高考數(shù)學(xué)大題精做專題09解析幾何中的探索性問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題09解析幾何中的探索性問題類型對應(yīng)典例探索是否存在圓的問題典例1探索是否存在直線的問題典例2探索是否直線過定點(diǎn)典例3探索條件求點(diǎn)典例4【典例1】【河北省“五個(gè)一”名校聯(lián)盟2020屆模擬】已知平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3，0)的距離和它到定直線l：x=6的距離之比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡T的方程；(2)若直線l：x+y-3=0與軌跡T交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線與T交于C，D兩點(diǎn)，試問A，B，C，D是否在同一個(gè)圓上?若是，求出該圓的方程；若不是，說明理由．【典例2】【山東省日照市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期1月校際聯(lián)考】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【典例3】【2019屆內(nèi)蒙古鄂爾多斯西部四旗高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，焦距為，直線過橢圓的左焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，請說明理由.【典例4】【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【針對訓(xùn)練】1.【2020屆河南省高三上學(xué)年期末】已知橢圓：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.2.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！3.【2020屆高三湖南長沙1月模擬考試】已如橢圓E：（）的離心率為，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不為0的直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與E交于P，Q兩點(diǎn)，試問：是否存在定點(diǎn)C，使得？若存在，求C的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由4.【廣東省廣州市天河區(qū)2020屆高三模擬】設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的最大值，若不存在說明理由.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題09解析幾何中的探索性問題類型對應(yīng)典例探索是否存在圓的問題典例1探索是否存在直線的問題典例2探索是否直線過定點(diǎn)典例3探索條件求點(diǎn)典例4【典例1】【河北省“五個(gè)一”名校聯(lián)盟2020屆模擬】已知平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(3，0)的距離和它到定直線l：x=6的距離之比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡T的方程；(2)若直線l：x+y-3=0與軌跡T交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線與T交于C，D兩點(diǎn)，試問A，B，C，D是否在同一個(gè)圓上?若是，求出該圓的方程；若不是，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）按求軌跡方法，把條件用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示，化簡，即可求解；（2）先求出直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線垂直平分線方程，若四點(diǎn)共圓，此圓以為直徑，故只需證明中點(diǎn)與的距離是否等于.【詳解】（1）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，的坐標(biāo)為，由題意，所求的軌跡集合是，由此得，化簡得T：；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由，得，中點(diǎn)，的垂直平分線方程為，由消去得，設(shè)，則，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，所以，，所以四點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，此圓方程為.【典例2】【山東省日照市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期1月校際聯(lián)考】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的焦距為2，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用橢圓中的關(guān)系和已知，可以求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【詳解】解：（1）由已知可得：解得，，，所以橢圓：.（2）由已知可得，，，∴，∵，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，則，，∵，∴.即，因?yàn)?，，?.所以，或.又時(shí)，直線過點(diǎn)，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設(shè)條件.【典例3】【2019屆內(nèi)蒙古鄂爾多斯西部四旗高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，焦距為，直線過橢圓的左焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),的平分線在軸上,.試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn)，請說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)因?yàn)橹本€過橢圓的左焦點(diǎn),故令,得,又因?yàn)殡x心率為,從而求出,又因?yàn)?求出的值,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)先求出點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè),,得到,又因?yàn)榈钠椒志€在軸上,所以,從而求出的值,得到直線的方程為過定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:(1)因?yàn)橹本€過橢圓的左焦點(diǎn),故令,得，,解得.又,解得.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)由(1)得,直線的方程為令得,,即.設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組,消去得,設(shè),,,則直線、的斜率,所以的平分線在軸上,,即又,,.即直線的方程為,過定點(diǎn).【典例4】【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線上，且求拋物線的方程；動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在定點(diǎn)其中，使得向量與向量共線其中為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得的坐標(biāo)，代入拋物線方程，解得，進(jìn)而得到拋物線的方程；在軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，可得軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，根據(jù)恒成立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡整理可得的方程，求得，可得結(jié)論．【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，即有，即，則，解得，則拋物線的方程為；在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)其中，使得與向量共線，由，均為單位向量，且它們的和向量與共線，可得x軸平分，設(shè)，，聯(lián)立和，得，恒成立．，設(shè)直線DA、DB的斜率分別為，，則由得，，，聯(lián)立，得，故存在滿足題意，綜上，在x軸上存在一點(diǎn)，使得x軸平分，即與向量共線．【針對訓(xùn)練】1.【2020屆河南省高三上學(xué)年期末】已知橢圓：過點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時(shí)，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.2.【黑龍江省齊齊哈爾市2019屆高三第一次模擬考試】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C相交所得的弦長為3，直線與橢圓C相切．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在直線l：與橢圓C相交于E，D兩點(diǎn)，使得？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由！【思路引導(dǎo)】（1）由題意列出關(guān)于a,b的關(guān)系式，解得a，b即可.（2）將直線與橢圓聯(lián)立，將向量數(shù)量積的運(yùn)算用坐標(biāo)形式表示，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．【詳解】（1）在中，令，得，解得.由垂徑長（即過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，得，所以.①因?yàn)橹本€：與橢圓相切，則.②將②代入①，得.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，.由（1）知，則直線的方程為.聯(lián)立得，則恒成立.所以，，.因?yàn)?，所?即.即，得，得，即，解得；∴直線存在，且的取值范圍是.3.【2020屆高三湖南長沙1月模擬考試】已如橢圓E：（）的離心率為，點(diǎn)在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不為0的直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與E交于P，Q兩點(diǎn)，試問：是否存在定點(diǎn)C，使得？若存在，求C的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓離心率和過的點(diǎn)，得到關(guān)于，的方程組，解得，的值，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè)存在定點(diǎn)，對稱性可知設(shè)，根據(jù)，得到，即得，直線的方程為：與橢圓聯(lián)立，得到，，從而得到和的關(guān)系式，根據(jù)對恒成立，從而得到的值.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓E的離心率，所以①，點(diǎn)在橢圓上，所以②，由①②解得，.故E的方程為.（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，使得.由對稱性可知，點(diǎn)必在軸上，故可設(shè).因?yàn)椋灾本€與直線的傾斜角互補(bǔ)，因此.設(shè)直線的方程為：，，由消去，得，，所以，所以，，因?yàn)?，所以，所以，?整理得，所以，即.所以，即，對恒成立，即對恒成立，所以.所以存在定點(diǎn)，使得.4.【廣東省廣州市天河區(qū)2020屆高三模擬】設(shè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且橢圓過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)、，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的最大值