高二數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義(人教A版選擇性必修第一冊(cè))3.1橢圓(原卷版+解析)

3．1橢圓【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形．知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)（），為橢圓上任意一點(diǎn)，則有．（2）點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡方程由可得，則得方程關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是．這里．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；（3）橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；（4）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)?，所以可以根?jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題．知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因?yàn)?，所以的取值范圍是．越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；知識(shí)點(diǎn)五：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)六：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓，的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)七：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則有；若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則同理可得這里，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡題型九：直線與橢圓的位置關(guān)系【典型例題】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．(2023·福建·廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，M是橢圓上一點(diǎn)，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.例2．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．例3．(2023·福建·泉州市第六中學(xué)高二期中）P是橢圓上一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．9例4．(2023·全國·高二專題練習(xí)）如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，則______（用含y的式子表示），它的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．例5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．例6．(2023·陜西·定邊縣第四中學(xué)高二階段練習(xí)（文））求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26．例7．(2023·上海市虹口高級(jí)中學(xué)高二期末）已知橢圓的焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B．若，則橢圓C的方程為______.例8．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9和15，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．例9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P為橢圓上的點(diǎn)，，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C． D．3例10．(2023·廣東深圳·高二期末）如圖，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，為的外角平分線，，則（

）A．1 B．2 C． D．4例11．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，D分別是橢圓C：1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1和F2，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，如果的最大值2，最小值是，那么，橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____．例12．(2023·黑龍江·大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且過點(diǎn)的橢圓的方程.（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)、的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.例13．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試（文））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為26；(2)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例14．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)，．例15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為；(2)橢圓過點(diǎn)，離心率；(3)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；(4)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為2．題型二：橢圓方程的充要條件例16．(2023·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例17．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)方程表示橢圓；(2)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(3)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．例18．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的______條件．例19．(2023·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））方程表示橢圓的充要條件是__________．題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題例20．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，的周長是6B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，面積的最大值為C．存在點(diǎn)P，使D．的取值范圍是【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.例21．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且．(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；(2)求的面積；(3)求點(diǎn)的坐標(biāo)．例22．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求的面積；(2)求的最大值．例23．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：1的短軸長為焦距為、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_______.例24．(2023·江蘇·高二）設(shè)、是橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的最大值為______.例25．(2023·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為，則___________.例26．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為______．例27．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為例28．(2023·天津河西·高二期中）橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．例29．(2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的周長為（

）A． B． C． D．例30．(2023·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．例31．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△的周長是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25例32．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2例33．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例34．（多選題）(2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，B．若P，Q兩點(diǎn)都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點(diǎn)M，使得D．若點(diǎn)P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為例35．（多選題）(2023·江蘇·高二）已知是左右焦點(diǎn)分別為，的上的動(dòng)點(diǎn)，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點(diǎn)，使 D．的最大值為例36．（多選題）(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（

）A．符合條件的M點(diǎn)有4個(gè) B．M點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以是C．的面積一定是 D．的周長一定是例37．（多選題）(2023·福建福州·高二期末）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值例38．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的值是______；的取值范圍是______．例39．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是________．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案為：120°，2.例40．(2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為___．例41．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，則___________.題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例42．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例43．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，，求的最小值與最大值．例44．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的取值范圍是_________．例45．(2023·江西省靖安中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)坐標(biāo)為，，且，則的最小值是__________.例46．（多選題）(2023·湖南·高二期中）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3例47．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．例48．(2023·江西省萬載中學(xué)高二階段練習(xí)（理））線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．例49．(2023·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）例50．(2023·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_________．題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例51．(2023·福建泉州·高二階段練習(xí)）已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，是橢圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例52．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13例53．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例54．(2023·河北·高二階段練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．例55．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為______.例56．(2023·天津市嘉誠中學(xué)高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為__________．例57．(2023·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________.題型六：離心率的值及取值范圍例58．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)是，其上存在一點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為______．【方法技巧與總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.例59．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中（理））設(shè)是橢圓：上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．例60．(2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）已知橢圓，過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），若有，則橢圓的離心率為________.例61．(2023·江西·新余市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）直線過橢圓：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，與圓心在原點(diǎn)的圓交于，兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為______.例62．(2023·全國·高二單元測試）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，若橢圓上存在點(diǎn)M使得在中，，則該橢圓離心率的取值范圍為______．例63．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．例64．(2023·廣西·玉林市育才中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．例65．(2023·江西·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二期中（理））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．例66．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題例67．(2023·全國·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則【方法技巧與總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）例68．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m是正實(shí)數(shù)，若橢圓的焦距為8，則______．例69．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓上點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為______．例70．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的焦距為6，則k的值為______．例71．(2023·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（

）A．長軸長等于4 B．短軸長等于4C．離心率為 D．的取值范圍是例72．(2023·四川省宜賓市第三中學(xué)校高二期中（理））已知橢圓，則下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（

）A．離心率為 B．焦點(diǎn)為C．長軸長為3 D．橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為例73．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓與橢圓，則兩橢圓必定（

）．A．有相等的長軸長 B．有相等的焦距C．有相等的短軸長 D．長軸長與焦距之比相等題型八：利用第一定義求解軌跡例74．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】常見考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.例75．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．例76．(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P到點(diǎn)、的距離之和為，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．例77．(2023·浙江·海鹽第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知橢圓C滿足長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過P（3，0），求橢圓的方程．（2）已知圓C：及點(diǎn)A（1，0），Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ與點(diǎn)M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．例78．(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知的三邊滿足，且，求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明它是什么曲線．例79．（多選題）(2023·全國·高二）平面上，動(dòng)點(diǎn)M滿足以下條件，其中M的軌跡為橢圓的是（

）A．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為4B．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6C．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為6D．M到兩定點(diǎn)，的距離之和為8例80．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是兩個(gè)定點(diǎn)且的周長等于則頂點(diǎn)的軌跡方程為______．例81．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）中，A為動(dòng)點(diǎn)，，且滿足，則A點(diǎn)的軌跡方程為______．例82．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若△ABC的三邊長a?b?c滿足，?，則頂點(diǎn)B的軌跡方程是___________.例83．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知B(，0)是圓A：內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線段BC的垂直平分線與AC相交于點(diǎn)D.則動(dòng)點(diǎn)D的軌跡方程為_________________.例84．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓的半徑為，記是以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)AB是過橢圓中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)，)，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程．例85．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，圓的圓心為，點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求線段的垂直平分線與線段的交點(diǎn)的軌跡方程．例86．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)動(dòng)圓Q與圓外切，與圓內(nèi)切，試判斷圓心Q的軌跡，并說明理由．例87．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形．例88．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知△ABC底邊兩端點(diǎn)、，若這個(gè)三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為，求點(diǎn)A的軌跡方程．題型九：直線與橢圓的位置關(guān)系例89．(2023·四川省資中縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則例90．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若過點(diǎn)的直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程為______．例91．(2023·安徽·安慶市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程為______.例92．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．例93．(2023·四川省綿陽南山中學(xué)高二開學(xué)考試）已知點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，長軸長是短軸長的2倍.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)位于以為直徑的圓外時(shí)，求直線斜率的取值范圍.例94．(2023·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離與到x軸的距離分別為d1，d2，且，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Ω.(1)求Ω的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)(0，－2）的直線l與Ω相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求|AB|.例95．(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線與圓O：相交于M、N兩點(diǎn)，圓O在M、N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)Q.(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)若P是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求OPQ面積的最大值.例96．(2023·山西·長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知P是圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積.例97．(2023·全國·高二專題練習(xí)）如果直線l：與橢圓C：（）總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【同步練習(xí)】一、單選題1．(2023·陜西·定邊縣第四中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為（2，0），則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．12．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線和圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)3．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）．A． B．C． D．4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸和短軸之和為36，橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最短距離為1，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．6．(2023·全國·高二單元測試）已知圓與x軸的交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是直線l：上的任意一點(diǎn)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則（

）A．有最大值，為16 B．有最小值，為16C．有最大值，為4 D．有最小值，為48．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別是，，斜率為1的直線l過左焦點(diǎn)，交C于A，B兩點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的面積是，若橢圓C的離心率的取值范圍為，則線段AB的長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為B．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為C．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為D．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為10．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離為d，若，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是以為直徑的圓 B．點(diǎn)P的軌跡曲線的離心率等于C．點(diǎn)P的軌跡方程為 D．的周長為定值11．(2023·全國·高二單元測試）2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G．若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（

）A．橢圓的長軸長為B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為12．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為B．橢圓C上存在點(diǎn)P，使得C．過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為8D．若P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為2三、填空題13．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的方程為，則此橢圓的長半軸的長為______，短軸長為______，焦距為______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，焦點(diǎn)坐標(biāo)為______，離心率為______．請(qǐng)?jiān)谙逻叺淖鴺?biāo)系中畫出該橢圓的大致圖像．14．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與過點(diǎn)、的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的方程為______．15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓：的焦點(diǎn)為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，以，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)恰好也在橢圓上，則______．16．(2023·全國·高二單元測試）若、是橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是______．（填序號(hào)）①橢圓C的離心率為；

②存在點(diǎn)A使得；③若，則；

④面積的最大值為12．四、解答題17．(2023·湖南·新邵縣教研室高二期末（文））已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)求直線的方程.18．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)；(2)經(jīng)過點(diǎn)，．19．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．(1)設(shè)橢圓上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和等于4，求橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．20．(2023·全國·高二專題練習(xí)）給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為．(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍，3．1橢圓【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無圖形．知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢啥c(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)（），為橢圓上任意一點(diǎn)，則有．（2）點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡方程由可得，則得方程關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是．這里．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；（3）橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；（4）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)?，所以可以根?jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題．知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對(duì)稱性對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時(shí)換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點(diǎn)①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因?yàn)?，所以的取值范圍是．越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；知識(shí)點(diǎn)五：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)六：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓，的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)七：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，則有；若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則有；若點(diǎn)在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)（或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)（或一個(gè)公共點(diǎn)）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點(diǎn)，兩點(diǎn)，則同理可得這里，的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：【題型歸納目錄】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：橢圓方程的充要條件題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題題型六：離心率的值及取值范圍題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題題型八：利用第一定義求解軌跡題型九：直線與橢圓的位置關(guān)系【典型例題】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程例1．(2023·福建·廈門海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，M是橢圓上一點(diǎn)，若，，則該橢圓的方程是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】設(shè)，，因?yàn)椋?，，所以，，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以．所以橢圓的方程是．故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.例2．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由對(duì)稱性，又，則，所以，，又，則，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．例3．(2023·福建·泉州市第六中學(xué)高二期中）P是橢圓上一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．9答案：A【解析】對(duì)橢圓方程變形得，易知橢圓長半軸的長為4，由橢圓的定義可得,又，故.故選：A.例4．(2023·全國·高二專題練習(xí)）如果點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式，則______（用含y的式子表示），它的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．答案：

【解析】因?yàn)?，其表示到點(diǎn)的距離之和為10，又，故點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，顯然，，又，解得，則標(biāo)準(zhǔn)方程為：；故可得代入，則.故答案為：；.例5．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】由于點(diǎn)滿足，即點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)，由橢圓的定義可知：此點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.例6．(2023·陜西·定邊縣第四中學(xué)高二階段練習(xí)（文））求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點(diǎn)；(2)離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為26．【解析】（1）由焦距是4可得，又焦點(diǎn)在y軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，由橢圓的定義可知，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，即，又，所以，所以，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為，所以橢圓的方程為或例7．(2023·上海市虹口高級(jí)中學(xué)高二期末）已知橢圓的焦點(diǎn)分別、，點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)，直線，與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B．若，則橢圓C的方程為______.答案：【解析】如圖，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為M，由定義知，，因?yàn)?，所以因?yàn)?，，所以，所以將代入得，解得所以所以橢圓方程為.故答案為：例8．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9和15，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．答案：或【解析】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，由題意可得，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，故答案為：或例9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)P為橢圓上的點(diǎn)，，分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且，則（

）A． B．2 C． D．3答案：B【解析】由橢圓可得即，因?yàn)镻為橢圓上的點(diǎn)，所以，因?yàn)椋裕?，故，故選：B．例10．(2023·廣東深圳·高二期末）如圖，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，為的外角平分線，，則（

）A．1 B．2 C． D．4答案：B【解析】如圖所示：延長交的延長線于點(diǎn)，因?yàn)闉榈耐饨瞧椒志€，，所以易得，所以，，結(jié)合橢圓的定義得，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以在中，，故選：B.例11．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A，D分別是橢圓C：1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1和F2，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，如果的最大值2，最小值是，那么，橢圓的C的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____．答案：【解析】如圖所示；∴直線AD的方程是，；∴，，；設(shè)，則表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，∴當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)?；當(dāng)P在點(diǎn)O到直線AD的距離時(shí)，最小，此時(shí)，∴t，∴?，整理得，解得a2＝4，或a2（舍去）；綜上，，橢圓的方程是1．故答案為：1．例12．(2023·黑龍江·大興安嶺實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且過點(diǎn)的橢圓的方程.（2）求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)、的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】（1）由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為由橢圓定義，故故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）不妨設(shè)橢圓的方程為：經(jīng)過兩點(diǎn)、故，解得即故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例13．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試（文））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和為26；(2)求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，，所以，．所以．所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)橢圓的一般方程為，分別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的一般方程，得，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．例14．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)過點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)，．【解析】（1）方法一：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）由，得，即．①又點(diǎn)在所求橢圓上，所以，②由①②得，，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．方法二：設(shè)所求橢圓的方程為．因?yàn)辄c(diǎn)在所求橢圓上，所以，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）方法一：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）．依題意有，得．由知，不符合題意，故舍去．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）．依題意有，得．所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二：設(shè)橢圓的方程為（，，）．依題意有，解得．所以所求橢圓的方程為，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．例15．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為；(2)橢圓過點(diǎn)，離心率；(3)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8；(4)與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為2．【解析】（1）由題意，可知，，得，，從而，又長軸在x軸上，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）若焦點(diǎn)在x軸上，則，由，得，所以，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若焦點(diǎn)在y軸上，則，由，得，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（3）分析知，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4）橢圓可化為，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)所求橢圓的方程為，則，又，即，所以，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型二：橢圓方程的充要條件例16．(2023·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.例17．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)方程表示橢圓；(2)方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；(3)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．【解析】（1）若方程表示橢圓，則，解得3<m<7或7<m<11．（2）方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m－3>11－m>0，解得7<m<11．（3）方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則11－m>m－3>0，解得3<m<7．例18．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的______條件．答案：必要不充分【解析】當(dāng)時(shí)表示圓，當(dāng)且時(shí)表示橢圓，充分性不成立；當(dāng)為橢圓，則，可得且，必要性成立；綜上，“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分例19．(2023·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））方程表示橢圓的充要條件是__________．答案：答案不唯一【解析】方程表示橢圓,則必有解之得或故答案為：,（答案不唯一，其他等價(jià)情況也對(duì)）題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題例20．(2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中不正確的是（

）A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，的周長是6B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，面積的最大值為C．存在點(diǎn)P，使D．的取值范圍是答案：C【解析】由橢圓方程可知，，從而．對(duì)于選項(xiàng)A；根據(jù)橢圓定義，，又，所以的周長是，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，則．因?yàn)椋瑒t面積的最大值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大．此時(shí)，，又，則為正三角形，，所以不存在點(diǎn)，使，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：C.【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問題常用定義與解三角形的知識(shí)來解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問題常用定義，即.例21．(2023·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且．(1)求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率；(2)求的面積；(3)求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由橢圓方程得：，，則，橢圓的長軸長為；短軸長為；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，離心率.（2）由橢圓定義知：，，，即，解得：，.（3）設(shè)，則，解得：，，解得：；點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.例22．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求的面積；(2)求的最大值．【解析】（1）在橢圓中，a＝5，b＝3，則．則，2c＝8，在中，，即有，即，所以，則的面積為．（2）設(shè)，，則m＋n＝10，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝5時(shí)取等號(hào)．所以的最大值為25．例23．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：1的短軸長為焦距為、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_______.答案：【解析】根據(jù)條件可得故則根據(jù)橢圓定義可知方法一當(dāng)即在橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，取到等號(hào)，的最小值為.方法二設(shè)則令，，又．的最小值為故答案為：1例24．(2023·江蘇·高二）設(shè)、是橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的最大值為______.答案：【解析】由題意，橢圓，可得，即，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，所以，當(dāng)垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為.故答案為：.例25．(2023·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為，則___________.答案：5【解析】因?yàn)?，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，又的最大值為，所以，所以.故答案為：5.例26．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，作不垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長為______．答案：8【解析】由橢圓，可得a＝2．由橢圓的定義可得．所以的周長．故答案為：8例27．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，已知定點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值C．有最小值 D．的范圍為答案：A【解析】對(duì)于A，依題意，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)，則，，為定值，B選項(xiàng)正確.對(duì)于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.C選項(xiàng)正確.對(duì)于D，Q在橢圓外，設(shè)直線、與橢圓相交于如圖所示，則，，，，即，所以所以.D選項(xiàng)正確.故選：A例28．(2023·天津河西·高二期中）橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由橢圓方程得，所以.設(shè)，，則由橢圓定義得.在中，由余弦定理得，所以，則，所以，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則，故，解得.故選：C.例29．(2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，若，則的周長為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】的周長為.故選：A例30．(2023·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，橢圓方程，可得，所以焦點(diǎn)，又由橢圓的定義，可得，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可?所以，解得，又由，所以.故選:C．例31．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△的周長是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25答案：C【解析】由橢圓的定義可知，，則△的周長為，故選：.例32．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的內(nèi)切圓的半徑（

）A．1 B． C． D．2答案：C【解析】橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．例33．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若為橢圓上的一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】易知當(dāng)點(diǎn)為橢圓與軸的交點(diǎn)時(shí)，最大，因?yàn)闄E圓方程為，所以、，此時(shí)，，所以，所以為等腰直角三角形，所以．故選：D例34．（多選題）(2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A，B．若P，Q兩點(diǎn)都在橢圓C上，且P，Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．|PQ|的最大值為B．為定值C．橢圓上不存在點(diǎn)M，使得D．若點(diǎn)P在第一象限，則四邊形APBQ面積的最大值為答案：BD【解析】如圖所示：A.|PQ|的最大值為長軸長2，故錯(cuò)誤；B.易知是平行四邊形，則，因?yàn)?，所以，故正確；C.因?yàn)椋裕瑒t，故橢圓上存在點(diǎn)M，使得，故錯(cuò)誤；D.直線AB所在直線方程為：，即，設(shè)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為，其最大值為，同理點(diǎn)Q到直線AB的最大值為，所以四邊形APBQ面積的最大值為，故正確.故選：BD例35．（多選題）(2023·江蘇·高二）已知是左右焦點(diǎn)分別為，的上的動(dòng)點(diǎn)，，下列說法正確的有（

）A．的最大值為5 B．C．存在點(diǎn)，使 D．的最大值為答案：BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，即，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，由橢圓定義，，故B正確對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，，，，故，進(jìn)而，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，故D正確.故選：BD例36．（多選題）(2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（

）A．符合條件的M點(diǎn)有4個(gè) B．M點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以是C．的面積一定是 D．的周長一定是答案：BD【解析】橢圓的長半軸長，焦點(diǎn)，，為直角三角形，以為直角頂點(diǎn)的直角有2個(gè)，以為直角頂點(diǎn)的直角有2個(gè)，顯然橢圓C的半焦距，短半軸長，，以線段為直徑的圓與橢圓C有4個(gè)公共點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)的直角有4個(gè)，因此，符合條件的M點(diǎn)有8個(gè)，A不正確；以為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由消去得：，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，B正確；由選項(xiàng)B知，以為直角頂點(diǎn)時(shí)，的面積，C不正確；由橢圓定義知，的周長為，D正確.故選：BD例37．（多選題）(2023·福建福州·高二期末）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，，分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得 B．的最小值為C．，則的面積為9 D．直線與直線斜率乘積為定值答案：ABC【解析】設(shè)橢圓短軸頂點(diǎn)為，由題知橢圓：中，，所以，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，，所以的最大角為鈍角，故存在P使得，正確；對(duì)于B選項(xiàng)，記，則，由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故，所以，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，則，，于是,故錯(cuò)誤.故選：ABC例38．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的值是______；的取值范圍是______．答案：

【解析】對(duì)橢圓，其，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由橢圓定義可得：；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，且，故，又，故，即的取值范圍為：.故答案為：；.例39．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則∠F1PF2＝________．若∠F1PF2＝90°，則△F1PF2的面積是________．答案：

120°

2【解析】由題得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴，∴|F1F2|＝2．∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2．∴，又0＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°．又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴．故答案為：120°，2.例40．(2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為點(diǎn)在橢圓上，若則的大小為___．答案：【解析】，．在中，，．故答案為：.例41．(2023·上海市控江中學(xué)高二期中）設(shè)?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，則___________.答案：【解析】由題意，橢圓，可得，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，又由，可得，所以，因?yàn)?，即，解?故答案為：.題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題例42．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．5 D．7答案：C【解析】，，，即.所以的最大值為.故選：C【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例43．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，，求的最小值與最大值．【解析】因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.例44．(2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的取值范圍是_________．答案：【解析】由橢圓方程可得，則，如圖，設(shè)銳角，在中，，因?yàn)?，即，故，所?故答案為：.例45．(2023·江西省靖安中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)坐標(biāo)為，，且，則的最小值是__________.答案：【解析】∵，∴，∴∵，∴則，∵，∴點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，1為半徑的圓，A點(diǎn)同時(shí)為橢圓的右焦點(diǎn).，越小，越小，結(jié)合圖形知，當(dāng)P點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取最小值，∴最小值是.故答案為：.例46．（多選題）(2023·湖南·高二期中）已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上 B．△PF1F2的周長為8+2C．|PF1|的取值范圍為[，4） D．tan∠F1PF2的最大值為3答案：ABD【解析】對(duì)于，由橢圓的方程可知，橢圓焦點(diǎn)在軸上，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，而的周長為，故B正確；對(duì)于，因?yàn)椴辉谳S上，所以，所以的取值范圍為，故C不正確；對(duì)于，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則，所以的最大值為.設(shè)，則，且，而，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.例47．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．答案：B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B.例48．(2023·江西省萬載中學(xué)高二階段練習(xí)（理））線段｜AB｜＝4，｜PA｜＋｜PB｜＝6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，｜PM｜的最小值是（

）A．5 B． C．2 D．答案：B【解析】若以為原點(diǎn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由，則，若，故軌跡是以為焦點(diǎn)，焦距為4，長軸長為6的橢圓，且軌跡方程為，所以|PM|的最小值是.故選：B例49．(2023·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)是橢圓+=1上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上），為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；若是的角平分線上的一點(diǎn)，且丄，則丨丨的取值范圍為（

）A．（0，） B．（0，2）C．（l，2） D．（，2）答案：A【解析】如下圖，延長、相交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：A.例50．(2023·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_________．答案：【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為，，則，則設(shè)圓的圓心為，則坐標(biāo)為則的最大值，即為的最大值與圓的半徑之和.又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；故.故答案為：.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題例51．(2023·福建泉州·高二階段練習(xí)）已知是橢圓C：的左焦點(diǎn)，是橢圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，∴．∵點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓定義知，．∵，∴，當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立.即要求的最大值為，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解．例52．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．5 C． D．13答案：B【解析】因?yàn)闄E圓，所以，，則橢圓的右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)處，取等號(hào)，所以的最大值為5，故選：B.例53．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知為橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)橢圓的定義，得，所以，即所求取值范圍為．故選：A例54．(2023·河北·高二階段練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點(diǎn)，在中可得：①，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，在中可得：②，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由①②得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.例55．(2023·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值為______.答案：【解析】設(shè)為橢圓右焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知，，所以.要求的最小值，也就是求的最大值.如圖示：而當(dāng)，，共線(A在中間)時(shí)，最大，此時(shí)，所以.所以的最小值為.故答案為：例56．(2023·天津市嘉誠中學(xué)高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為__________．答案：1【解析】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)A在此橢圓外，由橢圓的定義得，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取“=”，所以的最小值為1.故答案為：1例57．(2023·安徽·池州市第一中學(xué)高二期中）已知橢圓C的方程為，M為C上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________.答案：【解析】由題意，，，所以為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，所，當(dāng)且僅當(dāng)M?D?A共線時(shí)取等號(hào).故答案為：.題型六：離心率的值及取值范圍例58．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)是，其上存在一點(diǎn)，使，則橢圓的離心率的取值范圍為______．答案：【解析】設(shè)，由，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上，則圓心為，半徑為，則圓的方程是﹐所以①，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故②，把①代入②得，所以，故，又，，所以，又，所以，所以，則，所以，因?yàn)?，故所求的橢圓離心率的取值范圍是.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法、定義法和坐標(biāo)法.例59．(2023·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中（理））設(shè)是橢圓：上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．答案：【解析】是橢圓上任意一點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．例60．(2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）已知橢圓，過橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），若有，則橢圓的離心率為________.答案：【解析】設(shè)，，因?yàn)?，，，將代入橢圓方程得，，兩式相減得：，，，則，，因?yàn)橹本€斜率為，，，將代入橢圓方程整理得：，或（舍），故.故答案為：例61．(2023·江西·新余市第一中學(xué)高二開學(xué)考試）直線過橢圓：的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，與圓心在原點(diǎn)的圓交于，兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為______.答案：【解析】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，，，故直線的方程為，即，所以直線即的斜率為，如圖所示，過作的垂線，則為的中點(diǎn)，又，，，，是的中點(diǎn)，直線的斜率，所以，即，，即離心率，故答案為：例62．(2023·全國·高二單元測試）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，若橢圓上存在點(diǎn)M使得在中，，則該橢圓離心率的取值范圍為______．答案：【解析】設(shè)，，，．在中，由正弦定理有，且，則，解得．由于，即．又恒成立，則有，得．故答案為：例63．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C：（），點(diǎn)A，B為長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率的取值范圍是______．答案：【解析】由題可知，，設(shè)，由點(diǎn)P在橢圓上，得，所以，可得，所以．故答案為：.例64．(2023·廣西·玉林市育才中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】設(shè)，則，，由，，化為，，整理得，，，解得．例65．(2023·江西·南昌大學(xué)附屬中學(xué)高二期中（理））已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，若橢圓上恰好有6個(gè)不同的點(diǎn)，使得為等腰三角形，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】顯然，是短軸端點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形，因此由對(duì)稱性，還有四個(gè)點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi)各有一個(gè)，設(shè)是第一象限內(nèi)使得為等腰三角形的點(diǎn)，若，則，又，消去整理得：，解得(舍去)或，同得，所以，即，若，則，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，時(shí)，，是等邊三角形，只能是短軸端點(diǎn)，只有2個(gè)，不合題意．綜上，的范圍是．故選：D．例66．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由橢圓的定義得，又∵，∴，，而，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則，即.故選：D．題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題例67．(2023·全國·高二單元測試）若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．橢圓的焦距為C．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則 D．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則答案：C【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，D錯(cuò)誤，C正確；焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，B錯(cuò)誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）例68．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)m是正實(shí)數(shù)，若橢圓的焦距為8，則______．答案：3【解析】由題意得，顯然，則，又m是正實(shí)數(shù)，解得.故答案為：3.例69．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓上點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為______．答案：【解析】由已知，，右焦點(diǎn)為，設(shè)，，則，消去得，，，（舍去），所以點(diǎn)橫坐標(biāo)為．故答案為：．例70．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若橢圓的焦距為6，則k的值為______．答案：31或49【解析】因?yàn)闄E圓的焦距為6，所以c＝3．當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，因?yàn)?，，所以，解得k＝31；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，因?yàn)?，，所以，解得k＝49．綜上所述，k的值為31或49．故答案為：31或49例71．(2023·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））有關(guān)橢圓敘述錯(cuò)誤的是（

）A．長軸長等于4 B．短軸長等于4C．離心率為 D．的取值范圍是答案：A【解析】橢圓方程化為：，則，則長軸長為8，短軸長為4，離心率，x的取值范圍是.即A錯(cuò)誤，B,C,D正確.故選：A.例72．(2023·四川省宜賓市第三中學(xué)校高二期中（理））已知橢圓，則下列關(guān)于橢圓的說法正確的是（

）A．離心率為 B．焦點(diǎn)為C．長軸長為3 D．橢圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為答案：B【解析】由橢圓方程，可知