人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章第三節(jié)一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)案

第三節(jié)一元線性回歸模型及其應(yīng)用考試要求：1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義．2．了解最小二乘法原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計的求法．3．針對實際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．自查自測知識點(diǎn)一變量的相關(guān)關(guān)系1．判斷下列說法的正誤，正確的打”√”，錯誤的打”×”．(1)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(√)(2)散點(diǎn)圖是判斷兩個變量相關(guān)關(guān)系的一種重要方法和手段．(√)(3)經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個點(diǎn)．(×)2．(教材改編題)下列變量間的關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系的是()A．一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥之間的關(guān)系B．正方形的面積與邊長之間的關(guān)系C．商品銷售收入與其廣告費(fèi)支出之間的關(guān)系D．人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系B解析：對于A，水稻產(chǎn)量與施肥之間沒有明確的等量關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系，故A錯誤；對于B，正方形的面積與邊長之間有著明確的等量關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故B正確；對于C，商品銷售收入與其廣告費(fèi)支出之間沒有明確的等量關(guān)系，故C錯誤；對于D，人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間沒有明確的等量關(guān)系，故D錯誤．3．以下兩個變量成負(fù)相關(guān)的是②．(填序號)①學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績；②堅持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；③氣溫與冷飲銷售量；④電瓶車的質(zhì)量和行駛每千米的耗電量．核心回扣(1)相關(guān)關(guān)系的定義：兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類①按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢．負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢．②按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．自查自測知識點(diǎn)二相關(guān)關(guān)系的刻畫1．調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是()A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245C解析：因為相關(guān)系數(shù)r＝0.8245>0.75，且散點(diǎn)圖呈左下角到右上角的帶狀分布，所以花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245.2．對于x，y兩變量，有四組成對樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下，則表示兩個變量間線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是()A．－0.82 B．0.78C．－0.69 D．0.87D解析：由樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值|r|越大，變量間的線性相關(guān)性越強(qiáng)，知各選項中r＝0.87的絕對值最大，故其線性相關(guān)程度最強(qiáng)．3．(教材改編題)在對兩個變量x，y進(jìn)行回歸分析時有下列步驟：①對所求出的經(jīng)驗回歸方程作出解釋；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1，2，…，n；③求經(jīng)驗回歸方程；④根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖．則下列操作順序正確的是()A．①②④③ B．③②④①C．②③①④ D．②④③①D解析：根據(jù)回歸分析的思想，可知對兩個變量x，y進(jìn)行回歸分析時，應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1，2，…，n，然后繪制散點(diǎn)圖，再求經(jīng)驗回歸方程，最后對所求的經(jīng)驗回歸方程作出解釋．4．下列關(guān)于y與x的經(jīng)驗回歸方程中，變量x，y成正相關(guān)關(guān)系的是()A．y＝－2.1x＋1.8 B．y＝1.5x＋1.5C．y＝－0.5x＋2.1 D．y＝－1.2x＋3.2B解析：對于A，由方程y＝－2.1x＋1.8，可得b＝－2.1<0，所以變量x，y成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于B，由方程y＝1.5x＋1.5，可得b＝1.5>0，所以變量x，y成正相關(guān)關(guān)系；對于C，由方程y＝－0.5x＋2.1，可得b＝－0.5<0，所以變量x，y成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于D，由方程y＝－1.2x＋3.2，可得b＝－1.2<0，所以變量x，y成負(fù)相關(guān)關(guān)系．核心回扣相關(guān)關(guān)系的刻畫(1)散點(diǎn)圖：為了直觀描述成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每組成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計圖叫做散點(diǎn)圖．(2)樣本相關(guān)系數(shù)①我們常用樣本相關(guān)系數(shù)r來確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)的相關(guān)程度，其中②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]．若r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；若r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．(3)一元線性回歸模型稱Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a(4)最小二乘法將y＝bx＋a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估計，其中b＝，a＝y(tǒng)－b自查自測知識點(diǎn)三殘差與殘差分析1．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下表關(guān)系．x1345y30406050y與x的經(jīng)驗回歸方程為y＝6.5x＋24，當(dāng)廣告費(fèi)支出為5萬元時，殘差為()A．20 B．－10C．10 D．－6.5D解析：因為y與x的經(jīng)驗回歸方程為y＝6.5x＋24，所以當(dāng)x＝5時，y＝6.5×5＋24＝56.5，則50－56.5＝－6.5.故當(dāng)廣告費(fèi)支出為5萬元時，殘差為－6.5.2．觀察下列四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機(jī)誤差的假定的是()ABCDB解析：對于A，殘差與觀測時間有線性關(guān)系，故A錯誤；對于B，殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故B正確；對于C，殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，故C錯誤；對于D，圖中殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變大，故D錯誤．3．給出下列命題：①已知兩個變量線性相關(guān)，若它們的相關(guān)程度越強(qiáng)，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值應(yīng)越接近1；②經(jīng)驗回歸直線必過點(diǎn)(x，y)；③在刻畫回歸模型的擬合效果時，殘差平方和越小，決定系數(shù)R2的值越大，說明擬合效果越好；④根據(jù)最小二乘法，由一組樣本點(diǎn)(xi，yi)，i＝1，2，…，n，求得的經(jīng)驗回歸方程是y＝bx＋a，對所有的解釋變量xi，bxi＋a的值一定與yi有誤差．其中為真命題的是．(填序號)①②③解析：對于①，由變量間線性相關(guān)性與樣本相關(guān)系數(shù)的關(guān)系可知，若它們的相關(guān)程度越強(qiáng)，則樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值應(yīng)越接近于1，故①為真命題；對于②，由樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸方程y＝bx＋a的特點(diǎn)可知，經(jīng)驗回歸直線必過點(diǎn)(x，y)，故對于③，在刻畫經(jīng)驗回歸模型的擬合效果時，殘差平方和越小，決定系數(shù)R2的值越大，說明擬合效果越好，故③為真命題；對于④，根據(jù)最小二乘法，由一組樣本點(diǎn)(xi，yi)，i＝1，2，…，n，求得的經(jīng)驗回歸方程是y＝bx＋a，對所有的解釋變量xi，bxi＋a的值不一定與yi有誤差，可能相等，故④為假命題．核心回扣1．殘差與殘差分析(1)殘差：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的y稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．(2)殘差分析：殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．2．對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析(1)殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系．(2)殘差平方和法殘差平方和(yi－yi)2越小，模型的擬合效果越好．(3)決定系數(shù)R2法可以用決定系數(shù)R2＝1－來比較兩個模型的擬合效果，R2越大，模型的擬合效果越好；R2越小，模型的擬合效果越差．【常用結(jié)論】經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a必過樣本點(diǎn)的中心(x，y)．應(yīng)用某單位為了了解辦公樓用電量y(單位：kW·h)與氣溫x(單位：℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了四個工作日的用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了對照表：氣溫/℃181310－1用電量/(kW·h)24343864由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程y＝－2x＋a，當(dāng)氣溫為－4℃時，預(yù)測用電量約為()A．68kW·h B．52kW·hC．12kW·h D．28kW·hA解析：由表格數(shù)據(jù)可得x＝10，y＝40，根據(jù)經(jīng)驗回歸直線必過(所以經(jīng)驗回歸方程為y＝－2x＋60，因此當(dāng)x＝－4時，y＝68.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷1．(多選題)下列命題正確的是()A．任意兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系B．圓的周長與該圓的直徑具有相關(guān)關(guān)系C．某商品的需求量與該商品的價格之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系D．當(dāng)兩個變量相關(guān)且樣本相關(guān)系數(shù)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)CD解析：對于A，圓的半徑和圓的面積是函數(shù)關(guān)系，故A錯誤；對于B，圓的周長與該圓的直徑具有函數(shù)關(guān)系，故B錯誤；對于C，商品的需求量與商品的價格、質(zhì)量等有關(guān)系，故C正確；對于D，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)，故D正確．2．(多選題)對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計后得到的散點(diǎn)圖如圖，對應(yīng)樣本相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則下列結(jié)論正確的是()圖1圖2A．r1<0 B．r2>1C．r1＋r2>0 D．|r1|>|r2|AC解析：由散點(diǎn)圖可知，題圖1中y與x成負(fù)相關(guān)，故－1<r1<0，故A正確；題圖2中y與x正相關(guān)，故1>r2>0，故B錯誤；題圖2中的散點(diǎn)較題圖1中的散點(diǎn)更密集，更集中于一條直線附近，故|r2|>|r1|，r1＋r2>0，故C正確，D錯誤．忽視散點(diǎn)圖的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)導(dǎo)致錯誤(1)兩個變量具有正線性相關(guān)關(guān)系時，其散點(diǎn)是在從左下方到右上方的直線附近．(2)兩個變量具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系時，其散點(diǎn)是在從左上方到右下方的直線附近．一元線性回歸模型及其應(yīng)用考向1相關(guān)系數(shù)的計算及應(yīng)用【例1】(2024·濟(jì)南模擬)某食品加工廠新研制出一種袋裝食品(規(guī)格：500克/袋)，下面是近六個月每袋出廠價格xi(單位：元)與銷售量yi(單位：萬袋)的對應(yīng)關(guān)系表：月份序號123456xi10.510.91111.51212.5yi2.221.91.81.51.4計算得＝782.56，＝19.9，＝122.(1)計算該食品加工廠這六個月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價格、平均月銷售量和平均月銷售收入．(2)求每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)．(3)若樣本相關(guān)系數(shù)|r|≥0.75，則認(rèn)為相關(guān)性很強(qiáng)，否則沒有較強(qiáng)的相關(guān)性．你認(rèn)為該食品加工廠制訂的每袋食品的出廠價格與月銷售量是否有較強(qiáng)的相關(guān)性．附：樣本相關(guān)系數(shù)，eq\r(0.322)≈0.57.解：(1)該食品加工廠這六個月內(nèi)這種袋裝食品的平均每袋出廠價格為x＝16×平均月銷售量為y＝16×平均月銷售收入為16＝eq\f(1,6)×122＝eq\f(61,3)(萬元).(2)由已知，每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)為r＝＝＝122?6×11.4×1.8＝?1.122.8×0.46＝－≈－1.122×0.57≈(3)由于每袋出廠價格與月銷售量的樣本相關(guān)系數(shù)|r|≈0.98>0.75，所以該食品加工廠制定的每袋食品的出廠價格與月銷售量有較強(qiáng)的相關(guān)性．判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某條曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)樣本相關(guān)系數(shù)法：利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷，|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．考向2線性回歸模型【例2】一般機(jī)械設(shè)備中約有80%的零件因磨損而失效報廢．零件磨損是由多方面因素造成的，某機(jī)械設(shè)備的零件隨著使用時間的增加，”磨損指數(shù)”也在增加．現(xiàn)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計，得到一組數(shù)據(jù)如表所示．使用時間t/年12345磨損指數(shù)r/%4.55.66.46.87.2(1)求r關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程．(2)在每使用完一整年后，工人會對該零件進(jìn)行檢測分析，若該零件在下一年使用過程中的”磨損指數(shù)”超過10%，則該零件需要在本次檢測后立即進(jìn)行報廢處理．根據(jù)(1)中的經(jīng)驗回歸方程，估計該零件使用多少年后需要進(jìn)行報廢處理．附：＝30.5，＝98.1，經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)因為＝30.5，所以eq\x\to(r)＝eq\f(30.5,5)＝6.1.又eq\x\to(t)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，＝98.1，＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(98.1－5×3×6.1,55－5×32)＝0.66，所以a＝r－K000故r關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為r＝0.66t＋4.12.(2)由(1)可知，當(dāng)t＝8時，r＝0.66×8＋4.12＝9.4<10，當(dāng)t＝9時，r＝0.66×9＋4.12＝10.06>10.故估計該零件使用8年后需要進(jìn)行報廢處理．求經(jīng)驗回歸方程的步驟考向3非線性回歸模型及擬合效果判斷【例3】(2024·青島模擬)某高科技公司對其產(chǎn)品研發(fā)年投資額x(單位：億元)與其年銷售量y(單位：萬件)的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，整理后得到如下統(tǒng)計表1和散點(diǎn)圖．通過初步分析，求得年銷售量y關(guān)于年投資額x的經(jīng)驗回歸方程為y＝1.2x－1.3.表1x12345y0.511.535.5表2x12345z＝lny－0.700.41.11.7(1)該公司科研團(tuán)隊通過進(jìn)一步分析散點(diǎn)圖的特征后，計劃用y＝ebx＋a作為年銷售量y關(guān)于年投資額x的非線性經(jīng)驗回歸方程，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)及表2的數(shù)據(jù)，求出此方程；(2)若求得一元線性回歸模型的決定系數(shù)R12＝0.88，請根據(jù)參考數(shù)據(jù)，求出(1)中非線性回歸模型的決定系數(shù)附：＝55，＝13.4；e-0.68≈0.51，e-0.09≈0.91，e0.50≈1.65，e1.09≈2.97，e1.68≈5.37.經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，決定系數(shù)R2＝1－＝1－．解：(1)由y＝ebx＋a，可得lny＝bx＋a，即z＝bx＋a，則z＝?0.7+0+0.4+1.1+1.75y＝0.5+1+1.5+3+5.55x＝1+2+3+4+55b＝13.4?5×3×0.555?5×a＝0.5－0.59×3＝－1.27，所以z＝lny＝0.59x－1.27，即非線性經(jīng)驗回歸方程為y＝e0.59x-1.27.(2)由(1)可知y＝e0.59x-1.27，則可得數(shù)據(jù)如下表：x12345y0.511.535.5y0.510.911.652.975.37所以R22≈≈0.997，顯然R21．非線性回歸分析的解題步驟2．?dāng)M合效果判斷不同模型的擬合效果由決定系數(shù)R2進(jìn)行判斷，R2越大，模型的擬合效果越好．某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，決定對某產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y(單位：萬元/噸)及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x(單位：噸)的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝dx＋ceq\x\to(x)＝14.5，eq\x\to(y)＝10，eq\x\to(t)＝0.08，(xi－eq\x\to(x))2＝665，(ti－eq\x\to(t))2＝0.04，(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝－450，(ti－eq\x\to(t))·(yi－eq\x\to(y))＝4，其中ti＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(t)＝eq\f(1,20).若用R2＝1－刻畫擬合效果，得到模型①，②的R2值分別為R12＝0.7891(1)利用R12和R22比較模型(2)根據(jù)(1)中所選擇的模型，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25噸時y的預(yù)測值．附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解：(1)應(yīng)該選擇模型②.理由如下：由題意可知，R22>R12(2)令t＝1x，則成本費(fèi)y與t可用一元線性回歸模型來擬合，有y＝dt＋c由已知可得eq\o(d,\s\up6(^))＝＝eq\f(4,0.04)＝100，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝10－100×0.08＝2，則y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程為y＝100t＋2，即成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的非線性經(jīng)驗回歸方程為y＝100x當(dāng)x＝25時，y＝10025所以同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25噸時，y的預(yù)測值為6萬元/噸．殘差分析【例4】(2024·衡水模擬)某新能源汽車生產(chǎn)公司，為了研究某生產(chǎn)環(huán)節(jié)中兩個變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)得到如下表格：xi2023252730yi22.4334.6由表格中的數(shù)據(jù)可以得到y(tǒng)關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.25x＋a，據(jù)此計算，下列選項中殘差的絕對值最小的樣本數(shù)據(jù)是()A．(30，4.6) B．(27，3)C．(25，3) D．(23，2.4)C解析：由表中數(shù)據(jù)可得x＝15×(20＋23＋25＋27＋30)＝25，y＝15由y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.25x＋a，過樣本點(diǎn)中心(x，可得3＝0.25×25＋a，解得a＝－3.25，故y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.25x－3.25.對于A，當(dāng)x＝30時，y＝0.25×30－3.25＝4.25，殘差的絕對值為|4.6－4.25|＝0.35；對于B，當(dāng)x＝27時，y＝0.25×27－3.25＝3.5，殘差的絕對值為|3－3.5|＝0.5；對于C，當(dāng)x＝25時，y＝0.25×25－3.25＝3，殘差的絕對值為|3－3|＝0；對于D，當(dāng)x＝23時，y＝0.25×23－3.25＝2.5，殘差的絕對值為|2.4－2.5|＝0.1.關(guān)于殘差分析(1)通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)．(2)判斷所建立模型的擬合效果．殘差平方和越小，擬合效果越好；反之?dāng)M合效果越差．小王經(jīng)營了一家酒店，去年經(jīng)營狀況逐步向好，該店各個月的營業(yè)收入y(單位：萬元)隨月份x的變化統(tǒng)計如下：x1234567y111318※28※35其中第4個月和第6個月的數(shù)據(jù)由于某種原因造成模糊，但知道7天的營業(yè)收入平均值是23.已知營業(yè)收入y與月份x可以用經(jīng)驗回歸方程y＝bx＋a擬合，且第7個月的殘差是－0.6，則a＋b的值是()A．10.4 B．6.2C．4.2 D．2A解析：由殘差ei＝y(tǒng)i－yi，得－0.6＝35－y7，即y7＝35.6，所以35.6＝7b＋a①.又x＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y由經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a經(jīng)過樣本點(diǎn)中心(x，得23＝4b＋a②.聯(lián)立①②，解得a＝6.2，b＝4.2，所以a＋b＝10.4.課時質(zhì)量評價(五十九)1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是()A．具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系B．散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C．經(jīng)驗回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系D．任何一組數(shù)據(jù)都有經(jīng)驗回歸方程D解析：根據(jù)兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的概念，可知A正確；散點(diǎn)圖能直觀地描述呈相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)程度，且經(jīng)驗回歸直線最能代表它們之間的線性相關(guān)關(guān)系，所以B，C正確；具有相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)才有經(jīng)驗回歸方程，所以D不正確．2．對兩個變量x，y進(jìn)行線性回歸分析，計算得到樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9962，則下列說法中正確的是()A．x與y正相關(guān)B．x與y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系C．x與y幾乎不具有線性相關(guān)關(guān)系D．x與y的線性相關(guān)關(guān)系還需進(jìn)一步確定B解析：因為樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9962，所以x與y負(fù)相關(guān)．因為|r|＝0.9962，非常接近1，所以線性相關(guān)性很強(qiáng)．故選B．3．某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx4．某供電公司為了分析本地某小區(qū)的用電量y(單位：kW·h)與氣溫x(單位：°C)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對應(yīng)關(guān)系如下表：氣溫x/°C181310－1用電量y/(kW·h)24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用經(jīng)驗回歸方程y＝－2x＋b(b∈R)來預(yù)測，則當(dāng)氣溫為－4°C時，該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為kW·h.68解析：由表中數(shù)據(jù)可得x＝18+13+10?14則將(10，40)代入經(jīng)驗回歸方程可得，40＝－20＋b，得b＝60，則經(jīng)驗回歸方程為y＝－2x＋60.當(dāng)x＝－4時，y＝－2×(－4)＋60＝68.故當(dāng)氣溫為－4℃時，該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為68kW·h.5．新能源汽車的核心部件是動力電池，電池占了整車成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分．從2020年底開始，碳酸鋰的價格不斷升高，下表是2022年某企業(yè)的前5個月碳酸鋰的價格y(單位：萬元/千克)與月份x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)．月份代碼x12345碳酸鋰價格y/(萬元/千克)0.50.61m1.5根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.28x＋a，根據(jù)數(shù)據(jù)計算出在樣本點(diǎn)(5，1.5)處的殘差為－0.06，則表中m＝．1．4解析：由題可知，當(dāng)x＝5時，有1.5－y＝1.5－(0.28×5＋a)＝－0.06，解得a＝0.16.又x＝1+2+3+4+55y＝0.5+0.6+1+m+1.55＝3.6+m且經(jīng)驗回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x，y)，所以0.28×3＋0.16＝3.6+m56．(多選題)某工廠為了研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位：噸)與所需某種材料的用量y(單位：噸)之間的相關(guān)關(guān)系，在生產(chǎn)過程中收集了4組數(shù)據(jù)如表所示．根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程為y＝0.7