高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第3課時(shí)隨機(jī)事件與概率學(xué)案

第3課時(shí)隨機(jī)事件與概率[考試要求]1．結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系．2．理解事件間的關(guān)系與運(yùn)算，會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率．3．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系．4．理解古典概型及其概率計(jì)算公式．當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，會(huì)轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件的概率之和或其對(duì)立事件的概率．考點(diǎn)一隨機(jī)事件與樣本空間1．樣本空間與樣本點(diǎn)(1)樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，常用ω表示．(2)樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，常用Ω表示樣本空間．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．隨機(jī)事件、必然事件與不可能事件(1)隨機(jī)事件：樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生．(2)隨機(jī)事件的特殊情形：必然事件Ω(含有全部樣本點(diǎn))、不可能事件?(不含任何樣本點(diǎn))、基本事件(只包含一個(gè)樣本點(diǎn))．3．兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示圖形表示包含A發(fā)生，則B一定發(fā)生A?B并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω提醒：對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件．[典例1](1)(2024·湖北襄陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))已知集合A是集合B的真子集，則下列關(guān)于非空集合A，B的四個(gè)命題：①若任取x∈A，則x∈B是必然事件；②若任取x?A，則x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件；④若任取x?B，則x?A是必然事件．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(2)(多選)從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是()A．“至少一個(gè)紅球”和“都是紅球”是互斥事件B．“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事件D．“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事件(3)從1，2，3，…，10中任意選一個(gè)數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為________，“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．(1)C(2)BC(3)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}5[(1)因?yàn)榧螦是集合B的真子集，所以集合A中的元素都在集合B中，集合B中存在元素不是集合A中的元素，作出其Venn圖如圖：對(duì)于①：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取x∈A，則x∈B是必然事件，故①正確；對(duì)于②：任取x?A，則x∈B是隨機(jī)事件，故②不正確；對(duì)于③：因?yàn)榧螦是集合B的真子集，集合B中存在元素不是集合A中的元素，集合B中也存在集合A中的元素，所以任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)榧螦中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，任取x?B，則x?A是必然事件，故④正確．所以①③④正確，正確的命題有3個(gè)．故選C.(2)不妨記兩個(gè)黑球?yàn)锳1，A2，兩個(gè)紅球?yàn)锽1，B2，從中取出2個(gè)球，則所有樣本點(diǎn)如下：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，恰有一個(gè)黑球包括：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是黑球包括A1A2，兩個(gè)事件沒有共同的樣本點(diǎn)，故互斥，B正確；至少一個(gè)黑球包括：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，都是紅球包括B1B2，兩個(gè)事件沒有共同的樣本點(diǎn)，且兩者包括的樣本點(diǎn)的并集為全部樣本點(diǎn)，故對(duì)立，C正確．同理可知A、D都不正確，故選BC.(3)任選一個(gè)數(shù)，共有10種不同選法，故樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中偶數(shù)共有5種，故“它是偶數(shù)”這一事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.]1．確定樣本空間的方法(1)必須明確事件發(fā)生的條件．(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出問題的答案．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．2．事件的關(guān)系運(yùn)算策略(1)判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件．(2)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件．跟進(jìn)訓(xùn)練1(1)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或5”為事件B，則()A．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或3D．A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或5(2)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的對(duì)立事件是()A．至少有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶(1)A(2)B[(1)設(shè)A＝{1，3}，B＝{1，5}，則A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，5}，∴A≠B，A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1，A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或3或5.故選A.(2)“至多有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都中靶”．]考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率1．頻率與概率(1)事件的概率：對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．(2)頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．2．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．[常用結(jié)論]如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則稱這n個(gè)事件互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[典例2](1)(2019·全國(guó)Ⅱ卷)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________．(2)(2023·福建廈門高三模擬預(yù)測(cè))已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為________．(3)一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________．(1)0.98(2)0.25(3)0.96[(1)經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為10×0.97+20×0.98+10×0.9910+20+10(2)20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰好有兩次命中的是191、271、932、812、393，其頻率為520(3)設(shè)A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，記“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.]頻率與概率的關(guān)系頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)之前是無法確定的，在相同的條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，得到的事件的頻率值也可能會(huì)不同概率本身是一個(gè)在[0，1]內(nèi)的確定值，不隨試驗(yàn)結(jié)果的改變而改變跟進(jìn)訓(xùn)練2(2020·全國(guó)Ⅰ卷)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)．加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？[解](1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知，甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為40100乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率的估計(jì)值為28100(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)6525－5－75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為65×40+25×20-由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為利潤(rùn)70300－70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為70×28+30×17+0×34-比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，廠家應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)．考點(diǎn)三古典概率1．古典概型具有以下特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．2．古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝kn＝n其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．[典例3](1)(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A．16B．13C．1(2)(2024·河南模擬預(yù)測(cè))“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月兩節(jié)不變更，最多相差一兩天．”中國(guó)農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”，凝結(jié)著中華民族的智慧，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，如五月有立夏、小滿，六月有芒種、夏至，七月有小暑、大暑，現(xiàn)從五月、六月、七月這六個(gè)節(jié)氣中任選兩個(gè)節(jié)氣，則這兩個(gè)節(jié)氣恰在同一個(gè)月的概率為()A．12B．13C．1(3)(2022·全國(guó)甲卷)從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()A．15B．13C．2(1)D(2)C(3)C[(1)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C72＝21(種)不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7種，故所求概率P＝21-故選D.(2)由題意，樣本空間有C62＝15個(gè)樣本點(diǎn)，其中任取兩個(gè)節(jié)氣恰在同一個(gè)月這一事件有3個(gè)樣本點(diǎn)，所以P＝315(3)從6張卡片中無放回抽取2張，共有C62＝15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有1，4，【教師備用】1．(2024·河南商丘高三模擬)孿生素?cái)?shù)(素?cái)?shù)是只有1和自身因數(shù)的正整數(shù))猜想是希爾伯特在1900年正式提出的23個(gè)問題之一，具體為：存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p＋2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)(p，p＋2)稱為孿生素?cái)?shù)，在不超過20的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)，其中能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率是()A．425B．115C．3D[不超過20的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，共8個(gè)，則在不超過20的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)的取法種數(shù)為C82記事件A表示“選取的2個(gè)數(shù)能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)”，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4個(gè)，故抽取的2個(gè)數(shù)能夠構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率是P(A)＝428＝12．(2024·天津和平高三模擬)一個(gè)盒子中裝有4個(gè)編號(hào)依次為1，2，3，4的球，這4個(gè)球除號(hào)碼外完全相同，采用放回方式取球，先從盒子中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為X，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為Y.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)設(shè)事件A＝“兩次取出球的編號(hào)之和小于4”，事件B＝“編號(hào)X<Y”，分別求事件A，B，AB發(fā)生的概率P(A)，P(B)，P(AB)．[解](1)由題意可知所有可能的結(jié)果共有16種，樣本空間為{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)由題意可知事件A＝{(1，1)，(2，1)，(1，2)}，共三個(gè)結(jié)果，故P(A)＝316事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共六個(gè)結(jié)果，故P(B)＝616＝3事件AB包含的結(jié)果有(1，2)一個(gè)，故P(AB)＝116.1．求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題．(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同，有時(shí)也可看成是無序的，如(1，2)與(2，1)相同．(3)計(jì)數(shù)原理法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合計(jì)數(shù)原理利用排列或組合的知識(shí)解決．2．求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P(A)求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法就會(huì)較簡(jiǎn)便．跟進(jìn)訓(xùn)練3(1)(2021·全國(guó)甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()A．13B．25C．2(2)(2022·全國(guó)甲卷)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________．(1)C(2)635[(1)4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，共有A66A44A(2)根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有n＝C84＝70(種)結(jié)果，這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有m＝6＋6＝12(種)，故所求概率P＝mn＝12課后習(xí)題(五十二)隨機(jī)事件與概率1．(多選)(人教A版必修第二冊(cè)P235練習(xí)T2改編)將一枚質(zhì)地均勻的骰子向上拋擲一次，設(shè)事件A＝“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過2”，事件C＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4”，則下列說法中正確的有()A．AB＝?B．BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”C．AB+BC＝“D．ABC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”BC[由題意知事件A包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1，2；事件C包含的樣本點(diǎn)：向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4，5，6，所以AB＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”，故A錯(cuò)誤；BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4或5或6”，故B正確；AB+BC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3或4或5或6”，故C正確；ABC＝“向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為5”，故D2．(人教A版必修第二冊(cè)P257練習(xí)T1，T2改編)下列說法正確的是()A．甲、乙兩人做游戲：甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，則甲勝，否則乙勝，這個(gè)游戲公平B．做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率C．某地發(fā)行福利彩票，回報(bào)率為47%，某人花了100元買該福利彩票，一定會(huì)有47元的回報(bào)D．有甲、乙兩種報(bào)紙可供某人訂閱，事件B“某人訂閱甲報(bào)紙”是必然事件A[對(duì)于A，甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，所有可能的結(jié)果為(奇，偶)，(奇，奇)，(偶，奇)，(偶，偶)，則都是奇數(shù)或都是偶數(shù)的概率為12對(duì)于B，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率，故事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率是不正確的；對(duì)于C，某人花100元買福利彩票，中獎(jiǎng)或者不中獎(jiǎng)都有可能，但事先無法預(yù)料，故C不正確；對(duì)于D，事件B可能發(fā)生也可能不發(fā)生，故事件B是隨機(jī)事件，故D不正確．故選A.]3．(人教B版必修第二冊(cè)P104例2改編)已知數(shù)學(xué)考試中，李明成績(jī)高于120分的概率為0.4，低于90分的概率為0.15，則李明成績(jī)不低于90分且不高于120分的概率為________．0.45[所求概率P＝1－(0.4＋0.15)＝0.45.]4．(蘇教版必修第二冊(cè)P286習(xí)題15.2T5改編)從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，…，n中依次任意取出2個(gè)不同的數(shù)，若取出的這2個(gè)數(shù)之和等于5的概率為114，則n8[設(shè)(x，y)為取出的2個(gè)數(shù)的數(shù)對(duì)，x是第1個(gè)數(shù)，y是第2個(gè)數(shù)，且x≠y，則事件空間Ω所含基本事件數(shù)為n(n－1)．設(shè)事件A為取出的這2個(gè)數(shù)之和等于5，則A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，∴P(A)＝4nn-1＝114，即解得n＝8.]5．(2024·內(nèi)蒙古包頭模擬預(yù)測(cè))從正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，隨機(jī)選擇三個(gè)頂點(diǎn)連成三角形，記“這個(gè)三角形是等腰三角形”為事件A，則下列推斷正確的是()A．事件A發(fā)生的概率等于1B．事件A發(fā)生的概率等于1C．事件A是不可能事件D．事件A是必然事件D[根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可知任取三個(gè)頂點(diǎn)連成的三角形一定是等腰三角形，如圖，所以事件A是必然事件．故選D.]6．甲、乙同時(shí)拋擲兩枚骰子，正面向上的數(shù)字分別記作a，b，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．“a是奇數(shù)”是隨機(jī)事件B．“b＝1”與“b＝2”是互斥事件C．“b＝1”與“b＝2”是對(duì)立事件D．“a＝1”與“b＝2”是相互獨(dú)立事件C[對(duì)于A：“a是奇數(shù)”是隨機(jī)事件，故A正確；對(duì)于B：“b＝1”與“b＝2”是互斥事件，因?yàn)椤癰＝1”發(fā)生則“b＝2”一定不發(fā)生，但“b＝1”不發(fā)生，“b＝2”也不一定發(fā)生，可能是b＝3發(fā)生，故B正確；對(duì)于C：由B可知“b＝1”與“b＝2”是互斥但不對(duì)立事件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：“a＝1”與“b＝2”發(fā)生與否不受影響，是相互獨(dú)立事件，故D正確．故選C.]7．如圖是某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是()A．拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上B．?dāng)S一個(gè)正方體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上C．一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃D．從一個(gè)裝有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D[由折線圖可知，頻率在0.3到0.4之間，選項(xiàng)A，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5，不符合，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上概率為16選項(xiàng)C，一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率為14，不符合，故選項(xiàng)D，從一個(gè)裝有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到黑球的概率為138．(多選)6個(gè)相同的小球分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記第一次取出球的數(shù)字為X1，第二次取出球的數(shù)字為X2.設(shè)X＝X1X2A．P(X1>X2)＝5B．P(X1＋X2＝5)＝2C．事件“X1＝6”與“X＝0”互斥D．事件“X2＝1”與“X＝0”對(duì)立AC[由題意，共有36種可能的情況，其中X1>X2的情況有36-∴P(X1>X2)＝1536＝5∵兩次取球數(shù)字之和為5的情況有以下四種：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，∴P(X1＋X2＝5)＝436＝1當(dāng)X1＝6時(shí)，X＝X1X2＝6X2≠0，∴事件“X1＝6”與∵當(dāng)X2＝1時(shí)，X＝X1X2＝X1≠0，當(dāng)X2＝2，X1＝2時(shí)，∴事件“X2＝1”與“X＝0”不對(duì)立，故D錯(cuò)誤．故選AC.]9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來米1536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒，則這批米內(nèi)夾谷約為________石