高二數(shù)學新教材同步教學講義(人教A版選擇性必修第一冊)3.1橢圓(原卷版+解析)

3．1橢圓【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（），這個動點的軌跡叫橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距．知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形．知識點二：橢圓的標準方程標準方程的推導：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥c、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖）．設（），為橢圓上任意一點，則有．（2）點的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡方程由可得，則得方程關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標準方程．它表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是．這里．橢圓的標準方程：（1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；（2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；（3）橢圓的焦點總在長軸上．當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；（4）在兩種標準方程中，因為，所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題．知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點．②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因為，所以的取值范圍是．越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角（）結合起來，建立、之間的關系．知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有和，；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上．知識點七：直線與橢圓的位置關系平面內(nèi)點與橢圓的位置關系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點，若點在橢圓上，則有；若點在橢圓內(nèi)，則有；若點在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設直線交橢圓于點，兩點，則同理可得這里，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標準方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡題型九：直線與橢圓的位置關系【典型例題】題型一：橢圓的定義與標準方程例1．(2023·福建·廈門海滄實驗中學高二階段練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.②與橢圓共焦點的橢圓可設為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.例2．(2023·全國·高二課時練習）已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．例3．(2023·福建·泉州市第六中學高二期中）P是橢圓上一點，，是該橢圓的兩個焦點，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．9例4．(2023·全國·高二專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，則______（用含y的式子表示），它的標準方程是______．例5．(2023·全國·高二課時練習）若動點的坐標滿足方程，試判斷動點的軌跡，并寫出其標準方程．例6．(2023·陜西·定邊縣第四中學高二階段練習（文））求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)離心率為，且橢圓上一點到兩焦點的距離之和為26．例7．(2023·上海市虹口高級中學高二期末）已知橢圓的焦點分別、，點A為橢圓C的上頂點，直線，與橢圓C的另一個交點為B．若，則橢圓C的方程為______.例8．(2023·全國·高二課時練習）橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9和15，則橢圓的標準方程是______．例9．(2023·全國·高二課時練習）設P為橢圓上的點，，分別為橢圓C的左、右焦點，且，則（

）A． B．2 C． D．3例10．(2023·廣東深圳·高二期末）如圖，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的點，為的外角平分線，，則（

）A．1 B．2 C． D．4例11．(2023·全國·高二專題練習）已知點A，D分別是橢圓C：1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，橢圓的左右焦點分別是F1和F2，點P是線段AD上的動點，如果的最大值2，最小值是，那么，橢圓的C的標準方程是_____．例12．(2023·黑龍江·大興安嶺實驗中學高二期中）（1）求焦點的坐標分別為，且過點的橢圓的方程.（2）求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點、的橢圓標準方程.例13．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學高二開學考試（文））求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)兩個焦點坐標分別是，，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26；(2)求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點和的橢圓的標準方程．例14．(2023·全國·高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)過點，且與橢圓有公共的焦點；(2)中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點，．例15．(2023·全國·高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為；(2)橢圓過點，離心率；(3)在x軸上的一個焦點與短軸上的兩個頂點的連線互相垂直，且焦距為8；(4)與橢圓有相同的焦點，且短軸長為2．題型二：橢圓方程的充要條件例16．(2023·四川·遂寧中學高二階段練習（理））已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧與總結】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例17．(2023·全國·高二課時練習）已知，當m為何值時，(1)方程表示橢圓；(2)方程表示焦點在x軸上的橢圓；(3)方程表示焦點在y軸上的橢圓．例18．(2023·全國·高二課時練習）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的______條件．例19．(2023·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））方程表示橢圓的充要條件是__________．題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題例20．(2023·全國·高二專題練習）若橢圓的左、右焦點分別為、，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中不正確的是（

）A．當點P不在x軸上時，的周長是6B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為C．存在點P，使D．的取值范圍是【方法技巧與總結】焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.例21．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學考試）設橢圓的兩個焦點為，若點在橢圓上，且．(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、離心率；(2)求的面積；(3)求點的坐標．例22．(2023·全國·高二課時練習）已知P是橢圓上的一點，、為橢圓的兩個焦點．(1)若，求的面積；(2)求的最大值．例23．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C：1的短軸長為焦距為、分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的最小值為_______.例24．(2023·江蘇·高二）設、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.例25．(2023·四川·閬中中學高二期中（文））已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為，則___________.例26．(2023·全國·高二課時練習）經(jīng)過橢圓的左焦點，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為______．例27．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，已知定點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中不正確的是（

）A．存在點，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為例28．(2023·天津河西·高二期中）橢圓的焦點為，橢圓上的點滿足，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．例29．(2023·全國·高二專題練習）橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上一點，若，則的周長為（

）A． B． C． D．例30．(2023·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．例31．(2023·全國·高二課時練習）設、為橢圓的兩個焦點，直線過交橢圓于A、B兩點，則△的周長是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25例32．(2023·全國·高二課時練習）已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2例33．(2023·全國·高二課時練習）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為（

）A． B． C． D．例34．（多選題）(2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學高二期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關于坐標原點對稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點M，使得D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為例35．（多選題）(2023·江蘇·高二）已知是左右焦點分別為，的上的動點，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點，使 D．的最大值為例36．（多選題）(2023·全國·高二專題練習）設，為橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（

）A．符合條件的M點有4個 B．M點的縱坐標可以是C．的面積一定是 D．的周長一定是例37．（多選題）(2023·福建福州·高二期末）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值例38．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點為，，點P為橢圓上動點，則的值是______；的取值范圍是______．例39．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是________．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案為：120°，2.例40．(2023·全國·高二專題練習）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．例41．(2023·上海市控江中學高二期中）設?分別是橢圓的左?右焦點，點P在橢圓C上，且滿足，則___________.題型四：橢圓上兩點距離的最值問題例42．(2023·全國·高二課時練習）點為橢圓上一點，為焦點，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【方法技巧與總結】利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.例43．(2023·全國·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．例44．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓：，為橢圓上的一個動點，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點，則的取值范圍是_________．例45．(2023·江西省靖安中學高二階段練習（理））已知動點在橢圓上，若點坐標為，，且，則的最小值是__________.例46．（多選題）(2023·湖南·高二期中）已知橢圓C：的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3例47．(2023·全國·高二課時練習）橢圓上任一點到點的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．例48．(2023·江西省萬載中學高二階段練習（理））線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點，當點P在同一平面內(nèi)運動時，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．例49．(2023·河南洛陽·高二階段練習（理））已知點是橢圓+=1上的動點（點不在坐標軸上），為橢圓的左，右焦點，為坐標原點；若是的角平分線上的一點，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）例50．(2023·新疆·烏蘇市第一中學高二階段練習）已知點M在橢圓上運動，點N在圓上運動，則的最大值為_________．題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例51．(2023·福建泉州·高二階段練習）已知是橢圓C：的左焦點，是橢圓C上的任意一點，點，則的最大值為(

)A． B． C． D．【方法技巧與總結】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例52．(2023·全國·高二課時練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13例53．(2023·全國·高二課時練習）已知為橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例54．(2023·河北·高二階段練習）設是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（

）A． B． C． D．例55．(2023·湖北·高二階段練習）已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為______.例56．(2023·天津市嘉誠中學高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為__________．例57．(2023·安徽·池州市第一中學高二期中）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點，則的最小值為___________.題型六：離心率的值及取值范圍例58．(2023·全國·高二課時練習）設橢圓的右頂點是，其上存在一點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為______．【方法技巧與總結】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關系，知道中任意兩者間的等式關系或不等關系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標法.例59．(2023·貴州·黔西南州金成實驗學校高二期中（理））設是橢圓：上任意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．例60．(2023·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）已知橢圓，過橢圓的左焦點且斜率為的直線l與橢圓交于兩點（點在點的上方），若有，則橢圓的離心率為________.例61．(2023·江西·新余市第一中學高二開學考試）直線過橢圓：的左焦點和上頂點，與圓心在原點的圓交于，兩點，若，，則橢圓的離心率為______.例62．(2023·全國·高二單元測試）設橢圓的左、右焦點分別為、，且，若橢圓上存在點M使得在中，，則該橢圓離心率的取值范圍為______．例63．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．例64．(2023·廣西·玉林市育才中學高二階段練習（理））已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．例65．(2023·江西·南昌大學附屬中學高二期中（理））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例66．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題例67．(2023·全國·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則【方法技巧與總結】標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）例68．(2023·全國·高二課時練習）設m是正實數(shù)，若橢圓的焦距為8，則______．例69．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓上點P到右焦點的距離為4，則點P的橫坐標為______．例70．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓的焦距為6，則k的值為______．例71．(2023·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））有關橢圓敘述錯誤的是（

）A．長軸長等于4 B．短軸長等于4C．離心率為 D．的取值范圍是例72．(2023·四川省宜賓市第三中學校高二期中（理））已知橢圓，則下列關于橢圓的說法正確的是（

）A．離心率為 B．焦點為C．長軸長為3 D．橢圓上的點的橫坐標取值范圍為例73．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（

）．A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等題型八：利用第一定義求解軌跡例74．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】常見考題中，會讓我們利用圓錐曲線的定義求解點P的軌跡方程，這時候要注意把動點P和滿足焦點標志的定點連起來做判斷．焦點往往有以下的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為F的點；（3）圓心；（4）題上提到的定點等等．當看到滿足以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.例75．(2023·全國·高二課時練習）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程．例76．(2023·江蘇·高二專題練習）點P到點、的距離之和為，求動點P的軌跡方程．例77．(2023·浙江·海鹽第二高級中學高二階段練習）（1）已知橢圓C滿足長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過P（3，0），求橢圓的方程．（2）已知圓C：及點A（1，0），Q為圓上一點，AQ的垂直平分線交CQ與點M，求動點M的軌跡方程．例78．(2023·江蘇·高二專題練習）已知的三邊滿足，且，求點A的軌跡方程，并說明它是什么曲線．例79．（多選題）(2023·全國·高二）平面上，動點M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（

）A．M到兩定點，的距離之和為4B．M到兩定點，的距離之和為6C．M到兩定點，的距離之和為6D．M到兩定點，的距離之和為8例80．(2023·全國·高二專題練習）已知是兩個定點且的周長等于則頂點的軌跡方程為______．例81．(2023·全國·高二課時練習）中，A為動點，，且滿足，則A點的軌跡方程為______．例82．(2023·全國·高二專題練習）若△ABC的三邊長a?b?c滿足，?，則頂點B的軌跡方程是___________.例83．(2023·全國·高二專題練習）已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.例84．(2023·全國·高二課時練習）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓．(1)求橢圓的標準方程；(2)設AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點，(O為坐標原點，)，當點A在橢圓上運動時，求點M的軌跡方程．例85．(2023·全國·高二課時練習）如圖，圓的圓心為，點，點為圓上任意一點，求線段的垂直平分線與線段的交點的軌跡方程．例86．(2023·全國·高二課時練習）一個動圓Q與圓外切，與圓內(nèi)切，試判斷圓心Q的軌跡，并說明理由．例87．(2023·全國·高二課時練習）已知點M到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，設點M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形．例88．(2023·全國·高二課時練習）已知△ABC底邊兩端點、，若這個三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為，求點A的軌跡方程．題型九：直線與橢圓的位置關系例89．(2023·四川省資中縣第二中學高二階段練習（理））點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結】設直線交橢圓于點，兩點，則例90．(2023·全國·高二課時練習）若過點的直線l與橢圓只有一個公共點，則直線l的方程為______．例91．(2023·安徽·安慶市第二中學高二階段練習）已知橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程為______.例92．(2023·全國·高二課時練習）已知點，圓：，點是圓上的動點，的垂直平分線與交于點，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設經(jīng)過點的直線與交于，兩點，求證：為定值，并求出該定值．例93．(2023·四川省綿陽南山中學高二開學考試）已知點坐標為，點分別為橢圓的左?右頂點，是等腰直角三角形，長軸長是短軸長的2倍.(1)求橢圓的方程；(2)設過點的動直線與相交于兩點，當坐標原點位于以為直徑的圓外時，求直線斜率的取值范圍.例94．(2023·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學高二期中）在平面直角坐標系xOy中，設動點M到坐標原點的距離與到x軸的距離分別為d1，d2，且，記動點M的軌跡為Ω.(1)求Ω的方程；(2)設過點(0，－2）的直線l與Ω相交于A，B兩點，當△AOB的面積最大時，求|AB|.例95．(2023·全國·高二專題練習）設P為橢圓上的一個動點，過點P作橢圓的切線與圓O：相交于M、N兩點，圓O在M、N兩點處的切線相交于點Q.(1)求點Q的軌跡方程；(2)若P是第一象限內(nèi)的點，求OPQ面積的最大值.例96．(2023·山西·長治市上黨區(qū)第一中學校高二階段練習）已知P是圓O：上一動點，P點在x軸上的射影是D，點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)若A是橢圓E的右頂點，過左焦點F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點，求△AMN的面積.例97．(2023·全國·高二專題練習）如果直線l：與橢圓C：（）總有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.【同步練習】一、單選題1．(2023·陜西·定邊縣第四中學高二階段練習（文））已知橢圓C：的一個焦點為（2，0），則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．12．(2023·全國·高二課時練習）若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）A．0個 B．至多有一個 C．1個 D．2個3．(2023·全國·高二課時練習）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓的標準方程是（

）．A． B．C． D．4．(2023·全國·高二課時練習）中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸和短軸之和為36，橢圓上的點到一個焦點的最短距離為1，則橢圓的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或5．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為，則這個橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．6．(2023·全國·高二單元測試）已知圓與x軸的交點分別為A，B，點P是直線l：上的任意一點，橢圓C以A，B為焦點且過點P，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．(2023·全國·高二課時練習）已知是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，則（

）A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為48．(2023·全國·高二課時練習）橢圓（）的左、右焦點分別是，，斜率為1的直線l過左焦點，交C于A，B兩點，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·全國·高二課時練習）設P是橢圓上的動點，則（

）A．點P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為B．點P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為C．點P到左焦點距離的最大值為D．點P到左焦點距離的最大值為10．(2023·全國·高二課時練習）已知點，，設動點P到直線的距離為d，若，則（

）A．點P的軌跡是以為直徑的圓 B．點P的軌跡曲線的離心率等于C．點P的軌跡方程為 D．的周長為定值11．(2023·全國·高二單元測試）2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G．若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則（

）A．橢圓的長軸長為B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為12．(2023·全國·高二課時練習）橢圓的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，以下說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為B．橢圓C上存在點P，使得C．過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8D．若P為橢圓上一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為2三、填空題13．(2023·全國·高二課時練習）橢圓的方程為，則此橢圓的長半軸的長為______，短軸長為______，焦距為______，頂點坐標為______，焦點坐標為______，離心率為______．請在下邊的坐標系中畫出該橢圓的大致圖像．14．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓與過點、的直線l有且只有一個公共點，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的方程為______．15．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓：的焦點為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點，以，（為坐標原點）為鄰邊作平行四邊形，點恰好也在橢圓上，則______．16．(2023·全國·高二單元測試）若、是橢圓C：的兩個焦點，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點，O為坐標原點，則下列說法中正確的是______．（填序號）①橢圓C的離心率為；

②存在點A使得；③若，則；

④面積的最大值為12．四、解答題17．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知橢圓的離心率為，右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)求直線的方程.18．(2023·全國·高二課時練習）求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)兩個焦點的坐標分別是（0，－2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，．19．(2023·全國·高二課時練習）設、分別是橢圓的左、右焦點．(1)設橢圓上的點到、兩點距離之和等于4，求橢圓的方程和焦點坐標；(2)設是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程．20．(2023·全國·高二專題練習）給定橢圓，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且軸，求的取值范圍，3．1橢圓【知識點梳理】知識點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)（），這個動點的軌跡叫橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距．知識點詮釋：若，則動點的軌跡為線段；若，則動點的軌跡無圖形．知識點二：橢圓的標準方程標準方程的推導：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥c、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系（如圖）．設（），為橢圓上任意一點，則有．（2）點的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡方程由可得，則得方程關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標準方程．它表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是．這里．橢圓的標準方程：（1）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；（2）當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；知識點詮釋：（1）這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；（2）在橢圓的兩種標準方程中，都有和；（3）橢圓的焦點總在長軸上．當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；（4）在兩種標準方程中，因為，所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．知識點三：求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題．知識點四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標準方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點．②橢圓與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因為，所以的取值范圍是．越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當且僅當時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角（）結合起來，建立、之間的關系．知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質(zhì)的比較標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關系都有和，；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上．知識點七：直線與橢圓的位置關系平面內(nèi)點與橢圓的位置關系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點，若點在橢圓上，則有；若點在橢圓內(nèi)，則有；若點在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設直線交橢圓于點，兩點，則同理可得這里，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標準方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡題型九：直線與橢圓的位置關系【典型例題】題型一：橢圓的定義與標準方程例1．(2023·福建·廈門海滄實驗中學高二階段練習）已知橢圓的兩個焦點為，，M是橢圓上一點，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設，，因為，，，所以，，所以，所以，所以．因為，所以．所以橢圓的方程是．故選：C【方法技巧與總結】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在軸還是軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標準方程.注意：①如果橢圓的焦點位置不能確定，可設方程為.②與橢圓共焦點的橢圓可設為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設為（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）.例2．(2023·全國·高二課時練習）已知，是橢圓C的兩個焦點，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且，則橢圓C的標準方程為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由對稱性，又，則，所以，，又，則，橢圓標準方程為．故選：B．例3．(2023·福建·泉州市第六中學高二期中）P是橢圓上一點，，是該橢圓的兩個焦點，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．9答案：A【解析】對橢圓方程變形得，易知橢圓長半軸的長為4，由橢圓的定義可得,又，故.故選：A.例4．(2023·全國·高二專題練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，則______（用含y的式子表示），它的標準方程是______．答案：

【解析】因為，其表示到點的距離之和為10，又，故點的軌跡滿足橢圓的定義，設其標準方程為：，顯然，，又，解得，則標準方程為：；故可得代入，則.故答案為：；.例5．(2023·全國·高二課時練習）若動點的坐標滿足方程，試判斷動點的軌跡，并寫出其標準方程．【解析】由于點滿足，即點到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，故，故橢圓的標準方程為.例6．(2023·陜西·定邊縣第四中學高二階段練習（文））求滿足下列條件的橢圓的標準方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)離心率為，且橢圓上一點到兩焦點的距離之和為26．【解析】（1）由焦距是4可得，又焦點在y軸上，所以焦點坐標為，，由橢圓的定義可知，所以，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知，即，又，所以，所以，當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為；當橢圓的焦點在軸上時，橢圓的方程為，所以橢圓的方程為或例7．(2023·上海市虹口高級中學高二期末）已知橢圓的焦點分別、，點A為橢圓C的上頂點，直線，與橢圓C的另一個交點為B．若，則橢圓C的方程為______.答案：【解析】如圖，過點B作x軸的垂線，垂足為M，由定義知，，因為，所以因為，，所以，所以將代入得，解得所以所以橢圓方程為.故答案為：例8．(2023·全國·高二課時練習）橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9和15，則橢圓的標準方程是______．答案：或【解析】由題意可設橢圓的標準方程為或，由題意可得，，故，故橢圓的標準方程為：或，故答案為：或例9．(2023·全國·高二課時練習）設P為橢圓上的點，，分別為橢圓C的左、右焦點，且，則（

）A． B．2 C． D．3答案：B【解析】由橢圓可得即，因為P為橢圓上的點，所以，因為，所以，，故，故選：B．例10．(2023·廣東深圳·高二期末）如圖，分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的點，為的外角平分線，，則（

）A．1 B．2 C． D．4答案：B【解析】如圖所示：延長交的延長線于點，因為為的外角平分線，，所以易得，所以，，結合橢圓的定義得，又為的中點，為的中點，所以在中，，故選：B.例11．(2023·全國·高二專題練習）已知點A，D分別是橢圓C：1（a＞b＞0）的左頂點和上頂點，橢圓的左右焦點分別是F1和F2，點P是線段AD上的動點，如果的最大值2，最小值是，那么，橢圓的C的標準方程是_____．答案：【解析】如圖所示；∴直線AD的方程是，；∴，，；設，則表示點P到原點O的距離，∴當P在A點時，最大，此時?；當P在點O到直線AD的距離時，最小，此時，∴t，∴?，整理得，解得a2＝4，或a2（舍去）；綜上，，橢圓的方程是1．故答案為：1．例12．(2023·黑龍江·大興安嶺實驗中學高二期中）（1）求焦點的坐標分別為，且過點的橢圓的方程.（2）求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點、的橢圓標準方程.【解析】（1）由題意，橢圓的焦點在軸上，設橢圓方程為由橢圓定義，故故橢圓的標準方程為：（2）不妨設橢圓的方程為：經(jīng)過兩點、故，解得即故橢圓的標準方程為：例13．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學高二開學考試（文））求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)兩個焦點坐標分別是，，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26；(2)求焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點和的橢圓的標準方程．【解析】(1)因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為，因為，，所以，．所以．所以所求橢圓的標準方程為．(2)設橢圓的一般方程為，分別將兩點的坐標，代入橢圓的一般方程，得，解得，所以所求橢圓的標準方程為．例14．(2023·全國·高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)過點，且與橢圓有公共的焦點；(2)中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點，．【解析】（1）方法一：設所求橢圓的標準方程為（）由，得，即．①又點在所求橢圓上，所以，②由①②得，，即所求橢圓的標準方程是．方法二：設所求橢圓的方程為．因為點在所求橢圓上，所以，解得，所以所求橢圓的標準方程為．（2）方法一：當橢圓的焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為（）．依題意有，得．由知，不符合題意，故舍去．當橢圓的焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程（）．依題意有，得．所以所求橢圓的標準方程為．方法二：設橢圓的方程為（，，）．依題意有，解得．所以所求橢圓的方程為，故橢圓的標準方程為．例15．(2023·全國·高二課時練習）求滿足下列條件的橢圓的標準方程．(1)長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為；(2)橢圓過點，離心率；(3)在x軸上的一個焦點與短軸上的兩個頂點的連線互相垂直，且焦距為8；(4)與橢圓有相同的焦點，且短軸長為2．【解析】（1）由題意，可知，，得，，從而，又長軸在x軸上，故所求橢圓的標準方程為．（2）若焦點在x軸上，則，由，得，所以，此時橢圓的標準方程為，若焦點在y軸上，則，由，得，此時橢圓的標準方程為，故橢圓的標準方程為或．（3）分析知，，故橢圓的標準方程為．（4）橢圓可化為，可知焦點在y軸上，焦點坐標為，故可設所求橢圓的方程為，則，又，即，所以，則所求橢圓的標準方程為．題型二：橢圓方程的充要條件例16．(2023·四川·遂寧中學高二階段練習（理））已知條件：，條件：表示一個橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】由，若，則表示一個圓，充分性不成立；而表示一個橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B【方法技巧與總結】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例17．(2023·全國·高二課時練習）已知，當m為何值時，(1)方程表示橢圓；(2)方程表示焦點在x軸上的橢圓；(3)方程表示焦點在y軸上的橢圓．【解析】（1）若方程表示橢圓，則，解得3<m<7或7<m<11．（2）方程表示焦點在x軸上的橢圓，則m－3>11－m>0，解得7<m<11．（3）方程表示焦點在y軸上的橢圓，則11－m>m－3>0，解得3<m<7．例18．(2023·全國·高二課時練習）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的______條件．答案：必要不充分【解析】當時表示圓，當且時表示橢圓，充分性不成立；當為橢圓，則，可得且，必要性成立；綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分例19．(2023·寧夏六盤山高級中學高二階段練習（理））方程表示橢圓的充要條件是__________．答案：答案不唯一【解析】方程表示橢圓,則必有解之得或故答案為：,（答案不唯一，其他等價情況也對）題型三：橢圓中焦點三角形的周長與面積及其他問題例20．(2023·全國·高二專題練習）若橢圓的左、右焦點分別為、，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中不正確的是（

）A．當點P不在x軸上時，的周長是6B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為C．存在點P，使D．的取值范圍是答案：C【解析】由橢圓方程可知，，從而．對于選項A；根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長是，故選項A正確；對于選項B：設點，因為，則．因為，則面積的最大值為，故選項B正確；對于選項C：由橢圓性質(zhì)可知，當點為橢圓短軸的一個端點時，為最大．此時，，又，則為正三角形，，所以不存在點，使，故選項C錯誤；對于選項D：由橢圓的性質(zhì)可知，當點為橢圓的右頂點時，取最大值，此時；當點為橢圓的左頂點時，取最小值，此時，所以，故選項D正確．故選：C.【方法技巧與總結】焦點三角形的問題常用定義與解三角形的知識來解決，對于涉及橢圓上點到橢圓兩焦點將距離問題常用定義，即.例21．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學考試）設橢圓的兩個焦點為，若點在橢圓上，且．(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點坐標、離心率；(2)求的面積；(3)求點的坐標．【解析】（1）由橢圓方程得：，，則，橢圓的長軸長為；短軸長為；焦點坐標為，，離心率.（2）由橢圓定義知：，，，即，解得：，.（3）設，則，解得：，，解得：；點坐標為或或或.例22．(2023·全國·高二課時練習）已知P是橢圓上的一點，、為橢圓的兩個焦點．(1)若，求的面積；(2)求的最大值．【解析】（1）在橢圓中，a＝5，b＝3，則．則，2c＝8，在中，，即有，即，所以，則的面積為．（2）設，，則m＋n＝10，所以，即，當且僅當m＝n＝5時取等號．所以的最大值為25．例23．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C：1的短軸長為焦距為、分別是橢圓的左、右焦點，若點為上的任意一點，則的最小值為_______.答案：【解析】根據(jù)條件可得故則根據(jù)橢圓定義可知方法一當即在橢圓上下頂點時，取到等號，的最小值為.方法二設則令，，又．的最小值為故答案為：1例24．(2023·江蘇·高二）設、是橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于、兩點，則的最大值為______.答案：【解析】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當垂直于軸時，取得最小值，此時取得最大值，此時，所以的最大值為.故答案為：.例25．(2023·四川·閬中中學高二期中（文））已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為，則___________.答案：5【解析】因為，是橢圓：的兩個焦點，點在上，所以，則，當且僅當時，取等號，又的最大值為，所以，所以.故答案為：5.例26．(2023·全國·高二課時練習）經(jīng)過橢圓的左焦點，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為______．答案：8【解析】由橢圓，可得a＝2．由橢圓的定義可得．所以的周長．故答案為：8例27．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，已知定點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中不正確的是（

）A．存在點，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為答案：A【解析】對于A，依題意，，A選項錯誤.對于B，設，則，，為定值，B選項正確.對于C，，，當且僅當時等號成立.C選項正確.對于D，Q在橢圓外，設直線、與橢圓相交于如圖所示，則，，，，即，所以所以.D選項正確.故選：A例28．(2023·天津河西·高二期中）橢圓的焦點為，橢圓上的點滿足，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由橢圓方程得，所以.設，，則由橢圓定義得.在中，由余弦定理得，所以，則，所以，設點到軸的距離為，則，故，解得.故選：C.例29．(2023·全國·高二專題練習）橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上一點，若，則的周長為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】的周長為.故選：A例30．(2023·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，橢圓方程，可得，所以焦點，又由橢圓的定義，可得，因為，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故選:C．例31．(2023·全國·高二課時練習）設、為橢圓的兩個焦點，直線過交橢圓于A、B兩點，則△的周長是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25答案：C【解析】由橢圓的定義可知，，則△的周長為，故選：.例32．(2023·全國·高二課時練習）已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2答案：C【解析】橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．例33．(2023·全國·高二課時練習）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】易知當點為橢圓與軸的交點時，最大，因為橢圓方程為，所以、，此時，，所以，所以為等腰直角三角形，所以．故選：D例34．（多選題）(2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學高二期末）已知橢圓的左，右焦點分別為，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B．若P，Q兩點都在橢圓C上，且P，Q關于坐標原點對稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點M，使得D．若點P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為答案：BD【解析】如圖所示：A.|PQ|的最大值為長軸長2，故錯誤；B.易知是平行四邊形，則，因為，所以，故正確；C.因為，所以，則，故橢圓上存在點M，使得，故錯誤；D.直線AB所在直線方程為：，即，設，則點P到直線AB的距離為，其最大值為，同理點Q到直線AB的最大值為，所以四邊形APBQ面積的最大值為，故正確.故選：BD例35．（多選題）(2023·江蘇·高二）已知是左右焦點分別為，的上的動點，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點，使 D．的最大值為答案：BD【解析】對于A選項，設，則，即，所以，又，所以當時，，故A錯誤，對于B選項，由橢圓定義，，故B正確對于C選項，當為短軸端點時，，，，故，進而，故C錯誤，對于D選項，，當，，三點共線時，有最大值，故D正確.故選：BD例36．（多選題）(2023·全國·高二專題練習）設，為橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（

）A．符合條件的M點有4個 B．M點的縱坐標可以是C．的面積一定是 D．的周長一定是答案：BD【解析】橢圓的長半軸長，焦點，，為直角三角形，以為直角頂點的直角有2個，以為直角頂點的直角有2個，顯然橢圓C的半焦距，短半軸長，，以線段為直徑的圓與橢圓C有4個公共點，以為直角頂點的直角有4個，因此，符合條件的M點有8個，A不正確；以為直角頂點時，設，由消去得：，即M點的縱坐標為，B正確；由選項B知，以為直角頂點時，的面積，C不正確；由橢圓定義知，的周長為，D正確.故選：BD例37．（多選題）(2023·福建福州·高二期末）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值答案：ABC【解析】設橢圓短軸頂點為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對于A選項，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，正確；對于B選項，記，則，由余弦定理：，當且僅當時取“=”，B正確；對于C選項，由于，故，所以，C正確；對于D選項，設，則，，于是,故錯誤.故選：ABC例38．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的左、右焦點為，，點P為橢圓上動點，則的值是______；的取值范圍是______．答案：

【解析】對橢圓，其，焦點坐標分別為，由橢圓定義可得：；設點的坐標為，則，且，故，又，故，即的取值范圍為：.故答案為：；.例39．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是________．答案：

120°

2【解析】由題得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴，∴|F1F2|＝2．∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2．∴，又0＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案為：120°，2.例40．(2023·全國·高二專題練習）橢圓的焦點為點在橢圓上，若則的大小為___．答案：【解析】，．在中，，．故答案為：.例41．(2023·上海市控江中學高二期中）設?分別是橢圓的左?右焦點，點P在橢圓C上，且滿足，則___________.答案：【解析】由題意，橢圓，可得，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，又由，可得，所以，因為，即，解得.故答案為：.題型四：橢圓上兩點距離的最值問題例42．(2023·全國·高二課時練習）點為橢圓上一點，為焦點，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7答案：C【解析】，，，即.所以的最大值為.故選：C【方法技巧與總結】利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.例43．(2023·全國·高二課時練習）已知P是橢圓上一點，，求的最小值與最大值．【解析】因為P是橢圓上一點，所以，且橢圓焦點在y軸上，點P是橢圓上任意一點，設點P的坐標為，則，所以，，，因為，當時，，所以當時，.例44．(2023·全國·高二專題練習）已知橢圓：，為橢圓上的一個動點，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點，則的取值范圍是_________．答案：【解析】由橢圓方程可得，則，如圖，設銳角，在中，，因為，即，故，所以.故答案為：.例45．(2023·江西省靖安中學高二階段練習（理））已知動點在橢圓上，若點坐標為，，且，則的最小值是__________.答案：【解析】∵，∴，∴∵，∴則，∵，∴點M的軌跡是以點A為圓心，1為半徑的圓，A點同時為橢圓的右焦點.，越小，越小，結合圖形知，當P點為橢圓的右頂點時，取最小值，∴最小值是.故答案為：.例46．（多選題）(2023·湖南·高二期中）已知橢圓C：的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3答案：ABD【解析】對于，由橢圓的方程可知，橢圓焦點在軸上，故正確；對于，因為，而的周長為，故B正確；對于，因為不在軸上，所以，所以的取值范圍為，故C不正確；對于，設橢圓的上頂點為，則，所以的最大值為.設，則，且，而，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.例47．(2023·全國·高二課時練習）橢圓上任一點到點的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．答案：B【解析】設點的坐標為，其中，由，可得，又由，當時，取得最小值，最小值為.故選：B.例48．(2023·江西省萬載中學高二階段練習（理））線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點，當點P在同一平面內(nèi)運動時，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．答案：B【解析】若以為原點為x軸建立平面直角坐標系，由，則，若，故軌跡是以為焦點，焦距為4，長軸長為6的橢圓，且軌跡方程為，所以|PM|的最小值是.故選：B例49．(2023·河南洛陽·高二階段練習（理））已知點是橢圓+=1上的動點（點不在坐標軸上），為橢圓的左，右焦點，為坐標原點；若是的角平分線上的一點，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）答案：A【解析】如下圖，延長、相交于點，連接，因為，因為為的角平分線，所以，，則點為的中點，因為為的中點，所以，，設點，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：A.例50．(2023·新疆·烏蘇市第一中學高二階段練習）已知點M在橢圓上運動，點N在圓上運動，則的最大值為_________．答案：【解析】不妨設點為，，則，則設圓的圓心為，則坐標為則的最大值，即為的最大值與圓的半徑之和.又當時，，當且僅當時取得等號；故.故答案為：.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例51．(2023·福建泉州·高二階段練習）已知是橢圓C：的左焦點，是橢圓C上的任意一點，點，則的最大值為(

)A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，點為橢圓的左焦點，∴．∵點為橢圓上任意一點，點的坐標為，如圖，設橢圓的右焦點為，連接，根據(jù)橢圓定義知，．∵，∴，當在線段上時，等號成立.即要求的最大值為，故選：D．【方法技巧與總結】在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例52．(2023·全國·高二課時練習）已知F是橢圓的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點Q坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13答案：B【解析】因為橢圓，所以，，則橢圓的右焦點為，由橢圓的定義得：，當點P在點處，取等號，所以的最大值為5，故選：B.例53．(2023·全國·高二課時練習）已知為橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)橢圓的定義，得，所以，即所求取值范圍為．故選：A例54．(2023·河北·高二階段練習）設是橢圓上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：①，當且僅當、、三點共線時，等號成立，在中可得：②，當且僅當、、三點共線時，等號成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.例55．(2023·湖北·高二階段練習）已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為______.答案：【解析】設為橢圓右焦點，由橢圓的定義可知，，所以.要求的最小值，也就是求的最大值.如圖示：而當，，共線(A在中間)時，最大，此時，所以.所以的最小值為.故答案為：例56．(2023·天津市嘉誠中學高二期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為橢圓上一點，點，則的最小值為__________．答案：1【解析】依題意，橢圓的左焦點，右焦點，點P為橢圓上一點，點A在此橢圓外，由橢圓的定義得，因此，，當且僅當點P是線段與橢圓的交點時取“=”，所以的最小值為1.故答案為：1例57．(2023·安徽·池州市第一中學高二期中）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點，則的最小值為___________.答案：【解析】由題意，，，所以為左焦點，為右焦點，所，當且僅當M?D?A共線時取等號.故答案為：.題型六：離心率的值及取值范圍例58．(2023·全國·高二課時練習）設橢圓的右頂點是，其上存在一點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為______．答案：【解析】設，由，可知點在以為直徑的圓上，則圓心為，半徑為，則圓的方程是﹐所以①，又因為點在橢圓上，故②，把①代入②得，所以，故，又，，所以，又，所以，所以，則，所以，因為，故所求的橢圓離心率的取值范圍是.故答案為：.【方法技巧與總結】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關系，知道中任意兩者間的等式關系或不等關系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標法.例59．(2023·貴州·黔西南州金成實驗學校高二期中（理））設是橢圓：上任意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．答案：【解析】是橢圓上任意一點，為的右焦點，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．例60．(2023·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）已知橢圓，過橢圓的左焦點且斜率為的直線l與橢圓交于兩點（點在點的上方），若有，則橢圓的離心率為________.答案：【解析】設，，因為，，，將代入橢圓方程得，，兩式相減得：，，，則，，因為直線斜率為，，，將代入橢圓方程整理得：，或（舍），故.故答案為：例61．(2023·江西·新余市第一中學高二開學考試）直線過橢圓：的左焦點和上頂點，與圓心在原點的圓交于，兩點，若，，則橢圓的離心率為______.答案：【解析】橢圓的焦點在軸上，，，，故直線的方程為，即，所以直線即的斜率為，如圖所示，過作的垂線，則為的中點，又，，，，是的中點，直線的斜率，所以，即，，即離心率，故答案為：例62．(2023·全國·高二單元測試）設橢圓的左、右焦點分別為、，且，若橢圓上存在點M使得在中，，則該橢圓離心率的取值范圍為______．答案：【解析】設，，，．在中，由正弦定理有，且，則，解得．由于，即．又恒成立，則有，得．故答案為：例63．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓C：（），點A，B為長軸的兩個端點，若在橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由題可知，，設，由點P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.例64．(2023·廣西·玉林市育才中學高二階段練習（理））已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓C上存在一點P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】設，則，，由，，化為，，整理得，，，解得．例65．(2023·江西·南昌大學附屬中學高二期中（理））已知橢圓的左右焦點為，若橢圓上恰好有6個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】顯然，是短軸端點時，，滿足為等腰三角形，因此由對稱性，還有四個點在四個象限內(nèi)各有一個，設是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時，，是等邊三角形，只能是短軸端點，只有2個，不合題意．綜上，的范圍是．故選：D．例66．(2023·全國·高二課時練習）已知橢圓上存在點，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當且僅當點在橢圓右頂點時等號成立，即，即，則，即.故選：D．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題例67．(2023·全國·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點在軸上，則 D．若橢圓的焦點在軸上，則答案：C【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.故選：C【方法技巧與總結】標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）例68．(2023·全國·高二課時練習）設m是正實數(shù)，若橢圓的焦距為8，則______．答案：3【解析】由題意得，顯然，則，又m是正實數(shù)，解得.故答案為：3.例69．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓上點P到右焦點的距離為4，則點P的橫坐標為______．答案：【解析】由已知，，右焦點為，設，，則，消去得，，，（舍去），所以點橫坐標為．故答案為：．例70．(2023·全國·高二課時練習）若橢圓的焦距為6，則k的值為______．答案：31或49【解析】因為橢圓的焦距為6，所以c＝3．當橢圓的焦點在x軸上時，因為，，所以，解得k＝31；當橢圓的焦點在y軸上時，因為，，所以，解得k＝49．綜上所述，k的值為31或49．故答案為：31或49例71．(2023·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））有關橢圓敘述錯誤的是（

）A．長軸長等于4 B．短軸長等于4C．離心率為 D．的取值范圍是答案：A【解析】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯誤，B,C,D正確.故選：A.例72．(2023·四川省宜賓市第三中學校高二期中（理））已知橢圓，則下列關于橢圓的說法正確的是（

）A．離心率為 B．焦點為C．長軸長為3 D．橢圓上的點的橫坐標取值范圍為答案：B【解析】由橢圓方程，可知