奧數(shù)專題之遞推

...wd......wd......wd...奧數(shù)專題之遞推遞推法專題遞推法是組合數(shù)學中的一個重要解題方法，許多問題通過遞推法來解決就顯得精巧簡捷．鑒于這一方法在學習中的應用越來越廣泛，掌握和運用這種方法，就顯得更加重要．遞推方法問題主要有兩類：一是問題中有明顯的遞推關系，重點在于遞推關系的應用；二是問題中沒有明顯的遞推關系，需要對已有條件進展變形或改變問題的有關形式而建設遞推關系，將問題轉化為第一類問題。本文重點探索第二類問題。通過建設、研究遞推關系Sk+1=f(Sk)，使問題得以解決的方法稱為遞推方法。例1平面上有n條直線，它們中任意兩條都不平行，且任意三條都不交于一點。這n條直線可以把平面分割成多少個局部請看一個引起普遍關注的關于世界末日的問題。例2有這樣一段關于“世界末日〞的傳說。在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時，在其中的一根針上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小時內，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準移動一片，且不管在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到來。這雖是一個傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間。也就是說，人類在這個世界上還可以存在多少時間。例3有10級臺階，小王從下向上走，假設每次只能跨一級或兩級，他走上去共有多少種不同的走法追問：10級的情況可以一一列出，臺階數(shù)對比多的情況，若何辦提示：此即為斐波那契數(shù)列{an}求通項的問題。例4同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么4張賀年卡不同的分配方式共有()〔A〕6種 〔B〕9種 〔C〕11種 〔D〕23種這里，我們引進一個概念：設a1,a2,a3,…，an是1，2，3，…，n的一個排列,如果aii,(i=1,2,…，n),那么稱這種排列為一個錯位排列〔也稱為更列〕。更列問題也可以形象地理解為：將1，2，3，…，n看成已經(jīng)排好對的n個人，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上。例5A、B二人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)那么如下：假設擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)時，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；假設擲出的點數(shù)不是3的倍數(shù)時就由對方接著擲，第一次由A開場擲，求第5次仍由A擲的概率。例6將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使每一條棱的兩端異色。如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)有多少種例7設實數(shù)a,b,x,y滿足方程組，求的值。例8設為以下自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，且每位數(shù)字只能是1，3或4.求證a2n是一個完全平方數(shù)。例9過平面上兩點A、B分別有m、n條直線，問這m+n條直線最多可以把平面分成多少局部〔m和n均為正整數(shù)〕遞推數(shù)列求通項問題引例——斐波那契數(shù)列假定一對兔子每隔一個月生一對一雌一雄的小兔子，每對小兔在兩個月以后也開場生一對一雌一雄的小兔子，隔月一次。年初時兔房里有一對小兔〔一雌一雄〕，問一年以后，兔房里有多少對兔子解：設第個月初時兔房里有兔子對。易知………(1)第個月初時兔房里的兔子可分為兩局部：一局部是第個月初時已經(jīng)在兔房里的兔子，共有對，另一局部是第個月初時新出生的小兔，共有對，于是………………..(2)這就是為廣闊中小學生所熟悉的斐波那契數(shù)列，它是遞推數(shù)列的一個典型代表。二、遞推數(shù)列〔一〕.遞推數(shù)列的定義斐波那契數(shù)列是遞推數(shù)列的典型代表，其中(2)式稱為遞推式，也稱遞推關系，(1)式是初始條件，這二者是遞推數(shù)列的必要構成條件。一般地，我們把滿足………..(6)和初始值的數(shù)列稱為階遞推數(shù)列。當遞推關系的形式為…………(7)時，數(shù)列稱為階常系數(shù)線性遞推數(shù)列，其中為常數(shù)，且。假設函數(shù)，那么遞推關系(7)所確定的數(shù)列稱為階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列；否那么，稱遞推關系(7)所確定的數(shù)列為階常系數(shù)非齊次線性遞推數(shù)列。因此，斐波那契數(shù)列是一個2階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列。遞推數(shù)列是數(shù)列中的一個重要類型，數(shù)學競賽中的數(shù)列問題多與遞推數(shù)列尤其是其通項有關，且問題多以遞推式、不等式等形式出現(xiàn)，本文主要探討遞推數(shù)列通項的求法。〔二〕遞推數(shù)列求通項的常用方法常見的求遞推數(shù)列通項的方法有：〔1〕迭代法：對所給的遞推式進展適當?shù)淖冃?，以便能連續(xù)使用下標較小的項代替某些下標較大的項，最后在一般項與初始項之間建設某種練習，從而求通項?！?〕化歸法：把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決是數(shù)學中處理問題的常用策略，最常見的是轉化為等差或等比數(shù)列來解決問題?！?〕累加法：形如的遞推式，其通項求法多采用累加法，具體操作見例題3?！?〕累乘法：形如的遞推式，其通項求法多采用累乘法，具體操作見例題4?！?〕代換法：包括代數(shù)代換、對數(shù)代換、三角代換等。代換的優(yōu)點在于可以使用一些原本并不明顯的性質和運算。比方三角代換，代換后就可以使用三角函數(shù)的有關變換和性質。〔6〕數(shù)學歸納法：在遞推公式對比復雜，一般情形較難處理時，可以通過一般問題特殊化的思想，先通過簡單情況的研究提出猜測，再用數(shù)學歸納法證明。〔7〕不動點法：形如〔其中，〕的遞推式，其通項求法可采用不動點法。不妨稱的根為上述數(shù)列的不動點，假設該數(shù)列有兩個不動點和，那么可令〔其中為待定常數(shù)〕，代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是可求得。假設該數(shù)列只有一個不動點，那么可令〔其中是待定常數(shù)〕，代入的值可求得值。這樣數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，于是可求得?！?〕特征根方法引例中求斐波那契數(shù)列通項公式的方法稱為特征根法。這是一種解常系數(shù)齊次線性微分方程時常用的方法，在求解線性遞推數(shù)列通項時也經(jīng)常使用。其中方程………〔8〕稱為數(shù)列(7)的特征方程，對應的根稱為數(shù)列的特征根。對階常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列(7)，設其特征根為，對應的重數(shù)為，那么數(shù)列的通項為這里都是常數(shù)，它們由初始值可以確定。特征根方法使用較多的是求二階線性遞推數(shù)列的通項問題。假設遞推數(shù)列的特征方程有兩個不等實根〔稱為特征根〕，那么遞推數(shù)列的通項，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。假設特征方程有兩個相等實根，那么遞推數(shù)列的通項，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。三、例題精講例1數(shù)列中，，，求此數(shù)列的通項。例2，求.例3在數(shù)列中，，求通項公式.例4設正數(shù)數(shù)列滿足，且，求的通項公式。例5數(shù)列與定義如下：證明：對每一個，有例6數(shù)列滿足遞推式，試求的通項公式。在數(shù)列中，1，，求通項例8數(shù)列滿足且，求通項公式。解析幾何專題講座一知識補充〔局部〕1直線參數(shù)方程的標準式及其應用，〔t為參數(shù)〕注意：t的幾何意義2圓錐曲線的焦半徑公式及其應用3圓錐曲線的統(tǒng)一定義及其應用平面內，到定點的距離與它到定直線的距離之比為一個常數(shù)e的點的軌跡。這里e∈〔0，1〕時軌跡是橢圓；e=1時軌跡是拋物線；e∈〔1，+∞〕時軌跡是雙曲線。4圓錐曲線的極坐標方程二幾個問題問題1：Q為拋物線上的動點，M〔m,0〕為其對稱軸上的點，試討論|QM|的最小值，并指出何時取得該最小值。變式：橢圓E：+=1()上的點Q到其長軸上的點N〔m,o〕的最小距離。問題2AB是過拋物線〔p>0〕的焦點F的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動點M的軌跡。并將問題作進一步的推廣。推廣：AB是過拋物線〔p>0〕的點〔m,0〕的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動點M的軌跡。問題3直線上任意一點引拋物線的兩條切線，切點分別為，問：直線是否過定點問題4求證橢圓的一條弦的兩端與焦點所在的軸的端點連線的交點在準線上的充要條件是該弦過橢圓焦點問題5過拋物線〔p>0〕的焦點F的弦AB，A在準線上的射影為E，求證：BE過頂點O；并請將該命題推廣到橢圓和雙曲線情形推廣：問題6圓錐曲線焦點三角形的一些性質例題分別是橢圓E：+=1()的左右焦點，P是E上的動點，I是三角形的內心，PI與x軸的交點為E，求的值。請把該結果推廣到雙曲線。推廣：對于雙曲線……三經(jīng)典題型1.橢圓的左右焦點分別為與，點P在直線l：上.當取最大值時，比的值為.2．點P〔1，2〕既在橢圓內部〔含邊界〕，又在圓x2+y2=外部〔含邊界〕，假設a,b∈R+,那么a+b的最小值為_________.3.在Rt△中，.如果橢圓經(jīng)過兩點,它的一個焦點為，另一個焦點F在邊上.如圖，以CF所在直線為x軸，CF中點O為原點建設直角坐標系.〔Ⅰ〕求出橢圓的標準方程.〔Ⅱ〕設P為橢圓上的動點，是否存在定圓，使得以PC為直徑的圓始終內切于圓，假設存在，求出圓的方程，假設不存在，說明理由.4.A、B為雙曲線上的兩個動點，滿足?！?〕求證：為定值；〔2〕動點P在線段AB上，滿足，求證：點P在定圓上.5〔2015全1-20〕在直角坐標系xoy中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點，〔Ⅰ〕當k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；〔Ⅱ〕y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN說明理由。2016年高校自主招生模擬試題一、填空題1.函數(shù)與其反函數(shù)有且只有一個公共點，那么a的值為2.實數(shù)滿足，那么的最大值為3.三棱錐的所有頂點球O的球面上，是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且,那么此三棱錐的體積是4．集合的交集所表示的圖形面積為5．在圓周上隨機取四點A、B、C、D，那么線段