋?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以的最小值是20．故選：C例30．(2023·天津·南開中學(xué)高一期中）若，，則的最小值為___________．答案：【解析】因?yàn)榍遥瑒t兩邊同除以，得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．故答案為：例31．(2023·云南麗江·高一期末）若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________．答案：9【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，所以的最小值為．故答案為：．例32．(2023·四川資陽·高一期末）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則最小值為______．答案：9【解析】正數(shù)，滿足：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時“”成立，故答案為：．例33．(2023·青海青?！じ咭黄谀┮阎獂，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)閤，y都是正數(shù)，由基本不等式有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”．故A，C，D錯誤．故選：B．例34．(2023·湖北宜昌·高一期中）已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故的最小值為8．故選：C例35．(2023·江西·高一期中）已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4答案：A【解析】由題意可得．因?yàn)椋?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．故選：A例36．(2023·廣東·化州市第三中學(xué)高一期中）下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論是（

）A．若，則函數(shù)的最大值為B．若，，則的最小值為C．若，，，則的最大值為D．若，，，則的最小值為答案：B【解析】對于A，若，則函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A錯誤；對于B，若，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B正確；對于C，若，，，則由可得：，即，故C錯誤；對于D，若，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故D錯誤．故選：B．例37．(2023·福建·廈門一中高一期中）已知p，q為正實(shí)數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由可知，，當(dāng)，即時，“”成立，故選：A．例38．(2023·河南·永城市苗橋鄉(xiāng)重點(diǎn)中學(xué)高一期末）設(shè)，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵，∴，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，且時，即，時等號成立．故選：．例39．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知，，，則的最小值為（

）．A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)?，所以，又，，所以，，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為，故選：C【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江蘇·高一期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在直角中，可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．2．(2023·福建三明·高一期中）已知正實(shí)數(shù)滿足，使得取最小值時，實(shí)數(shù)的值為（

）A．， B．， C．， D．，答案：C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立故當(dāng)，時，取最小值．故選：C3．(2023·浙江杭州·高一期末）若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，則三個數(shù)，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2答案：D【解析】A．都不大于2，結(jié)論不一定成立，如時，三個數(shù)，，都大于2，所以選項(xiàng)A錯誤；B．都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如則，所以選項(xiàng)B錯誤；C．至少有一個不大于2，不一定成立，因?yàn)樗鼈冇锌赡芏即笥?，如時，三個數(shù)，，都大于2，所以選項(xiàng)C錯誤．由題意，∵a，b，c均為正實(shí)數(shù)，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時，取“=”號，若，，，則結(jié)論不成立，∴，，至少有一個不小于2，所以選項(xiàng)D正確；故選：D．4．(2023·云南玉溪·高一期末）現(xiàn)有以下結(jié)論：①函數(shù)的最小值是；②若、且，則；③的最小值是；④函數(shù)的最小值為．其中，正確的有（

）個A． B． C． D．答案：B【解析】取，可判斷①的正誤；利用基本不等式可判斷②③④的正誤．【詳解】對于①，當(dāng)時，，①錯誤；對于②，若，且，說明，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，顯然成立，②正確；對于③，，當(dāng)且僅時取等號，即，顯然這樣的不存在，所以結(jié)論不正確，③錯誤；對于④，因?yàn)?，所以，函?shù)的最大值為，所以結(jié)論不正確，④錯誤．故選：B．5．(2023·河南·林州一中高一開學(xué)考試）已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】當(dāng)時，，，所以CD選項(xiàng)錯誤．當(dāng)時，，，所以B選項(xiàng)錯誤．，即當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立．則，，解得．故選：A6．(2023·甘肅蘭州·高一期末）已知，，且，，，那么的最大值為（

）A． B． C．1 D．2答案：C【解析】根據(jù)題意，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值為1．故選：7．(2023·浙江省樂清中學(xué)高一開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．答案：C【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是2，故選：C8．(2023·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．26 D．27答案：B【解析】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，，等號成立．所以的最小值為25，故選：B二、多選題9．(2023·江蘇省沭陽高級中學(xué)高一期中）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．任意的正數(shù)，且，都有C．若正數(shù)、滿足，則的最小值為3D．設(shè)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為答案：BCD【解析】選項(xiàng)A：，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值．故A不正確．選項(xiàng)B：對于任意正數(shù)，，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．故B正確．選項(xiàng)C：對于正數(shù)，，所以所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值．故C正確．選項(xiàng)D：因所以，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故D正確．故選：BCD．10．(2023·福建·福州三中高一期末）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為答案：AB【解析】對于A：由，，，則，所以，解得，所以，所以當(dāng)時，有最小值，故A正確．對于B：由，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最大值是，故B正確；對于C：由，，，則，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，?/p>