高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型講解+專(zhuān)題訓(xùn)練(新高考專(zhuān)用)專(zhuān)題04二次函數(shù)與一元二次方程、不等式(原卷版+解析)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練04二次函數(shù)與一元二次方程、不等式練高考明方向1、【2022年新高考I卷第15題】2、【2022年新高考II卷第15題】3．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．44.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．(2023全國(guó)卷Ⅰ)已知集合，則A． B．C． D．6．(2023山東）設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?，則A．B．C．D．7．(2023江蘇）記函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是．8．(2023山東）已知集合，，則=A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）9．(2023新課標(biāo)Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，則=A．[－2,－1]B．[－1,1]C．[－1,2）D．[1,2）10．(2023重慶）關(guān)于的不等式（）的解集為，且，則A．B．C．D．11．(2023江蘇）已知函數(shù)若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．12．(2023重慶）設(shè)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為．13．(2023福建）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．14．(2023江蘇）解集為，則實(shí)數(shù)的值為．15．(2023江蘇）設(shè)實(shí)數(shù)滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是．16．(2023天津）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．講典例備高考二次函數(shù)與一元二次方程、不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三個(gè)二次之間的關(guān)系含參的一元二次不等式系類(lèi)型一、一元二次方程、不等式基礎(chǔ)知識(shí)：1．一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式．2．三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??注意：（1）記憶口訣：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)時(shí)不要忘記當(dāng)a＝0時(shí)的情形．基本題型：1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))2．若a<0，則關(guān)于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<eq\f(1,a)或x>2)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>eq\f(1,a)))))3．（多選題）下列不等式解集為空集的有（）A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜24．（多選題）與不等式的解集相等的不等式為（

）A．B．C． D．基本方法：解一元二次不等式的4個(gè)步驟類(lèi)型二、一元二次不等式恒成立基礎(chǔ)知識(shí)：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的條件要結(jié)合其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象決定．①不等式ax2＋bx＋c＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))②不等式ax2＋bx＋c＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2、對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的類(lèi)型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對(duì)第一種情況，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；對(duì)第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分類(lèi)討論(也可采用分離參數(shù)的方法)．基本題型：1．在R上定義運(yùn)算:，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．2．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．m≤0 B．0≤m<C．m<0或0<m< D．m<3．（多選題）下列條件中，為“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B．C． D．4．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，.（1）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【基本方法】1、一元二次不等式恒成立問(wèn)題求解思路：（1）一元二次不等式在R上恒成立確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來(lái)求解。（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立確定參數(shù)范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍。2、解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．3、一元二次型不等式恒成立問(wèn)題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2＋bx＋c≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來(lái)，利用下面的結(jié)論求解．a(chǎn)≥f(x)恒成立等價(jià)于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等價(jià)于a≤f(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求主參換位法把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立問(wèn)題，若f(x)>0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0，))若f(x)<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0))若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)類(lèi)型三、有關(guān)一元二不等式的能成立問(wèn)題1．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是（）A．13 B．21 C．26 D．303．已知函數(shù).若存在、，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________.類(lèi)型四、“三個(gè)二次”之間的關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)：一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值．基本題型：1．不等式的解集為，函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．2．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．3．（多選題）若不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．關(guān)于的不等式解集為 D．關(guān)于的不等式解集為4．已知．若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（，b），則a+b的值為_(kāi)____．基本方法：給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．類(lèi)型五、一元二次方程根的分布1．一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．2．（多選題）已知關(guān)于x的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．3．設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最小值為_(kāi)_____.4．已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有實(shí)數(shù)根.（1）若兩根的平方和比兩根之積大21，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若兩根均大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.類(lèi)型六、含參數(shù)的一元二次不等式基礎(chǔ)知識(shí);對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．1．（兩根大小引起的分類(lèi)討論）解關(guān)于的不等式：．（且）．2．（二次項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（二次項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論）使函數(shù)的定義域?yàn)榈膶?shí)數(shù)取值的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．4、（判別式引起的分類(lèi)討論）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．5、（二次項(xiàng)系數(shù)及兩根大小引起的分類(lèi)討論）解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)。基本方法：1、含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論。（2）若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式。（3）其次對(duì)相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集。新預(yù)測(cè)破高考1．已知集合，，則（）A．B． C． D．2．在R上的定義運(yùn)算：則滿足的解集為（）A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件4．（多選題）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為或5．（多選題）若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)可以是（

）A． B． C． D．6、定義區(qū)間長(zhǎng)度為這樣的一個(gè)量：的大小為區(qū)間右端點(diǎn)的值減去左端點(diǎn)的值.若關(guān)于的不等式有解，且解集區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)5個(gè)單位長(zhǎng)度，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)10．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的解集為（）A． B．C． D．11．已知方程有兩個(gè)不等正根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.12、設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1。若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍。13．設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______；14．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是，則的值為_(kāi)____．15．若不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16、已知函數(shù).（1）若，解關(guān)于x的不等式；（2）若存在，使得成立，求整數(shù)a的最大值.17、解關(guān)于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.18．已知函數(shù)．（1）解關(guān)于的不等式；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的最小值；（2）若，解關(guān)于的不等式.2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練04二次函數(shù)與一元二次方程、不等式練高考明方向1、【2022年新高考I卷第15題】2、【2022年新高考II卷第15題】3．(2023年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a= ()A．–4 B．–2 C．2 D．4答案：B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力．4.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】化簡(jiǎn)不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件.5．(2023全國(guó)卷Ⅰ)已知集合，則A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，故選B．6．(2023山東）設(shè)函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域?yàn)?，則A．B．C．D．答案：D【解析】由得，由得，故，選D.7．(2023江蘇）記函數(shù)的定義域?yàn)椋趨^(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率是．答案：【解析】由，解得，根據(jù)幾何概型的計(jì)算公式得概率為．8．(2023山東）已知集合，，則=A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）答案：C【解析】．9．(2023新課標(biāo)Ⅰ）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，則=A．[－2,－1]B．[－1,1]C．[－1,2）D．[1,2）答案：A【解析】，故=[2,1]．10．(2023重慶）關(guān)于的不等式（）的解集為，且，則A．B．C．D．答案：A【解析】∵由()，得，即，∴.∵，∴．故選A．11．(2023江蘇）已知函數(shù)若對(duì)于任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案：【解析】由題意可得對(duì)于上恒成立，即，解得．12．(2023重慶）設(shè)，不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍為．答案：【解析】由題意可得對(duì)于上恒成立，即，解得．13．(2023福建）已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．答案：(0，8)【解析】因?yàn)椴坏仁絰2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．14．(2023江蘇）解集為，則實(shí)數(shù)的值為．答案：9【解析】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)閇0,+∞），所以即,所以的兩根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得解得=9.15．(2023江蘇）設(shè)實(shí)數(shù)滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是．答案：27【解析】，，，的最大值是27．16．(2023天津）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案：D【解析】依據(jù)題意得在上恒定成立，即在上恒成立．當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，所以，即，解得或．講典例備高考二次函數(shù)與一元二次方程、不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三個(gè)二次之間的關(guān)系含參的一元二次不等式系類(lèi)型一、一元二次方程、不等式基礎(chǔ)知識(shí)：1．一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱(chēng)為一元二次不等式．2．三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??注意：（1）記憶口訣：大于號(hào)取兩邊，小于號(hào)取中間．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)時(shí)不要忘記當(dāng)a＝0時(shí)的情形．基本題型：1．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))答案：B【解析】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq\f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).2．若a<0，則關(guān)于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<\f(1,a))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<eq\f(1,a)或x>2)))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<2或x>eq\f(1,a)))))答案：B【解析】方程(ax－1)(x－2)＝0的兩個(gè)根為x＝2和x＝eq\f(1,a)，因?yàn)閍<0，所以eq\f(1,a)<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<2)))).3．下列不等式解集為空集的有（）A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜2答案：ACD分析：求解不等式的解集即可得到結(jié)果．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以無(wú)解，解集為；對(duì)于B，的解集為{﹣1}；對(duì)于C，因?yàn)?，所以的解集為；?duì)于D，因?yàn)?，所以的解集?4．（多選題）與不等式的解集相等的不等式為（

）A．B．C． D．答案：BC分析：先求出解集，再依次解不等式判斷即可.【詳解】，所以，解得，對(duì)于A選項(xiàng)：解得，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)：等價(jià)于，解得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：等價(jià)于，解得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)：解得或，故D不正確.基本方法：解一元二次不等式的4個(gè)步驟類(lèi)型二、一元二次不等式恒成立基礎(chǔ)知識(shí)：1、不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的條件要結(jié)合其對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象決定．①不等式ax2＋bx＋c＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.))②不等式ax2＋bx＋c＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c＜0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2、對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)的類(lèi)型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對(duì)第一種情況，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；對(duì)第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分類(lèi)討論(也可采用分離參數(shù)的方法)．基本題型：1．在R上定義運(yùn)算:，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．答案：D【解析】由定義知，不等式等價(jià)于，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.因?yàn)?，所以，解得，則實(shí)數(shù)的最大值為.2．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A．m≤0 B．0≤m<C．m<0或0<m< D．m<答案：D【解析】若對(duì)于任意的x∈{x|1≤x≤3}，恒成立，即可知：mx2－mx＋m－5<0在x∈{x|1≤x≤3}上恒成立，令g(x)＝mx2－mx＋m－5，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)m＝0時(shí)，－5<0恒成立，當(dāng)m<0時(shí)，有g(shù)(x)開(kāi)口向下且在[1,3]上單調(diào)遞減，∴在[1,3]上，得m<5，故有m<0，當(dāng)m>0時(shí)，有g(shù)(x)開(kāi)口向上且在[1,3]上單調(diào)遞增，∴在[1,3]上，得綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為。3．（多選題）下列條件中，為“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件的有（

）A． B．C． D．答案：BC分析：對(duì)討論：；，；，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，解不等式可得的取值范圍，再由充要條件的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對(duì)恒成立，當(dāng)時(shí)，原不等式即為恒成立；當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立，可得，即，解得：.當(dāng)時(shí)，的圖象開(kāi)口向下，原不等式不恒成立，綜上：的取值范圍為：.所以“關(guān)于的不等式對(duì)恒成立”的充分不必要條件的有或.4．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意，函數(shù)其中，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)于，恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，要使得對(duì)于，恒成立，則滿足，解得，即；③當(dāng)時(shí)，的開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸的方程為，可得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，要使得對(duì)于，恒成立，則滿足，解得，即，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．已知函數(shù)，.（1）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題意得：對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值，，即的取值范圍為.（2）由題意得：存在，使得成立，即存在，使得成立，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，即的取值范圍為.（3）由題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，解得：，即的取值范圍為.【基本方法】1、一元二次不等式恒成立問(wèn)題求解思路：（1）一元二次不等式在R上恒成立確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來(lái)求解。（2）一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立確定參數(shù)范圍時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，讓最小值大于等于0，從而求參數(shù)的范圍。2、解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．3、一元二次型不等式恒成立問(wèn)題的3大破解方法方法解讀適合題型判別式法(1)ax2＋bx＋c≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))(2)ax2＋bx＋c≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0))二次不等式在R上恒成立分離參數(shù)法如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來(lái)，利用下面的結(jié)論求解．a(chǎn)≥f(x)恒成立等價(jià)于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等價(jià)于a≤f(x)min適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求主參換位法把變?cè)c參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立問(wèn)題，若f(x)>0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0，))若f(x)<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0))若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí)類(lèi)型三、有關(guān)一元二不等式的能成立問(wèn)題1．若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A分析：把不等式化為，求出在區(qū)間[1，4]內(nèi)的最大值，即可得出的取值范圍．【詳解】不等式在內(nèi)有解等價(jià)于時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.2．已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則所有符合條件的a的值之和是（）A．13 B．21 C．26 D．30答案：B分析：設(shè)，根據(jù)題意得出，從而求的值；【詳解】設(shè)，其圖象是開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線，如圖所示，若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則，即，解得，又因?yàn)?，所以，故所有符合條件的a的值之和是.3．已知函數(shù).若存在、，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍_________.答案：.分析：分析可得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出和，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】只需，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開(kāi)口朝上，且對(duì)稱(chēng)軸為直線，所以，，，所以，，解得.類(lèi)型四、“三個(gè)二次”之間的關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)：一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值．基本題型：1．不等式的解集為，函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．答案：A【詳解】由題知，和1是的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，求得：，，所以，開(kāi)口向下，令，即，解得兩個(gè)根分別為-2，1.2．已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A． B．C． D．答案：D【解析】由不等式的解集為，知，是不等式不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根，所以有，，由以上兩式得，，所以即為，分解因式得，不等式對(duì)應(yīng)方程的根為，，由口訣“大于取兩邊，小于取中間”得不等式的解為；3．（多選題）若不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．關(guān)于的不等式解集為 D．關(guān)于的不等式解集為答案：ABD分析：先由題意及根與系數(shù)的關(guān)系得到，，即可判斷A、B；對(duì)于C、D：把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，故，此時(shí)，所以A正確,B正確；，解得：或.所以D正確；C錯(cuò)誤.4．已知．若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（，b），則a+b的值為_(kāi)____．答案：【詳解】因?yàn)閒（x）＞0的解集為（，b），即不等式的解集為（，b），所以的兩根分別為，且，由韋達(dá)定理得，解得，所以.基本方法：給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開(kāi)口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．類(lèi)型五、一元二次方程根的分布1．一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．答案：C【詳解】由題意，記方程的兩根分別為，，因?yàn)橐辉畏匠逃幸粋€(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，所以，解得，則充分不必要條件的范圍應(yīng)是集合的真子集，2．（多選題）已知關(guān)于x的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】分析：由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】，即的解集為，可知，且，故A，D正確，，故C錯(cuò)誤，由對(duì)稱(chēng)性可知，，故B正確，3．設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最小值為_(kāi)_____.答案：【詳解】因?yàn)?、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以，則，所以的最小值為。4．已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有實(shí)數(shù)根.（1）若兩根的平方和比兩根之積大21，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若兩根均大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.答案：（1）；（2）【詳解】（1）設(shè)方程的根為則或（舍），即；（2）設(shè)由題意得：且即實(shí)數(shù)m的取值范圍為。類(lèi)型六、含參數(shù)的一元二次不等式基礎(chǔ)知識(shí);對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類(lèi)．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．1．（兩根大小引起的分類(lèi)討論）解關(guān)于的不等式：．（且）．答案：時(shí)，解集為：或；時(shí)，解集為：；時(shí)，解集為：；時(shí)，解集為：【解析】因?yàn)?，所以；若，解得：；若，，解得：；若，，解得：；若，，解得：或；綜上：時(shí)，解集為：或；時(shí)，解集為：；時(shí)，解集為：；時(shí)，解集為：2．（二次項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論）若關(guān)于的不等式的解集不為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．答案：C【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，即，若，原不等式為，可得，則不等式的解集為，不是空集；若，原不等式為，無(wú)解，不符合題意.②當(dāng)，即，若不等式的解集為空集，則，解得，則當(dāng)不等式的解集不為空集，則或且，綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（二次項(xiàng)系數(shù)引起的分類(lèi)討論）使函數(shù)的定義域?yàn)榈膶?shí)數(shù)取值的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．答案：D分析：求得的定義域?yàn)闀r(shí)的取值范圍，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則時(shí)，符合.時(shí)，需滿足.綜上所述，函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍是.所以使函數(shù)的定義域?yàn)榈膶?shí)數(shù)取值的一個(gè)充分不必要條件是.4、（判別式引起的分類(lèi)討論）已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>0的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解析】(1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0.即a2－6a＋3－b<0.Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.①當(dāng)Δ≤0，即b≤－6時(shí)，原不等式的解集為?.②當(dāng)Δ>0，即b>－6時(shí)，方程a2－6a＋3－b＝0有兩根a1＝3－eq\r(6＋b)，a2＝3＋eq\r(6＋b)，∴不等式的解集為(3－eq\r(6＋b)，3＋eq\r(6＋b))．綜上所述：當(dāng)b≤－6時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)b>－6時(shí)，原不等式的解集為(3－eq\r(6＋b)，3＋eq\r(6＋b))．(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，即3x2－a(6－a)x－b<0.∵它的解集為(－1,3)，∴－1與3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的兩根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3－\r(3)，,b＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3＋\r(3)，,b＝9.))5、（二次項(xiàng)系數(shù)及兩根大小引起的分類(lèi)討論）解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)?！窘馕觥咳鬭＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1。若a<0，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq\f(1,a)或x>1。若a>0，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0。當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0無(wú)解；②當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(1,a)<1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得eq\f(1,a)<x<1；③當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0，得1<x<eq\f(1,a)。綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(1,a)或x>1))；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))?；痉椒ǎ?、含有參數(shù)的不等式的求解，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論。（2）若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式。（3）其次對(duì)相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集。新預(yù)測(cè)破高考1．已知集合，，則（）A．B． C． D．答案：A【詳解】集合或，集合或，則，或2．在R上的定義運(yùn)算：則滿足的解集為（）A．(0，2) B．(-2，1) C． D．(-1，2)答案：B【解析】因?yàn)檫\(yùn)算：所以，即，解得.所以的解集為：(-2，1).3．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件答案：A【詳解】“”等價(jià)于“或”，“”能推出“或”，而“或”不能推出“”，所以“”是“”的充分非必要條件，4．（多選題）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為或答案：ABC分析：根據(jù)題意可得且的根為，利用韋達(dá)定理可得，分別代入計(jì)算判斷正誤．【詳解】根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口與二次不等式之間的關(guān)系可知，A正確；的根為，則，即，∴，B正確；，C正確；，即，則，解得，∴的解集為，D錯(cuò)誤．5．（多選題）若“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)可以是（

）A． B． C． D．答案：AD分析：解不等式、，根據(jù)已知條件可得出這兩個(gè)不等式解集的包含關(guān)系，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】解不等式得，解不等式，即，解得或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則或，所以，或，解得或，6、定義區(qū)間長(zhǎng)度為這樣的一個(gè)量：的大小為區(qū)間右端點(diǎn)的值減去左端點(diǎn)的值.若關(guān)于的不等式有解，且解集區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)5個(gè)單位長(zhǎng)度，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A． B．C． D．答案：B【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式有解，所以，解得或，設(shè)方程的兩個(gè)根分別為和，則，，又因?yàn)榻饧瘏^(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)5個(gè)單位長(zhǎng)度，所以，所以，即，所以，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意得對(duì)恒成立，令，又時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是。8．已知方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：D【解析】要原方程有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，必須：.或，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.9、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)答案：A【解析】因?yàn)閒(x)在R上為奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上為增函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，結(jié)合題意得－4t>2m＋mt2對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立?mt2＋4t＋2m<0對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\