高考數(shù)學(xué)大題精做專題01利用樣本估計總體與概率相結(jié)合(第四篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計專題01利用樣本估計總體與概率相結(jié)合類型對應(yīng)典例以離散型數(shù)據(jù)為背景考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)概念典例1以頻率分布直方圖為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例2以莖葉圖為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例3以頻率分布表為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例4以頻率分布直方圖為背景考查統(tǒng)計和正態(tài)分布綜合典例5以頻率分布直方圖為背景考查概率期望等綜合問題典例6【典例1】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（廣東卷】某車間名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）工人數(shù)（人）合計（1）求這名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）求這名工人年齡的方差.【思路引導(dǎo)】：（1）根據(jù)頻率分布表中的相關(guān)信息結(jié)合眾數(shù)與極差的定義求出眾數(shù)與極差；（2）根據(jù)頻率分布表中的信息以及莖葉圖的作法作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）根據(jù)莖葉圖所反映的信息，先求出平均數(shù)，然后根據(jù)方差的計算公式求出這名工人年齡的方差.【典例2】【2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科)（新課標Ⅲ)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.【思路引導(dǎo)】(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).【典例3】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國Ⅱ卷】某市為了考核甲，乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高），繪制莖葉圖如下：（1）分別估計該市的市民對甲，乙兩部門評分的中位數(shù)；（2）分別估計該市的市民對甲，乙兩部門的評分高于90的概率；（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲，乙兩部門的評價．【思路引導(dǎo)】（1）50名市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的平均數(shù)即為甲部門評分的中位數(shù)．同理可得乙部門評分的中位數(shù)．（2）甲部門的評分高于90的共有5個，所以所求概率為；乙部門的評分高于90的共8個，所以所求概率為．【典例4】【2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】某種零件的質(zhì)量指標值為整數(shù)，指標值為8時稱為合格品，指標值為7或者9時稱為準合格品，指標值為6或10時稱為廢品，某單位擁有一臺制造該零件的機器，為了了解機器性能，隨機抽取了該機器制造的100個零件，不同的質(zhì)量指標值對應(yīng)的零件個數(shù)如下表所示；質(zhì)量指標值678910零件個數(shù)61860124使用該機器制造的一個零件成本為5元，合格品可以以每個元的價格出售給批發(fā)商，準合格品與廢品無法岀售.（1）估計該機器制造零件的質(zhì)量指標值的平均數(shù)；（2）若該單位接到一張訂單，需要該零件2100個，為使此次交易獲利達到1400元，估計的最小值；（3）該單位引進了一臺加工設(shè)備，每個零件花費2元可以被加工一次，加工結(jié)果會等可能出現(xiàn)以下三種情況：①質(zhì)量指標值增加1，②質(zhì)量指標值不變，③質(zhì)量指標值減少1.已知每個零件最多可被加工一次，且該單位計劃將所有準合格品逐一加工，在（2）的條件下，估計的最小值（精確到0.01）.【思路引導(dǎo)】(1)用樣本的平均值估計總體的平均數(shù)，即求出100個樣本的平均數(shù)即可.

(2)一個零件成本為5元，的價格出售，可得式子：可解出答案.

(3)設(shè)為滿足該訂單需制作個零件，則有,求出需要制作的零件總數(shù)，然后再計算滿足利潤條件的值.【典例5】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標Ⅰ】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．【思路引導(dǎo)】（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點橫坐標．中位數(shù)為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當于100次獨立重復(fù)試驗，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．【典例6】為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機抽取40名學(xué)生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競賽成績在與兩個分數(shù)段的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在內(nèi)的為二等獎,得分在內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機抽取三名,設(shè)為獲得三等獎的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據(jù)中位數(shù)定義估計中位數(shù)的范圍，在列出方程求解中位數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.（2）計算兩組的人數(shù)，再計算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的期望公式，即可求解.【針對訓(xùn)練】1．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（2）估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．2．【湖北省武漢市2018屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試理科數(shù)學(xué)試題】在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū)名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.（1）求這名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）由直方圖可認為考生競賽成績服正態(tài)分布，其中，分別取考生的平均成績和考生成績的方差，那么該區(qū)名考生成績超過分（含分）的人數(shù)估計有多少人？（3）如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取名考生，記成績不超過分的考生人數(shù)為，求.（精確到）附：①，；②，則，；③.3．某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？4．【2020屆遼寧省葫蘆島市普通高中高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測】冬季歷來是交通事故多發(fā)期，面臨著貨運高危運行、惡劣天氣頻發(fā)、包車客運監(jiān)管漏洞和農(nóng)村交通繁忙等四個方面的挑戰(zhàn).全國公安交管部門要認清形勢、正視問題，針對近期事故暴露出來的問題，強薄羽、補短板、堵漏洞，進一步推動五大行動，鞏固擴大五大行動成果，全力確保冬季交通安全形勢穩(wěn)定.據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于交通道路安全情況的調(diào)查，通過調(diào)查年齡在的人群，數(shù)據(jù)表明，交通道路安全仍是百姓最為關(guān)心的熱點，參與調(diào)查者中關(guān)注此類問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查并關(guān)注交通道路安全的人群中隨機選出100人，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這100人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（2）現(xiàn)在要從年齡較大的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，求第2組恰好抽到1人的概率；5．【2020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)】為了鼓勵職員工作熱情，某公司對每位職員一年來的工作業(yè)績按月進行考評打分；年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應(yīng)獎勵.已知職員一年來的工作業(yè)績分數(shù)的莖葉圖如圖所示：（1）根據(jù)職員的業(yè)績莖葉圖求出他這一年的工作業(yè)績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若記職員的工作業(yè)績的月平均數(shù)為.①已知該公司還有6位職員的業(yè)績在100以上，分別是，，，，，，在這6人的業(yè)績里隨機抽取2個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)據(jù)滿足（其中）的概率；②由于職員的業(yè)績高，被公司評為年度最佳職員，在公司年會上通過抽獎形式領(lǐng)取獎金.公司準備了9張卡片，其中有1張卡片上標注獎金為6千元，4張卡片的獎金為4千元，另外4張的獎金為2千元.規(guī)則是：獲獎職員需要從9張卡片中隨機抽出3張，這3張卡片上的金額數(shù)之和就是該職員所得獎金.記職員獲得的獎金為（千元），求的分布列和期望.6．【2020屆陜西省西安中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民月收入總額（工資、薪金等）不超過免征額的部分不必納稅，超過免征額的部分為全月應(yīng)納稅所得額，個人所得稅稅款按稅率表分段累計計算.為了給公民合理減負，穩(wěn)步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，個人所得稅免征額和稅率進行了調(diào)整，調(diào)整前后的個人所得稅稅率表如下：（1）已知小李2018年9月份上交的稅費是295元，10月份月工資、薪金等稅前收入與9月份相同，請幫小李計算一下稅率調(diào)整后小李10月份的稅后實際收入是多少？（2）某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻率分布直方圖.（?。┱埜鶕?jù)頻率分布直方圖估計該公司員工稅前收入的中位數(shù)；（ⅱ）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表，按調(diào)整后稅率表，試估計小李所在的公司員工該月平均納稅多少元？7．【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū)．為了解市民每年旅游消費支出情況單位：百元，相關(guān)部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行隨機問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)1039040018812求所得樣本的中位數(shù)精確到百元；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市總?cè)丝跒?50萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；若年旅游消費支出在百元以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該景點游玩現(xiàn)從游客中隨機抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，；8．【2020屆安徽省池州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，請估計數(shù)學(xué)成績的平均分；（2）根據(jù)物理成績統(tǒng)計表，請估計物理成績的中位數(shù)；（3）若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人，從此6人中隨機抽取3人，記X為抽到兩個“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和期望值.9．【福建省福州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測】垃圾分一分，城市美十分；垃圾分類，人人有責．某市為進一步推進生活垃圾分類工作，調(diào)動全民參與的積極性，舉辦了“垃圾分類游戲挑戰(zhàn)賽”．據(jù)統(tǒng)計，在為期個月的活動中，共有萬人次參與．為鼓勵市民積極參與活動，市文明辦隨機抽取名參與該活動的網(wǎng)友，以他們單次游戲得分作為樣本進行分析，由此得到如下頻數(shù)分布表：單次游戲得分頻數(shù)（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，估計參與活動的網(wǎng)友單次游戲得分的平均值及標準差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（其中標準差的計算結(jié)果要求精確到）（2）若要從單次游戲得分在、、的三組參與者中，用分層抽樣的方法選取人進行電話回訪，再從這人中任選人贈送話費，求此人單次游戲得分不在同一組內(nèi)的概率.附：，.10．【天津市濱海新區(qū)七所學(xué)校2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】某校高三實驗班的60名學(xué)生期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績都在內(nèi)，其中語文成績分組區(qū)間是：，，，，.其成績的頻率分布直方圖如圖所示，這60名學(xué)生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分數(shù)段的人數(shù)之比如下表所示：分組區(qū)間語文人數(shù)243數(shù)學(xué)人數(shù)124（1）求圖中的值及數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)；（2）語文成績在的3名學(xué)生均是女生，數(shù)學(xué)成績在的4名學(xué)生均是男生，現(xiàn)從這7名學(xué)生中隨機選取4名學(xué)生，事件為：“其中男生人數(shù)不少于女生人數(shù)”，求事件發(fā)生的概率；（3）若從數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，且這2名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第四篇概率與統(tǒng)計專題01利用樣本估計總體與概率相結(jié)合類型對應(yīng)典例以離散型數(shù)據(jù)為背景考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)概念典例1以頻率分布直方圖為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例2以莖葉圖為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例3以頻率分布表為背景考查統(tǒng)計的相關(guān)概念典例4以頻率分布直方圖為背景考查統(tǒng)計和正態(tài)分布綜合典例5以頻率分布直方圖為背景考查概率期望等綜合問題典例6【典例1】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（廣東卷】某車間名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲）工人數(shù)（人）合計（1）求這名工人年齡的眾數(shù)與極差；（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）求這名工人年齡的方差.【思路引導(dǎo)】：（1）根據(jù)頻率分布表中的相關(guān)信息結(jié)合眾數(shù)與極差的定義求出眾數(shù)與極差；（2）根據(jù)頻率分布表中的信息以及莖葉圖的作法作出這名工人年齡的莖葉圖；（3）根據(jù)莖葉圖所反映的信息，先求出平均數(shù)，然后根據(jù)方差的計算公式求出這名工人年齡的方差.解：（1）這名工人年齡的眾數(shù)為，極差為；（2）莖葉圖如下：（3）年齡的平均數(shù)為，故這名工人年齡的方差為.【典例2】【2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科)（新課標Ⅲ)】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.【思路引導(dǎo)】(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).解：(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為【典例3】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國Ⅱ卷】某市為了考核甲，乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高），繪制莖葉圖如下：（1）分別估計該市的市民對甲，乙兩部門評分的中位數(shù)；（2）分別估計該市的市民對甲，乙兩部門的評分高于90的概率；（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲，乙兩部門的評價．【思路引導(dǎo)】（1）50名市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的平均數(shù)即為甲部門評分的中位數(shù)．同理可得乙部門評分的中位數(shù)．（2）甲部門的評分高于90的共有5個，所以所求概率為；乙部門的評分高于90的共8個，所以所求概率為．（3）市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于乙部門的評分的中位數(shù)，且甲部門的評分較集中，乙部門的評分相對分散，即甲部門的評分的方差比乙部門的評分的方差小．解：（1）由所給莖葉圖知，將50名市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故甲樣本的中位數(shù)為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)估計值是75．50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67．（2）由所給莖葉圖知，50位市民對甲，乙部門的評分高于90的比率為，故該市的市民對甲，乙部門的評分高于90的概率的估計分別為；（3）由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高，評價較為一致，對乙部門的評價較低，評價差異較大．（注：考生利用其它統(tǒng)計量進行分析，結(jié)論合理的同樣給分）．【典例4】【2020屆廣東省中山市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】某種零件的質(zhì)量指標值為整數(shù)，指標值為8時稱為合格品，指標值為7或者9時稱為準合格品，指標值為6或10時稱為廢品，某單位擁有一臺制造該零件的機器，為了了解機器性能，隨機抽取了該機器制造的100個零件，不同的質(zhì)量指標值對應(yīng)的零件個數(shù)如下表所示；質(zhì)量指標值678910零件個數(shù)61860124使用該機器制造的一個零件成本為5元，合格品可以以每個元的價格出售給批發(fā)商，準合格品與廢品無法岀售.（1）估計該機器制造零件的質(zhì)量指標值的平均數(shù)；（2）若該單位接到一張訂單，需要該零件2100個，為使此次交易獲利達到1400元，估計的最小值；（3）該單位引進了一臺加工設(shè)備，每個零件花費2元可以被加工一次，加工結(jié)果會等可能出現(xiàn)以下三種情況：①質(zhì)量指標值增加1，②質(zhì)量指標值不變，③質(zhì)量指標值減少1.已知每個零件最多可被加工一次，且該單位計劃將所有準合格品逐一加工，在（2）的條件下，估計的最小值（精確到0.01）.【思路引導(dǎo)】(1)用樣本的平均值估計總體的平均數(shù)，即求出100個樣本的平均數(shù)即可.

(2)一個零件成本為5元，的價格出售，可得式子：可解出答案.

(3)設(shè)為滿足該訂單需制作個零件，則有,求出需要制作的零件總數(shù)，然后再計算滿足利潤條件的值.解：（1）設(shè)機器制造零件的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為；由題意得：，∴機器制造零件的質(zhì)量指標值的平均數(shù)為7.9個.（2）一個零件成本為5元，的價格出售，可得式子：，解得：，∴的最小值為9；（3）依題意得，準合格品加工后有能合格，用于銷售，設(shè)為滿足該訂單需制作個零件，則有，解得，故要使獲利達到1400元，需要，解得，∴的最小值為8.67.【典例5】【2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（新課標Ⅰ】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（II）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．【思路引導(dǎo)】（I）由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點橫坐標．中位數(shù)為面積等分為的點．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當于100次獨立重復(fù)試驗，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．解：（I）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【典例6】為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機抽取40名學(xué)生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù)；（2）若從競賽成績在與兩個分數(shù)段的學(xué)生中隨機選取兩名學(xué)生，設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發(fā)生的概率.（3）為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在內(nèi)的為二等獎,得分在內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機抽取三名,設(shè)為獲得三等獎的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據(jù)中位數(shù)定義估計中位數(shù)的范圍，在列出方程求解中位數(shù)，再根據(jù)眾數(shù)的定義，即可求解.（2）計算兩組的人數(shù)，再計算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的期望公式，即可求解.解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得，可知樣本的中位數(shù)在第4組中，不妨設(shè)為，則，解得，即樣本的中位數(shù)為，由頻率分布直方圖可知，樣本的眾數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，在與兩個分數(shù)段的學(xué)生人數(shù)分別為和，設(shè)中兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于5分為事件M，則事件M發(fā)生的概率為，即事件M發(fā)生的概率為.（3）從考生中隨機抽取三名,則隨機變量為獲得三等獎的人數(shù),則，由頻率分布直方圖知，從考升中任抽取1人，此生獲得三等獎的概率為，所以隨機變量服從二項分布，則，，所以隨機變量的分布列為01230.3430.4410.1890.027所以.【針對訓(xùn)練】1．某校高一舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，為了了解本次競賽學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為）進行統(tǒng)計，按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在，的頻數(shù)分別為8，2．（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的的值；（2）估計本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)；（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在內(nèi)的概率．試題分析：(1)借助題設(shè)條件運用頻率分布直方圖求解；(2)借助題設(shè)條件運用頻率分布直方圖中提供的數(shù)據(jù)信息求解；(3)運用列舉法和古典概型計算公式求解.解析：（1）由題意可知，樣本容量n==50，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（2）設(shè)本次競賽學(xué)生成績的中位數(shù)為m，平均分為，則[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040=0.5，解得，=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學(xué)生有5人，記這5人分別為a1，a2，a3，a4，a5，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學(xué)生有2人，記這2人分別為b1，b2．抽取的2名學(xué)生的所有情況有21種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同學(xué)的分數(shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名學(xué)生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率.2．【湖北省武漢市2018屆高中畢業(yè)生四月調(diào)研測試理科數(shù)學(xué)試題】在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個區(qū)名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示.（1）求這名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）由直方圖可認為考生競賽成績服正態(tài)分布，其中，分別取考生的平均成績和考生成績的方差，那么該區(qū)名考生成績超過分（含分）的人數(shù)估計有多少人？（3）如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取名考生，記成績不超過分的考生人數(shù)為，求.（精確到）附：①，；②，則，；③.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)平均數(shù)公式計算；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算P（z≥84.81），再估計人數(shù)；（3）根據(jù)二項分布的概率公式計算P（ξ≤3）．解：（1）由題意知：中間值概率∴，∴名考生的競賽平均成績?yōu)榉?（2）依題意服從正態(tài)分布，其中，，，∴服從正態(tài)分布，而，∴.∴競賽成績超過分的人數(shù)估計為人人.（3）全市競賽考生成績不超過分的概率.而，∴.3．某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.------------8分(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶，-------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5戶．--12分4．【2020屆遼寧省葫蘆島市普通高中高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測】冬季歷來是交通事故多發(fā)期，面臨著貨運高危運行、惡劣天氣頻發(fā)、包車客運監(jiān)管漏洞和農(nóng)村交通繁忙等四個方面的挑戰(zhàn).全國公安交管部門要認清形勢、正視問題，針對近期事故暴露出來的問題，強薄羽、補短板、堵漏洞，進一步推動五大行動，鞏固擴大五大行動成果，全力確保冬季交通安全形勢穩(wěn)定.據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于交通道路安全情況的調(diào)查，通過調(diào)查年齡在的人群，數(shù)據(jù)表明，交通道路安全仍是百姓最為關(guān)心的熱點，參與調(diào)查者中關(guān)注此類問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查并關(guān)注交通道路安全的人群中隨機選出100人，并將這100人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這100人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；（2）現(xiàn)在要從年齡較大的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行問卷調(diào)查，求第2組恰好抽到1人的概率；【思路引導(dǎo)】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出，再求其平均值.

（2）按照分層抽樣的方式抽取的人數(shù)分別為2人，3人,設(shè)第1組抽取的人員為；第2組抽取的人員為.列舉出隨機抽取兩人的情況，再求出概率.解：（1）由，得，平均數(shù)為歲；設(shè)中位數(shù)為x，則，∴歲.（2）根據(jù)題意，第1，2組分的人數(shù)分別為人，人，按照分層抽樣的方式抽取的人數(shù)分別為2人，3人.設(shè)第1組抽取的人員為；第2組抽取的人員為.于是，在5人隨機抽取兩人的情況有：，，，共10種.滿足題意的有：共6種.所以第2組恰好抽到1人的概率.5．【2020屆安徽省皖東縣中聯(lián)盟上學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)】為了鼓勵職員工作熱情，某公司對每位職員一年來的工作業(yè)績按月進行考評打分；年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應(yīng)獎勵.已知職員一年來的工作業(yè)績分數(shù)的莖葉圖如圖所示：（1）根據(jù)職員的業(yè)績莖葉圖求出他這一年的工作業(yè)績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若記職員的工作業(yè)績的月平均數(shù)為.①已知該公司還有6位職員的業(yè)績在100以上，分別是，，，，，，在這6人的業(yè)績里隨機抽取2個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)據(jù)滿足（其中）的概率；②由于職員的業(yè)績高，被公司評為年度最佳職員，在公司年會上通過抽獎形式領(lǐng)取獎金.公司準備了9張卡片，其中有1張卡片上標注獎金為6千元，4張卡片的獎金為4千元，另外4張的獎金為2千元.規(guī)則是：獲獎職員需要從9張卡片中隨機抽出3張，這3張卡片上的金額數(shù)之和就是該職員所得獎金.記職員獲得的獎金為（千元），求的分布列和期望.【思路引導(dǎo)】（1）直接利用中位數(shù)和平均數(shù)的概念公式來計算即可；（2）①找出符合條件的數(shù)據(jù)，利用古典概型公式求出概率即可.②由題意知所有取值為：6，8，10，12，14，利用古典概型公式求出概率，進而可得分布列和期望.解：解：（1）由莖葉圖可知，所求的中位數(shù)是；平均數(shù)是；（2）①由（1）知，①滿足的有，，所以，所求的概率；②由題意知所有取值為：6，8，10，12，14則；；；；.所以的分布列為68101214所以，期望（千元）.6．【2020屆陜西省西安中學(xué)高三上學(xué)期期末考試數(shù)】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民月收入總額（工資、薪金等）不超過免征額的部分不必納稅，超過免征額的部分為全月應(yīng)納稅所得額，個人所得稅稅款按稅率表分段累計計算.為了給公民合理減負，穩(wěn)步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，個人所得稅免征額和稅率進行了調(diào)整，調(diào)整前后的個人所得稅稅率表如下：（1）已知小李2018年9月份上交的稅費是295元，10月份月工資、薪金等稅前收入與9月份相同，請幫小李計算一下稅率調(diào)整后小李10月份的稅后實際收入是多少？（2）某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100位不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻率分布直方圖.（?。┱埜鶕?jù)頻率分布直方圖估計該公司員工稅前收入的中位數(shù)；（ⅱ）同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表，按調(diào)整后稅率表，試估計小李所在的公司員工該月平均納稅多少元？【思路引導(dǎo)】（1）先計算出稅前收入，再根據(jù)稅率求稅后實際收入；（2）（i）由柱狀圖知，中位數(shù)落在第二組，這樣根據(jù)中位數(shù)的特點直接求解即可；（ii）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)的計算方法直接求出按調(diào)整起征點后該公司員工當月所交的平均個稅.解（1）設(shè)小李9月份的稅前收入為x元，因為295＜345所以按調(diào)整起征點前應(yīng)繳納個稅為：，解得按調(diào)整起征點后應(yīng)繳納個稅為：調(diào)整后小李的實際收入是（元）（2）（?。┯芍鶢顖D知，中位數(shù)落在第二組，不妨設(shè)中位數(shù)為x千元，則有，解得（千元），估計該公司員工收入的中位數(shù)為6625千元；（ⅱ）按調(diào)整起征點后該公司員工當月所交的平均個稅為（元）估計小李所在的公司員工平均納稅129.2元.7．【2020屆湖北省黃岡市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程，持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū)．為了解市民每年旅游消費支出情況單位：百元，相關(guān)部門對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行隨機問卷調(diào)查，并把得到的數(shù)據(jù)列成如表所示的頻數(shù)分布表：組別頻數(shù)1039040018812求所得樣本的中位數(shù)精確到百元；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認為市民的旅游費用支出服從正態(tài)分布，若該市總?cè)丝跒?50萬人，試估計有多少市民每年旅游費用支出在7500元以上；若年旅游消費支出在百元以上的游客一年內(nèi)會繼續(xù)來該景點游玩現(xiàn)從游客中隨機抽取3人，一年內(nèi)繼續(xù)來該景點游玩記2分，不來該景點游玩記1分，將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，且游客之間的選擇意愿相互獨立，記總得分為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，；【思路引導(dǎo)】設(shè)樣本的中位數(shù)為x，可得，解得x；，，，旅游費用支出在7500元以上的概率為，即可估計有多少萬市民旅游費用支出在7500元以上；由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來該景點游玩的概率為，X可能取值為3，4，5，6，利用二項分布列即可得出．解：設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則，解得，所得樣本中位數(shù)為百元；，，，旅游費用支出在7500元以上的概率為，，估計有萬市民旅游費用支出在7500元以上；由表格知一年內(nèi)游客繼續(xù)來該景點游玩的概率為，X可能取值為3，4，5，6．，，，，故其分布列為：X3456P．8．【2020屆安徽省池州市高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，成績分組區(qū)間為：.其中a，b，c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.（說明：數(shù)學(xué)滿分150分，物理滿分100分）分組頻數(shù)6920105（1）根據(jù)頻率分布直方圖，請估計數(shù)學(xué)成績的平均分；（2）根據(jù)物理成績統(tǒng)計表，請估計物理成績的中位數(shù)；（3）若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”，物理成績不低于90分的為“優(yōu)”，已知本班中