高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：4 3 2 第二課時 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用(人教A版)

第四章第二課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)解題.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.課標要求素養(yǎng)要求通過利用等比數(shù)列的前n項和公式解決實際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究1等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)(1)數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列.(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).1.思考辨析，判斷正誤(1)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn不可能等于2n.(

)(2)若{an}的公比為q，則{a2n}的公比為q2.(

)(3)若{an}的公比為q，則a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也為q.(

)(4)等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，則{Sn}也是遞增數(shù)列.(

)√√√×(5)對于公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和公式，其qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).(

)√D3.已知等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項和為1，那么{an}的前10項和等于(

) A.31 B.33 C.35 D.37B解析

設(shè){an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.3.已知等比數(shù)列{an}的公比為2，且其前5項和為1，那么{an}的前10項和等于(

) A.31 B.33 C.35 D.37B解析

設(shè){an}的公比為q，由題意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，則a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33.4.設(shè)等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝81，則數(shù)列{an}的公比為________.解析

易得a4＋a5＋a6＝q3(a1＋a2＋a3)，故q3＝27，則q＝3.3課堂互動題型剖析2題型一等比數(shù)列的連續(xù)n項之和的性質(zhì)【例1】

等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為(

) A.28 B.32 C.21 D.28或－21解析∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，即7，S4－7，91－S4成等比數(shù)列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.A【遷移1】

(變條件)將例題中的條件“S2＝7，S6＝91”改為“正項等比數(shù)列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值.【遷移2】

(變條件，變結(jié)論)將例題中條件“S2＝7，S6＝91”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)法二設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，【遷移2】

(變條件，變結(jié)論)將例題中條件“S2＝7，S6＝91”改為“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值.∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)法二設(shè)b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99，則b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56，∴b1(1＋q＋q2)＝56.∴b3＝b1q2＝8×22＝32.即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32.處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元.(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì).思維升華【訓(xùn)練1】

設(shè)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝(

) A.32 B.64 C.72 D.216解析

由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比為2，所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.B【例2】

一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數(shù)列的通項公式.題型二等比數(shù)列的不連續(xù)n項和的性質(zhì)解設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，全部奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記為S奇，S偶，由題意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.又a1·a1q·a1q2＝64，(1)在等比數(shù)列{an}中若項數(shù)為偶數(shù)，則有S偶＝qS奇，且Sn＝S偶＋S奇.(2)解題時要注意觀察序號之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機，注意應(yīng)用整體的思想.思維升華【訓(xùn)練2】

一個等比數(shù)列的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù).解法一設(shè)原等比數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n(n∈N*).由②÷①，得q＝2，故公比為2，項數(shù)為8.法二∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，又Sn＝85＋170＝255，∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，項數(shù)n＝8.【例3】

小華準備購買一部售價為5000元的手機，采用分期付款方式，并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為：購買2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，…，購買12個月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計算，求小華每期付款金額是多少.(參考數(shù)據(jù)：1.00812≈1.10)題型三等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用解法一設(shè)小華每期付款x元，第k個月末付款后的欠款本利為Ak元，則：A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，故小華每期付款金額約為883.5元.法二設(shè)小華每期付款x元，到第k個月時已付款及利息為Ak元，則：A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810).∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，故小華每期付款金額約為883.5元.(1)實際生活中的增長率問題，分期付款問題等都是等比數(shù)列問題；(2)解決此類問題的關(guān)鍵是由實際情況抽象出數(shù)列模型，利用數(shù)列知識求解.思維升華【訓(xùn)練3】一個熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘內(nèi)，它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上升高度的80%.這個熱氣球上升的高度能超過125m嗎？解用an表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度即這個熱氣球上升的高度不可能超過125m.1.等比數(shù)列前n項和中用到2個數(shù)學(xué)思想 (1)分類討論思想：①利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q＝1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調(diào)性時應(yīng)進行討論：當a1>0，q>1或a1<0，0<q<1時為遞增數(shù)列；當a1<0，q>1或a1>0，0<q<1時為遞減數(shù)列；當q<0時為擺動數(shù)列；當q＝1時為常數(shù)列.課堂小結(jié)2.注意1個易錯點

對于有些數(shù)列問題，必須充分挖掘題目中的隱含條件(如n的奇偶性等)，若忽略這些隱含條件，將導(dǎo)致多解或漏解.

分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

CBAC5.某市利用省運會的契機，鼓勵全民健身，從2018年7月起向全市投放A，B兩種型號的健身器材.已知7月投放A型健身器材300臺，B型健身器材64臺，計劃8月起，A型健身器材每月的投放量均為a臺，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底該市A，B兩種健身器材投放總量不少于2000臺，則a的最小值為(

) A.243 B.172 C.122 D.74D二、填空題6.正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，則S20等于________.407.一個球從256米的高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半，當它第6次著地時，共經(jīng)過的路程是________米.752共經(jīng)過的路程為256＋2S5＝752(米).8.設(shè)正項等比數(shù)列{an}，前n項和為Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，則公比q＝________.解析由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.又S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列，三、解答題9.(1)設(shè)數(shù)列{xn}滿足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項和為Sn，求S20.解

∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250.(2)設(shè)數(shù)列{an}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，求ba1＋ba2＋ba3＋…＋ba6.解

設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝2，∴{ban}是首項為b2＝2，公比為2的等比數(shù)列.證明

法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，當q＝1時，Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，C解析由題意知等比數(shù)列{an}的公比q≠－1，故根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知S4，S8－S4，S12－S8，…成等比數(shù)列.S8－S4＝2m，∴S12－S8＝4m，∴S12＝7m.又S16－S12＝8m，∴S16＝15m.解析令x＝n，y＝1，則f(n)·f(1)＝f(n＋1)，(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解旅游業(yè)的總收入超過總投入，即bn－an>0，故至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.14.已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，將P∪Q的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則a29＝________，使得Sn<1000成立的n的最大值為________.4735解析

數(shù)列{an}的前n項依次為1，2，3，22，5，7，23，….利用列舉法可得，當n＝35時，P∪Q的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列{an}，所以數(shù)列{an}的前35項分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a29＝47.因為26＝64>61，所以S36＝S35＋61＝1023>1000，所以n的最大值為35.備用工具&資料(2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？解旅游業(yè)的總收入超過總投入，即bn－an>0，故至少經(jīng)過5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法(1)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或