安徽省2024中考數(shù)學第2章方程組與不等式組第3節(jié)一元二次方程及其應用試題

Page1其次章方程(組)與不等式(組)第三節(jié)一元二次方程及其應用考點幫易錯自糾易錯點1忽視一元二次方程二次項系數(shù)不為01.若方程(m-1)xm2+1易錯點2誤認為關于x的方程ax2+bx+c=0肯定是一元二次方程2.關于x的方程(m-2)x2-2x+1=0有實根,則(B)A.m<3 B.m≤3C.m<3且m≠2 D.m≤3且m≠2易錯點3一元二次方程ax2+bx+c=0有2個實數(shù)根時,忽視Δ=0的狀況3.方程x2+2x+k=0有2個實數(shù)根,則k的取值范圍是(B)A.k<1 B.k≤1C.k≤-1 D.k<-1易錯點4干脆開平方解一元二次方程時易丟根4.方程4x2+4x+1=9的解為x1=1,x2=-2.

易錯點5方程兩邊同時約去含有未知數(shù)的因式導致漏根5.方程x(x+2)=2(x+2)的根為x1=2,x2=-2.

真題幫【考法速覽】考法1解一元二次方程(10年4考)考法2根的判別式(10年2考)考法3一元二次方程的實際應用(10年3考)考法1解一元二次方程1.[2011安徽,8]一元二次方程x(x-2)=2-x的根是(D)A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和22.[2024安徽,15]解方程:(x-1)2=4.解:∵(x-1)2=4,∴x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.3.[2016安徽,16]解方程:x2-2x=4.解:方程兩邊都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,∴x-1=±5,∴x1=1+5,x2=1-5.4.[2012安徽,16]解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程可化為x2-4x-1=0,∴Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20,∴x=4±202=2±∴x1=2-5,x2=2+5.考法2根的判別式5.[2024安徽,5]下列方程中,有兩個相等實數(shù)根的是(A)A.x2+1=2x B.x2+1=0C.x2-2x=3 D.x2-2x=0變式訓練6.[2024山東濰坊]關于x的一元二次方程x2+(k-3)x+1-k=0的根的狀況,下列說法正確的是(A)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.無法確定7.[2024安徽,7]若關于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的值為(A)A.-1 B.1C.-2或2 D.-3或1考法3一元二次方程的實際應用8.[2017安徽,8]一種藥品原價每盒25元,經(jīng)過兩次降價后每盒16元,設兩次降價的百分率都為x,則x滿意(D)A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=169.[2015安徽,6]我省2013年的快遞業(yè)務量為1.4億件,受益于電子商務發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素,快遞業(yè)迅猛發(fā)展,2014年增速位居全國第一.若2015年的快遞業(yè)務量達到4.5億件,設2014年與2015年這兩年的年平均增長率為x,則下列方程正確的是(C)A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.510.[2013安徽,7]目前我國已建立了比較完善的經(jīng)濟困難學生資助體系,某校去年上半年發(fā)放給每個經(jīng)濟困難學生389元,今年上半年發(fā)放了438元.設每半年發(fā)放的資助金額的平均增長率為x,則下面列出的方程中正確的是(B)A.438(1+x)2=389 B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438 D.438(1+2x)=389作業(yè)幫基礎分點練(建議用時:40分鐘)

考點1解一元二次方程1.[2024合肥包河區(qū)一模]一元二次方程x2+2x=0的解是(D)A.x=0 B.x=-2C.x1=2,x2=0 D.x1=-2,x2=02.[2024山東聊城]用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正確的是(A)A.(x-34)2=1716 B.(x-34)C.(x-32)2=134 D.(x-32)3.[2024遼寧營口]一元二次方程x2-5x+6=0的解為(D)A.x1=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=34.[2024江蘇常州]若關于x的方程x2+ax-2=0有一個根是1,則a=1.

5.[2024湖北十堰]對于實數(shù)a,b,定義運算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,則m=-3或4.

6.解一元二次方程:(x-3)2=2x(3-x).解:∵(x-3)2=2x(3-x),∴(x-3)2-2x(3-x)=0,即(x-3)2+2x(x-3)=0,即(x-3)(3x-3)=0,∴x-3=0或3x-3=0,∴x1=3,x2=1.7.[2024黑龍江齊齊哈爾]用配方法解方程:x2+6x=-7.解:∵x2+6x=-7,∴x2+6x+9=-7+9,即(x+3)2=2,則x+3=±2,∴x=-3±2,即x1=-3+2,x2=-3-2.8.[2024江蘇無錫]解方程:x2+x-1=0.解:∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0,∴x=-b±b2-4ac故x1=-1+52,x2=考點2根的判別式9.下列一元二次方程中,有兩個不相等的實數(shù)根的是(D)A.x2-x+14=0 B.x2C.x2-x+2=0 D.x2-2x=010.[2024安慶模擬]已知關于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有兩個相等的實數(shù)根,則1a+c的值等于(B)A.-2 B.2 C.4 D.-411.[2024合肥廬陽區(qū)模擬]若關于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實數(shù)根,則k的取值范圍是(D)A.k≥1 B.k>1 C.k<1 D.k≤112.[2024遼寧撫順]若關于x的一元二次方程x2+2x-k=0無實數(shù)根,則k的取值范圍是k<-1.

13.[2024亳州模擬]已知關于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求m的取值范圍.(2)當m為正整數(shù)時,求方程的根.解:(1)∵關于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ=(-2m)2-4(m2+m-2)>0.解得m<2.(2)由(1)知,m<2.又m為正整數(shù),∴m=1.將m=1代入原方程,得x2-2x=0,即x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2.考點3一元二次方程的實際應用14.[2024河南]國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,我國快遞業(yè)務收入逐年增加.2017年至2024年我國快遞業(yè)務收入由5000億元增加到7500億元.設我國2017年至2024年快遞業(yè)務收入的年平均增長率為x,則可列方程為(C)A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=750015.在一次同學聚會上,每人都向其他人贈送了一份小禮品,參與聚會的同學共送出156份小禮品.假如參與聚會的同學有x名,依據(jù)題意列出的方程是(B)A.x(x+1)=156 B.x(x-1)=156C.2x(x+1)=156 D.x(x-1)=156×216.[2024貴州遵義]如圖,把一塊長為40cm,寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形,然后把紙板沿虛線折起,并用膠帶粘好,即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為600cm2,設剪去的小正方形的邊長為xcm,則可列方程為(D)A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=600C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2x)(40-2x)=60017.某校圖書館2017年共有圖書10萬冊,2024年共有圖書14.4萬冊.假設該校圖書館圖書冊數(shù)的年增長率保持不變,則該校圖書館的圖書冊數(shù)首次超過20萬冊的年份是(B)A.2024年 B.2024年 C.2024年 D.2024年18.[2024上海]某商店去年“十一黃金周”進行促銷活動期間,前六天的總營業(yè)額為450萬元,第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%.(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額;(2)去年,該商店7月份的營業(yè)額為350萬元,8,9月份營業(yè)額的月增長率相同,“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等,求該商店去年8,9月份營業(yè)額的月增長率.解:(1)450+450×12%=504(萬元).答:該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元.(2)設該商店去年8,9月份營業(yè)額的月增長率為x,依據(jù)題意,得350(1+x)2=504,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去).答:該商店去年8,9月份營業(yè)額的月增長率為20%.19.[2024合肥蜀山區(qū)期末]某水果連鎖店將進價為20元/千克的某種熱帶水果以25元/千克的價格售出,每日能售出40千克.(1)每日的銷售利潤為200元.

(2)調查表明:當售價在25元/千克~32元/千克范圍內時,這種熱帶水果每千克的售價每上漲1元,其銷售量就削減2千克.在售價不高于32元/千克的狀況下,若要使每日的銷售利潤為300元,售價應定為多少?解:(1)200解法提示:(25-20)×40=200(元).(2)設每千克上漲x元,則售價為(25+x)元/千克,每日可售出(40-2x)千克,依題意,得(25+x-20)(40-2x)=300,整理,得x2-15x+50=0,解得x1=5,x2=10.當x=5時,25+x=30,符合題意;當x=10時,25+x=35>32,不合題意,舍去.答:售價應定為30元/千克.綜合提升練(建議用時:20分鐘)1.[2024甘肅隴南]已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一個根,則m的值為(B)A.-1或2 B.-1 C.2 D.02.[2024河南]定義運算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.則方程1☆x=0的根的狀況為(A)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根3.[2024浙江衢州]某廠家2024年1~5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示.設從2月份到4月份,該廠家口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x,依據(jù)題意可得方程(B)A.180(1-x)2=461 B.180(1+x)2=461C.368(1-x)2=442 D.368(1+x)2=4424.[2024湖南邵陽]中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載:“直田積八百六十四步,只云闊不及長一十二步,問闊幾步.”翻譯成數(shù)學問題是:一塊矩形田地的面積為864平方步,它的寬比長少12步,問它的寬是多少步.利用方程思想,設寬為x步,則依題意列方程x(x+12)=864.

5.[2024阜陽潁州區(qū)一模]已知關于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+34m2+1(1)證明:該方程有實數(shù)根;(2)當m=4時,該方程的兩個根是等腰三角形ABC的兩邊長,求該三角形的面積.(1)證明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4×1×(34m2+12m)=4m2+4m+1-3m2-2m=m2+2m+1=(m+1)∴該方程有實數(shù)根.(2)解:當m=4時,該方程為x2-9x+14=0,解得x1=2,x2=7.∵2+2<7,2+7>7,∴該等腰三角形的腰長為7,底邊長為2.∴底邊上的高線長為72-1∴該三角形的面積為12×2×43=436.賓館有50間房供游客居住,當每間房每天定價為180元時,賓館正好住滿;每間房每天的定價每增加10元,就會空閑一間房.假如有游客居住,賓館需對居住的每間房每天支出20元的費用.問當房價定為每間房每天多少元時,賓館當天的利潤為10890元.解:設房價定為每間房每天x元,則當天有游客居住的房間的數(shù)量為(50-x-18010依據(jù)題意,得(x-20)(50-x-18010整理,得x2-700x+122500=0,解得x1=x2=350.答:當房價定為每間房每天350元時,賓館當天的利潤為10890元.全國視野創(chuàng)新練新設問[2024黑龍江大慶]已知關于x的一元二次方程:x2-2x-a=0,有下列結論:①當a>-1時,方程有兩個不相等的實根;②當a>0時,方程不行能有兩個異號的實根;③當a>-1時,方程的兩個實根不行能都小于1;④當a>3時,方程的兩個實根一個大于3,另一個小于3.以上4個結論中,正確的個數(shù)為3.

參考答案【易錯自糾】1.-1由題意得m-1≠0,m2+1=2,故m=-1.2.B分兩種狀況進行探討.當m-2=0,即m=2時,(m-2)x2-2x+1=0可化為-2x+1=0,是一元一次方程,有實數(shù)根;當m-2≠0,即m≠2時,(m-2)x2-2x+1=0是一元二次方程,若該方程有實數(shù)根,則Δ≥0,即(-2)2-4×(m-2)×1=12-4m≥0,解得m≤3,故m≤3且m≠2.綜上可知m≤3.故選B.3.B∵方程x2+2x+k=0有2個實數(shù)根,∴Δ=22-4k≥0,∴k≤1.4.x1=1,x2=-2原方程可化為(2x+1)2=9,兩邊開平方,得2x+1=±3,∴x1=1,x2=-2.5.x1=2,x2=-2原方程可化為x(x+2)-2(x+2)=0,提取公因式,得(x+2)(x-2)=0,∴x-2=0或x+2=0,∴x1=2,x2=-2.1.D原方程移項、因式分解,可得(x-2)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=2,所以該一元二次方程的根是2和-1.2~4.略5.A逐項分析如下:選項分析根的狀況A方程可轉化為(x-1)2=0,故x1=x2=1.有兩個相等的實數(shù)根.B方程可轉化為x2=-1,-1<0.無實數(shù)根.C方程可轉化為x2-2x-3=0,Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0.有兩個不相等的實數(shù)根.D方程可轉化為x(x-2)=0,故x1=0,x2=2.有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.6.A由題可知Δ=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4>0,∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.7.A將該方程化為一般形式,為x2+(1+a)x=0.若該方程有兩個相等的實數(shù)根,則Δ=(1+a)2=0,解得a=-1.8.D第一次降價后的價格為每盒25(1-x)元,其次次降價后的價格為每盒25(1-x)2元,由此可列方程25(1-x)2=16.9.C2014年的快遞業(yè)務量為1.4(1+x)億件,2015年的快遞業(yè)務量為1.4(1+x)(1+x)=1.4(1+x)2(億件),由此可得方程1.4(1+x)2=4.5.10.B去年下半年發(fā)放的資助金額為389(1+x)元,今年上半年發(fā)放的資助金額是389(1+x)(1+x)元,即389(1+x)2元,所以有389(1+x)2=438.基礎分點練1.Dx2+2x=x(x+2)=0,解得x1=-2,x2=0.2.A2x2-3x-1=0,x2-32x=12,x2-32x+(34)2=12+(34)2,(x-3.D方法一:a=1,b=-5,c=6,由公式法可得x1=2,x2=3.方法二:(x-2)(x-3)=0,x-2=0或x-3=0,所以x1=2,x2=3.4.1將x=1代入x2+ax-2=0,得1+a-2=0,解得a=1.5.-3或4∵a◎b=(a+b)2-(a-b)2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=4ab,∴(m+2)◎(m-3)=4(m+2)(m-3)=24,化簡,得m2-m-12=0,解得m=-3或m=4.6~8.略9.D對于A選項,Δ=(-1)2-4×1×14=0,故選項A中的方程有兩個相等的實數(shù)根;對于B選項,Δ=22-4×1×4=-12<0,故選項B中的方程無實數(shù)根;對于C選項,Δ=(-1)2-4×1×2=-7<0,故選項C中的方程無實數(shù)根;對于D選項,Δ=(-2)210.B依據(jù)題意可知Δ=22-4a(2-c)=0,化簡,得ac-2a+1=0.由一元二次方程的定義可知a≠0,∴c-2+1a=0,即111.D∵關于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有實數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=4(k-1)2-4(k2-1)=-8k+8≥0,解得k≤1.12.k<-1依據(jù)題意可知,Δ=b2-4ac=22-4×(-k)<0,解得k<-1.13.略14.C2017年快遞業(yè)務收入為5000億元,2024年快遞業(yè)務收入為5000(1+x)億元,2024年快遞業(yè)務收入為5000(1+x)2億元,故可列方程為5000(1+x)2=7500,故選C.15.B依據(jù)題意得x(x-1)=156.故選B.16.D由題意得,無蓋紙盒的底面長為(40-2x)