高中數(shù)學選擇性必修2課件：5 2 2 導數(shù)的四則運算法則(人教A版)

第五章5.2.2導數(shù)的四則運算法則能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導數(shù).課標要求素養(yǎng)要求在利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預習知識探究1導數(shù)運算法則法則語言敘述[f(x)±g(x)]′＝____________兩個函數(shù)和(或差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)[f(x)·g(x)]′＝____________________兩個函數(shù)積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)兩個函數(shù)商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)乘以分母積，減去分子乘以分母的導數(shù)，再除以分母的平方f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)點睛(1)先區(qū)分函數(shù)的運算特點，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據(jù)導數(shù)的運算法則求導.(2)對于不符合求導公式或四則運算法則求導的函數(shù)，可先對其進行恒等變形，再求導.

1.思考辨析，判斷正誤×(1)若f(x)＝lnx，則f′(e)＝1.(

)√√(4)函數(shù)f(x)＝xlnx的導數(shù)是f′(x)＝x.(

)提示

f′(x)＝(x)′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1.×2.(多選題)下列求導運算正確的是(

)BCD中，(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，D不正確；BC正確.3.設f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，則a的值是(

)B3.設f(x)＝x3＋ax2－2x＋b，若f′(1)＝4，則a的值是(

)B1課堂互動題型剖析2題型一利用運算法則求函數(shù)的導數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；解

法一可以先展開后再求導：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求導法則進行求導：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.解

(2)把函數(shù)的解析式整理變形可得：(3)根據(jù)求導法則進行求導可得：y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(3e)xln3e－2xln2.解

利用除法的求導法則進行求導可得：解

利用除法的求導法則進行求導可得：利用導數(shù)運算法則的策略(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定求導法則，基本公式.(2)如果求導式比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?，商式變乘積式求導，三角函數(shù)恒等變換后求導等.(3)利用導數(shù)運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導.思維升華【訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù). (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lgx；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.角度1求導法則的逆向應用【例2】

已知f′(x)是一次函數(shù)，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1對一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式.題型二求導法則的應用待定系數(shù)法就是用設未知數(shù)的方法分析所要解決的問題，然后利用已知條件解出所設未知數(shù)，進而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式，特別是已知具有某些特征的函數(shù).思維升華【訓練2】

設y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函數(shù)表達式.解

∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x＋c(c為常數(shù))，角度2求導法則在導數(shù)幾何意義中的應用解

f′(x)＝3ax2－2x－1.(1)此類問題主要涉及切點，切點處的導數(shù)，切線方程三個主要元素，解題方法為把其它題設條件轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關系，構建方程(組)求解.(2)準確利用求導法則求出函數(shù)的導數(shù)是解此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確.思維升華因為f(x)的圖象在x＝1處與直線y＝2相切，(2)若P(x0，y0)為f(x)圖象上的任意一點，直線l與f(x)的圖象切于P點，求直線l的斜率k的取值范圍.1.熟記導數(shù)的3個求導法則2.注意1個易錯點

應用和、差、積、商的求導法則求導數(shù)時，在可能的情況下，應盡量少用甚至不用積或商的求導法則，應在求導之前，先利用代數(shù)、三角恒等變形等知識對函數(shù)進行化簡，然后再求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，避免出錯.3.求導的方法

對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用.

課堂小結分層訓練素養(yǎng)提升3

一、選擇題BA3.(多選題)下列運算中錯誤的是(

)BCD解析

A項中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′正確；B項中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′錯誤；D項中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′錯誤.4.若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于(

) A.－1 B.－2 C.2 D.0B解析

f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)是奇函數(shù)，故f′(－1)＝－f′(1)＝－2.A二、填空題6.函數(shù)f(x)＝exsinx的圖象在點(0，f(0))處切線的傾斜角為________.③解析

∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的圖象開口向上，排除圖象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函數(shù)，其圖象不關于y軸對稱，故f′(x)的圖象的序號為③.由圖象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且對稱軸x＝－a>0，三、解答題9.求下列函數(shù)的導數(shù)：10.已知拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(1，1)，且在點(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，求a，b的值.解

由拋物線f(x)＝ax2＋bx－7經(jīng)過點(1，1)，得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.因為f′(x)＝2ax＋b，且拋物線在點(1，1)處的切線方程為4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0.C12.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)等于(

)A.0 B.－2 C.－4 D.2C解析∵f(x)＝x2＋2xf′(1)，∴f′(x)＝2x＋2f′(1)，取x＝1，得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝2×0－4＝－4.13.已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；解f(x)＝x3＋ax＋b的導數(shù)為f′(x)＝3x2＋a.由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.∴切線的斜率k＝4.設切點的坐標為(x0，y0)，由(1)可知f(x)＝x3＋x－16，由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18，∴切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.備用工具&資料13.已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；解f(x)＝x3＋ax＋b的導數(shù)為f′(x)＝3x2＋a.由題意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.【訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù). (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lgx；解

(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.題型一利用運算法則求函數(shù)的導數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；解

法一可以先展開后再求導：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求導法則進行求導：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x