2025八年級上冊數數學(RJ)14.3.2 第2課時 運用完全平方公式因式分解1

2025八年級上冊數數學(RJ)14.3.2第2課時運用完全平方公式因式分解1第2課時運用完全平方公式因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特點．(重點)2．掌握運用完全平方公式分解因式的方法，能正確運用完全平方公式把多項式分解因式．(難點)一、情境導入1．分解因式：(1)x2－4y2；(2)3x2－3y2；(3)x4－1；(4)(x＋3y)2－(x－3y)2.2．根據學習用平方差公式分解因式的經驗和方法，你能將形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式嗎？二、合作探究探究點：運用完全平方公式分解因式【類型一】判斷能否用完全平方公式分解因式下列多項式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋eq\f(1,4)；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16.A．1個B．2個C．3個D．4個解析：(1)a2＋ab＋b2，乘積項不是兩數積的2倍，不能運用完全平方公式；(2)a2－a＋eq\f(1,4)＝(a－eq\f(1,2))2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘積項是這兩數積的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故選B.方法總結：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍．【類型二】運用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一個因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2.方法總結：分解因式的步驟是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，沒有公因式的用公式，最后檢查每一個多項式的因式，看能否繼續(xù)分解．【類型三】利用完全平方公式求值已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．解析：首先配方，借助非負數的性質求出x、y的值，問題即可解決．解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2＝112＝121.方法總結：幾個非負數的和為0，則這幾個非負數都為0.【類型四】運用因式分解進行簡便運算利用因式分解計算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式轉化為(a±b)2的形式后計算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法總結：此題主要考查了運用公式法分解因式，正確掌握完全平方公式是解題關鍵．【類型五】利用因式分解判定三角形的形狀已知a，b，c分別是△ABC三邊的長，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，請判斷△ABC的形狀，并說明理由．解析：首先利用完全平方公式分組進行因式分解，進一步分析探討三邊關系得出結論即可．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形．方法總結：通過配方將原式轉化為非負數的和的形式，然后利用非負數性質解答，這是解決此類問題一般的思路．【類型六】整體代入求值已知a＋b＝5，ab＝10，求eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3的值．解析：將eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3分解為eq\f(1,2)ab與(a＋b)2的乘積，因此可以運用整體代入的數學思想來解答．解：eq\f(1,2)a3b＋a2b2＋eq\f(1,2)ab3＝eq\f(1,2)ab(a2＋2ab＋b2)＝eq\f(1,2)ab(a＋b)2.當a＋b＝5，ab＝10時，原式＝eq\f(1,2)×10×52＝125.方法總結：解答此類問題的關鍵是對原式進行變形，將原式轉化為含已知代數式的形式，然后整體代入．三、板書設計運用完全平方公式因式分解1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.2．完全平方公式的特點：(1)必須是三項式(或可以看成三項的)；(2)有兩個同號的平方項；(3)有一個乘積項(等于平方項底數積的±2倍)．簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央．本節(jié)課學生的探究活動比較多，教師既要全局把握，又要順其自然，千萬不可拔苗助長，為了后面多做幾道練習而主觀裁斷時間安排．其實公式的探究活動本身既是對學生能力的培養(yǎng)，又是對公式的識記過程，而且還可以提高他們應用公式的本領．第2課時運用完全平方公式因式分解教學目標1．使學生理解用完全平方公式分解因式的原理。2．使學生初步掌握適合用完全平方公式分解因式的條件，會用完全平方公式分解因式。重點難點重點：讓學生會用完全平方公式分解因式。難點：讓學生識別并掌握用完全平方公式分解因式的條件。教學過程一、引入新課我們知道，因式分解是整式乘法的反過程。倒用乘法公式，我們找到了因式分解的兩種方法：提取公因式法；運用平方差公式法。現在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？在前面我們共學過三個乘法公式：平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2。完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.這節(jié)課，我們就要講用完全平方公式分解因式。二、新課講解1．將完全平方公式倒寫：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2–2ab+b2=(a–b)2。便得到用完全平方公式分解因式的公式。2．分析上面兩個等式的左邊，它們都有三項，其中兩項符號為“+”是一個整式的平方，還有一項呢，符號可“+”可“–”，它是那兩項冪的底的乘積兩倍。凡具備這些特點的三項式，就是一個二項式的完全平方。將它寫成平方形式，便實現了因式分解。例如x2+6x+9↓↓↘=(x)2+2(3)(x)+(3)2=(x+3)2.4x2–20x+25↓↓↘=(2x)2–2(2x)(5)+(5)2=(2x+5)2.3．范例講解例4把25x4+10x2+1分解因式。[教學要點]按前面的分析，讓學生先找兩個平方項，寫出這兩個二次冪：25x4=(5x2)2,1=12.再將另一項寫成前述兩個冪的底的積的二倍：10x2=2?（5x2）?1，原式便可以寫成(5x2+1)2.可以問學生，如果題中第二項前面帶“–”好呢？是否可用完全平方公式：仍可用完全平方公式，得出的是(5x2–1)的平方。把–x2–4y2+4xy分解因式。[教學要點]讓學生觀察發(fā)現，題中三項式，兩個平方項前面帶有“–”號，因此不能直接應用完全平方公式。但當提出“–”號后，括號內卻是一個完全平方。因此，本題解答可分兩步進行：–x2–4y2+4xy=–（x2–4xy+4y2）（提公因式–1）=–（x–2y）2（應用完全平方公式）三、課堂練習（補充）1．把下列各式分解因式：（1）x2+4x+4;（2）16a2–8a+1;（3）1+t+；（4）9m2–6m+1。2．把下列各式分解因式：4a2–4ab+b2;a2b2+8abc+16c2;（3）(x+y)2+6(x+y)+9;（4）–+n2;（5）2(2a+b)2–12(2a+b)+9;（6）x2y–x4–.四、小結這節(jié)課我們初步學習了用完全平方公式分解因式。它與用平方差公式不同之處是：要求多項式有三項。其中兩項是帶正號的一個單項式（或多項式）的平方，而另一項則是兩個冪的底數乘積的兩倍。它的符號可“+”可“–”。五、作業(yè)設計1．把下列各式分解因式：（1）1–4x2y2;（2）1+4x2y2+4xy;16(m+n)2–25(m–n)2;16m2+25n2+40mn.2．下列等式成立不成立？如果不成立，應如何改正：（1）–x2=（–x）2;（2）9a2=(9a)2;（3）–4y2=(–2y)2;（4）–x2+2xy–y2=(–x–y)2.3．把下列各式分解因式：14a–1–49a2;（2）–8xy–16x2–y2;（3）4m2–3(4m–3);（4）–x2–5y(5y–2x).4．在括號內填入適當的數或單項式：（1）9a2–()+b2=(–b)2;（2）x4+4x2+()=(x+)2;（3）p2–3p+()=(p–)2;*（4）25a2+24a+()=(5a+)2。15．1分式15．1.1從分數到分式1．了解分式的概念，能判斷一個代數式是否為分式，會求分式的值．(重點)2．理解當分母不為零時分式才有意義；在分式有意義的條件下，會求分式的分母中所含字母的取值范圍；會確定分式的值為零的條件．(難點)一、情境導入多媒體展示，學生欣賞一組圖片(長江三峽)．長江三峽自古以來就是四川通往中原的重要水路，也是秀美壯麗、享譽中外的世界旅游勝地．早在1500多年前的魏晉時期，地理學家酈道元就在他的著作《水經注》中留下一段生動的描述：“有時朝發(fā)白帝城，暮至江陵，期間千二里，雖乘龍御風，不以疾也．”多媒體出示以下問題：(1)如果客船早6時從白帝城啟航，順水而下，傍晚6時到達江陵，航程600千米，客船航行的平均速度約為多少千米/小時？(2)如果客船8小時航行了s千米，該船航行的平均速度是多少？(3)如果客船在靜水中的航行速度為v千米/小時，江水流動的平均速度為20千米/小時．那么客船順水而下，航行600千米需多少時間？如果客船逆水航行s千米，需要多少時間？你能解答情境導入中的問題嗎？與同學交流．二、合作探究探究點一：分式的概念【類型一】判斷代數式是否為分式在式子eq\f(1,a)、eq\f(2xy,π)、eq\f(3a2b3c,4)、eq\f(5,6＋x)、eq\f(x,7)＋eq\f(y,8)、9x＋eq\f(10,y)中，分式的個數有()A．2個B．3個C．4個D．5個解析：eq\f(1,a)、eq\f(5,6＋x)、9x＋eq\f(10,y)這3個式子的分母中含有字母，因此是分式．其他式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故選B.方法總結：分母中含有字母的式子就是分式，注意π不是字母，是常數．【類型二】探究分式的規(guī)律觀察下面一列分式：eq\f(x3,y)，－eq\f(x5,y2)，eq\f(x7,y3)，－eq\f(x9,y4)，…(其中x≠0)．(1)根據上述分式的規(guī)律寫出第6個分式；(2)根據你發(fā)現的規(guī)律，試寫出第n(n為正整數)個分式，并簡單說明理由．解析：(1)根據已知分式的分子與分母的次數與系數關系得出答案；(2)利用(1)中數據的變化規(guī)律得出答案．解：(1)觀察各分式的規(guī)律可得：第6個分式為－eq\f(x13,y6)；(2)由已知可得：第n(n為正整數)個分式為(－1)n＋1×eq\f(x2n＋1,yn)，理由：∵分母的底數為y，次數是連續(xù)的正整數，分子底數是x，次數是連續(xù)的奇數，且偶數個為負，∴第n(n為正整數)個分式為(－1)n＋1×eq\f(x2n＋1,yn).方法總結：此題主要考查了分式的定義以及數字變化規(guī)律，得出分子與分母的變化規(guī)律是解題關鍵．【類型三】根據實際問題列分式每千克m元的糖果x千克與每千克n元的糖果y千克混合成雜拌糖，這樣混合后的雜拌糖果每千克的價格為()A.eq\f(nx＋my,x＋y)元B.eq\f(mx＋ny,x＋y)元C.eq\f(m＋n,x＋y)元D.eq\f(1,2)(eq\f(x,m)＋eq\f(y,n))元解析：由題意可得雜拌糖每千克的價格為eq\f(mx＋ny,x＋y)元．故選B.方法總結：解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系，列出代數式．探究點二：分式有意義或無意義的條件【類型一】分式有意義的條件分式eq\f(x－1,（x－1）（x－2）)有意義，則x應滿足的條件是()A．x≠1B．x≠2C．x≠1且x≠2D．以上結果都不對解析：∵分式有意義，∴(x－1)(x－2)≠0，∴x－1≠0且x－2≠0，∴x≠1且x≠2.故選C.方法總結：分式有意義的條件是分母不等于零．【類型二】分式無意義的條件使分式eq\f(x,3x－1)無意義的x的值