高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)探究與題型突破第49講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(原卷版+解析)

第49講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系[名師點(diǎn)睛]1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．2.弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).3.當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．[典例]1.直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切2.(1)(多選)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是()A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.過原點(diǎn)的最短弦長為8D.圓M被y軸截得的弦長為6(2)(2023·天津卷)已知直線x－eq\r(3)y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B兩點(diǎn).若|AB|＝6，則r的值為__________.3.(2023·衡水模擬)已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A(－1，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．1B．2C．4D．84.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，點(diǎn)A是直線x－y＋2＝0上的一個動點(diǎn)，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長的取值范圍為________．[舉一反三]1.(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切2.(多選)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長度可能為()A．6B．8C．12D．163.過點(diǎn)P(2，4)引圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為________.考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系[名師點(diǎn)睛]1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.[典例]1.(2023·長沙模擬)若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)2.圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．3.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)當(dāng)m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．[舉一反三]1.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離2.(2023·長沙模擬)已知圓C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圓C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(11,2)，則這兩圓的公共弦長為()A．5B．2eq\r(2)C．2D．13.已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B兩點(diǎn).公共弦|AB|的長為________，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程為________.第49講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系[名師點(diǎn)睛]1.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．2.弦長的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l＝2eq\r(r2－d2).3.當(dāng)切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．[典例]1.直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離B．相交或相切C．相交D．相切答案C解析方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(diǎn)(1,2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．2.(1)(多選)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則下列說法中正確的是()A.圓M的圓心為(4，－3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.過原點(diǎn)的最短弦長為8D.圓M被y軸截得的弦長為6答案ABD解析圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0，則(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圓的圓心坐標(biāo)為(4，－3)，半徑為5.過原點(diǎn)的最短弦長為6，選項(xiàng)C不正確.ABD均正確.(2)(2023·天津卷)已知直線x－eq\r(3)y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B兩點(diǎn).若|AB|＝6，則r的值為__________.答案5解析由題意知圓心為O(0，0)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4.取AB的中點(diǎn)M，連接OM(圖略)，則OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))\s\up12(2)＋d2)＝5.3.(2023·衡水模擬)已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A(－1，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A．1B．2C．4D．8答案C解析已知直線l：x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的對稱軸，圓心C(3,1)，半徑r＝3，所以直線l過圓心C(3,1)，故3＋a－1＝0，故a＝－2，所以點(diǎn)A(－1，－2)，|AC|＝eq\r(3＋12＋1＋22)＝5，|AB|＝eq\r(52－32)＝4.4.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，點(diǎn)A是直線x－y＋2＝0上的一個動點(diǎn)，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長的取值范圍為________．答案[2eq\r(2)，4)解析由圓的方程知，圓心C(2,0)，半徑r＝2.連接AC，PC，QC(圖略)，設(shè)|AC|＝x，則x≥eq\f(|2－0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2).∵AP，AQ為圓C的切線，∴CP⊥AP，CQ⊥AQ，∴|AP|＝|AQ|＝eq\r(|AC|2－r2)＝eq\r(x2－4).∵AC是PQ的垂直平分線，∴|PQ|＝2×eq\f(|AP|·|PC|,|AC|)＝eq\f(4\r(x2－4),x)＝4eq\r(1－\f(4,x2)).∵x≥2eq\r(2)，∴eq\f(1,2)≤1－eq\f(4,x2)<1，∴2eq\r(2)≤|PQ|<4，即線段PQ的長的取值范圍為[2eq\r(2)，4)．[舉一反三]1.(多選)(2023·新高考全國Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切答案ABD解析圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故D正確．2.(多選)直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長度可能為()A．6B．8C．12D．16答案BC解析因?yàn)橹本€y＝kx－1過定點(diǎn)(0，－1)，故圓C的圓心C(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)＝5.又圓C的半徑為6，故弦長AB的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11).又當(dāng)直線y＝kx－1過圓心時弦長AB取最大值，為直徑12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．3.過點(diǎn)P(2，4)引圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為________.答案x＝2或4x－3y＋4＝0解析當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，即d＝eq\f(|k－1＋4－2k|,\r(k2＋（－1）2))＝eq\f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，∴所求切線方程為eq\f(4,3)x－y＋4－2×eq\f(4,3)＝0，即4x－3y＋4＝0.綜上，切線方程為x＝2或4x－3y＋4＝0.考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系[名師點(diǎn)睛]1.判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.[典例]1.(2023·長沙模擬)若圓C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)答案A解析|C1C2|＝eq\r(9＋a＋12)，因?yàn)閳AC1：(x－1)2＋(y－a)2＝4與圓C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<eq\r(9＋a＋12)<a＋2，解得a>3.2.圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長為________．答案x－2y＋4＝02eq\r(5)解析聯(lián)立兩圓的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減并化簡，得x－2y＋4＝0，此即兩圓公共弦所在直線的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑r＝5eq\r(2)，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5).設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦長為2eq\r(5).3.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)當(dāng)m＝45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當(dāng)兩圓外切時，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系，求得公共弦的長為2×eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq\r(7).[舉一反三]1.已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切B．相交C．外切D．相離答案B解析由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－a)2＝a2，圓心(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，所以2eq\r(a2－\f(a2,2))＝2eq\r(2)，解得a＝2，圓M，圓N