2024年重慶市中考數(shù)學試卷（A卷）

第1頁（共1頁）2024年重慶市中考數(shù)學試卷（A卷）一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑。1．（4分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．2．（4分）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知點（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．64．（4分）如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．105° B．115° C．125° D．135°5．（4分）若兩個相似三角形的相似比是1：3，則這兩個相似三角形的面積比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：96．（4分）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)是（）A．20 B．22 C．24 D．267．（4分）已知m，則實數(shù)m的范圍是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜68．（4分）如圖，在矩形ABCD中，分別以點A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π9．（4分）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點E，連接AE，把AE繞點E逆時針旋轉90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點G．則的值為（）A． B． C． D．10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：①滿足條件的整式M中有5個單項式；②不存在任何一個n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個；③滿足條件的整式M共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上。11．（4分）計算：（π﹣3）0+（）﹣1＝．12．（4分）如果一個多邊形的每一個外角都是40°，那么這個多邊形的邊數(shù)為．13．（4分）重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點B的概率為．14．（4分）隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．15．（4分）如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD＝CA，過點D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝．16．（4分）若關于x的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關于y的分式方程2的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點D，E均在⊙O上，DE與AB交于點F，連接CE，與⊙O交于點G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝，DG＝.18．（4分）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因為602＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”A進行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．（8分）計算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（1）．20．（10分）為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學生的競賽成績在C組的數(shù)據是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝，b＝，m＝；（2）根據以上數(shù)據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學生、八年級有500名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)是多少？21．（10分）在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①，∠FCO＝∠EAO．∵點O是AC的中點，∴②．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．22．（10分）為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？（2）經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點P為AB上一點，AP＝x，過點P作PQ∥BC交AC于點Q．點P，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質；（3）結合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運送物資，最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港．（參考數(shù)據：1.41，1.73，2.45）（1）求A，C兩港之間的距離（結果保留小數(shù)點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽，D兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經過點（﹣1，6），與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求AM+MN+NF的最小值；（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK＝∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點（點D不與端點重合）．點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD，DE．在直線AD上取一點F，使∠EFD＝∠BAC，直線EF與直線AC交于點G．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，∠BAD＝α，求∠AGE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（2）如圖1，若∠BAC＝60°，BD＜CD，用等式表示線段CG與DE之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖2，若∠BAC＝90°，點D從點B移動到點C的過程中，連接AE，當△AEG為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．

2024年重慶市中考數(shù)學試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑。1．（4分）下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C．3 D．【答案】A【解答】解：∵﹣20＜3，∴最小的數(shù)是：﹣2．故選：A．2．（4分）下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；B、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；C、示意圖是軸對稱圖形，符合題意；D、示意圖不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：C．3．（4分）已知點（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，則k的值為（）A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【答案】C【解答】解：∵點（﹣3，2）在反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象上，∴k＝﹣3×2＝﹣6．故選：C．4．（4分）如圖，AB∥CD，∠1＝65°，則∠2的度數(shù)是（）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝180°﹣∠3＝115°．故選：B．5．（4分）若兩個相似三角形的相似比是1：3，則這兩個相似三角形的面積比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：9【答案】D【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：3，∴這兩個相似三角形的面積比是12：32＝1：9．故選：D．6．（4分）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)是（）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【解答】解：由所給圖形可知，第1種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為：4＝1×2+2；第2種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為：6＝2×2+2；第3種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為：8＝3×2+2；第4種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為：10＝4×2+2；…，所以第n種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為（2n+2）個，當n＝10時，2n+2＝22（個），即第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數(shù)為22個．故選：B．7．（4分）已知m，則實數(shù)m的范圍是（）A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【答案】B【解答】解：m32，∵，∴34，即實數(shù)m的范圍是3＜m＜4，故選：B．8．（4分）如圖，在矩形ABCD中，分別以點A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π【答案】D【解答】解：連接AC．∵兩弧有且僅有一個公共點，AD＝4，∴AC＝2AD＝8，∴在Rt△ADC中，CD4，∴S矩形ABCD＝AD?CD＝16，∵兩個扇形均為圓，而且它們的半徑相等，∴兩個扇形為圓，面積之和為S兩個扇形πAD2＝8π，∴S陰影＝S矩形ABCD﹣S兩個扇形＝168π．故選：D．9．（4分）如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點E，連接AE，把AE繞點E逆時針旋轉90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點G．則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：過點F作FH⊥DC交DC延長線于點H，∴∠H＝90°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC，∵AE繞點E逆時針旋轉90°，得到FE，∴AE＝FE，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠HEF，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC，∴DE＝CH＝HF，∴∠HCF＝45°，∴∠G＝45°，設CH＝HF＝DE＝x，正方形邊長為y，則CE＝y(tǒng)﹣x，CF，CG，∴FG＝CG﹣CF，∴，故選：A．10．（4分）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+?+a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5．下列說法：①滿足條件的整式M中有5個單項式；②不存在任何一個n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個；③滿足條件的整式M共有16個．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵n，an﹣1，…，a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an﹣1+?+a1+a0＝5，∴0≤n≤4，當n＝4時，則4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，滿足條件的整式有x4，當n＝3時，則3+a3+a2+a1+a0＝5，∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），滿足條件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，當n＝2時，則2+a2+a1+a0＝5，∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），滿足條件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；當n＝1時，則1+a1+a0＝5，∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），滿足條件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；當n＝0時，0+a0＝5，滿足條件的整式有：5；∴滿足條件的單項式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合題意；不存在任何一個n，使得滿足條件的整式M有且只有3個，故②符合題意；滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1＝16個，故③符合題意；故選：D．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上。11．（4分）計算：（π﹣3）0+（）﹣1＝3．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝1+2＝3，故答案為：3．12．（4分）如果一個多邊形的每一個外角都是40°，那么這個多邊形的邊數(shù)為9．【答案】9．【解答】解：∵9，∴這個多邊形的邊數(shù)為9，故答案為：9．13．（4分）重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從A，B，C三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點B的概率為．14．（4分）隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元．該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10%．【答案】10%．【解答】解：設該公司這兩年繳稅的年平均增長率是x，根據題意得：40（1+x）2＝48.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合題意，舍去），∴該公司這兩年繳稅的年平均增長率是10%．故答案為：10%．15．（4分）如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD＝CA，過點D作DE∥CB，且DE＝DC，連接AE交BC于點F．若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，則BF＝3．【答案】3．【解答】解：∵CD＝CA，DE∥CB，∴AF＝EF，∴CF是△ADE的中位線，∴DE＝2CF＝2，∵DE＝DC，∴AC＝2CF＝2，∵∠CAB＝∠CFA，∠ACF＝∠ACB，∴△CAF∽△CBA，∴AC：BC＝CF：AC，∴2：BC＝1：2，∴BC＝4，∴BF＝BC﹣FC＝3．故答案為：3．16．（4分）若關于x的不等式組至少有2個整數(shù)解，且關于y的分式方程2的解為非負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為16．【答案】16．【解答】解：，解不等式①，得x＜4，解不等式②，得x，∴該不等式組的解集為x＜4，∵該不等式組至少有2個整數(shù)解，∴2，解得a≤8；解分式方程2得，y，由題意得，當a＝8時，y3；當a＝6時，y2；當a＝4時，y1（不合題意，舍去）；當a＝2時，y0，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為8、6和2，∵8+6+2＝16，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為16，故答案為：16．17．（4分）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點D，E均在⊙O上，DE與AB交于點F，連接CE，與⊙O交于點G，連接DG．若AB＝10，DE＝8，則AF＝8，DG＝.【答案】8，．【解答】解：連接OE、OD、OG，過O點作OH⊥DG于H點，CE交AF于P點，如圖，∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，∴AB⊥AC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC∥DE，∴AB⊥DE，∴DF＝EFDE＝4，∵AB＝10，∴OA＝OE＝5，在Rt△OEF中，OF3，∴AF＝OA+OF＝5+3＝8；∵DE∥AC，∴，∠DEG＝∠PCA，∴PA8，在Rt△ACP中，PC，∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH，∴∠DEG＝∠DOH，∴∠DOH＝∠PCA，∴Rt△DOH∽Rt△PCA，∴DH：AO＝OD：PC，即DH：5：，∴DH，∵OH⊥DG，∴DG＝2DH．故答案為：8，．18．（4分）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)A能寫成m2﹣n，其中m與n都是兩位數(shù)，且m與n的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱A為“方減數(shù)”，并把A分解成m2﹣n的過程，稱為“方減分解”．例如：因為602＝252﹣23，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成602＝252﹣23的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是82．把一個“方減數(shù)”A進行“方減分解”，即A＝m2﹣n，將m放在n的左邊組成一個新的四位數(shù)B，若B除以19余數(shù)為1，且2m+n＝k2（k為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)A為4564．【答案】82，4564．【解答】解：①設m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由題意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，∴要使“方減數(shù)”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，當b＝0時，m2﹣n最小為82；②設m＝10a+b，則n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余數(shù)為1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴53a+5b為整數(shù)，又2m+n＝k2（k為整數(shù)），∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方數(shù)，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小為49，最大為256，即7≤k≤16，設3a+4b+7＝19t，t為正整數(shù)，則1≤t≤3，（Ⅰ）當t＝1時，3a+4b＝12，則b＝3a，30a+b+8＝30a+3a+8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，此時無整數(shù)解，（Ⅱ）當t＝2時，3a+4b＝31，則b，30a+b+8＝30a8是完全平方數(shù)，又1≤a≤9，0≤b≤8，此時無整數(shù)解，（Ⅲ）當t＝3時，3a+4b＝50，則，是完全平方數(shù)，若a＝6，b＝8，則3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此時m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，∴A＝682﹣60＝4564，故答案為：82，4564．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題8分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19．（8分）計算：（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；（2）（1）．【答案】（1）2x2+y2；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2﹣2xy+x2+2xy+y2＝2x2+y2；（2）原式?．20．（10分）為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現(xiàn)從七、八年級的學生中各隨機抽取20名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于60分（成績得分用x表示，共分成四組：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面給出了部分信息：七年級20名學生的競賽成績?yōu)椋?6，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100．八年級20名學生的競賽成績在C組的數(shù)據是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統(tǒng)計表年級七年級八年級平均數(shù)8585中位數(shù)86b眾數(shù)a79根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中a＝86，b＝87.5，m＝40；（2）根據以上數(shù)據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有400名學生、八年級有500名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)是多少？【答案】（1）86，87.5，40；（2）八年級學生安全知識競賽成績較好，理由見解答（答案不唯一）；（3）320人．【解答】解：（1）在七年級20名學生的競賽成績中86出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝86；把八年級20名學生的競賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是87，88，故中位數(shù)b87.5，m%＝1﹣10%﹣20%40%，即m＝40．故答案為：86，87.5，40；（2）八年級學生安全知識競賽成績較好，理由如下：因為兩個年級成績的平均數(shù)相同，但八年級的中位數(shù)高于七年級，所以得到八年級學生安全知識競賽成績較好（答案不唯一）；（3）400500×40%＝120+200＝320（人），答：估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優(yōu)秀（x＞90）的學生人數(shù)大約是320人．21．（10分）在學習了矩形與菱形的相關知識后，智慧小組進行了更深入的研究，他們發(fā)現(xiàn)，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他們的想法與思路，完成以下作圖和填空：（1）如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC的中點．用尺規(guī)過點O作AC的垂線，分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，連接AF，CE（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）已知：矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，EF經過對角線AC的中點O，且EF⊥AC．求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．進一步思考，如果四邊形ABCD是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④四邊形AECF是菱形．．【答案】（1）見解析；（2）∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD．∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO．∵點O是AC的中點，∴②OC＝OA．∴△CFO≌△AEO（AAS）．∴③OF＝OE．又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF⊥AC，∴四邊形AECF是菱形．猜想的結論：④四邊形AECF是菱形．故答案為：∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四邊形AECF是菱形．22．（10分）為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新?lián)Q代．（1）為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業(yè)可獲得70萬元的補貼．該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？（2）經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？【答案】（1）該企業(yè)有10條甲類生產線，20條乙類生產線；（2）還需投入1330萬元資金更新生產線的設備．【解答】解：（1）設該企業(yè)有x條甲類生產線，y條乙類生產線，根據題意得；，解得：．答：該企業(yè)有10條甲類生產線，20條乙類生產線；（2）設購買更新1條乙類生產線的設備需投入m萬元，則購買更新1條甲類生產線的設備需投入（m+5）萬元，根據題意得：，解得：m＝45，經檢驗，m＝45是所列方程的解，且符合題意，∴10（m+5）+20m﹣70＝10×（45+5）+20×45﹣70＝1330．答：還需投入1330萬元資金更新生產線的設備．23．（10分）如圖1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，點P為AB上一點，AP＝x，過點P作PQ∥BC交AC于點Q．點P，Q的距離為y1，△ABC的周長與△APQ的周長之比為y2．（1）請直接寫出y1，y2分別關于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y1，y2的圖象，并分別寫出函數(shù)y1，y2的一條性質；（3）結合函數(shù)圖象，請直接寫出y1＞y2時x的取值范圍（近似值保留小數(shù)點后一位，誤差不超過0.2）．【答案】（1）y1x（0≤x≤6），y2（0＜x≤6）；（2）圖象見解析過程；y1x的圖象性質：在0≤x≤6，y隨x的增大而增大，y2的圖象性質：在0＜x≤6，y隨x的增大而減??；（3）2.1＜x≤6．【解答】解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，，∴，y2，∴y1x，∵點P為AB上一點，∴y1x（0≤x≤6），y2（0＜x≤6）；（2）圖象如圖所示：y1x的圖象性質：在0≤x≤6，y隨x的增大而增大，y2的圖象性質：在0＜x≤6，y隨x的增大而減??；（3）∵y1＞y2，∴x，∴x2，∴x（舍去），x，∴2.1＜x≤6．24．（10分）如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從A港出發(fā)，分別向B，D兩港運送物資，最后到達A港正東方向的C港裝運新的物資．甲貨輪沿A港的東南方向航行40海里后到達B港，再沿北偏東60°方向航行一定距離到達C港．乙貨輪沿A港的北偏東60°方向航行一定距離到達D港，再沿南偏東30°方向航行一定距離到達C港．（參考數(shù)據：1.41，1.73，2.45）（1）求A，C兩港之間的距離（結果保留小數(shù)點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（?？緽，D兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達C港？請通過計算說明．【答案】（1）A，C兩港之間的距離約為77.2海里；（2）甲貨輪先到達C港，理由見解答．【解答】解：（1）過點B作BE⊥AC，垂足為E，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，AB＝40海里，∴AE＝AB?cos45°＝4020（海里），BE＝AB?sin45°＝4020（海里），在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE?tan60°＝2020（海里），∴AC＝AE+CE＝202077.2（海里），∴A，C兩港之間的距離約為77.2海里；（2）甲貨輪先到達C港，理由：如圖：由題意得：∠CDF＝30°，DF∥AG，∴∠GAD＝∠ADF＝60°，∴∠ADC＝∠ADF+∠CDF＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠GAD＝30°，∴CDAC＝（1010）海里，ADCD＝（1030）海里，在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20海里，∴BC40（海里），∴甲貨輪航行的路程＝AB+BC＝40+4096.4（海里），乙貨輪航行的路程＝AD+CD＝103010102040105.4（海里），∵96.4海里＜105.4海里，∴甲貨輪先到達C港．25．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經過點（﹣1，6），與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），連接AC，BC，tan∠CBA＝4．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是射線CA上方拋物線上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點D．點M是線段DE上一動點，MN⊥y軸，垂足為N，點F為線段BC的中點，連接AM，NF．當線段PD長度取得最大值時，求AM+MN+NF的最小值；（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段PD長度取得最大值時的點D，且與直線AC相交于另一點K．點Q為新拋物線上的一個動點，當∠QDK＝∠ACB時，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）2；（3）點Q的坐標為：（﹣1，﹣2）或（，）．【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，OC＝4，∵tan∠CBA＝4，則OB＝1，即點B（1，0），由題意得：，解得：，則拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣3x+4；（2）由拋物線的表達式知，點A、B、C的坐標分別為：（﹣4，0）、（1，0）、（0，4），則點F（，2），由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：y＝x+4，設點P（x，﹣x2+3x+4），則點D（x，x+4），則PD＝﹣x2+3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，當x＝﹣2時，PD取得最大值，則點E（﹣2，0）、D（﹣2，2），則MN＝2，將點A向右平移2個單位得到點A′（﹣2，0），連接A′F交y軸于點N，過點N作NM⊥PE，連接AM，則四邊形MNA′A為平行四邊形，則AM＝A′N，則此時AM+MN+NF＝A′N+MN+NF＝2+A′F＝22為最小；（3）將該拋物線沿射線CA方向平移，當向左平移m個單位時，則向下平移了m個單位，則新拋物線的表達式為：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m，將點D（﹣2，2）的坐標代入上式得：2＝﹣（﹣2+m）2+3（﹣2+m）+4﹣m，解得：m＝2，則新拋物線的表達式為：y＝﹣（x+m）2+3（x+m）+4﹣m＝﹣x2﹣7x﹣8，由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為：y＝﹣4x+4，當點Q在AC下方時，∵∠QDK＝∠ACB，則DQ∥BC，則直線DQ的表達式為：y＝﹣4（x+2）+2，聯(lián)立上式和新拋物線的表達式得：﹣4（x+2）+2＝﹣x2﹣7x﹣8，解得：x＝﹣2（舍去）或﹣1，即點Q（﹣1，﹣2）；當點Q（Q′）在AC上方時，同理可得，點H′（﹣4，），由點D、H′的坐標得，直線DH′的表達式為：y（x+2）+2，聯(lián)立上式和新拋物線的表達式得：（x+2）+2+2＝﹣x2﹣7