高考數(shù)學一輪復(fù)習(提升版)(新高考地區(qū)專用)1.3復(fù)數(shù)(精練)(提升版)(原卷版+解析)

1.3復(fù)數(shù)（精練）（提升版）題組一復(fù)數(shù)的基本知識1．(2023·內(nèi)蒙古赤峰）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

題組一復(fù)數(shù)的基本知識A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角α的終邊上，則2．(2023·廣東·二模）(多選）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的虛部是0C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限3．(2023·山東濰坊·二模）（多選）若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為（為坐標原點），則4．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對應(yīng)的點位于第三象限5(2023·湖南湘潭·三模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限6．(2023·廣東佛山·二模）（多選）關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）A． B．在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限C． D．7．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習）（多選）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 C． D．的虛部為8．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角的終邊上，則題組二題組二復(fù)數(shù)的模長1．(2023·全國·高三專題練習）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．如果，則，互為共軛復(fù)數(shù)B．如果復(fù)數(shù)，滿足，則C．如果，則D．4．(2023·全國·高三專題練習）已知、，且，（是虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．15．(2023·全國·高三專題練習）若存在復(fù)數(shù)同時滿足，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高三專題練習（文））已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為 D．的最小值為7(2023·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．8．(2023·全國·高三專題練習）已知復(fù)數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．(2023·全國·高三專題練習）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．10．(2023·全國·高三專題練習）已知復(fù)數(shù)滿足：，那么的最小值為（

）A． B． C． D．題組三題組三復(fù)數(shù)的幾何意義1．(2023·全國·江西師大附中）已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．(2023·陜西漢中·二模（文））已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．3．(2023·貴州）復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．(2023·湖南·一模）已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限題組四題組四復(fù)數(shù)與其他知識的綜合運用1．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)n是偶數(shù)，，a?b分別表示的展開式中系數(shù)大于0與小于0的項的個數(shù)，那么（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，且z所對應(yīng)的點在第一象限或坐標軸的非負半軸上，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．23．(2023·全國·高三專題練習）若，為復(fù)數(shù)，則“是實數(shù)”是“，互為共軛復(fù)數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．(2023·全國·高三專題練習（文））已知（，為虛數(shù)單位)，又數(shù)列滿足：當時，；當時，為的虛部．若數(shù)列的前項和為，則（

）．A． B．C． D．5．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，若對任意實數(shù)，，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，它被譽為“數(shù)學中的天橋”，當時，eπi＋1＝0被稱為數(shù)學上的“優(yōu)美公式”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）A．|eix|＝1 B．cosx＝C．cosx＝ D．e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限7．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)復(fù)數(shù)，則______.8．(2023·全國·高三專題練習（文））已知的二項展開式中的常數(shù)項的值是，若(其中是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的模___________.(結(jié)果用數(shù)值表示)9．(2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)為偶函數(shù)，則＝________.10．(2023·全國·高三專題練習（文））已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)、對應(yīng)的點分別為、，若，其中是坐標原點，則函數(shù)的最小正周期為________.題組五題組五解復(fù)數(shù)的方程1．(2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（理））下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中（其中為虛數(shù)單位），說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，的模相等，則，是共軛復(fù)數(shù)B．已知復(fù)數(shù)，，，若，則C．若關(guān)于x的方程（）有實根，則D．是關(guān)于x的方程的一個根，其中為實數(shù)，則2．(2023·全國·高三專題練習）已知是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為_________3．(2023·全國·高三專題練習）實系數(shù)一元二次方程的一根為（其中為虛數(shù)單位），則______．4．(2023·上海徐匯·二模）若關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一根為（為虛數(shù)單位），則____．題組六題組六復(fù)數(shù)的綜合運用1．(2023·重慶南開中學模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．(2023·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）（多選）已知復(fù)數(shù)（且），是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復(fù)分析領(lǐng)域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，即（）.根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（

）A．對任意的，B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限C．的實部為D．與互為共軛復(fù)數(shù)4．(2023·江蘇·南京大學附屬中學高三階段練習）（多選）下列命題中正確的有（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則； B．若復(fù)數(shù)滿足，則；C．若復(fù)數(shù)滿足，則； D．若復(fù)數(shù)，則．5．(2023·全國·高三專題練習）（多選）在下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）A．兩個復(fù)數(shù)不能比較大?。籅．若是純虛數(shù)，則實數(shù)；C．的一個充要條件是；D．的充要條件是.6(2023·全國·高三專題練習（文））（多選）設(shè)，，為復(fù)數(shù)，.下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限 D．8．(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù)B．若為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，則C．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，為實數(shù)）為純虛數(shù)，則D．若為實數(shù)，為虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的充要條件9．(2023·全國·高三專題練習）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則為純虛數(shù)B．若復(fù)數(shù)，滿足，則C．若復(fù)數(shù)滿足，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則10．(2023·全國·高三專題練習）（多選）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是（

）A．點的坐標為B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點關(guān)于虛軸對稱C．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在一條直線上D．與z對應(yīng)的點z間的距離有最小值1.3復(fù)數(shù)（精練）（提升版）題組一復(fù)數(shù)的基本知識1．(2023·內(nèi)蒙古赤峰）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

題組一復(fù)數(shù)的基本知識A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角α的終邊上，則答案：D【解析】，則，對于A，，故A錯誤，對于B，，不是純虛數(shù)，故B錯誤，對于C，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，故C錯誤，對于D，點在角α的終邊上，則，故D正確故選：D2．(2023·廣東·二模）(多選）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的虛部是0C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限答案：BC【解析】由題意，，，A錯；，虛部是0；B正確；C正確，對應(yīng)點為，在第一象限，D錯；故選：BC．3．(2023·山東濰坊·二模）（多選）若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若是純虛數(shù)，那么D．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為（為坐標原點），則答案：BCD【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，；又，，B正確；對于C，為純虛數(shù)，，解得：，C正確；對于D，由題意得：，，，，D正確.故選：BCD.4．(2023·廣東茂名·二模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，若為實數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對應(yīng)的點位于第三象限答案：AC【解析】因為為實數(shù)，所以，解得，所以，，所以，故A正確，，故B錯誤，因為，所以，故C正確，因為，所以，其對應(yīng)的點在第四象限，故D錯誤．故選:AC．5(2023·湖南湘潭·三模）（多選）已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B．C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限答案：BC【解析】由題可知，，A不正確；，B正確；，C正確；對應(yīng)的點在第四象限，D不正確.故選：BC.6．(2023·廣東佛山·二模）（多選）關(guān)于復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），下列說法正確的是（）A． B．在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第二象限C． D．答案：ACD【解析】所以故A正確，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點為位于第三象限故B錯誤故C正確故D正確故選：ACD7．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習）（多選）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 C． D．的虛部為答案：D【解析】因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，所以，，，虛部為.故ABC錯誤，D正確.故選：D8．(2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在角的終邊上，則答案：D【解析】由題設(shè)，且對應(yīng)點在第一象限，A、C錯誤；不是純虛數(shù)，B錯誤；由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以，D正確.故選：D題組二題組二復(fù)數(shù)的模長1．(2023·全國·高三專題練習）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，所以，解得，，因為，所以，則，所以復(fù)數(shù)z的模的取值范圍是.故選：A.2．(2023·全國·高三專題練習）如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．答案：A【解析】點到點與到點的距離之和為2．點的軌跡為線段．而表示為點到點的距離．數(shù)形結(jié)合，得最小距離為1所以|z＋i＋1|min＝1.故選：A3．(2023·全國·高三專題練習）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．如果，則，互為共軛復(fù)數(shù)B．如果復(fù)數(shù)，滿足，則C．如果，則D．答案：D【解析】對于A，設(shè)，，，但，不互為共軛復(fù)數(shù)，故錯誤；對于B，設(shè)（，），（，）．由，得，則，而不一定等于，故錯誤；對于C，當時，有，故錯誤；對于D，設(shè)，，則，正確故選：4．(2023·全國·高三專題練習）已知、，且，（是虛數(shù)單位），則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1答案：C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，，即，，點的軌跡是以為圓心、為半徑的圓，設(shè)復(fù)數(shù)，對應(yīng)的點為，，即，化簡可得，點的軌跡是一條直線，表示點與點的距離，即圓上的一點到直線的距離，圓與直線相離，圓心到直線的距離，故的最小值為，故選：C.5．(2023·全國·高三專題練習）若存在復(fù)數(shù)同時滿足，，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可設(shè)，則有，又因為，即，所以，可設(shè)，，（為任意角），則，當時取到最大值；當時取到最小值，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C6．(2023·全國·高三專題練習（文））已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．點的坐標為 B．C．的最大值為 D．的最小值為答案：D【解析】A：因為復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以點的坐標為，因此本選項結(jié)論正確；B：因為，所以，因此本選項結(jié)論正確；C，D：設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，設(shè)因為，所以點到點的距離為1，因此點是在以為圓心，1為半徑的圓，表示圓上的點到點距離，因此，，所以選項C的結(jié)論正確，選項D的結(jié)論不正確，故選：D7(2023·全國·高三專題練習）已知為虛數(shù)單位，且，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，由題意知，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡方程為.故選：C．8．(2023·全國·高三專題練習）已知復(fù)數(shù)和滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)，則表示點到點的距離是到點距離的倍.則，化簡得：，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)得點為以為圓心，5為半徑的圓上的點.設(shè)，因為，所以點和點距離為3，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)得點為以為圓心，2為半徑的圓即以為圓心，8為半徑的圓上構(gòu)成的扇環(huán)內(nèi)（含邊界），如圖所示：表示點和原點的距離，由圖可知的最小為0，最大為.故選：A.9．(2023·全國·高三專題練習）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．答案：D【解析】因為表示以點為圓心，半徑的圓及其內(nèi)部，又表示復(fù)平面內(nèi)的點到的距離，據(jù)此作出如下示意圖：所以，故選：D.10．(2023·全國·高三專題練習）已知復(fù)數(shù)滿足：，那么的最小值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】表示的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓；表示的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓；，表示的軌跡是直線，如圖所示：表示直線上的點到圓和圓上的點的距離，先作出點關(guān)于直線的對稱點，連接,與直線交于點.的最小值為.故選：A題組三題組三復(fù)數(shù)的幾何意義1．(2023·全國·江西師大附中）已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：B【解析】由，所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為，位于第二象限，故選：B2．(2023·陜西漢中·二模（文））已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）.A． B．C． D．答案：A【解析】由題意，解得．故選：A．3．(2023·貴州）復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：B【解析】復(fù)數(shù)所以對應(yīng)點為，即在復(fù)平面的第二象限內(nèi).故選：B4．(2023·湖南·一模）已知復(fù)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A【解析】復(fù)數(shù)，則所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于復(fù)平面內(nèi)的第一象限.故選：A題組四題組四復(fù)數(shù)與其他知識的綜合運用1．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)n是偶數(shù)，，a?b分別表示的展開式中系數(shù)大于0與小于0的項的個數(shù)，那么（

）A． B． C． D．答案：B【解析】展開通項公式通項公式為，因此當為偶數(shù)時，項的系數(shù)為實數(shù)，其項，又，，是偶數(shù)，所以正的項有，負的項有項．即，，所以．故選：B．2．(2023·全國·高三專題練習）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足，且z所對應(yīng)的點在第一象限或坐標軸的非負半軸上，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2答案：B【解析】由，得，因為z所對應(yīng)的點在第一象限或坐標軸的非負半軸上，所以，即，設(shè)，解得，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習）若，為復(fù)數(shù)，則“是實數(shù)”是“，互為共軛復(fù)數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】由題意，不妨設(shè)若是實數(shù)，則故，即，由于不一定相等，故，不一定互為共軛復(fù)數(shù)，故充分性不成立；若，互為共軛復(fù)數(shù)，則，故，故必要性成立.因此“是實數(shù)”是“，互為共軛復(fù)數(shù)”的必要不充分條件.故選：B4．(2023·全國·高三專題練習（文））已知（，為虛數(shù)單位)，又數(shù)列滿足：當時，；當時，為的虛部．若數(shù)列的前項和為，則（

）．A． B．C． D．答案：C【解析】的通項公式：，，依題意得：時，，時，，．故選：．5．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，若對任意實數(shù)，，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：由，得，由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，表示復(fù)平面上的點與點間的距離，而點在單位圓上，要使恒成立，則點必在圓上或其內(nèi)部，故，解得.故選：D.6．(2023·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位，x∈R)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)中占有非常重要的地位，它被譽為“數(shù)學中的天橋”，當時，eπi＋1＝0被稱為數(shù)學上的“優(yōu)美公式”，根據(jù)此公式可知，下面結(jié)論中正確的是（

）A．|eix|＝1 B．cosx＝C．cosx＝ D．e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限答案：ABD【解析】因為eix＝cosx＋isinx，所以|eix|＝，故A正確；因為eix＝cosx＋isinx，所以，則cosx＝，故B正確C錯誤；因為，，所以e2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故D正確.故選：ABD7．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)復(fù)數(shù)，則______.答案：15【解析】，所以.故答案為：.8．(2023·全國·高三專題練習（文））已知的二項展開式中的常數(shù)項的值是，若(其中是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的模___________.(結(jié)果用數(shù)值表示)答案：【解析】的二項展開式的通項為：令，得，可得常數(shù)項為，則復(fù)數(shù)的模故答案為：59．(2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)為偶函數(shù)，則＝________.答案：【解析】由于為偶函數(shù)，所以，即，，所以.設(shè)，則故答案為：10．(2023·全國·高三專題練習（文））已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，設(shè)復(fù)數(shù)、對應(yīng)的點分別為、，若，其中是坐標原點，則函數(shù)的最小正周期為________.答案：【解析】，，則函數(shù)的最小正周期為故答案為題組五題組五解復(fù)數(shù)的方程1．(2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學高三階段練習（理））下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中（其中為虛數(shù)單位），說法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)，的模相等，則，是共軛復(fù)數(shù)B．已知復(fù)數(shù)，，，若，則C．若關(guān)于x的方程（）有實根，則D．是關(guān)于x的方程的一個根，其中為實數(shù)，則答案：D【解析】若，，則，故A錯誤；若，滿足，故B錯誤；若關(guān)于x的方程（）有實根，，因為，所以，所以，故C錯誤；將代入方程，得，即，所以，得，故D正確.故選：D.2．(2023·全國·高三專題練習）已知是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，且，若向量，則向量的取值范圍為_________答案：【解析】不妨設(shè)，，因為是實系數(shù)一元二次方程的一個虛數(shù)根，所以也是的一個虛數(shù)根，從而

①，又因為無實根，所以

②，由①②可得，，因為，所以，由一元二次函數(shù)性質(zhì)易知，當時，有最小值5；當時，；當時，，故當時，，即，故向量的取值范圍為：.故答案為：.3．(2023·全國·高三專題練習）實系數(shù)一元二次方程的一根為（其中為虛數(shù)單位），則______．答案：1【解析】因為實系數(shù)一元二次方程的一根為，所以根據(jù)虛根成對定理可得，實系數(shù)一元二次方程的另一共軛虛根為，所以根據(jù)韋達定理得，，所以，，所以.故答案為：.4．(2023·上海徐匯·二模）若關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一根為（為虛數(shù)單位），則____．答案：【解析】因為為實系數(shù)一元二次方程的一根，所以也為方程的根，所以，解得，所以；故答案為：題組六題組六復(fù)數(shù)的綜合運用1．(2023·重慶南開中學模擬預(yù)測）（多選）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：ABC【解析】對于A：若，則，故，所以A正確；對于B：若，則，所以B正確；對于C：設(shè)，則，故，所以C正確；對于D：如下圖所示，若，，則，，故，所以D錯誤.故選：ABC2．(2023·廣東·執(zhí)信中學高三階段練習）（多選）已知復(fù)數(shù)（且），是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】對于A選項，，，所以，故正確；對于B選項，，，，故錯誤；對于C選項，，，，故正確；對于D選項，，，，所以當時，，當時，，故錯誤.故選：AC3．(2023·全國·高三專題練習）（多選）歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復(fù)分析領(lǐng)域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，即（）.根據(jù)歐拉公式，下列說法正確的是（

）A．對任意的，B．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限C．的實部為D．與互為共軛復(fù)數(shù)答案：ABD【解析】對于A選項，，A正確；對于B選項，，而，，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，B正確；對于C選項，，實部為，C錯誤；對于D選項，，又，故與互為共軛復(fù)數(shù)，D正確.故選：ABD.4．(2023·江蘇·南京大學附屬中學高三階段練習）（多選）下列命題中正確的有（

）A．若復(fù)數(shù)滿足，則； B．若復(fù)數(shù)滿足，則；C．若復(fù)數(shù)滿足，則； D．若復(fù)數(shù)，則．答案：AD【解析】對于A中，設(shè)復(fù)數(shù)，可得，因為，可得，所以，所以A正確；對于B中，取，可得，所以B不正確；對于C中，例如：，則，此時，所以C不正確；對于D中，設(shè)，由，可得，即，可得，所以D正確.故選：AD5．(2023·全國·高三專題練習）（多選）在下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）A．兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；B．若是純虛數(shù)，則實數(shù)；C．的一個充要條件是；D．的充要條件是.答案：CD【解析】對于