高考數(shù)學(xué)大題精做專題02利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性(第六篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題02利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性類型對應(yīng)典例不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性典例1含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)典例2含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是類一次函數(shù)典例3含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)（不能因式分解）典例4含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)（能因式分解）典例5含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是類二次函數(shù)典例6利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍典例7【典例1】【廣東省茂名市2020屆模擬】已知函數(shù)在處的切線與直線平行．(1)求實數(shù)的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證：．【典例2】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)f(x)=x?aln（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.（2）若?x>0，f(x)≥0，求ab的最大值.【典例3】【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試】已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在（為自然對數(shù)的底）時取得極值，且函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【典例4】【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬】已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點.如果函數(shù)存在不動點，求實數(shù)的取值范圍.【典例5】【北京市豐臺區(qū)2020屆模擬】已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，求的取值范圍.【典例6】【湖南省三湘名校（五市十校)2019屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】已知.（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【典例7】【重慶市南開中學(xué)2020屆月考】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.【針對訓(xùn)練】1.【安徽省定遠中學(xué)2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，.2.【遼寧省瓦房店市2020屆高三模擬】已知函數(shù)，．Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；Ⅱ若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．3.【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.4.【湖南省永州市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).5.【四川省樂山市2019屆高三第一次調(diào)查研究考試】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當時，函數(shù)有且只有一個零點，求的值.6.【“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2019屆高三上學(xué)期期末】設(shè)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù)；（3）當時，設(shè)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．7.【遼寧省朝陽市重點高中2019屆高三第四次模擬考試】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，當時，求的最大值.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題02利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性類型對應(yīng)典例不含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性典例1含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)典例2含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是類一次函數(shù)典例3含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)（不能因式分解）典例4含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)（能因式分解）典例5含參函數(shù)中主導(dǎo)函數(shù)是類二次函數(shù)典例6利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍典例7【典例1】【廣東省茂名市2020屆模擬】已知函數(shù)在處的切線與直線平行．(1)求實數(shù)的值，并判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，，且，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）由可得，利用導(dǎo)數(shù)可求的單調(diào)區(qū)間.（2）由可得，，令，則且，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可以證明即.【詳解】（1）函數(shù)的定義域：，，解得，，令，解得，故在上是單調(diào)遞減；令，解得，故在上是單調(diào)遞增.（2）由為函數(shù)的兩個零點，得兩式相減，可得即，，因此，令，由，得.則，構(gòu)造函數(shù)，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，可知.故命題得證.【典例2】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】已知函數(shù)f(x)=x?aln（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.（2）若?x>0，f(x)≥0，求ab的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）求出導(dǎo)數(shù)，討論參數(shù)a的取值;（2）構(gòu)造新函數(shù)，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量.【詳解】解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，由f(x)=x?alnx?b，得當a≤0時，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.當a>0時，則x∈(0,a)時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減；x∈(a,+∞)時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當a<0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，當x→0時，f(x)→?∞與f(x)≥0相矛盾；當a=0時，?x>0，f(x)≥0，所以b≤0，此時ab=0.當a>0時，函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.f(x)min=f(a)=a?a則ab≤a令F(x)=x2?令F'(x)>0，則0<x<e，令F'(x)<0，則x>當x=e時，F(xiàn)即當a=e，b=e2時，ab綜上，ab的最大值為e2【典例3】【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第二次模擬考試】已知函數(shù).（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在（為自然對數(shù)的底）時取得極值，且函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）當時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可判斷f（x）的單調(diào)性；（2）函數(shù)在上有兩個零點等價于函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，，令，得，當時，，當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），，∵在時取得極值，∴即，∴.所以，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得函數(shù)的極大值，∴當函數(shù)在上有兩個零點時，必有得.當時，.∴的兩個零點分別在區(qū)間與中.∴的取值范圍是.【典例4】【廣西柳州市2019屆高三畢業(yè)班1月模擬】已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點.如果函數(shù)存在不動點，求實數(shù)的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論的范圍，即可判斷的單調(diào)性；(2)由存在不動點，得到有實數(shù)根，即有解，構(gòu)造函數(shù)令，通過求導(dǎo)即可判斷的單調(diào)性，從而得到的取值范圍，即可得到的范圍?！驹斀狻?1)的定義域為，對于函數(shù)，①當時，即時，在恒成立.在恒成立.在為增函數(shù)；②當，即或時，當時，由，得或，，在為增函數(shù)，減函數(shù).為增函數(shù)，當時，由在恒成立，在為增函數(shù)。綜上，當時，在為增函數(shù)，減函數(shù)，為增函數(shù)；當時，在為增函數(shù)。（2），存在不動點，方程有實數(shù)根，即有解，令，，令，得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；，當時，有不動點，的范圍為.【典例5】【北京市豐臺區(qū)2020屆模擬】已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）函數(shù)求導(dǎo)，定義域為，由，可得或進而討論導(dǎo)函數(shù)的正負得函數(shù)單調(diào)性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，討論函數(shù)單調(diào)性求最值即可.試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.由，可得或，當時，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，，符合題意.當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即，所以，所以.當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價于，即.所以，所以.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【典例6】【湖南省三湘名校（五市十校)2019屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】已知.（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）的定義域為，且，據(jù)此確定函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）由題意可知在上恒成立，分類討論和兩種情況確定實數(shù)b的取值范圍即可.【詳解】（1）的定義域為∵，，∴當時，；時，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（2）當時，由題意，在上恒成立①若，當時，顯然有恒成立；不符題意.②若，記，則,顯然在單調(diào)遞增，（i）當時，當時，∴時，（ii）當，，∴存在，使.當時，，時，∴在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增∴當時，，不符合題意綜上所述，所求的取值范圍是【典例7】【重慶市南開中學(xué)2020屆月考】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)單調(diào)遞減可知導(dǎo)函數(shù)恒小于等于，采用參變分離的方法分離出，并將的部分構(gòu)造成新函數(shù)，分析與最值之間的關(guān)系；（2）通過對的導(dǎo)函數(shù)分析，確定有唯一零點，則就是的極大值點也是最大值點，計算的值并利用進行化簡，從而確定.【詳解】（1）由題意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）當時，.則，令，則，所以在上單調(diào)遞減.由于，，所以存在滿足，即.當時，，；當時，，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，因為，所以，所以，所以.【針對訓(xùn)練】1.【安徽省定遠中學(xué)2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，.【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)，可得減區(qū)間，可得增區(qū)間；（2）不等式的證明轉(zhuǎn)化為最值的求解即可.【詳解】解：（1）當時，，所以，討論：①當時，，有；②當時，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有；③當時，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有.綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.證明：（2）當時，有，所以，所以.令，則.令，有.令，得.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以.所以分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為,所以,故當時，.2.【遼寧省瓦房店市2020屆高三模擬】已知函數(shù)，．Ⅰ討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；Ⅱ若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）求導(dǎo)，解不等式，得到增區(qū)間，解不等式，得到減區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+﹣，g（x）min即為所求的b的值詳解：（1）在區(qū)間上，，當時，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，令得，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得，經(jīng)檢驗可知滿足題意由已知，即，即對恒成立，令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即.3.【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測】已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.4.【湖南省永州市2019屆高三第三次模擬】已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).【思路引導(dǎo)】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論，，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得時，函數(shù)的最大值，分別討論，，，即可結(jié)合題中條件求出結(jié)果.【詳解】解：（1），，當時，，當時，，當時，；當時，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，當，即時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當，即時，函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當，即時，由于，，，若，即時，，由函數(shù)單調(diào)性知使得，使得,故此時函數(shù)在內(nèi)有兩個零點；若，即時，，且，，由函數(shù)的單調(diào)性可知在內(nèi)有唯一的零點，在內(nèi)沒有零點，從而在內(nèi)只有一個零點綜上所述，當時，函數(shù)在內(nèi)有無零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有一個零點；當時，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點．5.【四川省樂山市2019屆高三第一次調(diào)查研究考試】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當時，函數(shù)有且只有一個零點，求的值.【思路引導(dǎo)】(1)求導(dǎo)后討論時的單調(diào)性(2)將代入，得到函數(shù)的表達式，由條件只有一個零點，求出在極小值時取得零點，計算出的值【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且.當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時，令，得，由得，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意知，則，令，得（舍去），，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為，因為函數(shù)有且只有一個零點，所以.由，得，所以，因為，所以.（*）設(shè)函數(shù)，易知當時，該函數(shù)是增慮熟，且當時，，所以方程（*）的解為，所以，解得.6.【“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2019屆高三上學(xué)期期末】設(shè)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù)；（3）當時，設(shè)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）直接對原函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得減區(qū)間；（2）先判斷是f(x)的一個零點，當時，由f(x)=0得，，對函數(shù)求導(dǎo)得的大致圖像，分析y=a與交點的個數(shù)可得到函數(shù)