高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：6 1 第一課時 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(人教A版)

第六章計(jì)數(shù)原理[數(shù)學(xué)文化]——了解數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的發(fā)展與應(yīng)用排列組合發(fā)展史雖然數(shù)數(shù)始于結(jié)繩計(jì)數(shù)的遠(yuǎn)古時代，由于那時人的智力的發(fā)展尚處于低級階段，談不上有什么技巧．隨著人們對于數(shù)的了解和研究，在形成與數(shù)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)分支的過程中，如數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)論以至泛函的形成與發(fā)展，逐步地從數(shù)的多樣性發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)的多樣性，產(chǎn)生了各種數(shù)數(shù)的技巧．中國古代的《易經(jīng)》中用十個天干和十二個地支以六十為周期來記載月和年，以六十為周期來記載月和年，以及在洛書河圖中關(guān)于幻方的記載，是人們至今所了解的最早發(fā)現(xiàn)的組合問題．于11和12世紀(jì)間，賈憲就發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式系數(shù)，楊輝將它整理記載在他的《續(xù)古抉奇法》一書中，這就是中國通常稱的楊輝三角．事實(shí)上，于12世紀(jì)印度的婆什迦羅第二也發(fā)現(xiàn)了這種組合數(shù).13世紀(jì)波斯的哲學(xué)家曾講授過此類三角．而在西方，布萊士·帕斯卡發(fā)現(xiàn)這個三角形是在17世紀(jì)中期．[讀圖探新]——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識1．想著家里熱騰騰的餃子，盼著過年那張望眼欲穿的車票，一個信念：有錢沒錢回家過年！已知有一條動車線，在甲、乙兩城之間來往，中途停靠4處．連頭帶尾，共有6個?？空荆?．2019年10月1日我軍首次組建領(lǐng)導(dǎo)指揮方隊(duì)接受檢閱，350余名受閱隊(duì)員全部從解放軍全新作戰(zhàn)指揮鏈中抽組，25名將軍組成將軍排面……這是我軍首次組建領(lǐng)導(dǎo)指揮方隊(duì)接受檢閱．3．接力賽是田徑運(yùn)動中一項(xiàng)很常見的賽制，每年的學(xué)校運(yùn)動會中都會有，這是一個最能代表團(tuán)體合作精神的項(xiàng)目．要想在這個項(xiàng)目中取得好的成績，就必須對參加接力賽的隊(duì)員進(jìn)行科學(xué)的排兵布陣．問題1：為了這6個站，要準(zhǔn)備多少種不同的車票呢？問題2：25名將軍站在排面有多少種排列的方法？問題3：4×100米接力賽中，共有多少種安排的方法？鏈接：以上問題均為計(jì)數(shù)問題，計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)的重要研究對象之一，其相關(guān)內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)．學(xué)習(xí)時應(yīng)重視兩個計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，分清問題的解決是要分類還是分步；對問題涉及的是排列問題、組合問題，還是排列與組合的綜合問題，要認(rèn)真辨析，抓住聯(lián)系，弄清區(qū)別.6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第一課時分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.通過兩個計(jì)數(shù)原理的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟(jì)南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘坐動車組，假如這天飛機(jī)有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．問題這個政協(xié)委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選？提示該政協(xié)委員共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．新知探究2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟(jì)南前往北京參加會議，他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘坐動車組，假如這天飛機(jī)有3個航班可乘，動車組有4個班次可乘．問題這個政協(xié)委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選？提示該政協(xié)委員共有3＋4＝7(種)快捷途徑可選．1．分類加法計(jì)數(shù)原理正確運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是明確分類的標(biāo)準(zhǔn)并做到不重不漏完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．m＋n2．分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________

種不同的方法．m×n拓展深化[微判斷]1．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．

(

)

提示在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同的方案中，每一種方法都不相同．2．在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．

(

)3．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(

)4．在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情若是分兩步完成的，那么其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有兩個步驟都完成后，這件事情才算完成．

(

)×√√√[微訓(xùn)練]1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選出一人主持本班一次班會，則不同的選法種數(shù)為(

) A．6 B．5 C．3 D．2

解析由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有3＋2＝5(種)不同的選法．

答案B2．一個袋子里放有6個球，另一個袋子里放有8個球，每個球各不相同，從兩個袋子里各取一個球，共有__________種不同的取法．

解析由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×8＝48(種)不同的取法．

答案48[微思考]

用一個大寫的英文字母或0～9這10個阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

提示

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個，阿拉伯?dāng)?shù)字0～9共有10個，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.[微思考]

用一個大寫的英文字母或0～9這10個阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個給教室里的座位編號，總共能編出多少種不同的號碼？

提示

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個，阿拉伯?dāng)?shù)字0～9共有10個，所以總共可以編出26＋10＝36(種)不同的號碼.題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為__________．解析法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：個位數(shù)字是9，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，8中的一個，故共有8個；個位數(shù)字是8，則十位數(shù)字可以是1，2，3，…，7中的一個，故共有7個；同理，個位數(shù)字是7的有6個；……個位數(shù)字是2的有1個．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．答案36【遷移1】

(變條件)若本例條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個．

解當(dāng)個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9，只有1個．

當(dāng)個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7，8，9，共3個．

當(dāng)個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5，6，7，8，9，共5個．

同理可知，當(dāng)個位數(shù)字是2時，共7個，

當(dāng)個位數(shù)字是0時，共9個．

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋3＋5＋7＋9＝25(個).【遷移2】

(變條件，變設(shè)問)用1，2，3這3個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)__________個．

解析分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個；

第二類為兩位整數(shù)，有12，21，23，32，13，31，共6個；

第三類為三位整數(shù)，有123，132，231，213，321，312，共6個， ∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共可組成沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15(個)．

答案15規(guī)律方法利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時的解題流程【訓(xùn)練1】滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為(

) A．14 B．13 C．12 D．10解析由關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，得a＝0，b∈R或a≠0時，ab≤1.又a，b∈{－1，0，1，2}，故若a＝－1時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝0時，b＝－1，0，1，2，有4種可能；若a＝1時，b＝－1，0，1，有3種可能；若a＝2時，b＝－1，0，有2種可能．∴由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.答案B題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若點(diǎn)P(x，y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0，1，2，3}內(nèi)取值，則可以組成多少個不同的點(diǎn)P?

解確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必須分兩步，即分步確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．

第一步，確定橫坐標(biāo)，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標(biāo)，從0，1，2，3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法．

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，所有不同的點(diǎn)P的個數(shù)為4×4＝16.故可以組成16個不同的點(diǎn)P.規(guī)律方法應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意如下問題：(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某種方法是不是能完成這件事，也就是說要經(jīng)過幾步才能完成這件事．(2)完成這件事要分若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步，這件事都不可能完成，即各步之間是關(guān)聯(lián)的，相互依存的，只有前步完成后步才能進(jìn)行．(3)根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，即分步要做到步驟完整．【訓(xùn)練2】用0，1，2，3，4，5，6這七個數(shù)字共能組成多少個兩位數(shù)？解第一步，確定十位數(shù)字，1，2，3，4，5，6六個數(shù)字都可以選擇，有6種方法；第二步，確定個位數(shù)字，0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)字都可以選擇，有7種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的兩位數(shù)共有6×7＝42(個)．故可以組成42個兩位數(shù)．題型三兩個計(jì)數(shù)原理的簡單應(yīng)用【例3】現(xiàn)有高一年級的四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組． (1)選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？ (2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？ (3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解(1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．規(guī)律方法(1)在處理具體的應(yīng)用題時，首先必須弄清是“分類”還是“分步”，其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么，選擇合理的標(biāo)準(zhǔn)處理事件，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．(2)對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．【訓(xùn)練3】某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

解由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語．

法一分兩類．

第一類：從只會英語的6人中選1人說英語，有6種選法，則說日語的有2＋1＝3(種)選法．此時共有6×3＝18(種)選法．

第二類：從不只會英語的1人中選1人說英語，有1種選法，則選會日語的有2種選法，此時有1×2＝2(種)選法．所以由分類加法計(jì)算原理知，共有18＋2＝20(種)選法．法二設(shè)既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：(1)教英語；(2)教日語．第一類：甲入選．(1)甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×2＝2(種)選法；(2)甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有1×6＝6(種)選法．故甲入選的不同選法共有2＋6＝8(種)．第二類：甲不入選．可分兩步．第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法：第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有6×2＝12(種)不同的選法．綜上，共有8＋12＝20(種)不同選法.一、素養(yǎng)落地1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2．應(yīng)用兩個原理時，要仔細(xì)區(qū)分原理的不同，分類加法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分類，不同類之間互相排斥，互相獨(dú)立；分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵在于分步，各步之間互相依存，互相聯(lián)系．3．通過對這兩個原理的學(xué)習(xí)，要進(jìn)一步體會分類討論思想及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用．二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具從A地到B地的不同走法的種數(shù)為(

) A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不對

解析分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；第二類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．

答案B2．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人．若需1名老師和1名學(xué)生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為(

) A．39 B．24 C．15 D．16

解析先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從13名學(xué)生中任選1名，有13種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×13＝39.

答案A3．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(

)A．24 B．18 C．12 D．9解析由題意可知E→F共有6條最短路徑，F(xiàn)→G共有3條最短路徑，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(條)最短路徑，故選B.答案B4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有__________個．

解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×6＝36(種)方法，即共組成36個虛數(shù)．

答案365．從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的各項(xiàng)的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有__________個，其中不同的偶函數(shù)共有__________個．

解析一個二次函數(shù)對應(yīng)著a，b，c(a≠0)的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有二次函數(shù)的個數(shù)為3×3×2＝18.其中不同的偶函數(shù)的個數(shù)為3×2＝6.

答案18

6備用工具&資料4．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)有__________個．

解析第一步取b的數(shù)，有6種方法，第二步取a的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×6＝36(種)方法，即共組成36個虛數(shù)．

答案362．現(xiàn)有3名老師、8名男生和5