四川省瀘州市古藺縣藺陽中學(xué)校2024屆高三下學(xué)期二診模擬考試?yán)砜?數(shù)學(xué)試題【含答案】

藺陽中學(xué)高2021級(jí)二診模擬考試數(shù)學(xué)（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，先將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.填空題和解答題的作答：用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．考試結(jié)束后，只將答題卡交回.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則等于（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．的展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．5．已知，為鈍角，，則（

）A．1 B． C．2 D．6．已知不重合的兩條直線，，平面，，且，，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題是（

）.A．①④ B．③④ C．①② D．①③7．已知函數(shù)的大致圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式應(yīng)為()A． B．C． D．8．排成一排的8個(gè)座位，甲、乙、丙3人隨機(jī)就座，要求甲乙必須在相鄰兩座位就座，但都與丙不相鄰（即之間有空座位），則不同坐法種數(shù)為（

）A．30 B．60 C．120 D．3369．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．10．若數(shù)列滿足，，則滿足不等式的最大正整數(shù)為（

）A．28 B．29 C．30 D．3111．雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以的實(shí)軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則曲線的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知，則（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題共90分）二填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知，則．14．已知滿足約束條件，則的取值范圍為．15．定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則.16．對(duì)于函數(shù)和，設(shè)，，若存在使得，則稱函數(shù)和互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，若函數(shù)與互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．在中，．（1）若，求；（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．18．鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.(1)請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再從這10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．如圖，在多面體中，四邊形為菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.

(1)證明：平面AEC⊥平面CEF；(2)求平面ABE與平面CEF夾角的余弦值.20．已知橢圓的短軸長為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線，的斜率分別為，，若，求直線的方程.21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．（二）選考題（本大題共2小題，每小題10分，選做1題）22．已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程，（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形面積的最大值．23．[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出指數(shù)函數(shù)的值域進(jìn)而得出集合，根據(jù)二次根式的意義求出集合，利用并集的定義和運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】..因此.故選：D2．C【分析】將原式分母實(shí)數(shù)化得到復(fù)數(shù)代數(shù)形式后求出其共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)實(shí)部與虛部的符號(hào)即可判斷所在象限.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第三象限.故選：C3．A【分析】求絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解集，根據(jù)解集的包含關(guān)系即可判斷充分、必要關(guān)系.【詳解】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A4．D【分析】利用多項(xiàng)式乘法法則，結(jié)合二項(xiàng)式定理求解即得.【詳解】的展開式中含項(xiàng)為：展開式中項(xiàng)與展開式中項(xiàng)的和，因此展開式中為，所以的展開式中的系數(shù)為9.故選：D5．B【分析】首先求出，從而求出，再根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)闉殁g角，所以，則，所以.故選：B6．A【分析】結(jié)合圖像，逐一判斷四個(gè)命題的正確性.【詳解】對(duì)于①，畫出圖像如下圖所示，由圖可知①正確.證明如下：由于，所以，由于，所以.對(duì)于②，畫出圖像如下圖所示，由圖可知②錯(cuò)誤.對(duì)于③，畫出圖像如下圖所示，由圖可知③錯(cuò)誤.（和①圖像相同）對(duì)于④，畫出圖像如下圖所示，由圖可知④正確.證明如下：由于，所以，由于，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間點(diǎn)線面位置關(guān)系有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7．C【分析】本題是選擇題，可采用排除法，根據(jù)函數(shù)的不關(guān)于軸對(duì)稱可排除選項(xiàng)D，再根據(jù)函數(shù)定義域是，排除選項(xiàng)A，利用極限思想可排除B，即可得到所求．【詳解】解：如圖，因?yàn)楹瘮?shù)定義域是，排除A選項(xiàng)，當(dāng)，，排除B，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象不關(guān)于軸對(duì)稱可知函數(shù)不是偶函數(shù)，故可排除選項(xiàng)D.故選：C．8．B【分析】將甲、乙（連同座位）看成一個(gè)整體，和丙去插5個(gè)座位形成6個(gè)空隙，即可得出答案.【詳解】將甲、乙連同兩個(gè)座位捆綁在一起看成一個(gè)元素，丙連同一個(gè)座位捆綁在一起看成一個(gè)元素，剩余5個(gè)座位形成6個(gè)空隙，從中選出2個(gè)空隙安排這兩個(gè)元素，然后甲、乙可以交換順序.所以種不同坐法.故選：B9．B【分析】根據(jù)三視圖知幾何體為三棱錐，根據(jù)球的性質(zhì)找到球心，根據(jù)勾股定理求出半徑，進(jìn)一步求出表面積.【詳解】由三視圖可知幾何體的底面為腰為2，底邊為的等腰三角形，高為，設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，連接，其中平面，O在直線上，在中，，所以，所以，所以的外接圓半徑為，記三棱錐的外接球半徑為，則，在中，，解得，所以外接球的表面積.故選：B

10．A【分析】由題意先由遞推關(guān)系通過累乘法求通項(xiàng)公式，再由單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】由題意，即，所以，而，所以，由題意令，而是單調(diào)遞增的，且發(fā)現(xiàn)，，所以滿足不等式的最大正整數(shù)為28.故選：A.11．A【分析】設(shè)，求出及，由三角形面積及三角函數(shù)值得到，由雙曲線定義得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到離心率.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，連接，則，，過點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)E，則，故，因?yàn)?，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時(shí)除以得，解得，所以離心率.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，對(duì)于雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率或離心率的取值范圍).12．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，從而可比較的大小，設(shè)，由冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較的大小，從而可得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，則，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所?故選：D.13．【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系先求出，再用二倍角公式求出、，最后再利用余弦的和角公式求．【詳解】∵，，∴，∴，，∴，故答案為：．14．【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后設(shè)，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，觀察圖像計(jì)算可得范圍.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：設(shè)，則表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，又，所以，即的取值范圍為.故答案為：.15．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及已知條件，求得的周期性；再根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇偶性即可求得函數(shù)值.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，則，所以，則的周期是，.故答案為：.16．【分析】首先求出函數(shù)的零點(diǎn)，從而得，結(jié)合新定義可得，則，從而可知方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根，通過分離參數(shù)并化簡整理得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出值域，從而確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，據(jù)此可知，結(jié)合“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”的定義可得，則，據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)根，整理可得：，令，則，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，則據(jù)此可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.17．（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)已知條件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出；(2)根據(jù)題意知為等腰三角形，再利用余弦定理得出為等邊三角形可得，從而求出的面積．【詳解】（1）在中，由正弦定理及題設(shè)得，故，解得，又，所以.（2）設(shè)，則．在中，由余弦定理得，，即，①在等腰中，有，②聯(lián)立①②，解得或（舍去）．所以為等邊三角形，所以，所以．解法二：（1）同解法一．（2）設(shè)，則因?yàn)?，所以，由余弦定理得，得，所以，解得或（舍去）．所以為等邊三角形，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面積，考查學(xué)生的邏輯推理能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算,是中檔題.18．(1)57.5(2)分布列見解析，【分析】（1）先通過分析確定中位數(shù)在內(nèi)；再設(shè)中位數(shù)為，列出方程求解即可.（2）先根據(jù)分層抽樣確定從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆；再寫出的所有可能取值并計(jì)算相應(yīng)的概率，列出分布列并根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可證明結(jié)論；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，算出平面CEF的一個(gè)法向量，利用向量方法可得答案.【詳解】（1）如圖，取EC的中點(diǎn)H，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)HO、HF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，則AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AE⊥BD.因?yàn)锳E?平面AEC，AC?平面AEC，且AE∩AC=A，所以BD⊥平面AEC.

因?yàn)镠、O分別為EC、AC的中點(diǎn)，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四邊形HODF為平行四邊形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因?yàn)镠F?平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.

（2）取CD中點(diǎn)M，連接AM.因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠ABC=60°，所以ACD為正三角形，又M為CD中點(diǎn)，所以AM⊥CD，因?yàn)锳B∥CD，所以AM⊥AB.因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AB，AM?平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AM，AE所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=AD=AE=2DF=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因?yàn)锳M⊥平面ABE，所以為平面ABE的一個(gè)法向量，

設(shè)平面CEF的法向量為，因?yàn)椋?，不妨令，?

設(shè)平面ABE與平面CEF夾角為θ，則

，

所以平面ABE與平面CEF夾角的余弦值為.

20．（1）（2）【分析】（1）由題意可得：2b＝4，，a2＝b2+c2．聯(lián)立解出即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F(xiàn)1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），設(shè)F1M的方程為：x＝my﹣1，M（），（＞0），直線F1M與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M′（）．由根據(jù)對(duì)稱性可得：.直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及其，得0，聯(lián)立解得m．【詳解】（1）由題意，得，.又，∴，，.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由（1），可知，，.據(jù)題意，直線的方程為記直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)，.∵，根據(jù)對(duì)稱性，得.聯(lián)立，消去，得，其判別式，∴，.①由，得，即.②由①②，解得，∵，∴.∴.∴.∴直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21．(1)；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對(duì)任意的恒成立即可．【詳解】（1）由