2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí) 直線、平面平行的判定與性質(zhì)

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺突破復(fù)習(xí)直線、平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)清單題型清單目錄考點(diǎn)

直線、平面平行的判定與性質(zhì)題型1判定或證明直線與平面平行的方法題型2判定或證明平面與平面平行的方法考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.線面平行的判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理圖形

條件b?α,a?α,a∥ba∥α,a?β,α∩β=b結(jié)論a∥αa∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)

判定定理性質(zhì)定理圖形

條件a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=b結(jié)論α∥βa∥b即練即清1.判斷正誤(對的打“√”,錯的打“?”)(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.

(

)(2)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.

(

)(3)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.

(

)(4)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.

(

)2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為

.××√√平行題型1

判定或證明直線與平面平行的方法1.利用線面平行的判定定理(a∥b,a?α,b?α?a∥α);2.利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥平面ABCD,M為PC的

中點(diǎn).(1)求證:PA∥平面MBD;(2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°,求二面角B-AM-D的正弦值.

解析

(1)證明:連接AC交BD于點(diǎn)O,可知O為AC的中點(diǎn),連接OM,又M為PC的中點(diǎn),所以O(shè)M∥PA,又OM?平面MBD,PA?平面MBD,所以PA∥平面MBD.(2)由題意可得平行四邊形ABCD為菱形,且OM,OB,OC兩兩垂直.建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系,

在菱形ABCD中,因為AB=AD=2,∠BAD=120°,所以AC=2,OB=

,所以B(

,0,0),C(0,1,0),D(-

,0,0),A(0,-1,0),M(0,0,1),所以

=(-

,-1,0),

=(-

,0,1),

=(

,-1,0),

=(

,0,1),設(shè)平面MBA的法向量為m=(x,y,z),則

即

令x=1,則m=(1,-

,

),設(shè)平面MDA的法向量為n=(a,b,c),則

即

令a=1,則n=(1,

,-

),所以cos<m,n>=

=

=-

,因為二面角的范圍是[0,π],所以sin<m,n>=

,故二面角B-AM-D的正弦值為

.即練即清1.如圖所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試判斷l(xiāng)與m的位置關(guān)系,并證明

你的結(jié)論.

解析

(1)證明:如圖,記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE.因為O,M分別為AC,EF的中點(diǎn),四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,

所以AM∥OE.

(4分)又因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(線面平行的判定定理)(6分)(2)l∥m.證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,

(7分)又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,(線面平行的性質(zhì)定理)(9分)又AM∥平面BDE,AM?平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.(基

本事實(shí)4)(12分)題型2判定或證明平面與平面平行的方法1.利用面面平行的判定定理(a∥α,b∥α,a∩b=P,a?β,b?β?α∥β);2.利用面面平行的判定定理的推論(a∥c,b∥d,a∩b=A,c∩d=B,a?α,b?α,c?β,d?β?

α∥β);3.利用平面平行的傳遞性(α∥γ,β∥γ?α∥β);4.利用平行與垂直的關(guān)系(a⊥α,a⊥β?α∥β).例2

(2023貴州畢節(jié)二模,19)正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別為

AA1,CC1的中點(diǎn).(1)求證:平面B1D1F∥平面BEO;(2)若正方體的棱長為2,求三棱錐F-BEO的體積.

解析

(1)證明:連接A1C1交B1D1于M,連接A1C,MF,

∵在△A1AC中,O為AC的中點(diǎn),E為AA1的中點(diǎn),∴EO∥A1C,(利用三角形中位線定理證

明線線平行)同理,MF∥A1C,∴MF∥EO,∵EO?平面BEO,MF?平面BEO,∴MF∥平面BEO,(利用線面平行的判定定理證線面

平行)∵B1D1∥BD,而BD?平面BEO,B1D1?平面BEO,∴B1D1∥平面BEO,∵B1D1∩MF=M,B1D1,MF?平面B1D1F,∴平面B1D1F∥平面BEO.(利用面面平行的判定定理證面面平行)(2)∵BO⊥AC,BO⊥C1C,AC∩CC1=C,AC,CC1?平面OEF,∴BO⊥平面OEF.∵S△OEF=

×2

×1=

,∴VF-BEO=VB-OEF=

S△OEF·BO=

×

×

=

.(利用等體積法求解)方法總結(jié)解決面面平行問題的關(guān)鍵點(diǎn)在解決面面平行的判定時,一般遵循從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平

行”,而在應(yīng)用性質(zhì)定理時,其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具

體條件而定,絕不可過于“模式化”.即練即清2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為對角線BD,CD1上的點(diǎn),且

=

=

.(1)求證:PQ∥平面A1D1DA;(2)已知R是AB上的點(diǎn),當(dāng)

的值為多少時,能使平面PQR∥平面A1D1DA?請給出證明.

解析

(1)證明:連接CP并延長,與DA的延長線交于M點(diǎn),如圖,連接MD1,因為四邊形

ABCD為正方形,所以BC∥AD,

(2分)

故△PBC∽△PDM,所以

=

=

,又因為

=

=

,所以

=

=

,所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA,PQ?平面A1D1DA,所以PQ∥平面A1D1DA.

(6分)(2)當(dāng)

的值為

時,能使平面PQR∥平面A1D1DA.證明如下:如圖.因為

=

,即

=

,故