2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊)4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式(精講)(原卷版+解析)

4.2.2等差數(shù)列的前項和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：等差數(shù)列前項和公式及其應(yīng)用重點題型二：利用等差數(shù)列前項和公式判斷重點題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)角度2：比值問題（含同角標和不同角標）重點題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題重點題型五：求數(shù)列的前項和問題重點題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法角度2：裂項相消法重點題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點一：等差數(shù)列的前項和公式1、首項為，末項為的等差數(shù)列的前項和公式2、首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和公式知識點二：等差數(shù)列前項和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前項和公式可變形為.當時，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．知識點三：等差數(shù)列前項和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項數(shù)為,則，，，第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．(2023·四川綿陽·高一期末）記為等差數(shù)列的前n項和，公差為d，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．82．(2023·四川省成都市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）將棱長相等的正方體按如圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層、第二層、第三層……，則第層正方體的個數(shù)是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高二課時練習）在各項不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20234．(2023·全國·高二課時練習）已知，則______．5．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和，則__________.6．(2023·全國·高三專題練習（文））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則___________．第四部分：第四部分：典型例題剖析重點題型一：等差數(shù)列前項和公式及其應(yīng)用典型例題例題1．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．例題2．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差，為其前項和，若，則首項（

）A．8 B．10 C．20 D．30例題3．(2023·全國·高二課時練習）已知在等差數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．例題4．(2023·四川成都·高一期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求．同類題型歸類練1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－1102．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．1403．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差數(shù)列中，已知，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，若，求n的值．重點題型二：利用等差數(shù)列前項和公式判斷典型例題例題1．(2023·北京市第三中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列例題2．(2023·全國·高二課時練習）已知一個數(shù)列的前項和．(1)當時，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．同類題型歸類練1．(2023·北京·一模）已知數(shù)列的前項和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列2．（多選）（2023·江蘇·高二專題練習）下列條件中能確定數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A．b為常數(shù)，B．為常數(shù)，C．

D．前n項和（A，B，C為常數(shù)，）重點題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36例題2．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)是等差數(shù)列的前項和為，若，，則______．例題3．(2023·全國·高三專題練習（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則___________.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．502．(2023·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前n項和為．若，，則_____．角度2：比值問題（含同角標和不同角標）典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）已知、都是等差數(shù)列，為的前項和，為的前項和，且，則______．例題2．(2023·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．例題3．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．(2023·全國·高二專題練習）兩個等差數(shù)列和,其前項和分別為且,則等于（

）A． B． C． D．2．(2023·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習）有兩個等差數(shù)列，其前項和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.重點題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題典型例題例題1．(2023·江西·高三階段練習（理））已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的最大值為（

）A． B．52 C．54 D．55例題2．(2023·江西贛州·高二階段練習（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當最大時，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013例題3．（多選）(2023·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則（

）A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．數(shù)列為遞減數(shù)列C．當時，取得最大值 D．當時，的最小值為14例題4．(2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則使取得最大值的為__________．例題5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差數(shù)列，，其前5項和.(1)求的通項；(2)求前項和的最大值.例題6．(2023·全國·高二）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，且，.（1）求公差的取值范圍；（2）問前幾項的和最大，并說明理由.同類題型歸類練1．（多選）(2023·河北·石家莊二中高二期末）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項中最大的項 D．是中最大的值2．（多選）(2023·廣東·翠園中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則下列判斷正確的是（

）A．， B．，C．數(shù)列中絕對值最小的項是 D．的最大值是3．（多選）(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是4．(2023·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．5．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，是數(shù)列的前n項和.(1)求通項；(2)當n為多少時，有最小值？最小值是多少？6．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，.（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個值最大，并說明理由.重點題型五：求數(shù)列的前項和問題典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和．例題2．(2023·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．例題3．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個能夠確定一個數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項的和同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項和．2．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求．3．(2023·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一期中（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，為數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式(2)求數(shù)列的前項和.重點題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國·高二單元測試）設(shè)數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列的前項和為，則______.例題2．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習（文））設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．102．(2023·江西九江·高二期末（文））德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99角度2：裂項相消法典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．例題2．(2023·四川廣安·模擬預(yù)測（理））數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列的前項之和等于，則_______.例題3．(2023·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，．記，數(shù)列的前項和為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例題4．(2023·湖南師大附中高三階段練習）已知數(shù)列中為直角坐標平面上的點.對任意三點共線.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：.同類題型歸類練1．(2023·江蘇南通·高一開學(xué)考試）計算的值為______.2．(2023·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，（且）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式：(2)當時，求證：.重點題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題1．(2023·全國·高三專題練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤2．(2023·全國·高三專題練習）“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到200這200個數(shù)中，能被4除余2且被6除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列各項之和為（

）A．1666 B．1676 C．1757 D．26463．(2023·山東濟南·三模）如圖1，洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中的九宮格，將自然數(shù)1，2，3，…，放置在n行n列的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對角線上的數(shù)字之和（簡稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“n階幻方”．洛書就是一個3階幻方，其“幻和”為15．則7階幻方的“幻和”為（

）A．91 B．169 C．175 D．1804．(2023·全國·高二課時練習）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2009根，現(xiàn)將它們堆放在一起．(1)若堆放成縱截面為正三角形（每一層比上一層多1根），如圖1所示，并使剩余的圓鋼盡可能少，則剩余了多少根圓鋼？(2)若堆成縱截面為等腰梯形（每一層比上一層多1根），如圖2所示，圓鋼無剩余且堆放不少于七層，共有幾種不同的堆放方案？第第五部分：高考（模擬）題體驗1．（2023·北京·高考真題）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．122．（2023·海南·高考真題）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．3．(2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．4．（2023·山東·高考真題）某男子擅長走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和為390里.若從第2天起，每天比前一天多走的路程相同，問該男子第5天走多少里.這是我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中的一個問題，請嘗試解決.4.2.2等差數(shù)列的前項和公式（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：等差數(shù)列前項和公式及其應(yīng)用重點題型二：利用等差數(shù)列前項和公式判斷重點題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)角度2：比值問題（含同角標和不同角標）重點題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題重點題型五：求數(shù)列的前項和問題重點題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法角度2：裂項相消法重點題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用第五部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準記憶第二部分：知識點精準記憶知識點一：等差數(shù)列的前項和公式1、首項為，末項為的等差數(shù)列的前項和公式2、首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和公式知識點二：等差數(shù)列前項和公式的函數(shù)特征等差數(shù)列前項和公式可變形為.當時，它是關(guān)于的二次函數(shù)，表示為(，為常數(shù))．知識點三：等差數(shù)列前項和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項數(shù)為,則，，，第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．(2023·四川綿陽·高一期末）記為等差數(shù)列的前n項和，公差為d，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：C【詳解】由得故選：C2．(2023·四川省成都市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）將棱長相等的正方體按如圖所示的形狀擺放，從上往下依次為第一層、第二層、第三層……，則第層正方體的個數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】觀察可得，第?層正方體的個數(shù)為?，第?層正方體的個數(shù)為?，比第?層多?個；第?層正方體的個數(shù)為?，比第?層多?個；...可得，每一層比上一層多的個數(shù)依次為?;故第?層正方體的個數(shù)?.故選：A3．(2023·全國·高二課時練習）在各項不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023答案：C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為，則，所以可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對稱性及，，可得，解得k＝2022．故選：C4．(2023·全國·高二課時練習）已知，則______．答案：100【詳解】由可知是一個等差數(shù)列，且公差為，首項為19，所以，故答案為：1005．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和，則__________.答案：11【詳解】解：因為數(shù)列的前項和，所以；故答案為：6．(2023·全國·高三專題練習（文））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則___________．答案：6061【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，則解得：，，所以．故答案為：6061第四部分：第四部分：典型例題剖析重點題型一：等差數(shù)列前項和公式及其應(yīng)用典型例題例題1．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列公差為，因為，解得，所以.故選：B.例題2．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差，為其前項和，若，則首項（

）A．8 B．10 C．20 D．30答案：B【詳解】解：由題意，即，化簡得．故選：B．例題3．(2023·全國·高二課時練習）已知在等差數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【詳解】因為是等差數(shù)列，，，所以，解得，則，，，，，…，構(gòu)成首項為，公差為9的等差數(shù)列，則.故選：A．例題4．(2023·四川成都·高一期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求．答案：(1)或(2)或(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得或，當時，；當時，.(2)解：當時，，則；當時，.同類題型歸類練1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110答案：C【詳解】，，則.故選：C2．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，若，，則（

）.A．110 B．120 C．130 D．140答案：C【詳解】解：設(shè)公差為d，則，所以，所以.故選：C3．(2023·四川南充·高一期末（理））在等差數(shù)列中，已知，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，若，求n的值．答案：(1)(2)12(1)由題意得，得故．(2)因為的前n項和為，所以，整理得（3n＋7）（n－12）＝0﹐故（舍去）或n＝12．重點題型二：利用等差數(shù)列前項和公式判斷典型例題例題1．(2023·北京市第三中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列（

）A．是公差為2的等差數(shù)列 B．是公比為2的等比數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列答案：A【詳解】當時，，當時，，也符合上式，所以的通項公式為，故為首項是，公差為的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列.故選：A例題2．(2023·全國·高二課時練習）已知一個數(shù)列的前項和．(1)當時，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．答案：(1)證明見解析(2)(1)當時，，令，，所以時，，所以，此時，所以，所以，可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.(2)，令，得，所以時，，所以，所以，可得時，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列是等差數(shù)列，則，所以．同類題型歸類練1．(2023·北京·一模）已知數(shù)列的前項和，則是（

）A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為3的等差數(shù)列C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為3的等比數(shù)列答案：A【詳解】因為，所以當時，有，，得，當時，適合上式，因為，所以該數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，故選：A2．（多選）（2023·江蘇·高二專題練習）下列條件中能確定數(shù)列為等差數(shù)列的有（

）A．b為常數(shù)，B．為常數(shù)，C．

D．前n項和（A，B，C為常數(shù)，）答案：AC【詳解】A選項，b為常數(shù)，，，所以是等差數(shù)列，故A正確；B選項，為常數(shù)，，不一定符合從第二項起，相鄰項的差為同一個常數(shù)，如，故B錯誤；C選項，，對于數(shù)列的關(guān)系式符合等差中項的形式，所以是等差數(shù)列，故C正確；D選項，前n項和（A，B，C為常數(shù)，），則當時，，兩式相減得，當時，，當且僅當時，滿足上式，且當時，，此時是等差數(shù)列，所以不一定是等差數(shù)列，故D錯誤．故選：AC．重點題型三：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高二開學(xué)考試）等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36答案：B【詳解】由已知，，，即6，15，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：B．例題2．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)是等差數(shù)列的前項和為，若，，則______．答案：2【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，所以，故答案為：2例題3．(2023·全國·高三專題練習（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，則___________.答案：48【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，所以成等差數(shù)列，所以，因為，，所以，解得，故答案為：48同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50答案：B【詳解】解：由等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)可得：，，也成等差數(shù)列，，，解得．故選：B．2．(2023·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前n項和為．若，，則_____．答案：42【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即7，14，成等差數(shù)列，所以，解得．故答案為：42．角度2：比值問題（含同角標和不同角標）典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）已知、都是等差數(shù)列，為的前項和，為的前項和，且，則______．答案：2【詳解】因為、都是等差數(shù)列，為的前n項和，為的前n項和，且，所以，故答案為：2例題2．(2023·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，故選：B例題3．(2023·全國·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的項和分別為，.若對于任意的正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.同類題型歸類練1．(2023·全國·高二專題練習）兩個等差數(shù)列和,其前項和分別為且,則等于（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】=.故選：D.2．(2023·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習）有兩個等差數(shù)列，其前項和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.答案：

【詳解】若，則；若，則可設(shè)，所以，，所以，故答案為：；重點題型四：等差數(shù)列前項和的最值問題典型例題例題1．(2023·江西·高三階段練習（理））已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的最大值為（

）A． B．52 C．54 D．55答案：D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故.又函數(shù)的對稱軸為直線，而，故當時，取得最大值.故選：D.例題2．(2023·江西贛州·高二階段練習（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，則當最大時，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013答案：B【詳解】由可得，即，由可得，即，故，則數(shù)列的前1011項為正數(shù)，從第1012項為負數(shù)的遞減數(shù)列，故當最大時，1011，故選：B例題3．（多選）(2023·重慶·西南大學(xué)附中高二期中）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，，則（

）A．數(shù)列為遞增數(shù)列 B．數(shù)列為遞減數(shù)列C．當時，取得最大值 D．當時，的最小值為14答案：BD【詳解】解：因為，且，所以，所以公差，故數(shù)列單調(diào)遞減，即選項B正確，A錯誤；因為且，所以時，取得最大值，故C錯誤；因為，，所以當時，的最小值為14，即選項D正確．故選：BD．例題4．(2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則使取得最大值的為__________．答案：7【詳解】由題意，則，，故，等差數(shù)列，當時，取得最大值故答案為：7例題5．(2023·北京平谷·高二期末）已知是等差數(shù)列，，其前5項和.(1)求的通項；(2)求前項和的最大值.答案：(1)(2)(1)為等差數(shù)列，，，.又，即，解得，故，即(2)因為，隨著的增大而減小，且，，故當或時，有最大值.例題6．(2023·全國·高二）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，且，.（1）求公差的取值范圍；（2）問前幾項的和最大，并說明理由.答案：（1）；（2）數(shù)列前6項和最大，理由見解析.【詳解】（1）∵a3=12，∴a1=12-2d，∵S12>0，S13<0，∴，所以，所以.（2）∵S12>0，S13<0，所以，所以，所以，所以，又，所以數(shù)列前6項為正數(shù)，從第7項起為負數(shù).∴數(shù)列前6項和最大.同類題型歸類練1．（多選）(2023·河北·石家莊二中高二期末）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項中最大的項 D．是中最大的值答案：ABD【詳解】由得：，所以，且各項中最大的項為，故A正確，C錯誤；，所以，故B正確；因為，等差數(shù)列遞減，所以最大，故D正確；故選：ABD2．（多選）(2023·廣東·翠園中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則下列判斷正確的是（

）A．， B．，C．數(shù)列中絕對值最小的項是 D．的最大值是答案：BCD【詳解】因為，所以又因為，所以，所以.所以等差數(shù)列的，為遞減數(shù)列，所以，故B正確，A錯誤.所以的最大值是，故D正確.因為，結(jié)合數(shù)列等差數(shù)列單調(diào)性，所以，即，所以數(shù)列中絕對值最小的項是，故C正確.故選：BCD3．（多選）(2023·廣東·南海中學(xué)高二階段練習）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是答案：BCD【詳解】對于A、C：因為，且，所以，，又因為，所以，解得；所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即選項A錯誤，選項C正確；對于B：因為，所以，即選項C正確；對于選項D：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項D正確.故選：BCD.4．(2023·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．答案：22【詳解】由已知，為等差數(shù)列的前n項和，，所以，而，所以，所以，，所以，而，所以，所，，所以，而，所以，所以，，，，所以滿足的最大的正整數(shù)n的值為22.故答案為：22.5．(2023·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（理））已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，是數(shù)列的前n項和.(1)求通項；(2)當n為多少時，有最小值？最小值是多少？答案：(1)(2)當時，有最小值且最小值為.(1)，故，故即.(2)當時，，當時，，當時，，故當時，有最小值且最小值為.6．(2023·全國·高二課時練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，，.（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個值最大，并說明理由.答案：（1）；（2）最大.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則，由，，可得，即，，故公差的取值范圍為；（2）因為，所以，所以，因為，所以，所以，由上可得，又，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故中最大.重點題型五：求數(shù)列的前項和問題典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和．答案：【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，．所以．由得，即數(shù)列的前5項為正，其余各項為負．數(shù)列的前n項和．所以當時，；當時，，即．例題2．(2023·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前項和，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．答案：(1)(2)8960（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為，由題意可知：，解得所以（2）由（1）知：當時，，當時，所以例題3．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個能夠確定一個數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項的和答案：(1)(2)當時，當時（1）選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無法確定數(shù)列.（2），其中,當，時，當，時，數(shù)列是從第三項開始，以公差的等差數(shù)列.同類題型歸類練1．(2023·遼寧·高二期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項和．答案：(1)；(2).(1)由，則，由，則，所以，即，故，則.(2)由（1）知：，可得，即，故時，所以.2．(2023·吉林·東北師大附中高二階段練習）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求．答案：(1)；(2).(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，.(2)由（1）得：，；令，解得：；當，時，；當，時，；.3．(2023·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一期中（文））已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，為數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式(2)求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)Tn=(1)解法一∵{an}是等差數(shù)列，公差為d，且a1+a7=-2，S3=15，∴解得a1=8，d=-3，∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11，∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+11(n∈N*).解法二∵{an}是等差數(shù)列，∴2a4=a1+a7=-2，∴a4=-1.∵S3=15，∴3a2=15，∴a2=5.∵a4=a2+2d，即-1=5+2d，∴d=-3，∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.∴數(shù)列{an}的通項公式為an=-3n+11(n∈N*).(2)令an≥0，則-3n+11≥0，∴3n≤11，∴n≤，又n∈N*，∴當n≤3時，an>0;當n≥4時，an<0.∵a1=8，an=-3n+11，∴當n≤3時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=，當n≥4時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15-，∴Tn=重點題型六：數(shù)列求和角度1：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國·高二單元測試）設(shè)數(shù)列的通項公式為，該數(shù)列的前項和為，則______.答案：【詳解】，.，又，兩式相加得，因此，.故答案為.例題2．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】解：因為，且，令,又，兩式相加得：，解得，故選：B同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習（文））設(shè)，A．4 B．5 C．6 D．10答案：B【詳解】由于，故原式.2．(2023·江西九江·高二期末（文））德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99答案：C【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．角度2：裂項相消法典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．答案：A，.故選：A.例題2．(2023·四川廣安·模擬預(yù)測（理））數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列的前項之和等于，則_______.答案：【詳解】設(shè)數(shù)列的前項和為，因為，所以，，解得.故答案為：.例題3．(2023·河南開封·高二期末（理））已知數(shù)列的前項和為，．記，數(shù)列的前項和為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【詳解】因為數(shù)列中，，所以，所以，所以．因為，所以，所以．因為數(shù)列是遞增數(shù)列，當時，，當時，，，所以，所以的取值范圍為．故選：A．例題4．(2023·湖南師大附中高三階段練習）已知數(shù)列中為直角坐標平面上的點.對任意三點共線.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求證：.答案：(1)(2)證明見解析（1）由題意得：，三點共線，則，可得，即.數(shù)列是首項為1公差為1的等差數(shù)列，所以.（2），所以同類題型歸類練1．(2023·江蘇南通·高一開學(xué)考試）計算的值為______.答案：【詳解】，故答案為：2．(2023·浙江·慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，（且）.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式：(2)當時，求證：.答案：(1)證明見解析，(2)證明見解析（1）∵（且），當時，，，又，所以，，數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，，所以.當時，，又滿足上式，數(shù)列的通項公式為.（2）當時，，故所以對，都有.重點題型七：數(shù)列求和在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用典型例題1．(2023·全國·高三專題練習）在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤答案：D【詳解】設(shè)8個兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，因為綿的總重量為996斤，所以，解得，則第八個兒子分到的綿．故選：D．2．(2023·全國·高三專題練習）“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到200這200個數(shù)中，能被4除余2且被