2024年高考數(shù)學一輪復習滿分攻略(新高考地區(qū)專用)考點05基本不等式(精講)(原卷版+解析)

第5講基本不等式知識點1基本不等式1、如果，那么（當且僅當時取等號“=”）.證明：推論：（）.2、如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.推論：；.a2+b2≥2ab成立的條件與a+b2提示:不同,a2+b2≥2ab成立的條件是a∈R,b∈R,而a+b23、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(3)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．◆注：在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個項都必須為正值，“二定”是說各個項的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各項的值相等時，等號成立．多次使用均值不等式解決同一問題時，要保持每次等號成立條件的一致性和不等號方向的一致性．4、幾個重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(當且僅當a＝b時,等號成立.).證明：由，可得，即（當且僅當時等號成立）拓展：（6）a>0,b>0,c>0則a+b+5、利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡記：和定積最大)6、基本不等式公式推導圖1．（2023?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A． B． C． D．4．（2023?天津）已知，，則的最小值為．5．（2023?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則．2．（2023?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．3．【多選】（2023?海南）已知，，且，則A． B． C． D．6．（2023?天津）已知，，且，則的最小值為．7．（2023?江蘇）已知，則的最小值是．8．（2023?上海）若，，且，則的最大值為．9．（2023?天津）設，，，則的最小值為．考點一利用基本不等式比較大小解題方略：在利用基本不等式比較大小時，也可能要用到函數(shù)的單調性.【例1-1】【多選】(2023·湖南·模擬預測）已知，且，則（

）A． B．C． D．【例1-2】(2023·全國·高三專題練習）已知，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【題組練透】1、【多選】(2023·江蘇無錫·高三期末）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．2、【多選】(2023·湖北·蘄春縣第一高級中學模擬預測）若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3、【多選】(2023·廣東汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正實數(shù)，且a>b，0<c<1，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．考點二利用基本不等式求最值解題方略：直接法①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動型、和與平方和一定一動型.積，和和平方和三者之間的不等式關系：②需要注意的是驗證等號成立的條件，特別地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值時要求"一正、二定、三相等".③轉化符號：若含變量的項是負數(shù)，則提取負號，將其轉化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．④乘方：若目標函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值．【例2-1】(2023·全國·模擬預測（文））若實數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【例2-2】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝__________.【例2-3】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【例2-4】(2023·四川·石室中學模擬預測（文））函數(shù)的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【題組練透】1、(2023·安徽·高三期末（文））已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2、(2023·江西·模擬預測（文））函數(shù)的最大值為________．(2023·浙江紹興·模擬預測）若直線過點，則的最大值為___________.配湊法將目標函數(shù)恒等變形或適當放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)配湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵，利用配湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：①配湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形；②代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標；③拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．(3)形如的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。【例2-4】(2023·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【例2-5】(2023·全國·高三專題練習）已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．【例2-6】(2023·全國·高三專題練習）已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)【例2-7】(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)的最小值及此時的值；2、(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則函數(shù)的最小值為___________.3、(2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A． B．2 C．4 D．6常數(shù)代換法（1）若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標函數(shù)之間具有某種關系（尤其是整式與分式相乘模型），則實施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1已知正數(shù)滿足，求的最小值。模型2已知正數(shù)滿足求的最小值。（2）常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；②把確定的定值(常數(shù))變形為1；③把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時，需要對條件和結論中的表達式進行合理、巧妙的配湊與構造;從而變形、構造出和與倒數(shù)和的關系.【例2-8】(2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例2-9】(2023·天津紅橋·一模）設，，若，則的最小值為（

）A．6B．9C．D．18【例2-10】(2023·全國·模擬預測）已知為正實數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為_________2、(2023·全國·高三專題練習（理））已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．33、(2023·安徽·南陵中學模擬預測（理））若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4、(2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a>0，b>0，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5、(2023·四川·廣安二中模擬預測（理））已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為_______．6、(2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1（四）消元法消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉化為只含有一個變量的函數(shù)，然后轉化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍【例2-11】(2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為______.2、(2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________．3、(2023·湖北武漢·模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為(

)A．0 B．2 C．4 D．6(五）換元法當條件式中給出了"和"與"積"之間的關系時，可以考慮借助基本不等式進行放縮，由條件式構建得到關于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.【例2-12】(2023·遼寧·模擬預測）若，且，則的最小值為______．【題組練透】1、(2023·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．（六）重組轉化當條件式或目標式較為復雜、不易理清其結構特點與內在聯(lián)系時，可從拆分、合并等角度嘗試進行重組，注意觀察式子的結構特點,尋找條件式與目標式的結構特征及相互聯(lián)系.【例2-13】(2023·天津·一模）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習（理））已知a，b為非負數(shù)，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．2、(2023·浙江臺州·二模）已知正實數(shù)滿足，則的最大值為___________；的最大值為___________.3、(2023·河北保定·二模）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．（七）利用兩次基本不等式求最值在求解某些復雜一些的最值問題時，可能會需要連續(xù)多次使用基本不等式進行放縮.此時，我們需要注意兩點:一是由基本不等式進行放或縮一定要考慮到不等號的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號成立的條件，只有多個等號能夠同時成立時方可.【例2-14】(2023·全國·高三專題練習）已知a>0,b>0,則2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．2、(2023·全國·高三專題練習）若a，，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．43、(2023·全國·高三專題練習（理））若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．（八）基本不等式與對勾函數(shù)對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對勾函數(shù)，當時，對勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；（1）當同號時，對勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當異號時，對勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：【例2-15】(2023·河南·模擬預測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．2、(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為______(2023·全國·高三專題練習）方程在區(qū)間內有解求的取值范圍；考點三與基本不等式有關的參數(shù)問題解題方略：1、求參數(shù)的值或取值范圍的方法觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．2、求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.【例3-1】(2023·浙江·高三專題練習）若關于x的不等式對任意實數(shù)x＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【例3-2】(2023·全國·高三專題練習）已知，，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【例3-3】(2023·全國·高三專題練習）若對任意，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例3-4】(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．【例3-5】(2023·全國·高三專題練習）若關于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．2、(2023·全國·高三專題練習）對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3、(2023·全國·高三專題練習）已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8考點四基本不等式的實際應用解題方略：利用基本不等式求解實際應用題的三個注意點(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解．【例4-1】(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【例4-2】(2023·北京·101中學高三階段練習）已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關系為．設該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時的平均成本為f（Q）（單位：元/件），則f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【例4-3】(2023·湖北·一模）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32的矩形空地，并計劃在該空地上設置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5，各試驗區(qū)之間也空0.5.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為___________.【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）某人圍一個面積為32的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3，新墻的造價為1000元/，則當x取（

）時，總造價最低？（假設舊墻足夠長）A．9 B．8 C．16 D．642、(2023·全國·高三專題練習）自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺也相繼入場，平臺用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費行動.某廠家往年不與直播平臺合作時，每年都舉行多次大型線下促銷活動，經(jīng)測算，只進行線下促銷活動時總促銷費用為24萬元.為響應當?shù)卣酪哒?，決定采用線上（直播促銷）線下同時進行的促銷模式，與某直播平臺達成一個為期4年的合作協(xié)議，直播費用（單位：萬元）只與4年的總直播時長x（單位：小時）成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺合作后該廠家每年所需的線下促銷費C（單位：萬元）與總直播時長x（單位：小時）之間的關系為（，k為常數(shù)）.記該廠家線上促銷費用與4年線下促銷費用之和為y（單位：萬元）.(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)該廠家直播時長x為多少時，可使y最??？并求出y的最小值.3、(2023·全國·高三專題練習）近年來，中美貿易摩擦不斷，美國對我國華為百般刁難，并拉攏歐美一些國家抵制華為，然而這并沒有讓華為卻步.今年，我國華為某企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產(chǎn)某款新手機，通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)千部手機，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每部手機的售價為0.7萬元，且全年內生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.(1)求2020年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關系式（利潤=銷售額-成本）.(2)2020年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少.考點五基本不等式的綜合應用解題方略：求與其他知識交匯的最值問題的類型及策略(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．與函數(shù)的結合【例5-1】(2023·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．【題組練透】1、(2023·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為___________.2、(2023·天津·二模）已知，則的最小值為__________.3、【多選】(2023·湖北·荊門市龍泉中學二模）已知函數(shù)，且正實數(shù)，滿足，則下列結論可能成立的是（

）A． B．的最大值為C． D．的最小值為與三角函數(shù)、解三角形的結合【例5-2】(2023·安徽·蒙城第一中學高三階段練習（文））的內角A、B、C的對邊分別為、、，已知，且，則面積的最大值是（

）A． B． C．2 D．【題組練透】1、(2023·全國·模擬預測）中，，內角所對的邊分別為線段上的點滿足，且，則的最小值為___________.2、(2023·全國·高三專題練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．3、【多選】(2023·全國·高三專題練習）已知三個內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且，，則（

）A． B．周長的最大值為6C．的取值范圍為 D．的最大值為與平面向量的結合【例5-3】(2023·全國·模擬預測）在中，點F為線段BC上任一點（不含端點），若，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．4 D．2【題組練透】1、(2023·安徽淮南·二模（理））已知平面向量的夾角為，且，則的最大值為________．2、(2023·黑龍江·哈九中模擬預測（理））設，是平面內兩個不共線的向量，，，若A，B，C三點共線，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．23、(2023·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））已知點E是的中線上的一點（不包括端點）．若，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9與數(shù)列的結合【例5-4】(2023·全國·高三專題練習）設，，2是與的等比中項，則的最大值為（

）A． B． C． D．【題組練透】1、(2023·河南·鶴壁高中模擬預測（文））設正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．2、(2023·四川·模擬預測（理））已知為等差數(shù)列的前n項和，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3、(2023·湖北·荊門市龍泉中學二模）正項等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，且存在兩項使得，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在與解析幾何的結合【例5-5】(2023·寧夏·石嘴山市第一中學三模（理））設復數(shù)，若復數(shù)對應的點在直線上，則的最小值為___________【題組練透】1、若直線l：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是__________．2、(2023·遼寧大連·二模）若直線平分圓的周長，則ab的取值范圍是（

）A． B． C． D．3、(2023·全國·高三專題練習）已知直線過圓的圓心，則的最小值為（

）A． B． C． D．第5講基本不等式知識點1基本不等式1、如果，那么（當且僅當時取等號“=”）.證明：推論：（）.2、如果，,則，（當且僅當時取等號“=”）.推論：；.a2+b2≥2ab成立的條件與a+b2提示:不同,a2+b2≥2ab成立的條件是a∈R,b∈R,而a+b23、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)設a>0，b>0，則a，b的算術平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(3)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．◆注：在利用基本不等式求最值時，要緊扣“一正、二定、三相等”的條件．“一正”是說每個項都必須為正值，“二定”是說各個項的和(或積)必須為定值．“三相等”是說各項的值相等時，等號成立．多次使用均值不等式解決同一問題時，要保持每次等號成立條件的一致性和不等號方向的一致性．4、幾個重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(當且僅當a＝b時,等號成立.).證明：由，可得，即（當且僅當時等號成立）拓展：（6）a>0,b>0,c>0則a+b+5、利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(簡記：和定積最大)6、基本不等式公式推導圖1．（2023?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A． B． C． D．【解析】對于，，所以函數(shù)的最小值為3，故選項錯誤；對于，因為，所以，當且僅當，即時取等號，因為，所以等號取不到，所以，故選項錯誤；對于，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為4，故選項正確；對于，因為當時，，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項錯誤．故選：．4．（2023?天津）已知，，則的最小值為．【解析】法一：，，，當且僅當且，即時取等號，的最小值為，法二：，，，當且僅當，即時取等號，的最小值為，故答案為：．5．（2023?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則．【解析】，所以，經(jīng)檢驗，時等號成立．故答案為：9．2．（2023?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤；．顯然當，時，不等式不成立，故錯誤．故選：．3．【多選】（2023?海南）已知，，且，則A． B． C． D．【解析】①已知，，且，所以，則，故正確．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關系式進行平方，整理得，即，故，當且僅當時，等號成立．故正確．故選：．6．（2023?天津）已知，，且，則的最小值為．【解析】，，且，則，當且僅當，即，或，取等號，故答案為：47．（2023?江蘇）已知，則的最小值是．【解析】方法一、由，可得，由，可得，，則，當且僅當，，可得的最小值為；方法二、，故，當且僅當，即，時取得等號，可得的最小值為．故答案為：．8．（2023?上海）若，，且，則的最大值為．【解析】，；故答案為：9．（2023?天津）設，，，則的最小值為．【解析】，，，則；，，，由基本不等式有：，，，故：；（當且僅當時，即：，時，等號成立），故的最小值為；故答案為：．考點一利用基本不等式比較大小解題方略：在利用基本不等式比較大小時，也可能要用到函數(shù)的單調性.【例1-1】【多選】(2023·湖南·模擬預測）已知，且，則（

）A． B．C． D．【解析】由題設，，則(僅等號成立)，可得，由，即，則，A正確；由，即，B錯誤；由，C正確；由，當且僅當時等號成立，D錯誤；故選：AC【例1-2】(2023·全國·高三專題練習）已知，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【解析】由，得，，所以，整理得，故A正確；由，得，又，所以，故B正確.因為，，所以，故C正確；因為，所以，，當且僅當時，等號成立，又，所以，D錯誤．故選：D【題組練透】1、【多選】(2023·江蘇無錫·高三期末）已知，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【解析】，則，因為，所以，A選項正確；因為，所以，由基本不等式得：，B選項正確；，，C選項錯誤；，，，D選項正確，故選：ABD2、【多選】(2023·湖北·蘄春縣第一高級中學模擬預測）若，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【解析】因為，，當且僅當時等號成立，則或，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立，則，當且僅當時等號成立，故AC錯誤，D正確.對于B選項，，當且僅當時等號成立，故B正確.故選：BD3、【多選】(2023·廣東汕尾·高三期末）已知a，b都是不等于1的正實數(shù)，且a>b，0<c<1，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】函數(shù)，因為，所以是減函數(shù)，因為a>b，所以，故A錯．函數(shù)，因為，所以在是增函數(shù)，因為a>b，所以，故B正確．函數(shù)，因為，所以在是減函數(shù)，因為a>b，所以，故C錯．，當且僅當時取等號，又，所以，故D正確．故選：BD考點二利用基本不等式求最值解題方略：直接法①利用基本不等式法求最值的最基本類型可以分為兩類：和積一定一動型、和與平方和一定一動型.積，和和平方和三者之間的不等式關系：②需要注意的是驗證等號成立的條件，特別地，由基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，求最值時要求"一正、二定、三相等".③轉化符號：若含變量的項是負數(shù)，則提取負號，將其轉化為正數(shù)，再利用“公式”求最值．④乘方：若目標函數(shù)帶有根號，則先乘方后配湊為和為定值．【例2-1】(2023·全國·模擬預測（文））若實數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【解析】∵，，∴，即，當且僅當時等號成立，∴．故選：D．【例2-2】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝__________.【解析】因為x＞0，a＞0，所以f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當且僅當4x＝eq\f(a,x)，即4x2＝a時，f(x)取得最小值．又因為f(x)在x＝3時取得最小值，所以a＝4×32＝36.【例2-3】(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．有最小值4 B．有最大值4 C．有最小值 D．有最大值【解析】，，，當且僅當，即時取等號，有最大值.故選：D．【例2-4】(2023·四川·石室中學模擬預測（文））函數(shù)的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【解析】由題意可得函數(shù)的定義域為，則，所以，當且僅當，即時，取等號，所以函數(shù)的最大值是，故選：B【題組練透】1、(2023·安徽·高三期末（文））已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】因為，，，則，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.2、(2023·江西·模擬預測（文））函數(shù)的最大值為________．【解析】∵，∴，由題意得，當且僅當，即時取等號，故的最大值為．故答案為：3、(2023·浙江紹興·模擬預測）若直線過點，則的最大值為___________.【解析】直線過點，則又，設，則由，當且僅當，即時等號成立.所以，即所以的最大值為，當且僅當時等號成立.故答案為：配湊法將目標函數(shù)恒等變形或適當放縮，配湊出兩個式子的和或積為定值.(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)配湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵，利用配湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：①配湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整，做到等價變形；②代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標；③拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提．(3)形如的分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。【例2-4】(2023·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【解析】因為，所以，，利用基本不等式可得，當且僅當即時等號成立.故選：D.【例2-5】(2023·全國·高三專題練習）已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．【解析】因為x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.【例2-6】(2023·全國·高三專題練習）已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)【解析】∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4).當且僅當x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時，等號成立．故選B.【例2-7】(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．-1【解析】，當且僅當,即等號成立.故選：D.【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)的最小值及此時的值；【解析】∵，∴，當且僅當即時，等號成立.故函數(shù)的最小值為5，此時；2、(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）若，則函數(shù)的最小值為___________.【解析】由題意，，因為，所以，當且僅當，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值為3.故答案為：3.3、(2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處取最小值，則（

）A． B．2 C．4 D．6【解析】由題意，，而，當且僅當，即時，等號成立，所以.故選：C.常數(shù)代換法（1）若已知條件中的“１”（常量可化為“１”）與目標函數(shù)之間具有某種關系（尤其是整式與分式相乘模型），則實施“１”代換，配湊和或積為常數(shù).模型1已知正數(shù)滿足，求的最小值。模型2已知正數(shù)滿足求的最小值。（2）常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題．應用此種方法求解最值的基本步驟為：①根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；②把確定的定值(常數(shù))變形為1；③把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式；④利用基本不等式求解最值．（3）有些問題從形式上看，似乎具備和與倒數(shù)和的一些特征，但細究起來，又存在明確的區(qū)別，求解此類問題時，需要對條件和結論中的表達式進行合理、巧妙的配湊與構造;從而變形、構造出和與倒數(shù)和的關系.【例2-8】(2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以（當且僅當，即時取等號），即的最小值為4.故選：D.【例2-9】(2023·天津紅橋·一模）設，，若，則的最小值為（

）A．6B．9C．D．18【解析】，，且，且，，當且僅當，即且時取等號，故的最小值為9；故選：B【例2-10】(2023·全國·模擬預測）已知為正實數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】因為為正實數(shù)，所以所以當且僅當，即時，取等號，故的最小值為8.故選：C【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值為_________【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故答案為：2、(2023·全國·高三專題練習（理））已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．3【解析】由題意知，，，則，當且僅當時，取最小值.故選：C．3、(2023·安徽·南陵中學模擬預測（理））若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】因為，，所以，又所以當且僅當即，時，取等號所以故選：A4、(2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a>0，b>0，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，.當且僅當時等號成立.故選：B5、(2023·四川·廣安二中模擬預測（理））已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為_______．【解析】因為、且，所以當僅當時取等號，即解得或（舍去），當且僅當、時取等號；故答案為：6、(2023·全國·高三專題練習）若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】因為，所以，∴，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為1.故選：D.（四）消元法消元法，即根據(jù)條件與所求均含有兩個變量，從簡化問題的角度來思考，消去一個變量，轉化為只含有一個變量的函數(shù)，然后轉化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留變量的取值范圍【例2-11】(2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【解析】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為______.【解析】依題意正實數(shù)，滿足，，，當且僅當，時等號成立.故答案為：2、(2023·全國·高三專題練習）已知正實數(shù)x，y滿足xy＋2x＋y＝4，則x＋y的最小值為________．【解析】因為xy＋2x＋y＝4，所以x＝eq\f(4－y,y＋2).由x＝eq\f(4－y,y＋2)>0，得－2<y<4，又y>0，則0<y<4，所以x＋y＝eq\f(4－y,y＋2)＋y＝eq\f(6,y＋2)＋(y＋2)－3≥2eq\r(6)－3，當且僅當eq\f(6,y＋2)＝y(tǒng)＋2(0<y<4)，即y＝eq\r(6)－2時取等號．3、(2023·湖北武漢·模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為(

)A．0 B．2 C．4 D．6【解析】，，當時等式不成立，∴a≠1，∴，∴，當且僅當時取等號，故選：A．(五）換元法當條件式中給出了"和"與"積"之間的關系時，可以考慮借助基本不等式進行放縮，由條件式構建得到關于"和"或"積"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"積"的最值.【例2-12】(2023·遼寧·模擬預測）若，且，則的最小值為______．【解析】（當且僅當時取等號），，設，則，解得：（舍）或，即，.故答案為：.【題組練透】1、(2023·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．【解析】由題意，，，，得：，設，則，故，當且僅當，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：（六）重組轉化當條件式或目標式較為復雜、不易理清其結構特點與內在聯(lián)系時，可從拆分、合并等角度嘗試進行重組，注意觀察式子的結構特點,尋找條件式與目標式的結構特征及相互聯(lián)系.【例2-13】(2023·天津·一模）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【解析】；（當且僅當時取等號），解得：；在上單調遞減，.即的最小值為.故答案為：.【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習（理））已知a，b為非負數(shù)，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【解析】，又，當且僅當時取“=”，則，所以當時，的最大值為.故選：D2、(2023·浙江臺州·二模）已知正實數(shù)滿足，則的最大值為___________；的最大值為___________.【解析】①由，得，當且僅當，即時取等；②，當且僅當，即時取等，又由上知，故，當且僅當時取等，所以，當且僅當時取等.故答案為：；.3、(2023·河北保定·二模）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【解析】，則，當且僅當時，“=”成立，又a，，所以，當且僅當時，“=”成立，所以的最大值為.故選：C（七）利用兩次基本不等式求最值在求解某些復雜一些的最值問題時，可能會需要連續(xù)多次使用基本不等式進行放縮.此時，我們需要注意兩點:一是由基本不等式進行放或縮一定要考慮到不等號的方向與不等式傳遞性相一致，即多次放大或者多次縮小，一般不可以既放大又縮小;二是多次使用基本不等式后要考慮等號成立的條件，只有多個等號能夠同時成立時方可.【例2-14】(2023·全國·高三專題練習）已知a>0,b>0,則2ab+1a+1A.2 B.4 C.42 D.6【解析】因為a>0,b>0,所以2ab+1a+1b≥2ab+【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】（當且僅當，即時等號成立），（當且僅當，即時等號成立）.兩個等號可以同時成立，的最小值為.故選：C.2、(2023·全國·高三專題練習）若a，，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【解析】，當且僅當時，等號成立；又，當且僅當時，即，等號成立；，解得，，所以的最大值為故選：A3、(2023·全國·高三專題練習（理））若a，b，c均為正實數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【解析】因為a，b均為正實數(shù)，則，當且僅當，且，即時取等號，則的最大值為．故選：A．（八）基本不等式與對勾函數(shù)對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù)，又被稱為“雙勾函數(shù)”、“勾函數(shù)”、“對號函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”；所謂的對勾函數(shù)，是形如：（）的函數(shù)；對勾函數(shù)，當時，對勾函數(shù)是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)“疊加”而成的函數(shù)；（1）當同號時，對勾函數(shù)的圖像形狀酷似雙勾；故稱“對勾函數(shù)”；如下圖所示：（2）當異號時，對勾函數(shù)的圖像形狀發(fā)生了變化，如下圖所示：【例2-15】(2023·河南·模擬預測（文））下列函數(shù)中最小值為6的是（

）A． B．C． D．【解析】A.，最小值為5，故錯誤；B.令，則在上遞減，其最小值為10，故錯誤；C.，當且僅當，即時，等號成立，故正確；D.當時，，顯然不成立，故錯誤；故選：C【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【解析】對于A，當時，，故A錯誤；對于B：因為，所以，當且僅當，即時取等號，故B正確；對于C：因為，所以，又在上單調遞減，所以，故C錯誤；對于D：，因為，在上單調遞增，所以，即，故D錯誤；故選：B2、(2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值為______【解析】設，即求函數(shù)在[1，2]上的最大值函數(shù)為對勾函數(shù)，在上單調遞減；所以當t=1時，函數(shù)取到最大值，即；3、(2023·全國·高三專題練習）方程在區(qū)間內有解求的取值范圍；【解析】根據(jù)題意得時，無解;在內有解，即:在上的取值范圍，設，當時，在為單調遞減，在為單調遞增，因為，則當時，，故；考點三與基本不等式有關的參數(shù)問題解題方略：1、求參數(shù)的值或取值范圍的方法觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．2、求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法的方法若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.【例3-1】(2023·浙江·高三專題練習）若關于x的不等式對任意實數(shù)x＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}【解析】∵x＞0，∴不等式x24，當且僅當x＝2時，表達式取得最小值為4，由關于x的不等式xa2﹣3a對任意實數(shù)x＞0恒成立，可得4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，故選：A．【例3-2】(2023·全國·高三專題練習）已知，，，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【解析】若恒成立，則，因為，當且僅當，即時取等號．所以所以，即，解得：．故選：C【例3-3】(2023·全國·高三專題練習）若對任意，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由題意，對任意，則有，當且僅當時，即時，等號成立，即的最大值為，又由對任意時，恒成立，所以，即的取值范圍為.故選：A.【例3-4】(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．D．【解析】因為，，且，所以，當且僅當時，等號成立；又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故選：A.【例3-5】(2023·全國·高三專題練習）若關于x的方程有解，則實數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．【解析】，，當且僅當時取等號，故．故選：C．【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【解析】因為所以，當且僅當，即時取等號，又因為恒成立，所以，解得．故選：C.2、(2023·全國·高三專題練習）對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】，即，即又，當且僅當“”，即“”時等號成立，即，故.故選：C.3、(2023·全國·高三專題練習）已知不等式對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，，，當且僅當即時等號成立，，或舍去，即所以正實數(shù)a的最小值為4.故選：B.考點四基本不等式的實際應用解題方略：利用基本不等式求解實際應用題的三個注意點(1)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內求解．【例4-1】(2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（

）A． B．C． D．【解析】設從甲地到乙地的的路程為s，從甲地到乙地的時間為t1，從乙地到甲地的時間為t2，則，，，∴，，故選:D.【例4-2】(2023·北京·101中學高三階段練習）已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關系為．設該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時的平均成本為f（Q）（單位：元/件），則f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．1800【解析】，當且僅當，即當時等號成立.所以f（Q）的最小值是60.故選：B.【例4-3】(2023·湖北·一模）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32的矩形空地，并計劃在該空地上設置三塊全等的矩形試驗區(qū)（如圖所示）.要求試驗區(qū)四周各空0.5，各試驗區(qū)之間也空0.5.則每塊試驗區(qū)的面積的最大值為___________.【解析】設矩形空地的長為m，則寬為m，依題意可得，試驗區(qū)的總面積，當且僅當即時等號成立，所以每塊試驗區(qū)的面積的最大值為.故答案為：6【題組練透】1、(2023·全國·高三專題練習）某人圍一個面積為32的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3，新墻的造價為1000元/，則當x?。?/p>

）時，總造價最低？（假設舊墻足夠長）A．9 B．8 C．16 D．64【解析】由題設，總造價，當且僅當時等號成立，即時總造價最低.故選：B.2、(2023·全國·高三專題練習）自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺也相繼入場，平臺用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費行動.某廠家往年不與直播平臺合作時，每年都舉行多次大型線下促銷活動，經(jīng)測算，只進行線下促銷活動時總促銷費用為24萬元.為響應當?shù)卣酪哒?，決定采用線上（直播促銷）線下同時進行的促銷模式，與某直播平臺達成一個為期4年的合作協(xié)議，直播費用（單位：萬元）只與4年的總直播時長x（單位：小時）成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺合作后該廠家每年所需的線下促銷費C（單位：萬元）與總直播時長x（單位：小時）之間的關系為（，k為常數(shù)）.記該廠家線上促銷費用與4年線下促銷費用之和為y（單位：萬元）.(1)寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)該廠家直播時長x為多少時，可使y最??？并求出y的最小值.【解析】(1)由題得，當時，，則，故該廠家4年促銷費用與線上直播費用之和為(2)由（1）知，當且僅當，即時等號成立，即線上直播150小時可使y最小為42萬元.3、(2023·全國·高三專題練習）近年來，中美貿易摩擦不斷，美國對我國華為百般刁難，并拉攏歐美一些國家抵制華為，然而這并沒有讓華為卻步.今年，我國華為某企業(yè)為了進一步增加市場競爭力，計劃在2020年利用新技術生產(chǎn)某款新手機，通過市場分析，生產(chǎn)此款手機全年需投入固定成本250萬元，每生產(chǎn)千部手機，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每部手機的售價為0.7萬元，且全年內生產(chǎn)的手機當年能全部銷售完.(1)求2020年的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關系式（利潤=銷售額-成本）.(2)2020年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少.【解析】(1)由題意可知，2020年的利潤定于年銷售額減去固定成本和另投入成本，當時，當時，，所以.(2)當時，，此時函數(shù)開口向上的拋物線，且對稱軸為，所以當時，（萬元）；當時，，因為，當且僅當即時，等號成立，即當時，（萬元），綜上可得，當時，取得最大值為（萬元），即2020年產(chǎn)量為100千部時，企業(yè)獲利最大，最大利潤為9000萬元.考點五基本不等式的綜合應用解題方略：求與其他知識交匯的最值問題的類型及策略(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解．(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解．與函數(shù)的結合【例5-1】(2023·全國·模擬預測）函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為________．【解析】當時，，所以，定點的坐標為，由已知可得，因為，則且，所以，.當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.【題組練透】1、(2023·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））函數(shù)的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為___________.【解析】∵恒過定點，∴過定點∴，即，∴≥，當且僅當即時等號成立，∴所以的最小值為9，故答案為：9.2、(2023·天津·二模）已知，則的最小值為__________.【解析】因為，所以，所以，故，且，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.3、【多選】(2023·湖北·荊門市龍泉中學二模）已知函數(shù)，且正實數(shù)，滿足，則下列結論可能成立的是（

）A． B．的最大值為C． D．的最小值為【解析】當，時，，則所以，所以，故A正確當，時，，，則所以，故C正確當，時，，則所以對于B，當，，且時取，時，（，）當，且時取，時，當，