高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 3 1 第2課時 等比數(shù)列的判定與簡單應(yīng)用(人教A版)

第2課時等比數(shù)列的判定與簡單應(yīng)用第四章4.3.1等比數(shù)列的概念1.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.2.掌握等比數(shù)列的判斷及證明方法.3.掌握等比數(shù)列中項的設(shè)法.學(xué)習(xí)目標(biāo)隨堂演練課時對點練一、等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)的關(guān)系二、等比數(shù)列的判定與證明三、等比數(shù)列中項的設(shè)法內(nèi)容索引一、等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)的關(guān)系問題1

觀察等比數(shù)列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？知識梳理等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝

·qx(x∈R)當(dāng)x＝n時的函數(shù)值，即

.(2)任意指數(shù)型函數(shù)f(x)＝kax(k，a是常數(shù)，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構(gòu)成一個等比數(shù)列{kan}，其首項為

，公比為

.an＝f(n)kaa注意點：(1)a1>0，q>1時，數(shù)列{an}為正項的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0，0<q<1時，數(shù)列{an}為正項的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時，數(shù)列{an}為負項的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0,0<q<1時，數(shù)列{an}為負項的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時，數(shù)列{an}為擺動數(shù)列；奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同.例1

已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比大于0，則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件√解析當(dāng)a1<0，q>1時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即充分性不成立；當(dāng)“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”時，可能是a1<0,0<q<1，即必要性不成立；即“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.延伸探究

1.若{an}為等比數(shù)列，則“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√解析若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a1<a3<a5一定成立；反之：例如數(shù)列{(－1)n＋12n}，此時滿足a1<a3<a5，但數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的必要不充分條件.延伸探究

1.若{an}為等比數(shù)列，則“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√解析若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a1<a3<a5一定成立；反之：例如數(shù)列{(－1)n＋12n}，此時滿足a1<a3<a5，但數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的必要不充分條件.2.設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，此時數(shù)列{an}不一定是遞增數(shù)列；所以“a1<a2”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.反思感悟判斷等比數(shù)列的單調(diào)性的方法(1)當(dāng)q>1，a1>0或0<q<1，a1<0時，{an}是遞增數(shù)列.(2)當(dāng)q>1，a1<0或0<q<1，a1>0時，{an}是遞減數(shù)列.(3)當(dāng)q＝1時，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q<0時，{an}是擺動數(shù)列.√解析∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5，∴a4與a17為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2，∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2，二、等比數(shù)列的判定與證明二、等比數(shù)列的判定與證明問題2若數(shù)列{an}的前三項成等比數(shù)列，能說明這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎？提示不能，要證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，一定要體現(xiàn)出任意性.知識梳理證明等比數(shù)列的方法qan－1an＋1a1qn－1例2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝

(an－1)(n∈N*).(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列.證明當(dāng)n≥2時，反思感悟判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法(2)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，三、等比數(shù)列中項的設(shè)法例3

有四個實數(shù)，前三個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù).所以a3＝216.所以a＝6.由題意知第4個數(shù)為12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，故所求的四個數(shù)為9,6,4,2.方法二設(shè)后三個數(shù)為4－d,4,4＋d，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四個數(shù)為9,6,4,2.跟蹤訓(xùn)練3

有四個數(shù)成等比數(shù)列，將這四個數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四個數(shù)的和是_____.解析設(shè)這四個數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數(shù)列.45解得a＝3，q＝2.因此這四個數(shù)分別是3,6,12,24，其和為45.1.知識清單：(1)等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.(2)等比數(shù)列的證明.(3)等比數(shù)列中項的設(shè)法.2.方法歸納：定義法、分類討論.3.常見誤區(qū)：四個數(shù)成等比數(shù)列時設(shè)成

，aq，aq3，未考慮公比為負的情況.課堂小結(jié)隨堂演練12341.已知等比數(shù)列{an}的公比為q，首項a1>0，則“q<1”是“等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件√解析若q<0，則等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列，由于等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則q>0.若a1>0，則an＝a1qn－1>0，由an＋1<an，所以q<1；所以a1>0，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列?0<q<1，所以若a1>0，“q<1”是“等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.12342.在數(shù)列{an}中，如果an＝32－n(n＝1,2,3，…)，那么這個數(shù)列是A.公比為2的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.首項為3的等比數(shù)列 D.首項為3的等差數(shù)列√解析因為an＝32－n(n＝1,2,3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33－n(n≥2)，12343.在等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an等于A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1C.(－2)n D.－(－2)n√1234解析設(shè)公比為q，則a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，從而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.12344.在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1＝an(n∈N*)，則a6＝____.解析∵2an＋1＝an，a1＝2，課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析由公比q<0可知，該等比數(shù)列是擺動數(shù)列.12345678910111213141516√解析由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比數(shù)列，且q＝2，123456789101112131415163.已知數(shù)列{an}對任意的n≥2且n∈N*，滿足a＝an－1an＋1，且a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項公式為A.an＝2n B.an＝2n－1C.an＝n D.無法確定√解析由題意可知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項a1＝1，公比q＝2，所以an＝2n－1.123456789101112131415164.等比數(shù)列{an}不具有單調(diào)性，且a5是a4和3a3的等差中項，則數(shù)列{an}的公比q等于A.－1 B.1 C.－2 D.－3√解析∵a5是a4和3a3的等差中項，∴2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，又等比數(shù)列{an}不具有單調(diào)性，故q＝－1，故選A.123456789101112131415165.若正項數(shù)列{an}滿足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，則數(shù)列{an}的通項公式an等于A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3√12345678910111213141516得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正項數(shù)列，由等比數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.123456789101112131415166.(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a7a8>1，

<0.則下列結(jié)論正確的是A.0<q<1 B.a7>1C.a8>1 D.Tn的最大項為T7√∴a7>1,0<a8<1，∴A正確；√√B正確；C錯誤；D，T7是數(shù)列{Tn}中的最大項，故正確.123456789101112131415167.在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，則an＝________.2×3n－1解析因為an＋1＝3an且a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝2×3n－1.123456789101112131415168.在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為____.123456789101112131415169.有四個數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，后三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為19，求這四個數(shù).12345678910111213141516解由于前三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，則第二個數(shù)為4，設(shè)前三個數(shù)分別為4－d,4,4＋d，由于后三個數(shù)成等比數(shù)列，整理得d2＋12d－28＝0，解得d＝2或d＝－14.若d＝2，則這四個數(shù)分別為2,4,6,9；若d＝－14，則這四個數(shù)分別為18,4，－10,25.因此，這四個數(shù)分別為2,4,6,9或18,4，－10,25.1234567891011121314151610.已知各項均不為0的數(shù)列{an}中，a1，a2，a3成等差數(shù)列，a2，a3，a4成等比數(shù)列，a3，a4，a5的倒數(shù)成等差數(shù)列，證明：a1，a3，a5成等比數(shù)列.12345678910111213141516證明由已知，得2a2＝a1＋a3，

①12345678910111213141516即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3).又a1，a3，a5均不為0，∴a1，a3，a5成等比數(shù)列.12345678910111213141516綜合運用√12345678910111213141516解析∵{an}中的項必然有正有負，∴q<0.又|q|>1，∴q<－1.由此可得{an}的連續(xù)四項為－24,36，－54,81.12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151613.在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，則{an}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿足A.q>1 B.q<1 C.0<q<1 D.q<0√12345678910111213141516解析先證必要性：∵a1<0，且{an}是遞增數(shù)列，則此時公比q滿足0＜q＜1；再證充分性：∵a1<0,0<q<1，∴an<0，則{an}是遞增數(shù)列，綜上，{an}是遞增數(shù)列的充要條件是公比q滿足0＜q＜1.1234567891011121314151614.已知等比數(shù)列{an}滿足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差數(shù)列，則a1a2a3·…·an的最大值為______.102412345678910111213141516解析因為等比數(shù)列{an}滿足a2a5＝2a3，且a4，

，2a7成等差數(shù)列，所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝

，所以當(dāng)n＝4或n＝5時，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值為210＝1024.拓廣探究12345678910111213141516√12345678910111213141516又因為從第三行起每一行數(shù)成等比數(shù)列，而且每一行的公比都相等，16.設(shè)數(shù)列{an}是公比小于1的正項等比數(shù)列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；1234567891011121314151612345678910111213141516解設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差數(shù)列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍.12345678910111213141516解bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞