高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：7 3 2 離散型隨機(jī)變量的方差(人教A版)

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量的分布列及方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)研究離散型隨機(jī)變量的方差，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究甲、乙兩個(gè)工人生產(chǎn)同一產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)100件產(chǎn)品所出的不合格產(chǎn)品數(shù)分別用X，Y表示，X，Y的分布列如下：如何比較甲、乙兩人的技術(shù)？問(wèn)題情境中的問(wèn)題，我們可以分別求出甲、乙兩人不合格品數(shù)的均值，但是兩人的均值相等，我們應(yīng)如何更準(zhǔn)確地比較兩個(gè)工人的技術(shù)水平？提示我們知道，當(dāng)樣本平均值相差不大時(shí)，可以利用樣本方差考察樣本數(shù)據(jù)與樣本平均值的偏離程度．1．離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差正確求解隨機(jī)變量的方差的關(guān)鍵是正確求解分布列及其期望值設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2

，…，(xn－E(X))2，因?yàn)閄取每個(gè)值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來(lái)度量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱2．幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論 (1)D(aX＋b)＝______________． (2)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝______________．a(chǎn)2D(X)p(1－p)拓展深化[微判斷]1．離散型隨機(jī)變量的方差越大，

隨機(jī)變量越穩(wěn)定．

(

)

提示隨機(jī)變量的方差越小，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．2．若a是常數(shù)，

則D(a)＝0. (

)3．離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度．

(

)×√√[微訓(xùn)練]1．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，

且成功的概率p＝0.5,則E(X)和D(X)分別為(

) A．0.5和0.25 B．0.5和0.75 C．1和0.25 D．1和0.75

解析E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.

答案A2．設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為(

) A．2 B．3 C．4 D．5

解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.

答案

C2．設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)＝1，則D(2X＋1)的值為(

) A．2 B．3 C．4 D．5

解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.

答案

C[微思考]

離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定還是方差越小越穩(wěn)定？

提示

離散型隨機(jī)變量的方差越小隨機(jī)變量越穩(wěn)定.題型一求離散型隨機(jī)變量的方差角度1用定義求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為答案C角度2求兩點(diǎn)分布的方差【例2】若某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p＝0.8，則該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中命中次數(shù)X的方差為_(kāi)_________．

解析依題意知：X服從兩點(diǎn)分布，

所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.

答案0.16規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．【訓(xùn)練1】袋中有大小相同的四個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，每次從袋中任取一個(gè)球，記下其編號(hào)．若所取球的編號(hào)為偶數(shù)，則把該球編號(hào)改為3后放回袋中繼續(xù)取球；若所取球的編號(hào)為奇數(shù)，則停止取球． (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；

(2)若第一次取到偶數(shù)，記第二次和第一次取球的編號(hào)之和為X，求X的分布列和方差．解(1)記“第二次取球后才停止取球”為事件A.(2)若第一次取到2，則第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，3，3，4的四個(gè)球；若第一次取到4，則第二次取球時(shí)袋中有編號(hào)為1，2，3，3的四個(gè)球．所以X的可能取值為3，5，6，7，所以X的分布列為題型二方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例3】已知隨機(jī)變量X的分布列為：規(guī)律方法求隨機(jī)變量Y＝aX＋b方差的方法求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一種方法是應(yīng)用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．【訓(xùn)練2】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為答案D題型三均值與方差的綜合應(yīng)用【例4】有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：

XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好)．解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可見(jiàn)E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的平均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好．規(guī)律方法

(1)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過(guò)比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛啵?2)離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯(lián)系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時(shí)也應(yīng)注意合理選擇公式，簡(jiǎn)化問(wèn)題的解答過(guò)程．【訓(xùn)練3】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)． (1)求X的方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．解(1)X的分布列為(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，得a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.3．求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值． (2)求X取每一個(gè)值的概率． (3)寫出隨機(jī)變量X的分布列． (4)由均值、方差的定義求E(X)，D(X)．

特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和D(X)．A．8 B．15 C．16 D．322．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為答案B3．有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計(jì)(

) A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊 B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊 C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同 D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較

解析由E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)知B正確．

答案B4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝__________，b＝__________．(2)由題意，X的取值為0，1，2.備用工具&資料(2)由題意，X的取值為0，1，2.4．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝__________，b＝__________．規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點(diǎn)分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是兩點(diǎn)分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解時(shí)可先借助已知條件及概率知識(shí)求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成(1)中的情況．題型一求離散型隨機(jī)變量的方差角度1用定義求離散型隨機(jī)變量的方差【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為2．幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)論 (1)D(aX＋b)＝______________． (2)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝__________