高考數(shù)學一輪復(fù)習(提升版)(新高考地區(qū)專用)10.1平面向量的線性運算及基本定理(精講)(提升版)(原卷版+解析)

10.1平面向量的線性運算及基本定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一平面向量的基本定理【例1】(2023·廣東·高三開學考試）在中，已知，，與交于，則（

）A．

B．

C．

D．【一隅三反】1．(2023·廣東·高三開學考試）在平行四邊形中，點、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·江蘇·揚州中學高三開學考試）如圖所示，在中，點是的中點，且與相交于點，若，則滿足（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）（多選）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．考點二平面向量中的共線問題【例2-1】(2023·全國·高三專題練習）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點共線，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知，若M、P、Q三點共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）在中，E為上一點，，P為上任一點，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．122．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則________.3．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.考點三最值【例3】2(2023·北京·高三開學考試）已知是邊長為2的等邊三角形，為圓的直徑，若點為圓上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）在平面內(nèi)，定點滿足，，動點P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．考點四平面向量與其他知識綜合【例4-1】(2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【例4-2】(2023·吉林·長春市第二實驗中學高三階段練習）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.【一隅三反】1．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預(yù)測）（多選）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又數(shù)列滿足，當時，恒有，設(shè)的前項和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．2．(2023·云南·昆明一中高三開學考試）已知任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，則向量在向量上的投影向量為___________.（用坐標作答）10.1平面向量的線性運算及基本定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一平面向量的基本定理【例1】(2023·廣東·高三開學考試）在中，已知，，與交于，則（

）A．

B．

C．

D．答案：C【解析】如圖，過作直線交于，因為，所以，因為，所以設(shè)，則，所以，因為，所以，所以.故選：C.【一隅三反】1．(2023·廣東·高三開學考試）在平行四邊形中，點、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為在平行四邊形中，點、分別滿足，，所以，，所以．故選：A2．(2023·江蘇·揚州中學高三開學考試）如圖所示，在中，點是的中點，且與相交于點，若，則滿足（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由得因為點是的中點，所以由三點共線知，存在實數(shù)，滿足，由三點共線知，存在實數(shù)，滿足，所以，又因為為不共線的非零向量，所以，解得，所以，即，所以，故A不正確；，故B正確；D不正確；，故C不正確.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）（多選）在中，為中點，且，則（

）A． B．C．∥ D．答案：BC【解析】因為，則三點共線，且，又因為為中線，所以點為的重心，連接并延長交于，則為的中點，所以，所以∥故選：BC．考點二平面向量中的共線問題【例2-1】(2023·全國·高三專題練習）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點共線，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為O，A，B三點共線，則所以，，即整理得：又∵向量，不共線，則，則故選：A．【例2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知，若M、P、Q三點共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1答案：A【解析】∵M、P、Q三點共線，則與共線，∴，即，得，解得.故選：A.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）在中，E為上一點，，P為上任一點，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．12答案：D【解析】，，三點共線，，，當且僅當，時取等號，所以的最小值是12.故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則________.答案：3【解析】如圖，設(shè)F為BC的中點，則，又，，則，又G，D，E三點共線，∴，即.故答案為：3.3．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.答案：【解析】因為與共線，可設(shè)，即，因為，不共線，所以，所以.故答案為：考點三最值【例3】2(2023·北京·高三開學考試）已知是邊長為2的等邊三角形，為圓的直徑，若點為圓上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示由圖像可知，與夾角的范圍為，所以,所以.故選：B.【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圓O上的三點，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外的點D，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】在圓外，則且，又，所以，又三點共線，所以，，而，所以．故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負半軸建立平面直角坐標系，如圖，，設(shè)，則，由得：，令，即，，其中銳角滿足，因此，當時，，當時，，所以的取值范圍是.故選：D3．(2023·全國·高三專題練習）在平面內(nèi)，定點滿足，，動點P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意知，即點到三點的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因為，解得，所以為邊長為的正三角形，如圖所示，以為原點建立直角坐標系，則，因為，可得設(shè)，其中，又因為，即為的中點，可得，所以.即的最大值為.故選：B.考點四平面向量與其他知識綜合【例4-1】(2023·全國·高三專題練習）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點，且，，D，E是線段上的兩個動點，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2答案：B【解析】設(shè)，，，，則，，，，.所以，當且僅當，時等號成立.所以的的最小值是.故選：B【例4-2】(2023·吉林·長春市第二實驗中學高三階段練習）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.答案：【解析】由題可知，，，設(shè)，則則所以，當時，的最小值為.故答案為：.【一隅三反】1．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預(yù)測）（多選）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又數(shù)列滿足，當時，恒有，設(shè)的前項和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．答案：BD【解析】如圖，連交于，則，即，所以，所以，所以，設(shè)，因為當時，恒有，所以，，所以當時，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因為不是常數(shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；因為，即，所以為遞減數(shù)列，故B正確；因為不是常數(shù)，所以不為等差數(shù)列，故C不正確；因為，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD2．(2023·云南·昆明一中高三開學考